PRÁCTICA NÚMERO 4. ESTUDIO DE UN CIRCUITO
RLC AMORTIGUADO.
4.1. Análisis Teórico del Circuito RLC.
Antes de proceder al montaje experimental y estudio del circuito realizaremos aquí un estudio teórico del mismo. El circuito que se desea resolver es el de la figura 4.1.
Figura 4.1. Circuito RLC
Inicialmente se supone que el interruptor está abierto y por tanto que no circula ninguna corriente por el circuito en el instante inicial. Además se supone que el condensador se encuentra descargado. Teniendo en cuenta la ley de Kirchhoff para las mallas y atendiendo a las expresiones que ya habíamos presentado en anteriores prácticas para las caídas de tensión en los elementos pasivos del circuito, la ecuación que rige a este circuito es:
0 2 2 1 V q C dt dq R dt q d L + + = (4.1)
que es una ecuación diferencial ordinaria no homogénea de segundo orden con término independiente constante, cuyas condiciones iniciales son que la carga (q) y su primera derivada (intensidad de corriente) en el instante inicial son nulas.
Para esta práctica, se supone que el circuito está alimentado por el generador se señales que proporciona una señal cuadrada de 1 voltio pico a pico y una frecuencia de 10 KHz. Los valores nominales de los componentes del circuito son:
nF C mH L
K
R=2 Ω; =2 ; =3 . Con estos valores el polinomio característico de la ecuación (4.1) nos da las siguientes raíces: 6
2 6
1 ≈−0.8×10 p ≈−0.2×10
las constantes de tiempo son: τ1=−1p1 =1.25µs τ2 = −1p2 =5.0µs, y la carga en el condensador vendrá dada por:
2 1 / 2 / 1 0 ) (t VC Ke tτ K e t τ q = + − + − (4.2)
Como las raíces del polinomio característico son reales, lo que obtenemos es un circuito amortiguado. La tensión en los bornes del condensador vendrá dada por:
) ( 1 ) ( ) ( 1 / 2 2 / 1 0 τ τ t t C C C VC K e K e t q t V = = + − + − (4.3)
Como se desprende de la ecuación anterior, en el régimen estacionario la tensión en el condensador iguala a la fuerza electromotriz de la batería, con lo que la intensidad de corriente del circuito será nula. Sustituyendo los valores numéricos en (4.3) obtenemos:
) ( ) 10 5 / exp( 3 . 1 ) 6 10 2 . 1 / exp( 3 . 0 1 ) (t t x t x 6 V VC = + − − − − − (4.4)
En la figura 4.2 se puede observar la curva que describe la tensión medida en el condensador en función del tiempo.
Figura 4.2. Comportamiento de la tensión en el condensador en función del tiempo. Podemos analizar también la variación de la intensidad en función del tiempo. Esta vendrá dada como la derivada de la carga, ecuación 4.2, con respecto al tiempo:
2 1 / 2 2 / 1 1 ) ( τ τ τ τ t t K e e K t i =− − − − (4.5)
siendo la tensión en la resistencia:
) ( ) 10 5 / exp( 5 . 1 ) 10 2 . 1 / exp( 5 . 1 ) ( . ) (t Ri t t x 6 t x 6 V VR = =− − − + − − (4.6)
En la figura 4.3 se muestra la variación de la tensión en la resistencia en función del tiempo. Podemos observar cómo en el régimen estacionario la tensión es cero, ya que como se comentó antes, en dicho régimen la corriente por el circuito es nula.
Figura 4.3. Comportamiento de la tensión en la resistencia en función del tiempo.
4.2. Desarrollo Experimental.
Montaje de un circuito RLC serie alimentado por el generador de señal. Se utilizará como alimentación del circuito una onda cuadrada de 1 V de tensión (pico a pico) y una frecuencia de 10 kHz
Se le proporciona una resistencia, una bobina y un condensador cuyos valores nominales son: R=2kΩ, L=2 mH, C= 3nF.
Esta práctica tiene dos objetivos básicos: analizar la tensión en los bornes del condensador y el segundo analizar la tensión en los bornes de la resistencia.
1. Medir los valores de la resistencia, la inducción y la capacidad con el polímetro con la mayor precisión posible.
2. Generar la señal de entrada al circuito deseada con el generador de señales y comprobación con el osciloscopio de la misma con la mayor precisión posible.
Con estas medidas rellenamos la siguiente tabla:
Tabla 4.1 Resultados Experimentales
Magnitud Escala Empleada Valor Incertidumbre Resistencia
Inducción
Capacidad Tensión de la Señal
Frecuencia Señal
4. A continuación montamos el circuito de la figura 4.4 y medimos la tensión en los bornes del condensador con ayuda del osciloscopio tal y como se refleja en la misma. Lo que se observe en la pantalla del osciloscopio debe ser similar a lo representado en la figura 4.2.
Figura 4.4. Montaje para medir la tensión el condensador
5. Realizamos a continuación el montaje de la figura 4.5 con el fin de poder medir la tensión en los extremos de la resistencia y constatar que la intensidad de corriente que circula en el régimen estacionario es cero. Lo que se debe observar en la pantalla del osciloscopio debe ser similar a lo representado en la figura 4.3.
Figura 4.5. Montaje para medir la tensión en la resistencia
6. Finalmente, como los valores reales de los componentes no coinciden con los teóricos evaluaremos las raíces del polinomio característico de la ecuación diferencial 4.1 con los valores experimentales obteniendo los nuevos valores de las dos constantes de tiempo. Con ellas obtendremos las tensiones en el condensador y en la resistencia en función del tiempo. Este cálculo se hará numéricamente con ayuda del MATLAB.
Aplicación Numérica con MATLAB Código
% simulacion del circuito RLC amortiguado (raices reales) V0=1.;R=2e3;L=2e-3;C=3e-9; Tf=50e-6; t=(0:Tf/1000:Tf); p=roots([L R 1/C]);disp('raices');p' K=inv( [1 1 ;p(1) p(2)] )*[-V0*C; 0]; VC= V0 + K(1)*exp(t*p(1))/C + K(2)*exp(t*p(2))/C; VR= R*K(1)*p(1)*exp(t*p(1)) + R*K(2)*p(2)*exp(t*p(2)); plot(t,VC,t,VR); axis([0 Tf -.1 1.1]); grid
Nota sobre la determinación de las constantes K1 y K2 La carga y la corriente vienen dados por las expresiones:
) exp( ) exp( ) ( ) exp( ) exp( ) ( 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 0 t p p K t p p K t i t p K t p K C V t q + = + + =
Las condiciones iniciales de carga e intensidad son nulas, es decir: 0 2 2 1 1 0 2 1 = + − = + K p K p C V K K
− = 0 1 1 0 2 1 2 1 C V K K p p Es decir, − = − 0 1 1 1 0 2 1 2 1 V C p p K K
Tabla 4.2. Resultados numéricos
(1) Raíces del polinomio y constantes de tiempo
(2) Tensión en los bornes del condensador
