Ejercicios de Microeconom´ıa II - FCE UBA
Preferencias, utilidad y equilibrio general
Prof. Gabriel V. Montes-Rojas
Pregunta 1: Utilidad Cobb-Douglas
Considere una econom´ıa con dos bienes, x1 y x2, y una funci´on de utilidad Cobb-Douglas
para un ingreso m.
1.a Escribir el problema de maximizaci´on de la utilidad. No resolverlo todav´ıa, eso en el punto 1.b. Argumente formalmente que las preferencias subyacentes a esta utilidad satisfacen monotonicidad estricta y d´ebil, no saciedad local, convexidad estricta y d´ebil, y continuidad. Soluci´on: max(x1,x2)x a 1x (1−a) 2 sujeto a p1x1 +p2x2 ≤m a ∈(0,1)
1.b Derivar las funciones de demanda, x1(p1, p2, m), x2(p1, p2, m), la funci´on de utilidad
indirecta, v(p1, p2, m), y la funci´on de gasto,e(p1, p2, u).
Soluci´on: x1(p1, p2, m) = a m p1 x2(p1, p2, m) = (1−a)m p2 v(p1, p2, m) = aa(1−a)(1−a)mp−1ap −(1−a) 2 e(p1, p2, u) =...
1.c Usar los resultados de 1.b para mostrar que se cumple la identidad de Roy y la ecuaci´on de Slutsky.
Soluci´on: Est´andar. Usar la f´ormula con las derivadas correspondientes.
1.d Suponga ahora un mercado con dos individuos (A,B), ambos con utilidades Cobb-Douglas (no necesariamente iguales). Derivar la funci´on de demanda agregada de los dos bienes y mostrar que se puede expresar como funci´on de los precios relativos y la suma pon-derada de los ingresos monetarios. ¿Bajo qu´e condiciones la demanda agregada no depende de la distribuci´on del ingreso?
Soluci´on: X1(p1, p2, m1, m2) = a mp11 +b mp12 = am1p+1bm2. X2(p1, p2, m1, m2) = (1−a)m1 p1 + (1−b)m2 p1 = (1−a)m1+(1−b)m2 p1 .
Si tenemos que a=b, entonces X1(p1, p2, m1, m2) =aM/p1 dondeM =m1+m2.
1.e Asuma ahora un modelo con dos consumidores como en 1.d, donde cada uno tiene dotaciones iniciales positivas de ambos bienes. La cantidad agregada de dotaciones es (y1, y2)
para los dos bienes. Encuentre la curva de contrato. Argumente que para cada punto sobre esa curva existe un equilibrio competitivo que tiene como soluci´on el mismo.
1.f Encuentre el equilibrio de Walras si el individuo A tiene el 10 del total de los dos bienes como dotaciones, y el otro tiene el restante 90 , mientras que el individuo A siempre gasta el 10 de su ingreso en el bien 1, y el individuo B gasta siempre 50 en cada bien. Tambi´en hay el doble de unidades del bien 1 que del 2.
Soluci´on:
• Supongamos dos agentes, A y B, con utilidades uA(x1, x2) = xa1x1
−a 2 y uB(x1, x2) = xb 1x 1−b 2 .
• Supongamos que la cantidad total de los bienes 1 y 2 es 1, xA
1 +xB1 =xA2 +xB2 = 1.
• Entonces,
T M SA=a/(1−a)xA2/xA1 T M SB=b/(1−b)xB2/xB1
• Para obtener la curva de contrato:
a/(1−a)xA2/xA1 =b/(1−b)(y2−xA2)/(y1−xA1)
Definamos C= ba(1(1−−ab)), tal que C xA2
y2−xA =
xA 1
y2xA1 −x A 1x A 2 =Cy1xA2 −Cx A 1x A 2, xA1 = Cy1x A 2 y2−xA2 +CxA2 .
• Asumimos p1 = 1 como numerario. xA1(p2, yA1, y2A) = a(yA1 +p2y2A) y x1B(p2, y1B, y2B) =
b(yB
1 +p2y2B), entonces x1A(p2, y1A, y2A) +xB1(p2, yB1, yB2) = y1 (por Ley de Walras solo
hace falta resolver este mercado). Resolviendo,
0.1(0.1 + 0.5∗0.1∗p2) + 0.5(0.9 + 0.5∗0.9∗p2) = 1.
Pregunta 2
1. Suponga una econom´ıa de producci´on con dos productos (y1 e y2) y dos insumos (x1
y x2). La cantidad de los insumos est´a fija, (¯x1 y ¯x2). Suponga un conjunto de
posi-bilidades de producci´on del tipo (y1, y2,−x1,−x2) ∈ R4+, donde y1 = f1(x11, x12) =
A1xa11xb12, a, b > 0, y2 = f2(x21, x22) = A2xc21xd22, c, d > 0, son las funciones de
pro-ducci´on de cada bien. Construir el conjunto de cantidades de factores V(y1, y2) y la
frontera de producci´on. Graficar la frontera de producci´on en el plano (y1, y2). ¿Qu´e
caracteriza la curva en el plano (y1, y2)? En particular determinar condiciones para
que la curva tenga pendiente negativa y sea c´oncava/convexa.
2. Asumamos ahora dos individuos A y B, con funciones de utilidad Cobb-Douglas,
uA(yA1, yA2) = yAα1y 1−α A2 , con α > 0 y uB(yB1, yB2) = y β B1y 1−β B2 , con β > 0. Suponga
tambi´en una funci´on de bienestar social que pondera a los dos individuos por igual. Eval´ue qu´e forma tienen las curvas de indiferencias sociales. ¿C´omo dependen deα y
β?
3. Elija unos valores para A1, A2, a, b para que la frontera de producci´on sea c´oncava al
origen. Elija tambi´en valores para α6=β. Encuentre el ´optimo social (y∗1 e y2∗). Si no lo puede resolver anal´ıticamente resu´elvalo en forma intuitiva, explicando con gr´aficos. 4. En base a la teor´ıa que vimos en el curso, ¿qu´e mecanismo de mercado se podr´ıa usar
para llegar a este ´optimo?
Nota: Si asumimos que (x1, x2) es el total disponible de los factores, tal que x1j +x2j ≤
¯
xj, j = 1,2, tenemos 4 ecuaciones (2 func.prod., 2 suma uso de factores) y 6 inc´ognitas (y1, y2, x11, x12, x21, x22). La condici´on adicional sale por usar RT S1 = axbx1112 y RT S2 = cxdx2221.
Soluci´on al ejercicio 2:
De la funci´on de producci´on de y1, en el ´optimo, x11 = abx12. Entonces tenemos que
y1 =A1 abx12 a xb12. Despejando tenemos x12(y1) = y1 A1 b a aa+b1 .
Ahora tomando la funci´on de producci´on 2 y la disponibilidad de factores:
y2 =A2(¯x1 −x11)c(¯x2−x12)d=A2 ¯ x1− a bx12(y1) c (¯x2−x12(y1))d.
De ah´ı entonces podemos tener y2 = y2(y1,x¯1,x¯2), la frontera de posibilidades de
pro-ducci´on. Los casos extremos (donde la frontera cruza los ejes del plano (y1, y2)) se
encuen-tran con (0, f2(¯x1,x¯2)) y (f1(¯x1,x¯2),0). Tomando derivadas podemos analizar la
convexi-dad/concavidad.
Para la funci´on de bienestar social, cada uno de los individuos tiene que tener la misma TMS en el ´optimo. α 1−α yA2 yA1 = β 1−β yB2 yB1 .
Por otro lado,
¯
y1 =yA1+yA1,
¯
y2 =yA2+yB2.
Entonces tenemos 3 ecuaciones y 4 inc´ognitas. Por conveniencia la soluci´on la escribo como yB2(yB1,y¯1,y¯2).
Entonces podemos escribir la funci´on de bienestar social como funci´on de una sola variable de elecci´on (yB1 en este caso), y las restricciones de total de bienes,
U = (¯y1−yB1)α(¯y2−yB2(yB1,y¯1,y¯2))1−α+ (yB1)β(yB2(yB1,y¯1,y¯2))1−β
De ah´ı maximizar con respecto a yB1 y reemplazar el ´optimo en U para que quede una