3.5. Strain gauge output voltage [V] Relative position [µm] k = Ew 4. f t = 1

(1)

Franiso Santibáñez C.

8 de julio de 2009

Resumen

Resumen del trabajo realizado durante la estadía en SUPMECA Paris, de 4

de febrero a 16 de marzo de 2009. Durante la estadía en el instituto desarrollé

experimentos sobre la dinámia de ontatos entre uerpos solidos. Se omenzó

realizandoelmontajeexperimental,basadoenunatuadorpiezoelétrioquesirve

paragenerarelmovimientodeunuerposólidopuestoenontatoontraotroque

estasujeto a unsensorde fuerza piezoelétrio. Detalles delmontaje seestudian

enprofundidad,onelobjetivodeevitarquelasrespuestastantomeánias omo

elétrias de los equipos utilizados intereran on las mediiones que se quieren

llevar a abo.

Índie

1. Montaje Experimental 2

2. Experimentos Preliminares 2

2.1. Calibraión delAtuador Piezoelétrio: . . . 3

2.1.1. Con sensor de Fouault . . . 3

2.1.2. Con aelerómetro . . . 3

2.2. AoplamientoMeánio. . . 3

2.3. Mediión delmovimientodel soporte del sensor de Fuerza. . . 4

2.4. Determinaiónde lasfreuenias deortedelampliadorutilizadopara alimentar elatuador . . . 5

2.5. Mediión de la onstanteelástia delTeón . . . 5

2.6. Mediión de la onstanteelástia de una bolade aero . . . 7

3. Relaión Fuerza vs espesor de la apa de uido. 8

(2)

El montaje experimental diseñado, onsiste en una base de aero en forma de L de

aproximadamente

20

[m℄ de altura por

30

[m℄ de base, sobre el soporte vertial se oloa un sensor de fuerza piezoelétrio, PCB200B02 de manera que queda alineado

onunatuadorpiezoelétrioquesemuevesobreunmiroposiionador,montadoen el

soporte horizontal.Un diagramadelmontaje y una imagendel montaje sepueden ver

en la gura1. Antes de omenzar mediiones sobreel ontato de Hertz entre uerpos

sólidos y la inuenia de un uido insterstiial sobre el ontato, es neesario revisar

que los omponentes del montaje permiten medir, de buena manera lo deseado. Para

esto serealizan experimentos queapuntan a asegurar laalidad de las mediiones.

Figura1: experimental setup

2. Experimentos Preliminares

Se realizarán los experimentos siguientes para asegurar el buen funionamiento de

laspartes del montaje y que estas nointereran sobre lasmediiones posteriores.

Calibraióndelatuador piezoelétrio:(a)Con sensorde Fouault,(b) Con

ae-lerómetro.

Mediióndelmovimientodel soporte delatuador por aoplamiento meánio

Mediióndelmovimientodel soporte delsensor de fuerza

Determinaióndelasfreueniasdeortedelampliadorutilizadoparaalimentar

elatuador

Calibraióndelsistema, mediiónde la onstante elástiade un trozo de Teón.

Calibraióndelsistema, mediiónde la onstante elástiade una bolade aero.

Relaiónfuerza vs espesor de laapa de uido.

Enla siguiente seión sedara un detalle de ada uno de los experimentos nombrados

anteriores,nalmenteserealizarán mediionesdel ontato de Hertz entre dos uerpos

(3)

Para realizarlosexperimentos,ontamosonun atuadorPiezoelétriomara

Pie-zomehanik GmbH, modelo FPSt 150/7/20, el ual, puede realizar una elongaión

máxima de

20

[

µ

m℄ uando se le aplia un voltaje de

150

[V℄. Segun esto se puede estimarquelasensibilidaddelmovimientoeseranaa:

Sensibact

= 7

,

5 ∗

10

6

[V/m℄,en

funión del voltaje de salida delampliador. Pero para realizaruna mediiónna de

laposiiónrealdelatuador,este inorpora unstrain gauge,elual debe seronetado

aun módulodeodiador queentregalaposiiónomounvoltajeentre

0

y

5

[V℄.Esta mediióneslaque debeser alibrada, para esto seutilizan 2métodos, para laprimera

parte se utilizará un sensor de proximidad de fouault, que mide on gran presiión

desplazamientosde bajaveloidad.Lamentablemente,elsensor de Fouaultessensible

también alasuperiequese oloafrente paraser medida,poresto esposible quelas

mediiones que se realizan on este se vean alteradas por el material que se oloa en

el atuador. La segunda alibraión será realizadaon un aelerómetro oloado en el

ap del atuador, este será exitado on un voltaje sinusoidal, se medirá laaeleraión

delap del atuador y elvoltaje delstrain gauge.

2.1.1. Con sensor de Fouault

Para realizar laalibraióndelatuador piezoelétrio, sedebeonoer la

sensibili-daddelsensorde Fouault.Para esto,seoloaelsensordeFouualtfrenteaunapieza

retangularde aeroy sealejautilizandoun miroposiionador,seregistraladistania

usandounrelojomparador yelvoltaje de salidaen eliruitodelsensoron un

volti-metro.Conoida lasensibilidad delsensor defouault,esposibleobtener laalibraión

delatuador piezoelétrio. Para esto,seoloaelsensorde fouaultfrentealatuador

y se ambia el oset del ampliador, se registra el voltaje de salida del iruito del

sensorde fouaulty elvoltaje de salidadeldeodiador delatuador.En lagura(2)

se puede observar la alibraión obtenida. Finalmente se obtiene que

Sensibact

≈

214

[mV/

µ

m℄

2.1.2. Con aelerómetro

Para realizar la alibraión on aelerometro, se adhiere un aelerometro on

sen-sibilidad

1 ,

01

[mV/(m/

s

2

)℄, a la abeza del atuador y se aplia un voltaje sinusoidal

a este. En la gura (3) se puede observar la urva de alibraión en funión de la

fre-uenia de osilaión. De esta urva se obtiene

Sensibact

≈

210

[mV/

µ

m℄. Es posible observar que la urva deae para freuenias superiores a

1

[KHz℄, esto será analizado en laseión (2.4).

2.2. Mediión del movimiento del soporte del atuador por

ao-plamiento meánio

El soporte de aero donde esta montado el atuador piezoelétrio, se enuentra

aoplado aun miroposiionador que permite realizardesplazamientos ontrolados

(4)

0

5

10

15

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5 Relative position [

µ

m]

Strain gauge output voltage [V]

Figura2: alibration withfouault sensor

mover la base haia adelante y atras. Este sistema de resortes tambien pueden

gene-rar que las osilaiones del atuador piezoelétrio, se propagen por la estrutura del

soporte, generando un desplazamiento nal de la forma

X

=

xact

+

xsup

, donde:

xact

esel desplazamientoimpuesto sobre el atuador y

x

sup

es eldesplazamiento resultante de las vibraiones delsoporte de aero. Por esta razón, es neesario uantiar el

des-plazamientode losomponentes. En lagura(4)esposibleobservar eldesplazamiento

del atuador (en azul) y el desplazamiento obtenido integrando la medida de la

ae-leraión en la parte trasera del soporte del atuador (en rojo). Finalmente, se puede

obtener que el desplazamiento del atuador es un orden de magnitud mayor que las

vibraionesregistradas en la parte trasera delsoporte. Siendoestas despreiablespara

losexperimentos a realizar.

2.3. Mediión del movimiento del soporte del sensor de Fuerza

Sise onsidera queel soporte vertial omo una vigaon ondiionesde borde: ja

enun extremo y libreen elotro. Esposible alularlafreueniade resonaniade esta

vigautilizando la formulade Stoney para la onstanteelástia:

k

=

Ew

4 _t

L

3

(1)

Donde

E

= 200

[GPa℄ orresponde al módulo de Young del material,

w

= 12

×

10 −

2

[m℄ es el anho de la viga,

t

= 5

×

10 −

2

[m℄es el espesor de esta, y

L

= 15

×

10 −

2

[m℄

es el largo. Usando este resultado es posible alularla freueniade resonania de la

viga,bajo estas ondiionesde borde, usando:

ft

=

1

2 π

s

k

M

=

t

2 πL

2 s

E

4 ρ

(2)

(5)

10

3

10 −1

Frequency [Hz]

Sensibility [V/

µ

m]

Figura3: alibration with aelerometer

Finalmente, siseutilizaelvaloronoidoparaladensidad

ρ

= 7780

[Kg/

m

3

℄delaero,

seobtiene que

ft

= 1

,

1

[KHz℄, esla freueniade resonaniaorrespondienteal primer modo de exión de la viga. Es posible realizar mediiones para omprobar que esta

freuenia orresponde verdaderamente al modo de exión. Se realiza una grilla de 9

puntos sobre la ara exterior del soporte y se mide la aeleraión en ada uno de los

puntosuandose golpeael soporte en elpuntoentralmas alto,utilizandoun martillo

de impato.La gura 5es posible verque la amplitudde la omponentede freuenia

fe

= 1

,

05

[KHz℄ de la aeleraión ree on la altura, por lo tanto, orresponde a un modode exión de lapared vertial.

2.4. Determinaión de las freuenias de orte del ampliador

utilizado para alimentar el atuador

Dado que el atuador piezoelétrio tiene impedania apaitiva, al onetarlo a

un ampliador se genera un ltro RC pasa baja. Este ltro limita la respuesta en

freuenia del atuador ya que el voltaje a la salida del ampliador se atenua. Por

los datos ténios, se sabe que la respuesta del atuador es plana hasta los

30

[KHz℄. y su impedania desde

1 ,

8

[

µ

F℄ es importante saber ual será la freuenia de orte orrespondiente al onetarlo a un ampliador. En la gura (6) es posible ver las

urvas de respuesta en freuenia de los ampliadores PI-505.00 y Khron-Hite 7500.

Las resistenias de salida, aluladas a partir de estas urvas, son:

RP I

= 445

[

Ω

℄ y

RKH

= 266

[

Ω

℄.

2.5. Mediión de la onstante elástia del Teón

Para asegurar que las mediiones realizadas sobre el ontato de Hertz son

(6)

0.78

0.8

0.82

0.84

0.86

0.88

0.9

0.92 −0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2 Time [s]

Displacement [

µ

m]

displ [

µ

m]

displ(accel) [

µ

m]

Figura 4: Displaement measured at front (blue line) and bak (red line) of piezo

a-tuator

formade ilindrode aras lisason una perforaión entral, elilindro tiene

15 ×

10 −

3

[m℄ de largo,

31 ×

10 −

3

[m℄ de díametro exterior y la perforaión tiene

4 ×

10 −

3

[m℄.

Para realizar la mediión, se oloa el trozo de teón entre el atuador piezoelétrio

y el sensor de fuerza. Se realiza un ilo de arga sobre el trozo de teón de manera

de asegurar que el atuador esta presionando el material y de esta manera eliminar

ualquierefeto de lasasperidades del materialque podría llevar auna mala mediión

mediantelaintroduiónde histéresis yportantouna onstanteelástiadiferentepara

adaparte del ilo.

Para determinar la onstante se sabe que el material responde de manera lineal, por

tanto sepuede obtener laonstante elástiapormedio de laley de Hook:

k

=

F

δ

(3)

Donde,

k

es la onstante elástia,

F

y

δ

orresponden a la fuerza y el desplazamiento maximos. Las mediiones se realizan a baja freuenia de

2

[Hz℄. La gura (7) mues-tra las mediiones de desplazamiento y fuerza, también se puede obtener el diagrama

fuerza vs desplazamiento,de donde sepuede extraer laonstante elástiamedianteun

ajustelineal. Enesteaso laonstanteresulta

kexp

= 2

,

8

[N/

µ

m℄. Para omprobareste resultado obtenido, es posible alular la onstante a partir delvaloronoido para el

módulode Young

Etef lon

0 ,

5

[GPa℄, usando:

k

=

Etef lon

×

A

0 L

(4)

Enlaeuaión(4),

A

0

eseláreadeontatoentrelosuerposyLesellargodelilindro. Usandolosdatosonoidosseobtieneelvalorteórioparalaonstanteelástia:

k

teo

= 5

[N/

µ

m℄.Elualestaenelmismoordendemagnitudqueelobtenidoexperimentalmente

(7)

−6

−4

−2

0

2

4

6 −80

−75

−70

−65

−60

−55

−50

−45

−40

Distance [cm]

Acceleration amplitude [a.u]

h = 13 [cm]

h = 6,5 [cm]

h = 0 [cm]

Figura5: horizontalaeleration inthe fore sensor suport

2.6. Calibraion del sistema, Mediión de la onstante elástia

de una bola de aero.

Para determinarlaonstanteelástiadelaleydeHertz,sedebeteneren uentaque

las deformaiones impuestas sobre el material, no deben sobrepasar el límite elástio

del material, aproximadamente

10

[

µ

m℄. Para esto se impone una elongaión iniial de

10

[

µ

m℄ sobre el atuador, luego este se oloa en ontato on la superie de la bola, y se disminuye la elongaión en

1

[

µ

m℄nalmente se impone un desplazamiento sinusoidalde maneraque se estableza elontato meánio sobre laparte positivade

laosilaión.Seregistralafuerzaen elontatoyeldesplazamientodelatuador.Enla

gura(8)sepuedeobservareldiagramadefuerza vsdesplazamiento,en esteesposible

ver que hay una diferenia entre laurva uando el atuador se mueve haia elsensor

de fuerza y uando este lo hae haia afuera. Este tipo de urva se observa uando se

introdue una diferenia de fase entre las señales de fuerza y desplazamiento. En este

experimento hay dos maneras en que se puede introduir un ambio fase, el primero

esmedianteelretardo quesufren lasseñalesal pasarlosiruitosaondiionadores. El

sensor de fuerza esta onetado aun ampliadorde instrumentaión, mientras que el

straingaugedelatuadorestaonetadoaunmódulodeodiador.Lasegundaforma,

es mediante efetos disipativos en el ontato. El gráo de fuerza vs desplazamiento

permiteobtenereltrabajorealizadoporelatuador,medianteelalulodeláreabajola

urva.Alrealizarestaoperaiónsepuedeverqueeláreabajolaurvaqueorresponde

a la ompresión del sensor, es mayor que la urva de relajaión. Por tanto, se podría

interpretaromopérdidadeenergíaen elsistema.Sinembargo,sabemosqueeltiempo

araterístiopara observar efetos visoelástios en el aero es delorden de 1 [

µ

s℄ [1℄ ypor lotantoeste efeto nodeberíaser signiativoeneste experimento.Porlotanto,

ladifereniaentre lasurvasproviene solamentede efetos elétriosen lasseñales.En

(8)

10

2

10

3

10

4

10 −2

10 −1

10

0 Frequency [Hz]

normalized amplitude

Khron−Hite

Khron−Hite fit

PI

PI fit

Figura 6: Respuesta en freuenia de los ampliadores: (

∗

) PI, (o) Khron-Hite, (

•

) orresponde al t de ltro RC on

R

=

RKH

y (

•

) orresponde al t de ltro RC on

R

=

RP I

obtenida de este experimento.

3. Relaión Fuerza vs espesor de la apa de uido.

Despues de realizarlasmediionesneesarias parauantiarlasaraterístiasdel

montaje experimental, podemos proeder on los experimentos sobre el efeto de un

uido en el ontato entre dos uerpos sólidos. En los experimentos realizados en el

laboratorio de Fisia No Lineal [2℄, Pudimos observar que el omportamiento de tal

sistemapuede ser expliado mediante 2 hipótesis, laprimera, es usando la

visoelásti-idad del uido y la segunda se basa en posibles deformaiones elastohidrodinámias

que puede sufrirla superie del sólido, produidas por las presiones generadas por el

uidosometido agrandes tasas de izalle.

Esposibleprobar lasegunda hipótesis realizando experimentos donde sevaríael

espe-sorde la apa de uido para una veloidad ja. Enla gura (9) esposible observar la

dependenia de la fuerza medida en la pared, en funión de la distania. El t en la

gura,noorrespondeaningunode lasdos hipótesisanteriores.Esposiblepensar que,

en el aso de este experimento, se rompe la ondiión del álulo elastohidrodinámio

querequiere que ladeformaión de laesfera se muhomenor que elespesor de laapa

(9)

0

0.5

1

1.5

2 −0.4

−0.2

0

0.2

0.4 Displacement [

µ

m]

0

0.5

1

1.5

2

0

0.05

0.1

0.15

0.2 Time [s]

Force [N]

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4 −0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3 Displacement [

µ

m]

Force [N]

Figura7:upperletpannel:Displaement asfuntion oftime, lower leftpannel:Fore

asa funtionof time. Rightpannel: Fore asfuntion of displaement (blue),linear t

(red)

4. Bibliografía

[

1

℄ Goro Kuwabara and KimitoshiKono , Restitution Coeient ina Collision between TwoSpheres, Jpn. J. Appl. Phys. 26(1987) pp. 1230-1233

[2]

S.Job, F.Melo,F.Santibañezand F.Tapia, Nonlinearwaves inHerztian granular hains. Ultrasonis,Volume48, Issues 6-7, November2008, Pages 506-514,Seleted