El conjunto de los n ´umeros complejos
Introducci ´on
Los n ´umeros complejos son objetos de la formaa+b√−1, dondeaybson n ´umeros reales, pero ¿qu´e es √−1? Los matem´aticos se preocuparon por esta cuesti ´on durante varios siglos y no llegaron a una respuesta satisfactoria sino hasta comienzos del siglo XIX, en un momento en el que los n ´umeros complejos se hac´ıan indispensables en muchos campos de las matem´aticas.
La primera noci ´on relativa a los n ´umero complejos se debe al italiano Rafael Bombelli (1530-1579) y se puede apreciar en su libroAlgebra´ editado en 1572; en ´el utiliza la f ´ormula de Tartaglia para resolver ecuaciones de tercer grado. Bombelli represent ´o las soluciones mediante expresiones de la formaa±b√−1, dondeaybson n ´umeros reales. A este tipo de expresiones se les denomin ´o “n ´umeros imaginarios”. Estos n ´umeros no tuvieron una buena acogida entre los matem´aticos de la ´epoca, de esta forma, por m´as de 200 a ˜nos estuvieron envueltos en cierto misticismo; de ah´ı la denominaci ´on de “imaginario”. A ´un ahora, por razones hist ´oricas, se emplea esta denominaci ´on.
A ´un en el siglo XVIII, la expresi ´on √−1 estaba desprovista de significado y sola-mente representaba un s´ımbolo de una operaci ´on considerada imposible pero que per-mit´ıa establecer relaciones imprevistas. Euler (1707-1783) introdujo la letraipara denotar el s´ımbolo√−1.
En 1833 William Rowan Hamilton present ´o a laRoyal Irish Academyun trabajo en el que construye los n ´umeros complejos como pares de n ´umeros reales.
Los n ´umeros complejos, a la vez que complementan la construcci ´on de los dominios num´ericos, son una herramienta de trabajo, imprescindible en diferentes ramas cient´ıficas y t´ecnicas; por ejemplo, en el estudio de diversos temas de la F´ısica tales como el movi-miento vibratorio, las oscilaciones arm ´onicas y otros fen ´omenos ondulatorios.
Cada extensi ´on de un sistema de n ´umeros a otro mayor est´a inducido por la necesi-dad de resolver cuestiones que en el sistema m´as peque ˜no no siempre pueden respon-derse. Por ejemplo, la sustracci ´on no siempre es posible en los n ´umeros naturales, se construye el sistema de los enterosZ, en el cual la sustracci ´on siempre es posible. De modo an´alogo, enZla divisi ´on por n ´umeros diferentes de cero no siempre es posible; la construcci ´on de los n ´umeros racionalesQpermite que esto siempre sea posible. Las suce-siones de Cauchy enQno necesariamente convergen a un l´ımite enQ; con la construcci ´on de los n ´umeros realesRse incluyen tales l´ımites. Finalmente, existen ecuaciones polino-miales tales comox2+ 1 = 0, con coeficientes enR, que no tienen soluciones reales; la construcci ´on de los n ´umeros complejos provee soluciones para tales ecuaciones.
Asumamos que existe algo comoi= √−1y veamos a qu´e nos conduce. En primer lugar, al pasar de un sistema de n ´umeros a otro, deseamos retener las propiedades del anterior sistema hasta donde sea posible; por consiguiente, asumimosicomo si fuera otro n ´umero, excepto quei2=−1. Si sumamos los n ´umeros de la formaa+biaplicando
las reglas de los n ´umeros reales obtenemos:
(a1+b1i) + (a2+b2i) = a1+b1i+a2+b2i=a1+a2+b1i+b2i
= a1+a2+ (b1+b2)i. (1) Vemos que la suma no involucrai2. Las propiedades interesantes comienzan con la multiplicaci ´on, donde s´ı aparecei2. Multipliquemos, suponiendo otra vez, que estamos trabajando solo con n ´umeros reales; tendr´ıamos, de acuerdo con las propiedades de la suma y el producto enR, lo siguiente
(a1+b1i)·(a2+b2i) = a1a2+a1b2i+b1a2i+b1b2i2 =a1a2+a1b2i+b1a2i−b1b2 = a1a2−b1b2+ (a1b2+b1a2)i. (2) Observe quea+biest´a determinado completamente porayb, de modo que en lugar dea+bi, podemos escribir la pareja de n ´umeros reales(a, b)y definir, de acuerdo con (1) y (2):
(a1, b1) + (a2, b2) = (a1+a2, b1+b2)
(a1, b1)·(a2, b2) = (a1a2−b1b2, a1b2+b1a2)
Esto nos permitir´ıa operar con n ´umeros complejos sin preocuparnos de√−1. Esto fue hecho primero por Hamilton en 1833. A continuaci ´on vamos a formalizar estas ideas.
Definici ´on de n ´umero complejo
Consideremos el producto cartesianoR×R, es decir, el conjunto formado por todos los pares ordenados (x, y), dondex ∈ R y y ∈ R. Recordaremos que (x, y) = (u, v) si y solamente six = u y y = v. Para efectos de lo que trataremos aqu´ı, denotaremos al conjuntoR×RporC.
Definiremos una adici ´on y una multiplicaci ´on en este conjunto y veremos que tienen las mismas propiedades que tienen las operaciones correspondientes enR.
Definici ´on 1. Definimos:
• Laadici ´onenC: + :C×C → C
((x, y),(u, v)) 7→ (x, y) + (u, v) = (x+u, y+v) dondex+u,y+vson sumas de n ´umeros reales.
• Lamultiplicaci ´onenC: ·:C×C → C
((x, y),(u, v)) 7→ (x, y)·(u, v) = (xu−yv, xv+yu) dondexu−yv,xv+yuson las operaciones correspondientes de n ´umeros reales. El conjuntoCcon estas dos operaciones se llamaconjunto de los n ´umeros complejos y cada elemento(x, y)∈Cse llama un n ´umero complejo.
Ejemplo 1. 1)(1,3) + (2,5) = (1 + 2,3 + 5) = (3,8).
2)(−3,10) + (5,−4) = (−3 + 5,10 + (−4)) = (2,6).
3)(1,2)·(3,5) = (1·3−2·5,1·5 + 2·3) = (−7,11).
4)(−3,5)·(2,−4) = (−3·2−5·(−4),(−3)·(−4) + 5·2) = (14,22).
Teorema 1. La adici´on enCsatisface las siguientes propiedades:
1) Es asociativa. 2) Es conmutativa.
3) Tiene un elemento neutro.
4) Cada elemento enCtiene un inverso para la adici´on.
Demostraci´on: La prueba de las diferentes propiedades es muy sencilla y se basa en las co-rrespondientes propiedades de la adici ´on enR. Solamente probaremos la (3) y la (4) con el objeto de ver expl´ıcitamente qui´en es el neutro y qui´en es el inverso de cada n ´umero complejo.
3) Observe que(0,0)∈Cy, para cualquier(x, y)∈Cse tiene (x, y) + (0,0) = (x+ 0, y+ 0) = (x, y).
Es decir(0,0)es neutro para+enC.
4) El inverso de(x, y)para la adici ´on es(−x,−y), pues
(x, y) + (−x,−y) = (x+ (−x), y+ (−y)) = (0,0).
Teorema 2. La multiplicaci´on enCsatisface las siguientes propiedades:
1) Es asociativa. 2) Es conmutativa.
3) Tiene un elemento neutro.
4) Cada elemento enC, diferente de(0,0), tiene un inverso para la multiplicaci´on. Demostraci´on: Probaremos las propiedades (2), (3) y (4). Como ejercicio pruebe (1).
2) Sean(x, y)y(u, v)enC, tenemos
(x, y)·(u, v) = (xu−yv, xv+yu) (por la definici ´on de · enC)
= (ux−vy, vx+uy) (por la conmutatividad de · enR)
= (u, v)·(x, y) (por la definici ´on de · enC) Por lo tanto·es conmutativa.
3) Tenemos que(1,0)∈Cy, para cualquier(x, y)∈C:
(1,0)·(x, y) = (1·x−y·0,1·y+ 0·x) = (x, y).
Es decir,(1,0)es el neutro de la multiplicaci ´on enC.
4) Sea(x, y)∈C,(x, y)6= (0,0), determinemos un(a, b), en t´erminos de(x, y)de modo que(x, y)·(a, b) = (1,0). Si podemos encontrar este(a, b)entonces ´el ser´ıa el inverso de (x, y)para la multiplicaci ´on. As´ı,
(x, y)·(a, b) = (1,0)⇒(xa−yb, xb+ya) = (1,0)⇒
xa−yb= 1
Resolviendo estas ecuaciones paraay parabresulta que (a, b) = x x2+y2, −y x2+y2 es el inverso multiplicativo de(x, y).
Ejemplo 2. Determinar el inverso aditivo y el inverso multiplicativo de los n ´umeros
com-plejos(2,3)y(−1,2).
Soluci´on: De acuerdo con lo anterior, el inverso aditivo de(2,3)es(−2,−3), mientras que el inverso aditivo de(−1,2)es(1,−2).
Por otra parte, el inverso multiplicativo de(2,3)es 2 22+ 32, −3 22+ 32 = 2 13, −3 13 . El inverso multiplicativo de(1,−2)es 1 12+ (−2)2, 2 12+ (−2)2 = 1 5, 2 5 .
Teorema 3. EnC, la multiplicaci´on es distributiva con respecto a la adici´on.
Demostraci´on: Tomemos(t, u),(v, w),(x, y)enC. Se tiene (t, u)·[(v, w) + (x, y)]
= (t, u)·(v+x, w+y) (def. de+enC) = (t(v+x)−u(w+y), t(w+y) +u(v+x)) (def. de·enC)
= (tv+tx−uw−uy, tw+ty+uv+ux) (prop. de+y·enR)
= (tv−uw+tx−uy, tw+uv+ty+ux) (prop. de+y·enR)
= (tv−uw, tw+uv) + (tx−uy, ty+ux) (def. de+enC)
= (t, u)·(v, w) + (t, u)·(x, y) (def. de·enC) Luego, la multiplicaci ´on es distributiva con respecto a la adici ´on.
Vemos que las propiedades algebraicas de la adici ´on y la multiplicaci ´on son las mis-mas que las de las correspondientes operaciones enQy enR. Esto es, Ctambi´en es un campo. Al serCun campo, al igual queQy R, todas las propiedades aritm´eticas para estos conjuntos son tambi´en v´alidas enC.
Rest´a contenido enC
Recordemos que los elementos deCson pares ordenados (x, y) de n ´umeros reales. El primer componente del par se llama la parte real del n ´umero complejo y el segundo componente se llama laparte imaginaria. Siz = (x, y) ∈C, la parte real se denota por Rezy la parte imaginaria se denota por Imz, es decir, Rez=x, Imz=y.
Ejemplo 3. Paraz= (−8,12)∈Cse tiene Rez=−8, Imz= 12.
Consideremos ahora los n ´umeros complejos cuya parte imaginaria es igual a0, es de-cir, el conjuntoRformado por todos los n ´umeros complejos de la forma(x,0). Podemos establecer una funci ´onf : R → Rtal que f(x,0) = x. Esta funci ´on es, evidentemente, biyectiva y adem´as:
• f[(x,0) + (y,0)] =f(x+y,0) =x+y=f(x,0) +f(y,0) • f[(x,0)·(y,0)] =f(xy,0) =xy=f(x,0)·f(y,0)
Lo anterior dice que podemos identificar al elemento(x,0)enRcon el elementox∈R y, por lo tanto, podemos identificarRcon el subconjuntoRdeC, esto nos permite decir queR⊂C. De ahora en adelante el n ´umero complejo(x,0)se denotar´a simplemente por
x.
Forma algebraica de los n ´umeros complejos
Vamos a establecer una notaci ´on m´as ´util para los n ´umeros complejos. Ya hemos adop-tado la notaci ´onxpara el n ´umero complejo(x,0). Distingamos ahora un n ´umero com-plejo especial: el n ´umero(0,1). Observe que
(0,1)·(0,1) = (0·0−1·1,0·1 + 1·0) = (−1,0) =−1.
Lo anterior significa que(0,1)2 =−1.Es decir, en los n ´umeros complejos la ecuaci ´on
z2 + 1 = 0s´ı se puede resolver. Una soluci ´on de ella es z = (0,1). Denotaremos este n ´umero complejo especial con el s´ımboloi; es decir, i = (0,1). De acuerdo con lo que precede:
i2 =−1.
Seg ´un las propiedades de la adici ´on y la multiplicaci ´on de los n ´umeros complejos, (x,0) + (0,1)·(y,0) = (x,0) + (0·y−1·0,0·0 + 1·y) = (x,0) + (0, y) = (x, y).
Esto es,
(x, y) = (x,0) + (0,1)·(y,0).
Pero hemos convenido en que(x,0) = x, (y,0) = y,(0,1) = i, por lo tanto, de acuerdo con la igualdad anterior, podemos escribir
(x, y) =x+iy.
Esta forma de expresar los n ´umeros complejos se llamaforma algebraicadel n ´umero complejo y es la forma que mencionamos en la introducci ´on. La ventaja de esta notaci ´on es que ahora podemos operar con los n ´umeros complejos, sin necesidad de referirnos a la definici ´on mediante pares ordenados, utilizando las propiedades de las operaciones y el hecho de quei2 =−1.De acuerdo con la definici ´on de parte real y parte imaginaria de un n ´umero complejo, siz =x+iy(conx∈R,y∈R) entoncesx=Rezyy =Imz, por lo que podemos escribirz=Rez+ (Imz)i.
Ejemplo 4. 1)(2 + 3i) + (1 + 5i) = 2 + 1 + (3 + 5)i= 3 + 8i.
2)(−4 + 2i) + (6 + (−2)i) =−4 + 6 + (2 + (−2))i= 2 + 0i= 2.
3)(2 +i)(5 + 2i) = 2·5 + 2·2i+ 5i+ 2i2 = 10 + 4i+ 5i+ 2(−1) = 8 + 9i.
Se acostumbra escribir un n ´umero complejo de la forma0 +bi, comobisolamente. Estos n ´umeros complejosbise llamann ´umeros imaginarios. Cuando nos referimos al n ´umero complejox+iyestamos suponiendo quexes la parte real de ese n ´umero y que
Sustracci ´on y divisi ´on enC
Lasustracci ´onde n ´umeros complejos se define como la operaci ´on tal que a cada par de
n ´umeros complejosu+iv,x+iyle asocia su resta:
(u+iv)−(x+iy) =u−x+i(v−y).
Six+iy6= 0, ladivisi ´onde n ´umeros complejos se define como la operaci ´on tal que a
cada par de n ´umeros complejosu+iv,x+iyle asocia su cociente:
(u+iv)÷(x+iy) = u+iv x+iy = ux+vy x2+y2 +i vx−uy x2+y2.
Esto ´ultimo es equivalente a multiplicaru+iv(llamado el dividendo o, por analog´ıa con las fracciones racionales, numerador) por el inverso multiplicativo dex+iy(llamado el divisor, o denominador). Ejemplo 5. 1)(2 + 3i)−(1 + 5i) = 2−1 + (3−5)i= 1−2i. 2)(−2 + 3i)−(1−4i) =−2−1 + (3 + 4)i=−3 + 7i. 3)2 + 5i 1 + 2i = 2·1 + 5·2 12+ 22 +i 5·1−2·2 12+ 22 = 12 5 +i 1 5.
Conjugado de un n ´umero complejo
Definiremos a continuaci ´on un concepto que es muy ´util en la aritm´etica de los n ´umeros complejos.
Definici ´on 2. Si z = x+iy es un n ´umero complejo, suconjugado, denotado porz, se
define por z=x−iy. Ejemplo 6. 1) El conjugado de2 + 3ies2−3i. 2) El conjugado de5−6ies5 + 6i. 3) Siz=−4 + 2i, entoncesz=−4−2i. 4)3 + 11i= 3−11i.
Observe que el conjugado preserva la parte real y cambia el signo de la parte imagina-ria; esto es, sizes un n ´umero complejo, entonces Rez=Rez, mientras que Imz=−Imz. En otras palabras,z=Rez−(Imz)i.
Una de las aplicaciones del conjugado tiene que ver con la divisi ´on de n ´umeros com-plejos. Efectivamente, en lugar de memorizar la f ´ormula que dimos arriba para la forma algebraica de la divisi ´on, podemos proceder siempre como en el siguiente ejemplo para determinar la forma algebraica de la divisi ´on de n ´umeros complejos.
Ejemplo 7. Determinar la forma algebraica de 5−3i
Soluci´on: Multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado del denomina-dor y luego procedemos a realizar las operaciones indicadas:
5−3i 2 + 4i = 5−3i 2 + 4i· 2−4i 2−4i = (5−3i)(2−4i) (2−4i)(2 + 4i) = −2−26i 4 + 16 = −2 20 − 26 20i=− 1 10 − 13 10i.
El procedimiento usado en el ejemplo anterior se basa en el hecho de que al multi-plicar un n ´umero complejo por su conjugado, se obtiene un n ´umero real. Esta propiedad se estudiar´a m´as adelante.
En el siguiente teorema se proporcionan algunas propiedades b´asicas del conjugado.
Teorema 4. Siuyvson n ´umeros complejos entonces:
1)u+v=u+v. 2)u·v=u·v. 3)u−v=u−v. 4)u v = u v , siv6= 0. 5)u=u. 6) Re(u) = 12(u+u).
7) Im(u) = 21i(u−u) = 2i(u−u). 8)ues un n ´umero real si y solo siu=u.
Demostraci´on: En general todas estas propiedades se pueden probar con facilidad. Solo presentaremos, como ilustraci ´on, la prueba de algunas de ellas. Seanu=a+bi,v=c+di.
2) Tenemos que u·v= (a+bi)(c+di) = (ac−bd) + (ad+bc)i = (ac−bd)−(ad+bc)i = (ac−bd) + (−ad−bc)i = (a−bi)(c−di) =a+bi·c+di =u·v 4) Tenemos que u v = a+bi c+di = ac+bd c2+d2 + bc−ad c2+d2i = ac+bd c2+d2 − bc−ad c2+d2i = ac+bd c2+d2 + −bc+ad c2+d2 i = a−bi c−di = a+bi c+di = u v 5)u=a+bi=a−bi=a+bi=u.
7) Observe que Im(u) =b. Tenemos 1 2i(u−u) = 1 2i(a+bi−(a−bi)) = 1 2i(2bi) =b=Im(u).
Ejemplo 8. Dados z, w ∈ C, tales que zz = ww = 1, probar que Z = z+w
1 +zw es un
n ´umero real.
Soluci´on: Para probar queZes un n ´umero real, debemos verificar que su parte imaginaria es0o, de acuerdo con (8) del teorema anterior, queZ = Z. Optaremos por lo segundo; usando las diferentes propiedades dadas en el teorema anterior (diga cu´ales), tenemos:
Z = z+w 1 +zw ⇒Z = z+w 1 +zw = z+w 1 +zw As´ı, Z=Z ⇔ z+w 1 +zw = z+w 1 +zw ⇔ (z+w)(1 +zw) = (z+w)(1 +zw) ⇔ z+zzw+w+wzw=z+zzw+w+wzw ⇔ z+w+w+z=z+w+w+z(pueszz=ww= 1)
Puesto que lo ´ultimo es verdadero, tambi´en lo esZ =Z(usted puede justificar todos los pasos).
M ´odulo de un n ´umero complejo
La interpretaci ´on que hemos dado de los n ´umeros complejos como parejas de n ´umeros reales nos permite representarlos en un sistema de ejes. Para ello consideraremos una copia de la recta real, dibujada horizontalmente y otra copia de la recta real que corte a la primera perpendicularmente. Al punto donde ambas rectas se cortan lo identificaremos con el n ´umero complejo0.
Si trazamos una recta perpendicular a la horizontal en el punto que corresponde al n ´umero realay trazamos una recta perpendicular a la vertical en el punto que corres-ponde al n ´umero realb, entonces el punto intersecci ´on de estas dos rectas se identifica con el n ´umero complejoz=a+bi.
Observe que este sistema es el mismo que usted ha utilizado, por ejemplo, para trazar funciones deRenR, solo que aqu´ı se usa con otra interpretaci ´on.
Observe que los puntos en la recta horizontal ser´an identificados con los n ´umeros reales (esto es, los n ´umeros complejos cuya parte imaginaria es cero) y los puntos en la recta vertical se identificar´an con los n ´umeros imaginarios (los n ´umeros complejos cuya parte real es igual a 0). Por esta raz ´on, la recta horizontal se llama eje real y la recta vertical se llamaeje imaginario. El plano, interpretado de la manera indicada, se llama
-6 ... ... ... .... .... .... .... .. ... ... ... ... ... ... ... ... .... .... .... . .... .... .... . .... .... .... . .... .... .... . .... . 0 1 1 a b z=a+bi • El plano complejo -6 ... . ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 2 4 −3 1 2 −2 −3i 2 +i −3 + 2i 4−2i • • • • •
Los n ´umeros complejos del ejemplo 9
Ejemplo 9. En la figura anterior, a la derecha, se representan los n ´umeros complejos: 2,
−3i,2 +i,−3 + 2i,4−2i.
El valor absoluto de un n ´umero real representa, desde el punto de vista geom´etrico, su distancia al punto0(el origen de la recta). Podemos definir un concepto similar para los n ´umeros complejos que generalice lo anterior al plano complejo.
Definici ´on 3. Seaz=a+bi, se define elm ´oduloovalor absolutodez, denotado por|z|,
como
|z|=pa2+b2. Observe que, en realidad,|z|=p(Rez)2+ (Imz)2.
Ejemplo 10. 1) Siz= 2, entonces|z|=√22 = 2.
2) Siz=−4i, entonces|z|=p(−4)2 =√16 = 4. 3) Siz= 2 + 3i, entonces|z|=√22+ 32 =√13. 4)|5−2i|=p52+ (−2)2=√25 + 4 =√29.
Observe que sizes real, entonces su m ´odulo coincide con el valor absoluto seg ´un la definici ´on que dimos en la secci ´on anterior. Por otro lado, podemos ver que, de acuerdo con el Teorema de Pit´agoras, el m ´odulo dez=a+bino es m´as que la distancia del punto que lo representa en el plano al origen del plano (vea la figura siguiente).
-6 ... ... . . . . . . . . . . . . . . . ... ... . ... ... . ... ... . ... ... . ... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 a b a a+bi b √ a2+b2 •
El siguiente teorema establece algunas propiedades del m ´odulo en los n ´umeros com-plejos.
Teorema 5. Sizywson n ´umeros complejos se tiene:
1)|z| ≥0, |z|= 0si y solo siz= 0. 2)|Re(z)| ≤ |z|, |Im(z)| ≤ |z|. 3)|z|=| −z|=|z|. 4)z·z=|z|2.
5)|z+w| ≤ |z|+|w|(desigualdad triangular).
Demostraci´on: 1) Seaz=a+bi, entonces,|z|=√a2+b2 ≥ 0. Por otra parte,|z|= 0si y solo sia2+b2 = 0y, puesto que estamos sumando n ´umeros no negativos, la ´unica forma de que su suma sea igual a0es que ambos t´erminos sean0, de modo quea2+b2 = 0si y solo sia2= 0yb2 = 0si y solo sia=b= 0si y solo siz= 0.
2) Observe que|z| = p(Rez)2+ (Imz)2 ≥ p (Rez)2 = |Rez|. De la misma manera, |z|=p(Rez)2+ (Imz)2≥p (Imz)2=|Imz|. 3) |z|=p(Rez)2+ (Imz)2=p (Rez)2+ (−Imz)2 =|z|. |z|=p(Rez)2+ (Imz)2 =p (−Rez)2+ (−Imz)2 =|−z|. 4)z·z= [Rez+ (Imz)i][Rez−(Imz)i] = (Rez)2+ (Imz)2 =|z|2. 5) Tenemos que
|z+w|2 = (z+w)(z+w) (por (4) de este teorema) = (z+w)(z+w) (por (1) del teorema 4)
= zz+zw+wz+ww (propiedades algebraicas deC) = |z|2+zw+wz+|w|2 (por (4) de este teorema)
= |z|2+ 2Re(zw) +|w|2 (pueszw=wzy por (6) del teorema 4) ≤ |z|2+ 2|z| |w|+|w|2 (por (2) de este teorema y (2) del teorema 4) = |z|2+ 2|z| |w|+|w|2 (por (3) de este teorema)
= (|z|+|w|)2 (propiedades de + y · en R)
Resumiendo, tenemos|z+w|2 ≤(|z|+|w|)2y por lo tanto|z+w| ≤ |z|+|w|.
Ejemplo 11. Seanaybdos n ´umeros complejos tales que|a| < 1y|b| = 1, y seanuyz
n ´umeros complejo tal que
u=b z−a
1−az.
Probar que|u| ≤1⇔ |z| ≤1(con correspondencia de igualdades).
Soluci´on: Utilizando las propiedades dadas en los teoremas anteriores tenemos lo si-guiente (justifique cada uno de los pasos):
|u| ≤1 ⇔ uu≤1⇔b z−a 1−az b z−a 1−az ≤1 ⇔ b z−a 1−az ·b z−a 1−az ≤1⇔bb zz−za−az+aa 1−az−az+azaz ≤1 ⇔ |b|2 |z| 2−2Re(za) +|a|2 1−2Re(za) +|a|2|z|2 ≤1⇔ |z|2−2Re(za) +|a|2 1−2Re(za) +|a|2|z|2 ≤1 ⇔ |z|2−2Re(za) +|a|2≤1−2Re(za) +|a|2|z|2 ⇔ |z|2− |a|2|z|2+|a|2≤1⇔(1− |a|2)|z|2 ≤1− |a|2 ⇔ |z|2≤1 ⇔ |z| ≤1.
En resumen|u| ≤ 1si y solo si|z| ≤ 1. Es evidente que si en el razonamiento ante-rior sustituimos≤por=, la cadena de equivalencias sigue siendo v´alida y por lo tanto, tambi´en se tiene que|u|= 1si y solo si|z|= 1.
Representaci ´on polar
Veremos una forma diferente de representar los n ´umeros complejos:la forma polar.Esta representaci ´on utiliza las funciones trigonom´etricas y es muy ´util en el trabajo con tales n ´umeros; por ejemplo, simplifica el c´alculo de potencias y ra´ıces. Consideremos un n ´umero complejoz = x+iy, con z 6= 0, y veamos la representaci ´on en el plano del n ´umeroz y seaθ el ´angulo, medido en radianes, formado por la parte positiva del eje real (ejex) y por el segmento Oz, como se presenta en la figura. La medici ´on de este ´angulo se realiza del mismo modo como se hace en trigonometr´ıa.
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . -6 ... ... ... ... ... ... ... ...z x y |z| θ x y • ... ... . ... ... . ... ... . ... ... . ... .
Definici ´on 4. El ´anguloθindicado antes se llama unargumentodel n ´umero complejoz
y se denota porarg(z).
Observe que cada n ´umero complejo z tiene infinitos argumentos. Si θ es un argu-mento, entonces cualquier ´angulo θ+ 2kπ, con k ∈ Z es tambi´en un argumento de z. Pero, para cadaz ∈ C− {0}, existe un ´unico argumento θtal que−π < θ ≤ π. A este argumento se le llamaargumento principaldezy se denota por Arg(z).
Ejemplo 12. Determinar el argumento principal dez= 1 +√3i.
Soluci´on: Seg ´un la figura, siθes argumento dez, entoncestanθ= √
3 1 =
√
3. El valor de
θen]−π, π[que satisface esto esθ= π3, por lo tanto Arg(z) = π3.
-6 ... ... ... ... ... ... ... ... ... z= 1 +√3i 1 √ 3 θ x y • ... ... . ... ... . ... ... . ... ... . ... ... . ... ... .
De la figura dada en la definici ´on anterior, podemos ver que siθes argumento dez, entoncescosθ = x
|z| ysenθ =
y
|z|, por lo tantox = |z|cosθyy = |z|senθ, por lo tanto, podemos escribir
z=r(cosθ+isenθ) (3)
donde r = |z| = px2+y2. La forma dada por (3) se llama forma polar o forma
trigonom´etricadel n ´umero complejoz.
Ejemplo 13. Consideremos el n ´umero complejoz = √3 + 2i. Su m ´odulo es r = |z| =
q
(√3)2+ 22 = √7. Su argumento principal fue obtenido en el ejemplo 12 y es θ = π 3, entonces la forma polar dez=√3 + 2ies
z=√7(cosπ3 +isenπ3). (4)
Observe tambi´en que, dado que x = |z|cosθ y y = |z|senθ, entonces tanθ = y
x,
siempre quecosθ6= 0. Esto nos permite determinar el argumento de un n ´umero complejo de manera sencilla. En caso de quecosθ = 0, entoncesx = 0 y, en esta situaci ´on, el argumento principal esθ= π
2 oθ= −π
2 , dependiendo de siyes positivo o negativo.
Ejemplo 14. Determinar el argumento de los siguientes n ´umeros complejos.
(a)z1= 2−2i (b)z2= 4i (c)z3= 4 (d)z4=−3. Soluci´on:
(a) En este caso tenemosx= 2,y=−2y, siθes un argumento dez1, entoncestanθ= −2
2 =−1; por lo tanto el argumento principal esθ= −π
4 .Observe que en el intervalo ]−π, π]hay dos valoresθtales quetanθ=−1; estos son−4π y34π, pero como tenemos quex= 2 >0,y =−2<0, el ´angulo tiene que ser del cuarto cuadrante, entonces
θ= −4π.
(b) En este casox = 0y, comoy = 4, entoncesz2 es un punto sobre la parte positiva del ejey; por lo tanto su argumento principal es π
2.
(c) En este casoy = 0, y, comox = 4, entoncesz3 es un punto sobre la parte positiva del ejex, su argumento esθ= 0.
(d) Para este n ´umero, y = 0,x =−3, entoncesz4 es un punto sobre la parte negativa del ejex, entonces su argumento esθ=π.
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. ... ... ... ... .... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ... ... . . . . . . . . . . . . . . -6 ...... ...... ...... ...... ...z 1= 2−2i z2= 4i z3= 4 z4=−3 π 2 π −π 4 x y • • • •
Ejemplo 15. Determinar el m ´odulo y un argumento del n ´umero complejo
z= 1 + cosα+isenα,
dondeαes un n ´umero real. Soluci´on: Tenemos
|z|2 = (1 + cosα)2+ sen2α= 2(1 + cosα) = 4 cos2α 2. Entonces|z|= 2cosα2
.
Para determinar el argumento consideremos dos casos.
Caso 1:cosα2 >0: Puesto que1 + cosα= 2 cos2α2 ysenα= 2 cosα2 senα2, podemos escribir z= 2 cosα 2 cosα 2 +isen α 2 , entonces α2 es un argumento dez.
Caso 2: cosα2 < 0: En este caso,|z| =−cosα2 y, dado quecosα2 = −cos π+α2 y senα2 = sen π+α2 , podemos escribir z=−2 cosα 2 h cosπ+α 2 +isenπ+α 2 i , de dondeπ+ α2 es un argumento dez.
El siguiente teorema establece que el argumento de un producto es la suma de argu-mentos y el argumento de un cociente es la resta de arguargu-mentos.
Teorema 6. Seanz1yz2n ´umeros complejos con formas trigonom´etricas dadas porz1 =r1(cosθ1+
isenθ1)yz2=r2(cosθ2+isenθ2), entonces
z1z2 =r1r2[cos(θ1+θ2) +isen(θ1+θ2)] z1 z2 = r1 r2 [cos(θ1−θ2) +isen(θ1−θ2)]
Demostraci´on: Tenemos
z1z2 = r1(cosθ1+isenθ1)r2(cosθ2+isenθ2)
= r1r2[(cosθ1cosθ2−senθ1senθ2) +i(cosθ1senθ2+ senθ1cosθ2)] = r1r2[cos(θ1+θ2) +isen(θ1+θ2)]
Observe que hemos utilizado el producto de n ´umeros complejos definido al comienzo y las f ´ormulas para el coseno y el seno de una suma. Como ejercicio pruebe la otra
propiedad.
Ejemplo 16. Sean z1 = 2
√
3 −2i, z2 = −1 + √
3i. Utilizar el teorema anterior para determinar la forma polar dez1z2y de
z1
z2
.
Soluci´on: El argumento de z1 se calcula de tanθ1 = 2−2√3 = √−13, entoncesθ1 = −6π (pues
θ1 es del cuarto cuadrante: x = 2 √
3 > 0, y = −2 < 0). Adem´asr1 = |z1| = √
16 = 4. Entoncesz1= 4[cos(−π6) +isen(−π6)].
El argumento dez2se calcula detanθ2 = √
3 −1 =−
√
3, entoncesθ2 = 23π (puesθ2es del segundo cuadrante: x = −1 < 0,y = √3 >0). Adem´asr2 = |z2| =
√ 4 = 2. Entonces z2 = 2[cos(23π) +isen(23π)]. Concluimos que z1z2 = 4·2 cos − π 6 + 2π 3 +isen − π 6 + 2π 3 = 8hcosπ 2 +isen π 2 i , z1 z2 = 8 cos − π 6 − 2π 3 +isen − π 6 − 2π 3 = 8 cos−5π 6 +isen −5π 6
Ejemplo 17. Siξ∈R, escribir el siguiente producto en su forma trigonom´etrica:
(1−i√3)(1−i)(cosξ−isenξ). Soluci´on: Escribamosz1 = 1−i √ 3,z2 = 1−i,z3= cosξ−isenξ. Tenemos|z1| = q
1 + (√3)2 = √4 = 2. Observe que un argumentoθ
1 dez1 corres-ponde al cuarto cuadrante y adem´astanθ1 = −
√
3,entoncesθ1 = −3π es argumento de
z1.
Ahora,|z2|= √
2y un argumento dez2esθ2 = −4π (explique por qu´e). Finalmente,|z3|=
p
cos2ξ+ sen2ξ = 1; adem´as, comocos(−ξ) = cosξ ysen(−ξ) = −senξ, entonces un argumento dez3 esθ3 =−ξ.
Seg ´un lo anterior, las formas polares de los n ´umeros complejosz1,z2,z3 son
z1 = 2 cos − π 3 +isen − π 3 z2 = √ 2 cos − π 4 +isen − π 4 z3 = cos (−ξ) +isen (−ξ)
As´ı, utilizando el teorema 6, tenemos (1−i√3)(1−i)(cosξ−isenξ) = z1z2z3 = 2 cos −π 3 +isen −π 3 ·√2 cos −π 4 +isen −π 4 ·[cos (−ξ) +isen (−ξ)] = 2√2 cos − π 3 + −π 4 +−ξ +isen − π 3 + −π 4 +−ξ = 2 √ 2 cos −7π 12 −ξ +isen −7π 12 −ξ ,
que es la forma trigonom´etrica del n ´umero dado.
Potencias de n ´umeros complejos
Si z = r(cosθ +isenθ) es la forma polar del n ´umero complejo z, entonces, seg ´un el teorema anterior, tenemos
z2 =r2(cos 2θ+isen 2θ).
Adem´as,
z3 =z2·z=r3(cos(2θ+θ) +isen(2θ+θ)) =r3(cos 3θ+isen 3θ).
As´ı, por inducci ´on, tenemos el siguiente teorema.
Teorema 7(de De Moivre). Para todo n ´umero enteron, se tiene
[r(cosθ+isenθ)]n=rn[cosnθ+isennθ] (5) Demostraci´on: Primero consideremosnpositivo. Paran= 2, es lo realizado en el comen-tario previo. Supongamos que vale parany prob´emoslo paran+ 1. Tenemos
[r(cosθ+isenθ)]n+1 = [r(cosθ+isenθ)]n·[r(cosθ+isenθ)]
= rn[cosnθ+isennθ]·[r(cosθ+isenθ)](hip. de inducci ´on) = rn+1[cos(nθ+θ) +isen(nθ+θ)]
= rn+1[cos(n+ 1)θ+isen(n+ 1)θ]
Paran = 1es, evidentemente, cierto. Paran= 0, tenemos[r(cosθ+isenθ)]0 = 1,y cos 0θ= cos 0 = 1,sen 0θ= sen 0 = 0, luegor0[cos 0θ+isen 0θ] = 1, es decir
[r(cosθ+isenθ)]0 =r0[cos 0θ+isen 0θ].
Veamos ahora qu´e sucede si el exponente es entero negativo. Sean ∈ Z+ (entonces −n∈Z−). La forma polar dez= 1es1 = 1(cos 0 +isen 0), entonces, utilizando la forma
polar del cociente tenemos que [r(cosθ+isenθ)]−n= 1 [r(cosθ+isenθ)]n = 1[cos 0 +isen 0] rn[cosnθ+isennθ] = 1 rn[cos(0−nθ) +isen(0−nθ)] = 1 rn[cos(−nθ) +isen(−nθ)] =r−n[cos(−nθ) +isen(−nθ)] Ejemplo 18. Calcular(1 +i)10.
Soluci´on: Tenemos que la forma polar de1 +ies
1 +i=√2cosπ 4 +isen π 4 . Entonces (1 +i)10 = h√ 2 cosπ 4 +isen π 4 i10 = ( √ 2)10 cos10π 4 +isen 10π 4 = 32 cos5π 2 +isen 5π 2 = 32 [0 +i·1] = 32i
Ejemplo 19. Sea z un n ´umero complejo de m ´odulo 1 y argumento ψ. Determinar el
m ´odulo y el argumento de
Z = 1 +z+z2.
Soluci´on: Puesto que|z|= 1yarg(z) =ψ, entonces
z= cosψ+isenψ.
De aqu´ı,
Z = 1 +z+z2
= 1 + cosψ+isenψ+ (cosψ+isenψ)2
= 1 + cosψ+isenψ+ cos 2ψ+isen 2ψ (De Moivre) = cosψ+ 1 + cos 2ψ+i(senψ+ sen 2ψ)
= cosψ+ 2 cos2ψ+i(senψ+ 2 senψcosψ) (pues1 + cos 2ψ= 2 cos2ψ) = cosψ(1 + 2 cosψ) +isenψ(1 + 2 cosψ)
= (1 + 2 cosψ)(cosψ+isenψ).
Entonces|Z|=|1 + 2 cosψ|y, si1+2 cosψ >0, entoncesarg(Z) =ψ. Si1+2 cosψ <0,
Ra´ıcesn−´esimas
Del ejemplo anterior vemos que la forma polar de un n ´umero complejo nos permite, utilizando el teorema 5, calcular de una manera f´acil sus potencias enteras. Tambi´en podemos calcular sus ra´ıcesn−´esimas de una forma bastante sencilla.
Teorema 8. Seaz6= 0un n ´umero complejo conz=r(cosθ+isenθ)su forma polar. Entonces
ztienenra´ıcesn−´esimas diferentesw0,w1,. . .,wn−1, que vienen dadas por
wk = n √ r cos θ+ 2πk n +isen θ+ 2πk n (6) dondek= 0,1, . . . , n−1.
Demostraci´on: Seawra´ızn−´esima dez, entonceswn=z. Si la forma trigonom´etrica dew
esw=s(cosα+isenα), entonces, de acuerdo con el teorema de De Moivre, tendr´ıamos
wn=z ⇔ [s(cosα+isenα)]n=r(cosθ+isenθ)
⇔ sn(cosnα+isennα) =r(cosθ+isenθ). (7) Ahora bien, si dos n ´umeros complejos son iguales entonces sus valores absolutos son iguales y, por lo tantosn=r, es decirs= √nr. De esto y de (7) se tiene que
cosnα+isennα= cosθ+isenθ
y, por lo tanto,cosnα = cosθysennα = senθ. Esto es cierto si y solo sinα = θ+ 2kπ
y, por lo tantoα = θ+ 2kπ
n . Sustituyendo en la forma trigonom´etrica dew se obtiene
la expresi ´on dada en (6). Adem´as, si sustituimos sucesivamentek por 0,1, . . ., n−1, obtenemosnvalores diferentes y, ning ´un otro valor de k producir´a otra ra´ız diferente (diga por qu´e). As´ı, hemos probado lo pedido.
Ejemplo 20. Determinar las ra´ıces cuartas de−1−√3i.
Soluci´on: La forma polar dez = −1−√3iesz = 2(cos−23π +isen−23π). Entonces, de acuerdo con (6), se tiene que las ra´ıces cuartas dezvienen dadas por
w = 4 √ 2 " cos −2π 3 + 2kπ 4 +isen −2π 3 + 2kπ 4 # = 4 √ 2 cos−2π+ 6kπ 12 +isen −2π+ 6kπ 12 ,
parak= 0,1,2,3. Estas son w0 = 4 √ 2 cos−π 6 +isen −π 6 = 4 √ 2 √ 3 2 − i 2 ! w1 = 4 √ 2 h cosπ 3 +isen π 3 i = 4 √ 2 1 2+ i√3 2 ! w2 = 4 √ 2 cos5π 6 +isen 5π 6 = 4 √ 2 − √ 3 2 + i 2 ! w3 = 4 √ 2 cos−π 6 +isen −π 6 = 4 √ 2 −1 2 − i√3 2 !
Las ra´ıcesn−´esimas de1se llamanra´ıcesn−´esimas de la unidad. Como1 = 1(cos 0+
isen 0), entonces √nr = √n 1 = 1y, θ+ 2πk n = 0 + 2πk n = 2πk
n . De modo que las ra´ıces n−´esimas de1vienen dadas por
wk= cos 2πk n +isen 2πk n (8) parak= 0,1,2, . . . , n−1.
Ejemplo 21. Determinar las ra´ıces c ´ubicas de la unidad.
Soluci´on: Las ra´ıces c ´ubicas de1est´an dadas por la f ´ormula
wk= cos 2πk
3 +isen 2πk
3 parak= 0,1,2. Entonces ellas son:
w0 = cos 2π·0 3 +isen 2π·0 3 = cos 0 +isen 0 = 1 w1 = cos 2π·1 3 +isen 2π·1 3 = cos 2π 3 +isen 2π 3 =− 1 2 + i√3 2 w2 = cos 2π·2 3 +isen 2π·2 3 = cos 4π 3 +isen 4π 3 =− 1 2 − i√3 2
Se acostumbra denotar la ra´ız c ´ubica−12 + i √
3
2 de la unidad porj, esto es,j =− 1 2 + i√3
2 . Observe, del ejemplo anterior, que las otras ra´ıces de la unidad son 1 y j
2 (pues −1 2 + i√3 2 2 =−1 2 − i√3
2 , haga el c´alculo correspondiente).
Ejemplo 22. Determinar, enC, las soluciones de la ecuaci ´on
Soluci´on: Observe que(z3+z2+z+ 1)(z−1) =z4−1, entonces las soluciones de (9) son las dez4−1 = 0, exceptuandoz= 1(dado que1no es soluci ´on de la ecuaci ´on original). Pero las soluciones dez4 −1 = 0son las ra´ıces cuartas de la unidad: 1,i, −1y−i, de manera que el conjunto soluci ´on de la ecuaci ´on (9) es{−1, i,−i}.
Concluimos con el siguiente teorema, que liga las ra´ıces n−´esimas de un n ´umero complejo no nulo con las ra´ıcesn−´esimas de la unidad.
Teorema 9. Seaz∈C−{0}, entonces, las ra´ıcesn−´esimas dezse pueden obtener multiplicando
una ra´ızn−´esima particular dezpor todas las ra´ıcesn−´esimas de la unidad.
Demostraci´on: Seaz0una ra´ızn−´esima fija dezyzk(k= 0,1, . . . , n−1) una ra´ızn−´esima cualquiera dez. Entonces (z0)n = zy (zk)n = z, es decir, (z0)n = (zk)n. Comoz 6= 0, entonceszk 6= 0y, entonces,(z0)n = (zk)n ⇒ zk z0 n = 1.De manera que zk z0 es una ra´ız
n−´esima de la unidad, denot´emosla porωk. Comoz0es fijo, sik6=l, entonces zk
z0 6=
zl
z0, y
as´ı,ωk6=ωl. Concluimoszk=z0·wk,k= 0,1, . . . , n−1.
Ejemplo 23. Determinar las ra´ıces c ´ubicas de−8.
Soluci´on: Una ra´ız c ´ubica particular de−8es−2. Las tres ra´ıces c ´ubicas de la unidad son 1,j, j2, entonces las tres ra´ıces c ´ubicas de−8son−2,−2jy−2j2.
Para concluir, se ˜nalamos que, gr´aficamente, las ra´ıcesn−´esimas de un n ´umero com-plejo corresponden a los v´ertices de un pol´ıgono regular denlados inscrito en un c´ırculo de centro(0,0)y radio igual a la ra´ızn−´esima (real) del m ´odulo del n ´umero complejo. Esta afirmaci ´on, que ser´a probada por usted como ejercicio, se ilustra en la siguiente figura, para el cason= 5y el n ´umero complejo1(se representan las ra´ıces quintas de1).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ...... ... ...... ... ...... ... ...... ... ...... ... ...... ......... ... ... ... ... ... ... ... ... .... .... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. ... ... ... ... ... ... ... ... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ... ... ... ... ... ... ... ... -6 w1 w2 w3 w4 w0= 1 • • • • •
Ejercicios sobre n ´umeros complejos
1. Efect ´ue las siguientes multiplicaciones de n ´umeros complejos: a)(2−3i)(4 + 2i) b)(3−i)(4 +i). 2. Expresarz−1en la formaa+ib(a, b∈ R) para: a)z= 6 + 8i b)z= 1 +i c)z= √1 2+i 1 √ 2.
3. Escriba los siguientes n ´umeros complejos en la formaa+ib(conaybn ´umeros reales) a) (3 +i)2,(3−i)2,(3−i)3,(3−2i)3 b)(4−5i)(6 + 3i),(2 + 3i)3(2−3i)3,(−4 +i√5)3 c) i−7 3 + 7i, 2 +i 3−i + 3−i 2 +i, 1−i 3 + 7i+ 1−i 1 +i d) (1 +i)3 1−i + (1−i)4 (1 +i)2
4. Otra forma de definir los n ´umeros complejos es usando matrices. Considere el conjunto C= a b −b a / a∈R, b∈R ⊂ M2×2(R).
(a) Definimos enC una suma y un producto como la suma y el producto usuales de matrices. Pruebe que estas operaciones son cerradas enC.
(b) Pruebe que las propiedades dadas en los teoremas 1, 2 y 3 se satisfacen para las op-eraciones definidas enC.
(c) Pruebe queCes isomorfo aC; esto es, defina una funci ´on deCaCque sea biyectiva
y que preserve la suma y el producto.
(d) ¿Cu´al subconjunto deCpodemos identificar conR?
5. Probar, por inducci ´on sobren, que(1 +i)4n= (−4)n.Calcule(1−i)42. 6. Seaj=−1
2+i
√
3
2 . Calculej
2, j3, j2+j+ 1, jndondenes un n ´umero natural.
7. Paraz= 3−2i, calculew= z
2+z+ 1 z4−1 . 8. Pruebe que(1 +i)n+ (1−i)n, conn∈
N, es un n ´umero real.
9. Determine una relaci ´on entre los n ´umeros realesxyy, para que el n ´umerow= z−2
z−1, con
z=x+iyyz6= 1sea imaginario.
10. Determine condiciones sobrex,ypara que(x+iy)3sea un n ´umero real mayor que8. 11. Dadoz= i−7 3 + 7i, calculez. 12. Paraz= √ 3 +i √ 3−i+ √ 3−i √ 3 +i+i−1, calculez+ 1 z. 13. Pruebe que(z)−1= (z−1)
15. Determinar el n ´umero complejoztal que z−12 z−8i = 5 3 y z−4 z−8 = 1.
16. Considere, sobreC, la ecuaci ´on az2+b|z|2 +ic = 0, dondea, b, c son n ´umeros reales.
¿Qu´e condiciones deben verificara, b, cpara quez= 3 + 2isea soluci ´on de esta ecuaci ´on? Determinara, b, centeros con dicha condici ´on y tal que0< a <15.
17. Pruebe que six∈R, entonces √
1 +x2+i
1−i√1 +x2 =i.
18. Pruebe que|z+w|2+|z−w|2 = 2(|z|2+|w|2)(conz, w ∈ C). Interprete este resultado
geom´etricamente.
19. Determine condiciones necesarias y suficientes para los n ´umeros complejoszywde ma-nera que
|z+w|=|z|+|w|.
20. Determine los n ´umeros complejoztales que
|z2|=|1−z|=|z|.
21. Pruebe que todo n ´umero complejo, de m ´odulo igual a 1, puede escribirse en la forma
1 +λi
1−λi, tal queλ∈R.
22. Escriba los siguientes n ´umeros complejos en su forma trigonom´etrica (a)1 +√3i, (b)5−5i, (c)√12−2i (d) 1 +i 1−j2 (e) (1 +i)3 1−i + (1−i)4 (1 +i)2 23. Calcule: (a) 1 +i √ 3 1−i√3 !3 (b)p2 +√2 +ip2−√2 8 (c) 1− √ 3−i 2 !31 (d) √ 3−i 1 +i !1972
24. Calcular el m ´odulo y el argumento de:z= 1 1 +itanθ 25. Determinar el m ´odulo y el argumento de:z= i−
√ 3 (1 +√3)5. 26. Escriba los siguientes n ´umeros complejos en su forma polar:
a)z= (1 +i √
3)(senx+icosx)
2(1−i)(cosx−isenx) , dondex∈R.
b)w=(1 +i √
3)(cosx+isenx)
27. SeanA = (1 +i)n yB = (1−i)n. Utilizando la forma polar determine los valores que pueden tomarAyBsintoma como valor los diferentes n ´umeros enteros.
28. Calcule las ra´ıces cuadradas de los siguientes n ´umeros complejos: (a)1 +i (b)9 + 40i (c)7−24i (d) 1 +i
1−i (e)
1 +j
1−j 29. Calcule las ra´ıces c ´ubicas de los siguientes n ´umeros complejos:
(a)1 +i (b)2 + 11i (c)−125 (d)2(1 +i) (e)18 + 26i 30. Calcule las ra´ıces cuartas de los siguientes n ´umeros complejos:
(a)81 (b)2−i√12 (c)7−24i (d)1 + 4i√5 (e)8√2(1−i)
31. Considere el n ´umero complejoZ = 8a2−(1 +a2)2+ 4a(1−a2)i,a∈
R.
(a) Calcule el m ´odulo deZy siθes argumento deZ, calculecosθ,senθycosθ2, en funci ´on dea. (b) Pruebe que cosθ 4 = a+ 1 p 2(1 +a2) y sen θ 4 = 1−a p 2(1 +a2) (c) Deduzca de lo anterior las ra´ıces cuartas deZ.
32. Resuelva enCla ecuaci ´on x4+x2+ 1 = 0.
33. Resuelva enCla ecuaci ´on x8+x4+ 1 = 0.
Deduzca quex8+x4+1se puede descomponer en un producto de cuatro factores cuadr´aticos de coeficientes reales.
34. Resuelva enCla ecuaci ´on z7=z.
35. Seaz∈C, desarrolle(z+ 1)3y deduzca las soluciones, enC, de la ecuaci ´on
z3+ 3z2+ 3z−7 = 0.
36. Considere la siguiente ecuaci ´on enC: z3−az+ 4 = 0(cona∈C). Si una de las ra´ıces de
esta ecuaci ´on esz= 1−i, calcule el m ´odulo y el argumento del n ´umero complejow=a+2i. 37. La suma de dos n ´umeros complejos es6; el m ´odulo del primero es√13y el del segundo es
5. Determine dichos n ´umeros y calcule su producto y su cociente.
38. El cociente de dos n ´umeros complejos es imaginario puro; su suma es real e igual a5y el m ´odulo del dividendo es el duplo del m ´odulo del divisor. Calcule los n ´umeros.
39. Se llamasemiplano de Poincar´eal conjuntoP ={z∈C/Imz >0}; se llama disco unidad
al conjuntoD={z∈C/|z|<1}. Pruebe queΦ :P →D, conΦ(z) = z−i
z+i es una funci ´on biyectiva.
40. Pruebe que la suma de lasnra´ıcesn−´esimas de la unidad es igual a0.
41. Pruebe que, gr´aficamente, las ra´ıcesn−´esimas de un n ´umero complejozcorresponden a los v´ertices de un pol´ıgono regular denlados inscrito en un c´ırculo de centro(0,0)y de radio pn