Estudio de la Teoría de Modelos. Sandra De Guglielmo

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Sandra De Guglielmo

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Universidad de Carabobo

Facultad Experimental de Ciencias y Tecnolog´ıa

Departamento de Matem´

aticas

Estudio de la Teor´ıa de Modelos.

Informe Final de Pasant´ıas

Br. Sandra De Guglielmo CI: 19.756.996

Pasante

Lic. Nelson Hernandez CI: 5.307.449 Tutor Acad´emico

Dr. Carlos Di Prico CI: 3.042.168 Tutor Empresarial

Marzo del 2012 Valencia, Venezuela.

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1. Descripci´on de la Empresa 1

1.1. Ubicaci´on de la empresa . . . 1

1.2. Visi´on . . . 1

1.3. Misi´on . . . 1

1.4. Organigrama . . . 2

2. Descripci´on de las actividades 3 2.1. Objetivo general . . . 3

2.2. Objetivo espec´ıficos . . . 3

2.3. Cronograma de actividades realizadas . . . 4

3. Resumen de la investigación 5 3.1. Introducción a la lógica de primer orden . . . 5

3.1.1. Un lenguaje y su interpretaci´on . . . 5

3.1.2. Sem´antica de la l´ogica de primer orden . . . 8

3.1.3. Sintaxis de la l´ogica de primer orden . . . 10

3.1.4. El teorema de Completitud: la relaci´on entre sintaxis y sem´antica 12 3.1.5. Consecuencias del teorema de completitud . . . 14

3.2. Teor´ıa de Modelos . . . 16

3.2.1. Relaciones entre Modelos . . . 16

3.2.2. Cadenas de Modelos . . . 22

3.2.3. Clasificaci´on de los Modelos . . . 24

3.2.4. El Orden Lineal Denso . . . 28

3.2.5. Teor´ıa de N´umeros . . . 30

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3.3. Ultraproductos y Teorema de compacidad . . . 33

3.3.1. Filtros y Ultrafiltros . . . 33

3.3.2. Ultraproducto . . . 34

3.3.3. Teorema de Compacidad . . . 37

3.3.4. An´alisis No-Est´andar . . . 38

4. Conclusiones 42

5. Recomendaciones 43

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El Instituto Venezolano de Investigaciones Cient´ıficas (IVIC) es un instituto de investigación cient´ıfica y de formación de postgrado de Venezuela fundado el 9 de febrero de 1959 por decreto de la Junta de Gobierno. El IVIC realiza labores de investigación cient´ıfica, desarrollo tecnológico y formación de recursos de alto nivel, aparte de tener funciones de divulgación, asesor´ıa y facilitación de servicios externos. Posee la Biblioteca Marcel Roche, reconocida en el año 1996 por la UNESCO como ”La mejor Biblioteca Regional para Ciencias y Tecnolog´ıa”. El IVIC realiza investigaciones en diversos campos cient´ıficos de medicina, biolog´ıa, qu´ımica, f´ısica, matemática y ciencias sociales, para lo cual cuenta con varios centros, unidades de apoyo a la investigación y departamentos.

1.1. Ubicaci´

on de la empresa

La sede principal del IVIC está ubicada cerca de San Antonio de los Altos, en el Km 11 de la carretera Panamericana, sector de Altos de Pipe, Estado Miranda. Actualmente el IVIC se encuentra en un proceso de regionalización, de lo cual han surgido dos sub sedes regionales en los Estados Mérida y Zulia.

1.2. Visi´

on

Ser el principal ente impulsor del desarrollo cient´ıfico y tecnológico de la región a través de la generación de proyectos en áreas de impacto nacional e internacional.

1.3. Misi´

on

Generar nuevos conocimientos a través de la investigación cient´ıfica, el desarrollo tecnológico y la formación de recursos de alto nivel. Para lo cual el Instituto será fuente de acopio informativo en el área, asesor y facilitador de servicios externos que garanticen el acceso directo y la difusión del conocimiento cient´ıfico en Venezuela y en el Mundo.

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2.1. Objetivo general

Realizar un estudio introductorio a la rama de la lógica matemática conocida como Teor´ıa de Modelos con el propósito de revisar los resultados básicos de la clasificación de los modelos numerables.

2.2. Objetivo espec´ıficos

1. las definiciones básicas de la lógica de primer orden: lenguaje, estructuras, teor´ıas y deducción.

2. Demostrar los resultados utilizados como principales técnicas en la construcción de la teor´ıa de modelos: teorema de completitud, teorema de compacidad, técnica de construcción de una biyección denominada back and forth, teoremas de Löwenheim-Skolem, criterio de Tarski-Vaught.

3. Revisar las definiciones sobre relaciones entre estructuras, sus caracterizaciones y c´omo construir modelos.

4. Estudiar lo relativo a los tipos de modelos (at´omicos, primos y saturados), as´ı como sus caracterizaciones.

5. Revisi´on de ejemplos, ejercicios y consecuencias m´as resaltantes de la teor´ıa de modelos:

5.1. Cantidades de modelos de una teor´ıa completa. 5.2. El orden lineal denso como teor´ıa.

5.3. Teorema de R. L. Vaught. 5.4. Teor´ıa de los n´umeros naturales.

5.5. Formalización de los números reales no-estándar (Infinitesimales).

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3.1. Introducci´

on a la l´

ogica de primer orden

3.1.1. Un lenguaje y su interpretaci´

on

Definici´on 3.1 (Lenguaje). Un lenguaje Les una clase de s´ımbolos agrupados en tres conjuntos:

1. Un conjunto de s´ımbolos funcionales F tal que cada f ∈ F tiene un nf ∈ N asociado, su aridad, es decir, su cantidad de argumentos.

2. Un conjunto de s´ımbolos relacionales R tal que cada R ∈ R tienes asociado un

nR ∈Nasociado, su aridad.

3. Un conjunto de s´ımbolos constantes C.

Se asumir´an lenguajes con una cantidad a lo sumo numerable de s´ımbolos.

Definici´on 3.2 (Estructura ´o L-estructura). Dado un lenguaje L, una estructura M para L o una L-estructura es:

i. Un conjunto M 6=∅, el universo o dominio de M.

ii. Una funci´onfM :Mnf →_M _{para cada s´ımbolo funcional} _f ∈ F_.

iii. Un conjunto RM ⊆MnR _{para cada s´ımbolo relacional} _R∈ R.

iv. Un elemento cM ∈M, para cada c∈ C. Observaci´on..

a) Tales funciones, relaciones y elementos resaltantes se denominan interpretaciones deL

b) Se dice que la cardinalidad de una estructura Mes la cardinalidad o tama˜no del conjunto M, es decir, del universo.

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Para describir los elementos del universo de cualquier estructura Mque interpreta a un lenguaje L dado, se tomar´an cadenas finitas de s´ımbolos del lenguaje y de los siguientes s´ımbolos l´ogicos:

1. Variables, elementos del conjunto V ={vi}i∈_N 2. Par´entesis

3. Coma

4. Las conectivas: ¬,∧,∨,→,↔ 5. Cuantificadores: ∀,∃

6. El s´ımbolo de igualdad: =

No todas las cadenas construidas con los s´ımbolos anteriores son de inter´es. Pueden, de hecho, carecer de sentido. Las que se tomar´an en cuenta son aquellas que se construyen de acuerdo a las siguientes definiciones inductivas:

Definición 3.3 (Término). τ es un término si: a.- Es un s´ımbolo constante.

b.- Es una variable vj

c.- Es f(τ1,· · ·τnf), para alg´un s´ımbolo funcionalf y t´erminos τ1, . . . , τnf.

El conjunto de t´erminos deL son todas aquellas cadenas obtenidas usando a, b y c un n´umero finito de veces.

Definición 3.4 (Fórmulas atómicas). Se dice que φ es una fórmula atómica si es: a.- τi =τj, para cualquier par de términosτi y τj.

b.- Es R(τ1,· · ·τnR), para alg´un s´ımbolo relacional R y τ1, . . . , τnR t´erminos.

Definición 3.5 (Fórmulas). Una cadena ϕ de s´ımbolos lógicos y del lenguaje es una fórmula si:

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b.- Es ¬ψ, si ψ es una f´ormula

c.- Es ρ∧ψ, ρ∨ψ, ρ→ψ, ρ↔ψ, con ρ y ψ f´ormulas.

d.- Es ∃xiθ ´o ∀xiθ, siendo θ una f´ormula.

El conjunto de f´ormulas de una lenguaje son todas las sucesiones o cadenas de s´ımbolos que son construidas de acuerdo a las cuatro puntos anteriores.

Las siguientes definiciones ser´an necesarias para interpretar qu´e quieren decir las sucesiones de s´ımbolos antes definidas.

Definici´on 3.6 (Variable Libre). Dadas f´ormulas σ y ρ, se define y se denota por

Libre(σ) al conjunto de variables libres que ocurren en σ de acuerdo a:

* Si σ es at´omica,Libre(σ) = conjunto de variables que se usan como s´ımbolos de σ.

* Libre(¬σ) = Libre(σ)

* Libre(σ∨ρ) = Libre(σ)∪Libre(ρ) * Libre(σ →ρ) = Libre(σ)∪Libre(ρ) * Libre(σ∧ρ) = Libre(σ)∪Libre(ρ) * Libre(σ∨ρ) = Libre(σ)∪Libre(ρ) * Libre(∃xiσ) = Libre(σ)− {xi}

Definici´on 3.7 (Variable Ligada). Si xi es un s´ımbolo de una f´ormula ϕ y xi ∈/

Libre(ϕ), entonces se dice que ocurre ligada en ϕ. Esto ocurre cuando la variable est´a cuantificada.

Definición 3.8 (Sentencia). Una fórmula ϕes una sentencia si Libre(ϕ) =∅. Observación..

- ϕ(x1,· · · , xn) significa que Libre(ϕ)⊆ {x1,· · · , xn}. - ¯v = (v1,· · · , vn)

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Nótese que la manera en como se formalizó el lenguaje, esto es, la selección de las cadenas con sentido, no depende de la interpretación que se haga de los s´ımbolos del lenguaje. Pero intuitivamente se puede decir que los términos denotan objetos y que las fórmulas afirman cualquier cosa que se pueda decir sobre estos objetos. As´ı mismo, las sentencias aseveran hechos, las fórmulas que no son sentencias se pueden interpretar como propiedades de sus variables libres.

Esta idea se clarificará a continuación cuando se dote de sentido a las sucesiones de s´ımbolos del lenguaje formalizado. En torno a una estructura definiremos el significado de los s´ımbolos lógicos para ver cómo todas estas sucesiones caracterizan (modelan) a los elementos del universo, en cuanto a la interpretación del lenguaje.

3.1.2. Sem´

antica de la l´

ogica de primer orden

Definici´on 3.9 (Satisfactibilidad en una estructura M o M |= λ). Sea M una estructura que interpreta a un lenguaje L dado, una f´ormula λ(vi1,· · · , vik) = λ(¯v)

y sea ¯a = (ai1,· · · , aik)∈M k_{, definimos}_{M |}₌_λ _{inductivamente:} i) Si λ es τi =τj M |=λ(¯a) sii τ_iM(¯a) =τ_jM(¯a) ii) Si λ es R(τ1,· · · , τnR) M |=λ(¯a) sii (τ₁M(¯a),· · · , τ_nM R(¯a))∈R M iii) Si λ es ¬γ Mλ(¯a) sii M₂γ(¯a) iv) Si λ es γ∧δ M |=λ(¯a) sii M |=γ(¯a) y M |=δ(¯a) v) Siλ es γ∨δ M |=λ(¯a) sii M |=γ(¯a) o M |=δ(¯a) vi) Si λ es ∃viµ(¯v, vi) M |=λ(¯a) sii existe b ∈M, M |=µ(¯a, b)

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vii) Si λ es ∀vkµ(¯v, vk)

M |=λ(¯a) sii M |=µ(¯a, c), para todo c∈M

SiM |=λ(¯a), entonces se dice queM satisface aλ ´o que λ es satisfactible.

Definici´on 3.10 (Verdad y Falsedad). Una f´ormulaϕes verdad en una estructura M si:

M |=ϕ(¯a) para todo ¯a∈Mn_.

Una f´ormula ϕes falsa en una estructura M si no es verdadera.

Definición 3.11 (Modelo). Si Σ es un conjunto de fórmulas, decimos que M es un modelo de Σ si toda fórmula σ ∈Σ es verdad en M.

Cabe destacar que una sentencia es o verdadera o falsa en una estructura, a diferencia de las f´ormulas. Es as´ı como toma sentido la aproximaci´on intuitiva que se hizo anteriormente de las sucesiones de s´ımbolos.

Véase además que no se definió satisfactibilidad en los casos de las conectivas →y ↔, pues éstas se utilizan para abreviar fórmulas construidas a partir de la negación, la conjunción y la disyunción. Lo mismo sucede con ambos cuantificadores, pero es bastante ilustrativo ver cómo se define la satisfactibilidad cuando una fórmula utiliza tales s´ımbolos.

Teorema 3.1 (Verdad del Modus Ponens). Si π y π → µ son verdad en M entonces

µ es verdad en M

Definición 3.12 (Validez lógica). Una fórmula φ –escrita en un lenguaje L– es lógicamente válida si es verdad en toda L-estructura. También se suele decir que es una tautolog´ıa. Una fórmula φ es contradictoria si ¬φ es lógicamente válida.

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Definición 3.13(Consecuencia lógica). Sea un lenguajeL, Σ una conjunto de fórmulas y una fórmula φ, todas las anteriores escritas en L Se define y se denota que φ es consecuencia lógica de Σ o que Σ implica lógicamente a φ:

Σ|=φ

Si para cada estructura MdeL, si toda σ∈Σ:

M |=σ implica que M |=φ

.

Observaci´on. Una f´ormula θ es una tautolog´ıa si y solamente si∅ |=θ

3.1.3. Sintaxis de la l´

ogica de primer orden

Definici´on 3.14 (Teor´ıa). Una teor´ıa Γ es un conjunto de sentencias escritas en un lenguaje L.

De acuerdo a todas a las definiciones anteriores se dice que una teor´ıa es satisfactible si existe unaMque interprete todos los s´ımbolos del lenguaje y queM |=σ, para todo

σ∈Σ. Algo de especial inter´es es que se puede construir una teor´ıa satisfactible a partir de un modelo.

Definici´on 3.15 (Teor´ıa de un modelo). Se define y se denota a la teor´ıa de un modelo Mpor:

T h(M) = {ϕ:M |=ϕ}

Como determinar validez lógica e implicación lógica puede ser un trabajo extremadamente dif´ıcil, pues a veces se puede tratar de mirar una fórmula en una cantidad infinita de modelos, es útil estudiar un sistema deductivo y la definición formal de de demostración, para ver la interesante relación entre demostración y verdad, entre consecuencia lógica y consecuencia sintáctica.

A partir de una sistema de axiomas, fórmulas que son tautolog´ıas, y unas reglas de inferencia, entre las cuales está el modus ponens se define formalmente lo que es una demostración.

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Definición 3.16(Demostración). Sea Σ una teor´ıa yϕuna fórmula, ésta se demuestra a partir de Σ, lo cual se denota por

Σ`ϕ

si existe una sucesi´on{ϕn}mn=0 de f´ormulas del lenguaje tal que:

- ϕm =ϕ - ϕi ∈Σ

- ϕi es una axioma

- ϕi se obtiene a partir de algunasϕi con j < iy el uso de una regla de inferencia. A tal sucesi´on se le denomina demostraci´on de ϕa partir de Σ.

Observación. Si Σ`ϕy la Σ tiene a Mcomo modelo, entoncesMtambién es modelo deϕ. Esto es una consecuencia de la definición de verdad, algunas de sus consecuencias, como el teorema sobre la validez del modus ponens, y la demostración.

La observación anterior se transforma en un teorema de gran relevancia. Teorema 3.2 (De Corrección). Sea Σ una teor´ıa y ϕ una fórmula,

Si Σ`ϕ entonces Σ|=ϕ

El rec´ıproco también es cierto, siendo juntos un teorema de importancia capital en la lógica matemática, una herramienta fundamental en la teor´ıa de modelos. D. Marker dice:

To show that T |= φ, we must show that φ holds in every model of T. Checking all models of T sounds like a daunting task(...) One of the first great achievements of mathematical logic was giving a rigorous definition of “proof” that completely captures the notion of “logical consequence”(...) Remarkably, the finitistic syntactic notion of “proof” completely captures the semantic notion of “logical consequence”.[4]

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3.1.4. El teorema de Completitud: la relaci´

on entre sintaxis y

sem´

antica

Teorema 3.3 (De Completitud). Sea Σ una teor´ıa y ϕuna f´ormula,

Σ`ϕ sii Σ|=ϕ

Antes de mirar con detalle el teorema anterior, definamos algunos hechos relativos a las teor´ıas.

Definici´on 3.17 (Consistencia e Inconsistencia). Una teor´ıa Λ es inconsistente (o contradictoria) si existe una f´ormula ψ tal que Λ`ψ y Λ` ¬ψ.

Una teor´ıa es consistente si no es inconsistente.

Una teor´ıa es finitamente consistente si todos sus subconjuntos finitos son consistentes. Una teor´ıa Λ es maximal consistente si no existe otra Λ⊂Λ0 tal que Λ0 sea consistente. Una teor´ıa Λ es completa si, para toda f´ormula ϕ, Λ`ϕ´o Λ` ¬ϕ

Teorema 3.4. Sea Λ una teor´ıa y ϕ una f´ormula cualquiera,

1. Λ es consistente si y solamente si Λ finitamente consistente. 2. Λ∪ {ϕ} es inconsistente si y solamente siΛ ` ¬ϕ

3. Λ es maximal consistente entonces, Λ`ϕ si y solo si ϕ∈Λ. 4. Λ es maximal consistente si y solamente si Λ es completa.

A la luz de las definiciones anteriores, se enunciará una proposición que estable una forma equivalente del teorema de completitud que es mucho más conveniente para estudiar su demostración.

Teorema 3.5. Sea Σ una teor´ıa y ϕ una f´ormula, las siguientes proposiciones son equivalentes:

1. Σ`ϕ sii Σ|=ϕ

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Demostraci´on: 2) ⇒ 1) Si Σ es consistente y tiene modelo:

- Si Σ`ϕ entonces Σ|=ϕ, por el teorema de correcci´on.

- Si Σ |= ϕ entonces Σ∪ {¬ϕ} no tiene modelo alguno, y por 1), es inconsistente. Luego Σ`ϕ, por teorema 3.4.

1) ⇒2) Si ocurre que Σ `ϕ sii Σ|=ϕ

- Σ no tiene modelo, por vacuidad se tiene que Σ |= ϕ y Σ |= ¬ϕ. Ello implica que Σ|= (ϕ∧ ¬ϕ), por propiedades de la satisfactibilidad. Por 1) Σ`(ϕ∧ ¬ϕ), luego Σ es inconsistente.

- Σ es inconsistente, por definici´on de inconsistencia y propiedades de las derivaciones Σ`(ϕ∧ ¬ϕ) y por 2) Σ|= (ϕ∧ ¬ϕ), entonces no tiene modelo.

Esbocemos brevemente la demostraci´on del teorema de completitud en su segunda versi´on:

Esbozo. La dirección (⇐) es bastante simple: si una teor´ıa es satisfactible, es decir, tiene modelo, no puede ser inconsistente, por corrección y definición de verdad. La dirección (⇒) es un más elaborada y se debe a L. Henkin. Se trata de construir un modelo para una teor´ıa consistente.

1. Proposici´on (AE): Toda teor´ıa consistente puede ser completada, esto es, puede ser extendida a una teor´ıa maximal consistente.

2. Definici´on: (Testigos) Una teor´ıa Λ escrita en un lenguaje L y C un conjunto de s´ımbolos constantes del lenguaje se dicen que son testigos para Λ en el lenguaje si para todaϕdeL con a lo sumo una variable libre (p.e.,x) existec∈ C tal que Λ` ∃xϕ(x)→ϕ(c)

3. Proposici´on: Sean una teor´ıa consistente Λ escrita en un lenguajeLy C un nuevo conjunto de s´ımbolos constantes infinitos numerables. Considerando L ∪ C, Λ puede ser extendida a una teor´ıa consistente Λ0 tal que C sea un conjuntos de testigos para Λ0. (Se pueden agregar testigos sin perder consistencia)

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4. Proposición: Si una teor´ıa consistente tiene testigos entonces su extensión maximal también tiene testigos (de hecho, son los mismos).

5. Proposici´on: (Construcci´on del modelo para una teor´ıa consistente con testigos) Toda teor´ıa consistente Λ con testigos tiene modelo.

i.- Se completa la teor´ıa pues es consistente y por 1. esto se puede hacer. ii.- Luego de hacer lo anterior sigue teniendo los mismos testigos.

iii.- Sobre el conjunto T de términos constantes del lenguaje se hace la relación de equivalencia τi ∼ τj sii τi = τj ∈ Λ. Esto particiona al conjunto de términos constantes de L pues la teor´ıa es completa.

iv.- Consideramos aM =T \ ∼, que est´a bien definido por el punto anterior. v.- Se interpreta a L de acuerdo a tal universo: si f ∈ F, fM([τi]) = [f(τi)];

R ∈ R, (¯τ)∈RM sii Λ`R(¯τ) y sic∈ C, cM = [c]. vi.- Se verifica que es un modelo para Λ

6. Si Λ⊆Λ0 y M |= Λ0 entonces M |= Λ.

7. Una teor´ıa consistente tiene modelo, pues se le puede extender a una maximal consistente con testigos, la cual tiene modelo, y por punto 6., la teor´ıa original tambi´en tiene modelo.

3.1.5. Consecuencias del teorema de completitud

Una de las consecuencias del teorema de completitud, que luce bastante simple y que se considera la piedra angular de la teor´ıa de modelos, es el siguiente resultado: Teorema 3.6 (Compacidad). Una teor´ıa Λ es satisfactible si y solamente si cada subconjunto finito de Λ es satisfactible.

Es interesante destacar que el teorema de compacidad se puede demostrar sin necesidad del teorema de completitud.

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Otras herramientas de la teor´ıa de modelos son:

Teorema 3.7 (L¨owenheim-Skolem). Una teor´ıa escrita en un lenguaje numerable que tenga modelo, tiene tambi´en un modelo numerable.

Teorema 3.8 (L¨owenheim-Skolem-Tarski). Una teor´ıa escrita en un lenguaje numerable que tenga modelo infinito entonces tiene tambi´en un modelo de cardinalidad

κ, para cada cardinal infinito κ.

Estos dos teoremas tienen importantes generalizaciones, que se enunciarán luego. Otra técnica de gran utilidad en la lógica matemática, en especial en la teor´ıa de modelos, es la construcción de una biyección entre dos estructuras infinito numerables sujetas a ciertas condiciones, para poder establecer relaciones de interés. Se ilustrará tal herramienta, denominada Back and Forth, posterioremente, cuando se estudie la teor´ıa del orden lineal denso.

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3.2. Teor´ıa de Modelos

A partir de ahora se asumir´a un lenguaje fijo L, y por lo tanto omitiremos mencionarlo (a no ser que expl´ıcitamente se indique lo contrario).

3.2.1. Relaciones entre Modelos

Definici´on 3.18 (Isomorfismo). Dos modelos,

M=hM, R0M, R1M, . . . , F0M, . . . , c0M, . . .i

N =hN, R0N, R1N, . . . , F0N, . . . , c0N, . . .i,

son isomorfos (y escribiremos M ∼=N), si existe una biyecci´on f :M →N tal que:

i) Para cada s´ımbolo relacional k-ario Ri, y cada m1, . . . , mk∈M se tiene:

RiM(m1, . . . , mk) sii RiN(f(m1), . . . , f(mk))

ii) Para cada s´ımbolo funcional k-ario Fi, y cada m1, . . . , mk ∈M :

FiM(m1, . . . , mk) = FiN(f(m1), . . . , f(mk))

iii) Y para cada s´ımbolo constante ci :

f(ciM) = ciN

Observaci´on. Es interesante notar que el isomorfismo∼= es una relaci´on de equivalencia en la clase de todos los modelos.

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Definici´on 3.19 (Submodelo). Se dice que Mes submodelo de N ( M ⊆ N ) si:

i) M ⊆ N

ii) Para cada s´ımbolo relacional k-ario Ri :

RiM = RiN ∩Mk

iii) Para cada s´ımbolo funcional k-ario Fi, y cada m1, . . . , mk ∈M :

FiM(m1, . . . , mk) = FiN(m1, . . . , mk)

iv) Y para cada s´ımbolo constante ci :

f(ciM) = f(ciN)

En esta caso tambi´en se dice que N es extensi´on M.

Definición 3.20 (Inmersión). Mestá sumergido en N - o inmerso en N - (M⊂ ∼ N) siM es isomorfo a un submodelo de N.

Definici´on 3.21 (Expansi´on). Sea M1 un modelo en el lenguaje L1, M2 un modelo

en el lenguaje L2, y L1 ⊆ L2. Diremos que M2 es expansi´on del modelo M1 (o M1

es restricci´on de M2) si:

i) M = N

ii) RiM = RiN para todo s´ımbolo relacional Ri enL1

iii) FiM = FiN para todo s´ımbolo funcionalFi enL1

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Nótese que en estas definiciones se han venido tratando a las estructuras como modelossin mencionar el conjunto de fórmulas Σ que son válidas en dichas estructuras (ver 3.11), a partir de ahora esto será de más interés.

Recordemos que en la sección anterior hemos definido T h(M) como el conjunto de sentencias válidas en M (3.14), cabe destacar que T h(M) es una teor´ıa completa y consistente. Este hecho motiva la definición de las siguientes relaciones entre modelos: Definición 3.22 (Equivalencia elemental). Dos modelos M y N son elementalmente equivalentes (y se denota por M ≡ N ) si sus teor´ıas son las mismas, es decir:

M ≡ N sii T h(M) = T h(N)

Lema 3.9. Si M ∼=N, entonces M ≡ N (el rec´ıproco no necesariamente es cierto)

Ejemplo. Sea L ={c1, c2, c3, . . .}(sin s´ımbolos relacionales ni funcionales) y sean:

M={1,2,3, . . .} con c1M = 1, c2M = 2, . . .

N ={0,1,2, . . .} con c1N = 1, c2N = 2, . . .

Estos modelos son elementalmente equivalentes: en L todas las sentencias pueden ser resumidas a ci =cj, ci 6=cj o combinaciones de estas.

Pero no son isomorfos: si existiese un isomorfismo f : M → N necesariamente

f(ciM) = ciN , as´ı f(1) = 1, f(2) = 2, . . . pero no existir´ıa m∈M tal que f(m) = 0.

Definici´on 3.23 (Expansi´on del lenguaje). Sea Mun modelo en el lenguaje L. Dado

A⊆M se define el lenguajeL(A) como:

L(A) :=L ∪ {a: a∈A}

Es decir, L(A) tendr´a los mismos s´ımbolo relacionales, funcionales y constantes de L, pero adicionalmente tendr´a un s´ımbolo constante a por cada a∈A.

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Observaci´on.

1. Si ϕ(v1, . . . , vn) es unan-f´ormula enL y a1, . . . , an son elementos deA, entonces

ϕ(a1, . . . , an) ser´a una sentencia el L(A).

2. Todo modelo M en L tiene una expansi´on MA en L(A), de manera natural, interpretando cada s´ımbolo constante a de L(A) como el elemento a de A, es decir: aMA ₌_a _{para todo} _a∈_A.

Definici´on 3.24 (Diagrama). Se define y denota el diagrama completo de M (usualmente se le llama solo diagrama) como el conjunto:

Diag(M) :={ϕ:ϕes cerrada enL(M) yMM |=ϕ}

N´otese que si M ⊆ N, entonces L(M) ⊆ L(N), lo cual motiva a la siguiente definici´on:

Definici´on 3.25 (Submodelo elemental). Sea M ⊆ N, decimos que M es un submodelo elemental de N (y lo denotamos por M ≺ N) si:

Diag(M)⊆Diag(N)

Aunque esta definici´on se presenta de manera bastante natural, usualmente es m´as conveniente enunciarla de la siguiente manera:

Se dice queM ≺ N si para todan-f´ormula enMy para todos losm1, . . . , mn ∈M se tiene:

M |=ϕ(m1, . . . , mn) sii N |=ϕ(m1, . . . , mn)

Aunque en ambos casos estas definiciones son equivalentes.

Hemos visto que para tener M ≡ N requerimos que M |= ϕ sii N |= ϕ , ´

unicamente para las ϕ sentencias en L; en cambio para que M ≺ N necesitamos que M |=ϕ sii N |= ϕ , para todas las sentencias ϕ en un lenguaje mucho m´as grande L(M). Por lo que:

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Lema 3.10. Si M ≺ N, entonces M ⊆ N y M ≡ N (el rec´ıproco no es cierto). Ejemplo. Nuevamente sea L={c1, c2, c3, . . .} (sin relaciones ni funciones) y:

M={1,2,3, . . .} con c1M = 1, c2M = 2, . . .

N ={0,1,2, . . .} con c1N = 1, c2N = 2, . . .

Evidentemente M ⊆ N. Adem´as estos modelos son elementalmente equivalentes: EnLtodas las sentencias pueden ser resumidas a ci =cj, ci 6=cj o sus combinaciones.

Y consideremos la sentencia ϕ=∃x(x <1) en L(M), tenemos entonces que:

M₂ϕ pero N ϕ. As´ı M_⊀N

A continuación presentamos un resultado muy útil para determinar si un modelo está contenido elementalmente en otro:

Proposici´on 3.11 (Criterio de Tarski-Vaught). Sea M ⊆ N. Entonces M ≺ N si y solo si para toda sentencia de la forma ∃xψ(x) en L(M) se tiene que:

Si existe b ∈N tal que N |=ψ(b), entonces existe a∈M tal que N |=ψ(a) (∗)

Demostraci´on..

(⇒) Supongamos que M ≺ N. Si existe b ∈ N tal que N |= ψ(b), entonces N |= ∃xψ(x) y como M ≺ N tenemos que M |= ∃xψ(x), por lo que existe

a∈M tal que M |=ψ(a), y nuevamente, como M ≺ N tenemos queN |=ψ(a). (⇐) Asumiendo de (∗) es satisfecho, veamos que M ≺ N usando inducci´on en la

complejidad de las sentenciasϕ enL(M):

• Si ϕes at´omica, claramente Mϕ sii N ϕ (ya que M ⊆ N). • Si ϕes de la forma ¬ψ entonces:

Mϕ sii M₂ψ

(por H.I.)

sii N ₂ψ sii N ϕ

(25)

• Igualmente si ϕes de la forma ψ1∧ψ2 tenemos: Mϕ sii M(ψ1∧ψ2) sii (Mψ1 y Mψ2) (por H.I.) sii (N ψ1 yN ψ2) sii N (ψ1∧ψ2) sii N ϕ .

• Por ´ultimo si ϕes de la forma ∃xψ(x) tenemos:

Mϕ sii M∃xψ(x) sii existe a∈M tal que Mψ(a)

(por H.I.)

sii existe a∈M tal que N ψ(a)

(por (∗))

sii

existe b∈N tal que N ψ(b) sii N ∃xψ(x) sii N ϕ

Es interesante resaltar que para satisfacer (∗) solo necesitamos saber acerca de la condición de satisfacción de las formulas en N y no en M, ésto resulta sumamente conveniente cuando se quiere hallar un modeloMque sea submodelo elemental de otro modelo N dado.

Definición 3.26 (Inmersión elemental). Sea f : M → N, decimos que f es una inmersión elemental si :

existeM0 tal que M ≡ M0 ≺ N,

Es decir, si para todak-f´ormula ϕ enL y para cualesquiera m1, . . . , mk∈M se tiene:

M |=ϕ(m1, . . . , mk) sii N |=ϕ(f(m1), . . . , f(mk) )

Observación. Se suele hablar de inmersión elemental refiriéndose únicamente a los modelos (sin mencionar expl´ıcitamente a la funciónf), en otras palabras, decimos que Mestá elementalmete inmerso en N si es isomorfo a un submodelo elemental de N, y lo denotaremos M_-N

Lema 3.12. Si existe M0 tal que M ≡ M0 ≺ N, entonces tambi´en existe N0 tal que M ≺ N0 _{≡ N}_.

(26)

A continuaci´on dos versiones que extienden los teoremas de L¨ owenheim-Skolem-Tarski sobre la existencia de modelos grandes y peque˜nos, el ascendente y el descendente.

Proposición 3.13 (Löwenheim-Skolem-Tarski %). Sea Σ una teor´ıa escrita en un lenguaje de κ s´ımbolos y sea un modelo M |= Σ de tamaño λ, entonces existe M0 _|_{= Σ} de tamaño δ > max(λ, κ) tal que M_-M0

Proposici´on 3.14 (L¨owenheim-Skolem-Tarski &). Sea Σ una teor´ıa escrita con κ

s´ımbolos y seaM |= Σde tama˜noλ, entonces existeM0 _|_{= Σ} _{de tama˜}_no_{δ < max}₍_{λ, κ}₎ tal que M0

-M

3.2.2. Cadenas de Modelos

Definici´on 3.27(Cadena). Una cadena de modelos es una secuenciaM0, M1, M2, . . .

tal que:

M0 ⊆ M1 ⊆ M2 ⊆ · · ·

Definici´on 3.28 (L´ımite). Dada la cadena M0 ⊆ M1 ⊆ M2 ⊆ · · · , el l´ımite N de

esta cadena (usualmente denotado como ∪nMn ´o limnMn) es el modelo tal que:

i) El universo de N ser´a: N = ∞ [ n=0 Mn

ii) Para cada s´ımbolo relacional k-ario R:

RN :={(a1, . . . , ak) : Mn|=R(a1, . . . , ak)para alg´un n}

iii) Para cada funci´onk-aria F:

Si a1, . . . , ak ∈ Mn para alg´unn, entonces FN(a1, . . . , ak) :=FMn(a1, . . . , ak)

iv) Y para cada s´ımbolo constante c:

(27)

Observaci´on.

1. Nótese que si Mn |= R(a1, . . . , ak) para algún n, entonces Mp |= R(a1, . . . , ak) para todop, siempre que ésto tenga sentido (es decir, que los a1, . . . , ak ∈ Mp ).

2. Como M0 ⊆ Mp para cualquier p, entoncescM0 =cMp.

3. De igual manera para las funciones: FMn₍_a

1, . . . , ak) = FMp(a1, . . . , ak) para cualquiern y cualquierp (siempre que los a1, . . . , ak est´en en Mn y en Mp).

Ejemplo. Sea L = {<}, y sea la cadena: M0 ⊆ M1 ⊆ M2 ⊆ · · · en L, con la

interpretaci´on usual de < y con universos:

M0 ={0,1,2,3, . . .} M1 ={−1,0,1,2,3, . . .} M2 ={−1,−2,0,1,2,3, . . .} .. . Mn={−n, . . . ,−1,0,1,2,3, . . .} .. . Entonces: N =limnMn = {. . . ,−3,−2,−1,0,1,2,3, . . .}

Es interesante notar que Mn∼=Mm para todo n y todo m ( mandando cadaxn en

xm =xn+n−m), y as´ı:

T h(M0) = T h(M1) = T h(M2) =· · ·

Pero, consideremos la formula: ϕ=∀x∃y(y < x) , (la cual nos dice que el conjunto no tiene menor elemento), es evidente que N ϕ pero Mn 2ϕ, entonces:

T h(N)6=T h(Mn) para todo n.

(28)

Definici´on 3.29 (Cadena Elemental). Una cadena elemental es una secuencia M0, M1, M2, . . . de modelos tal que:

Mn≺ Mn+1 para todon

Notemos que si Mn ≺ Mn+1 y Mn+1 ≺ Mn+2 entonces T h(Mn)⊆T h(Mn+1)⊆

T h(Mn+2), y as´ı: Mn ≺ Mn+2. Entonces, una cadena elemental es una secuencia de

modelos:

M0 ≺ M1 ≺ M2 ≺ · · ·

Es importante advertir que si Γ1 y Γ2 son teor´ıas consistentes, no necesariamente

Γ1∪Γ1 ser´a una teor´ıa consistente (podr´ıa existir una sentencia ϕtal que Γ1 ` ϕ y

Γ2 ` ¬ϕ), una consecuencia interesante de todo lo dicho hasta ahora es saber en que

casos podemos afirmar que Γ1∪Γ1 es consistente:

Teorema 3.15. Sean Γ1 y Γ2 teor´ıas consistentes en los lenguajes L1 y L2

respectivamente. Si Γ0 = Γ1∩Γ2 es una teor´ıa consistente y completa en L0 =L1∩ L2,

entonces Γ1∪Γ2 es consistente.

Nótese que el teorema anterior nos da una condición suficiente, más no necesaria, pero trae como consecuencia inmediata el siguiente corolario:

Corolario 3.16. Sean Γ1 y Γ2 teor´ıas consistentes en los lenguajes L1 y L2

respectivamente, y sea L0 =L1∩ L2. Entonces Γ1∪Γ2 es consistente si y solo si:

(c``(Γ1) L0) ∪ (c``(Γ2)L0) es consistente

Donde:

c``(Γ) ={ϕ: ϕ es sentencia y Γ`ϕ}

3.2.3. Clasificaci´

on de los Modelos

Definici´on 3.30 (n-tipo)..

(29)

2. Un n-tipott es completo si para toda n-f´ormula ϕse tiene: tt`ϕ ´o tt` ¬ϕ.

Definici´on 3.31 (Tipo de ~a en M). Sea M un modelo enL y ~a =a1, . . . , an ∈ M. Se denota y define el tipo de~a en Mcomo:

tipoM(~a) := {ϕ : ϕes n-f´ormula de L y M ` ϕ(~a) }.

Lema 3.17. tipoM(~a) es un n-tipo completo.

Observaci´on. Sea tt es un tipo y Γ una teor´ıa consistente, se dice que tt es consistente con Γ si tt∪Γ es consistente.

Definici´on 3.32 (Realizaci´on de tipos)..

1. SeaMun modelo,ttunn-tipo y~a ∈ M. Diremos que~arealiza attsi: tt⊆tipoM(~a) (o equivalentemente, siM ` tt(~a) ).

2. Decimos que M realiza a tt si existen~a ∈ M tal que~a realiza a tt.

3. Momite a ttsi no lo realiza.

Lema 3.18. Dado el modelo M y el tipo tt. Si T h(M)⊆tt, entonces existe un modelo N tal que:

i) M ≺ N

ii) N realiza a tt.

Definici´on 3.33 (n-tipo sobre A). SeaMun modelo enL y A⊆M. Unn-tipo sobre

A es un conjunto den-f´ormulas consistentes en el lenguaje L(A).

Definici´on 3.34 (Modelo Saturado). Un modelo numerable M es llamado

ω-saturado si: Para cada A finito (A ⊆M) y para cada 1-tipo sobre A se tiene que:

Sitt es consistente con T h(MA), entonces MA realiza a tt.

Observación. A lo largo de esta sección solo será de nuestro interés estudiar los modelos numerables. Por lo que llamaremos únicamente saturados a los modelos ω-saturados.

(30)

Ejemplo. Sea M=_N y consideremos el 1-tipo sobre A={0}:

tt(x) = {0< x, s(0) < x, s(s(0)) < x, . . . }

Tenemos que tt es consistente conT h(M) (ya que es finitamente consistente), Pero Mno realiza a tt. As´ıMno es saturado.

Lema 3.19. Sea M saturado y A ⊆ M finito. Si tt es un n-tipo sobre A consistente con T h(M), entonces MA realiza a tt.

Teorema 3.20. Si N es un modelo saturado y M es un modelo tal que

T h(M) =T h(N), entonces M_-N.

Lema 3.21. Si M ≺ N y A⊆M, entonces MA≺ NA.

Teorema 3.22. Si solo hay una cantidad finita de modelos numerables de una teor´ıa Γ, entonces existe un modelo saturado para Γ.

Observaci´on. Escribiremos ϕ`Γ ψ para denotar que Γ∪ {ϕ} `ψ.

Definici´on 3.35 (F´ormulas completas y completables)..

1. Una n-f´ormulaϕes llamada n-completa sobre Γ si para cualquier n-f´ormulaψ se tiene que:

ϕ`Γψ ´o ϕ`Γ ¬ψ pero no ambas.

2. Unan-f´ormulaψes completable sobre Γ si existe unan-f´ormulaϕtal que: ϕ`Γ ψ

(ϕes llamada la completaci´on de ψ)

3. Un n-tipo es at´omico sobre Γ si contiene una f´ormula n-completa.

Observaci´on. De este par de definiciones se sigue inmediatamente que todo tipo at´omico sobre Γ es un tipo completo.

Definición 3.36 (Modelo Atómico). Un modelo M es atómico sobre Γ si M ` Γ y para todo ~a=a1, . . . , an∈M se tiene: tipoM(~a) es atómico.

(31)

Lema 3.23. Dada una teor´ıa Γ, si M es un modelo at´omico de Γ, entonces para todo modelo N de Γ se tiene que: M_-N.

Observación. As´ı como los modelos saturados son modelos “grandes”, los modelos atómicos serán modelos “pequeños”.

Lema 3.24. Los modelos at´omicos de una teor´ıa completa son isomorfos entre s´ı. Teorema 3.25. Una teor´ıa completa Γ tiene un modelo at´omico si y solo si cualquier

n-f´ormula consistente con Γ es completable.

Teorema 3.26. Si Γ tiene un modelo saturado entonces tambi´en tiene un modelo at´omico.

Definición 3.37 (Teor´ıas Categóricas). Una teor´ıa esω-categórica si tiene un único modelo numerable (salvo isomorfismos).

En general, se dice que que una teor´ıa es κ-categórica si posee un único modelo numerable de tamañoκ (salvo isomorfismos)

Teorema 3.27. Sea Γ una teor´ıa completa y consistente, entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:

i) Γ tiene un ´unico modelo numerable (salvo isomorfismos).

ii) Todos los modelos de Γ son at´omicos.

iii) Todos los tipos n-tipos que contienen a Γ son at´omicos.

iii) Para cualquier n existe solo una cantidad finita de n-tipos completos tt que contienen a Γ son at´omicos.

El resultado que se muestra a continuación es una consecuencia bastante interesante, para su demostración requiere de todos los teoremas y lemas mencionados (además de la construcción bastante ingeniosa de un modelo).

(32)

Teorema 3.28 (Nunca 2 de R.L. Vaught). Una teor´ıa completa no puede tener exactamente dos modelos numerables no isomorfos.

Le recomendamos al lector interesado en un estudio m´as profundo de las nociones de Teor´ıa de Modelos aqu´ı presentadas, la revision del texto “The incompleteness phenomenon”, de M. Goldstern y H. Judah [3], as´ı como “Model Theory”, escrito por D. Marker [4].

3.2.4. El Orden Lineal Denso

A continuaci´on exhibiremos una teor´ıa ω-categ´orica

Definici´on 3.38 (Orden lineal denso sin extremos –OLD–). Sea L={<}un lenguaje, el orden lineal denso sin extremos es una teor´ıa conformada por las siguientes sentencias:

1. ∀x ¬(x < x) 2. ∀x∀y∀z (x < y∧y < z)→(x < z) 3. ∀x∀y (x=y∨x < y∨y < x) 4. ∀x∃y (x < y) 5. ∀x∃y (y < x) 6. ∀x∀y (x < y→ ∃z(x < z∧z < y))

Las sentencias de 1. a 3. expresan que<es un orden lineal, la 4. y la 5. que no tiene extremos y la 6. que es denso.

Cabe destacar que todo modelo de OLD debe ser infinito. As´ı, el modelo más usual para esta teor´ıa son los números racionales con su orden. Los números reales_R con su orden usual también es un modelo de OLD pero es de mayor cardinal que los racionales. Proposición 3.29. Q=h_Q, <Q_{i |}₌_OLD

Resulta interesante que no es sólo un modelo usual sino que es el único (numerable), considerando equivalencia por isomorfismo. Este resultado se debe a G. Cantor. Pero antes de delinear la demostración de tal teorema, es preciso introducir un nuevo concepto y enunciar dos lemas que son expresión de la técnica Back and Forth.

(33)

Definici´on 3.39(Isomorfismo parcial). SiMyN son modelos de OLD y sonM0 ⊂M,

N0 ⊂ N, subconjuntos finitos, entonces f : M0 → N0 es un isomorfismo parcial si es

una biyecci´on deM0 en N0 y si para todo m y m0 enM,

M |=m < m0 si y solo si M |=f(m)< f(m)0

Lema 3.30 (Back). Sean M y N modelos de OLD, M0 ⊂ M, N0 ⊂ N subconjuntos

finitos yf :M0 →N0 un isomorfismo parcial. Sim∗ ∈M, entonces existe una extensi´on

de f, f∗ :M0∪ {m∗} →N00, que tambi´en es un isomorfismo parcial.

Lema 3.31 (Forth). Sean M y N modelos de OLD, M0 ⊂M, N0 ⊂ N subconjuntos

finitos y f : M0 → N0 un isomorfismo parcial. Si n∗ ∈ M, entonces existe un

isomorfismo parcial que extiende a f, f∗ :M₀0 →N0∪ {n∗}

Teorema 3.32. Sea M=hM, <Mi un modelo numerable de OLD. EntoncesM ∼=Q. Es decir, hay un s´olo modelo numerable para el OLD modulo isomorfismo o, de acuerdo a definiciones anteriores, el orden lineal denso sin extremos es una teor´ıaℵ0-categ´orica.

Esbozo de la demostraci´on: Se ver´a que dos modelos, cualesquiera, numerables de OLD son isomorfos, en particular, uno de ellos puede ser los racionales con su orden.

1. Se enumeran los universos: M ={m0, m1,· · · } y N ={n0, n1,· · · }

2. Se define M0 ={m0} y N0 ={n0}

3. Sea f0(m0) =n0. Tal funci´on es un isomorfismo parcial.

4. Si fp :Mp →Np es un isomorfismo parcial

a) si p = 2k, entonces fp+1 : Mp∪ {mk} → Np0 es un isomorfismo parcial, por lema Back

b) si p = 2k + 1, entonces fp+1 : Mp0 → Np ∪ {nk} es un isomorfismo parcial, por lema Forth

(34)

Corolario 3.33..

i.- Sea δ una sentencia, OLD `δ sii Qδ.

ii.- OLD es una teor´ıa completa.

La primera proposición del corolario se sigue del teorema de completitud y de la categoricidad de OLD, la segunda es consecuencia de la primera pero ésta motiva enunciar y demostrar, por su sencillez, el siguiente teorema atribuido a R.L. Vaught. Teorema 3.34 (Test de Vaught). Sea Σ una teor´ıa satisfactible que no tiene modelos de tamaño finito y que sea κ-categórica para algún cardinal infinito κ ≥ |L|, entonces Σ es una teor´ıa completa.

Dem.: Procedamos por reducción al absurdo. Asumamos, pues, que Σ no es completa. Entonces existe una ϕ tal que Σ ` ϕ y Σ ₀ ¬ϕ. Por un teorema demostrado en la primera sección, Σ∪ {ϕ} y Σ∪ {¬ϕ} son teor´ıas satisfactibles. Ambas teor Ãas tienen, como consecuencia del teorema de compacidad y por la hipótesis de que Σ no tiene modelos finitos, modelos de cardinalidad arbitraria M y N, digamos, κ. Pero M no son elementalmente equivalentes N (sus teor´ıas difieren en ϕ y su negación), luego no son isomorfos, contradiciendo la κ-categoricidad de Σ.

La teor´ıa OLD cumple con todas las hip´otesis del test de Vaught; una demostraci´on alternativa de su completitud.

3.2.5. Teor´ıa de N´

umeros

Ahora iremos al otro extremo, mostrando una teor´ıa que tiene una cantidad infinita no numerable de modelos no isomorfos. Invitamos al lector a investigar sobre teorias con exactamenten ≥3 modelos no isomorfos, as´ı mismo con una teor´ıa que tenga una cantidad infinita numerable.

Definici´on 3.40. Sea L un lenguaje con los siguientes s´ımbolos {+,·, S, <,0} donde +,· son s´ımbolos funcionales 2-arios,S es un s´ımbolo funcional 1-ario,<es un s´ımbolo relacional binario y 0 un s´ımbolo constante. Entonces

(35)

1. _N=h_N,+N_,_·N_{, <}N_,₀N_{, S}N_i _{con la interpretaci´}_{on natural del lenguaje, donde} _S _es la funci´on sucesor, son los n´umeros naturales.

2. Th(_N) = el conjunto de todas las sentencias válidas en los números naturales. 3. Si M |=T h(_N) entoncesM es un modelo de la aritmética.

Definición 3.41 (El n-ésimo sucesor). Sea τ un término, se define recursivamente el n-ésimo sucesor del término por:

- S0(τ) = τ

- Sn+1(τ) =Sn(S(τ))

Definición 3.42 (Modelos Estándar y No-Estándar de la Aritmética).

Sea M |= T h(_N). Se dice que M es un modelo est´andar si todo m ∈ M es de la forma Sn_{(0), para alg´}_un_n _∈

N o lo que es lo mismoM ={Sn(0) :n ∈N}.

Sea N |=T h(_N). Se dice que N es un modelo no-estándar si no es estándar. Observación..

- Un ejemplo de un modelo est´andar es _N.

- La existencia de los no est´andar es una consecuencia del teorema de compacidad. Basta considerarla siguiente teor´ıa:

Γ =T h(_N)∪ {∃x: Sn(0)< x}∞_n₌₀ Proposici´on 3.35..

1. Todo modelo est´andar de la aritm´etica es isomorfo a _N.

2. Ningún modelo no-estándar es isomorfo a los números naturales.

Teniendo en cuenta la proposici´on anterior, utilizando que |A| < |P(A)|, se puede demostrar que:

(36)

Teorema 3.36. Hay una cantidad no numerable de modelos de tama˜no numerable no isomorfos.

Esbozo..

1. Sea P un conjunto de n´umeros primos y sea tP _{el 1-tipo asociado a ese conjunto} definido por {Sp₍₀₎_|_x _:_p_∈ _P_{} ∪ {}_Sp₍₀₎

-x:p /∈P} Este quiere decir que “x es

divisible por los elementos de P pero no divisible por los n´umeros primos que no est´an en P”

2. Hay una cantidad no numerable de tipostP_{, tantos como subconjuntos de n´}_umeros primos.

3. tP _{es consistente con} _{T h}₍

N)

4. Si P 6=Qentonces tP _∪_tQ _{es inconsistente.}

5. En un modelo numerable de la aritm´etica solo son realizados una cantidad numerable de tipos tP

6. Si existiesen s´olo una cantidad numerable de modelos numerables de la aritm´etica entonces solo una cantidad numerable de tipos tP _{ser´ıan realizados.}

7. Cada tP _{es realizado es alg´}_{un modelo numerable.}

(37)

3.3. Ultraproductos y Teorema de compacidad

3.3.1. Filtros y Ultrafiltros

Es bien sabido que el Teorema de Compacidad se deriva del Teorema de Completitud, pero en esta secci´on vamos a demostrar que dicho resultado se puede demostrar sin ayuda de ´este. El teorema de compacidad enuncia que:

Cada subconjunto finito i⊆Σ tiene modelo si y solo si Σ tiene modelo.

Como el rec´ıproco es trivial, se sigue de la definici´on de modelo, se demostrara el directo, esto es, si tenemos un modelo para cada subconjunto finito de una teor´ıa se construir´a con estos, y de una forma muy espec´ıfica, un modelo para la teor´ıa, para tal fin utilizaremos algunas definiciones y resultados previos.

Definici´on 3.43 (Filtro). Sea I un conjunto no vac´ıo. F es llamado un filtro sobre I

siF ⊆ P(I) y satisface lo siguiente:

1. Si X ∈ F y X ⊆Y ⊆I entoncesY ∈ F. 2. Si X, Y ∈ F entoncesX∩Y ∈ F.

3. ∅∈ F/ y I ∈ F. Ejemplo..

1. Si A ⊆ I no vac´ıo. La familia de conjuntos F = {X ⊆ I | A ⊆ X} es un filtro, denominado el filtro generado por A.

2. SeaI un conjunto infinito yF ={X ⊆I |I_rX es f inito}es un filtro, llamado el filtro de Fr´echet.

Una colección no vac´ıa de conjuntos G tiene la propiedad de intersección finita si cada subcolección no vac´ıa finita de G tiene intersección no vac´ıa.

Lema 3.37. Sea G6=∅ una colecci´on de subconjuntos de I que poseen la propiedad de intersecci´on finita. Entonces existe un filtro F en I tal que G⊆ F.

Definici´on 3.44 (Ultrafiltro). Un filtro U enI es un ultrafiltro si para cadaX ⊆I se tiene queX ∈ U o I_rX ∈ U.

(38)

Ejemplo. El filtro generado por un conjunto A⊆I es un ultrafiltro si A={a}, para alg´un a∈I.

Adem´as del ejemplo, se pueden ver otros ultrafiltros construidos a partir de un filtro. Para ver que esto se puede hacer, enunciemos un par de lemas previos.

Lema 3.38 (previo uno). Un filtro F en I es un ultrafiltro si y solo si es un filtro maximal en I con respecto a la contenci´on.

Lema 3.39 (previo dos). Si C es un conjunto de filtros en I y si cada F,G ∈ C se cumple que F ⊆ G o G ⊆ F entonces ∪C es un ultrafiltro.

Teorema 3.40 (AE). Cada filtro en un conjunto I puede ser extendido a un ultrafiltro en I.

Demostración. Sea G un filtro en I y consideremos P el conjunto de todos los filtros F de I tal que G ⊆ F, parcialmente ordenado por contención. Nótese que P 6= ∅. Por el lema previo dos cada cadena C en P tiene una cota superior, y por el lema de Zorn entonces P tiene un elemento maximal U, que es el ultrafiltro deseado, por lema uno.

Definici´on 3.45 (Producto Cartesiano). Supongamos que I 6= ∅, para todo i ∈ I y

Ai 6=∅, entonces se define el conjunto Q

i∈IAi como el conjunto de todas las funciones

~a con dom(~a)=I y para cada i∈I, ~ai ∈Ai.

Sea F un ultrafiltro sobre I, definimos una relaci´on de equivalencia ∼F sobre el producto cartesianoQ

i∈IAi:

Si~a1, ~a2 ∈Q_i∈IAi entonces~a1 ∼F ~a2 si y solo si {i∈I |~a1(i) =~a2(i)} ∈ F.

Denotamos a la clase de equivalencia de ~a como ~a/F y al conjunto de todas las clases de equivalencia como Q

i∈IAi/F

3.3.2. Ultraproducto

Dada una cantidad de modelos, veamos cómo construir otro modelo a partir de ellos, v´ıa el producto cartesiano y la relación de equivalencia antes definida, as´ı que dependerá del ultrafiltro. De ah´ı la siguiente definición.

(39)

Definici´on 3.46 (Ultraproducto). Supongamos un lenguaje fijo L,I 6=∅ y para cada

i∈I, Ai es un modelo para un lenguajeL y F un ultrafiltro en I entonces se define y denota el ultraproducto de losAi por A=

Q

i∈IAi/F y como sigue: 1. El universo A deA es Q

i∈IAi/F es decir clase de equivalencia de Q

i∈IAi. 2. Para cada s´ımbolo constante cenL consideremos~cla funci´on que manda a cada

i∈I encAi _{y tomamos} _cA ₌_~c/F_.

3. Si f es un s´ımbolo funcional k − ario en L, se define fA como sigue, para cualquier m1, . . . , mk ∈ A, elegimos un representante ~a1, . . . , ~ak ∈

Q

i∈IAi tal que m1 = ~a1/F, . . . , mk = ~ak/F, definimos ~b por ~b(i) = fAi(~a1(i), . . . , ~ai(i)) y tomamos m = ~b/F es decir, fA(~a1/F, . . . , ~ak/F) = ~b/F, notando que esta definici´on no depende del representante escogido.

4. Si Res un s´ımbolo relacionalk−ario, definimos (~a1/F, . . . , ~ak/F)∈RA si y solo si {i: (~a1(i), . . . , ~ak(i))∈ RAi} ∈ F, una vez m´as esta definici´on no depende del representante tomado.

El siguiente teorema se debe a Jerzy Lo´s. Éste relaciona a la satisfactibilidad en el ultraproducto con la satisfactibilidad en los modelos con los que se construyó el ultraproducto con ayuda del ultrafiltro, es decir, caracterizar la semántica en el ultraproducto, con el fin de llegar a nuestro objetivo principal de demostrar el teorema de compacidad.

Teorema 3.41 (Teorema de Lo´s). Supongamos que I 6=∅, y para cada i ∈ I se tiene una estructuraAi para alg´un lenguaje L. Sea F un ultrafiltro enI entonces tenemos lo siguiente:

Para cualquier f´ormula cerrada σ,

Y

i∈I

Ai/F |=σ si y solo si {i:Ai |=σ} ∈ F

Más aún, para cualquier ϕ n-fórmula

Y

i∈I

(40)

Demostración. Se demostrará por inducción sobre ϕ. Para aligerar la notación, se asumirá quen = 1, as´ı siϕes atómica entonces el resultado es cierto por definición del ultraproducto. Si ϕes ϕ1∧ϕ2 entonces definimos los siguientes conjuntos.

F1 ={i:Ai |=ϕ1(~a(i))}

F2 ={i:Ai |=ϕ2(~a(i))}

F ={i:Ai |=ϕ(~a(i))}

Claramente tenemos que F = F1 ∩F2. Como F1 ∩F2 ∈ F si y solo si F1 ∈ F y

F2 ∈ F ya que F es un filtro, tenemos entonces que A |= ϕ si y solo si A |= ϕ1 y

A |=ϕ2 si y solo si F1 ∈ F y F2 ∈ F si y solo siF ∈ F.

Ahora supongamos que ϕ=¬ϕ1 y definamos lo siguiente

F ={i:Ai |=ϕ(~a(i))}

F1 ={i:Ai |=ϕ1(~a(i))}

Entonces tenemos que F1 =I −F, as´ıA |=ϕ(~a) si y solo si A 2ϕ1(~a) si y solo si

F1 ∈ F/ si y solo siI −F /∈ F si y solo siF ∈ F ya que F es un ultrafiltro.

Ahora supongamos ϕ(x) = ∃yψ(x, y) y sea F = {i : Ai |= ϕ(~a(i))}. Si A |=ϕ(~a), entonces existe un ~b ∈ Q

i∈IAi tal que A |= ψ(~a,~b). Definamos F1 = {i : Ai |=

ψ(~a(i),~b(i))}. As´ı por hip´otesis inductiva F1 ∈ F y claramente F1 ⊆F, as´ıF ∈ F por

ser un filtro.

Rec´ıprocamente si asumimos que F ∈ F. Definamos~b ∈ Q

i∈IAi como: Si i ∈ F, sea~b(i)∈Ai tal queAi |=ψ(~a(i),~b(i)), de lo contrario~b(i) sera un elemento arbitrario deAi. As´ı se tiene que {i:Ai |=ψ(~a(i),~b(i))}=F ∈ F.

(41)

3.3.3. Teorema de Compacidad

Ahora concluiremos esta sección con la demostración alternativa del teorema de compacidad que se comentó al principio:

Teorema 3.42(Compacidad). Supongamos queΓes un conjunto de fórmulas cerradas tal que cada subconjuntos finito de Γ tiene un modelo entonces Γ tiene un modelo. Demostración. Sea I el conjunto de todos los subconjuntos finitos de Γ, as´ı tomaremos como nuestros ´ındices un conjuntos de fórmulas. Para cadai∈I seaA1 un modelo que

satisface Ai |=i (es decir, para todaϕ∈i,Ai |=ϕ).

Para i ∈ I, sea Xi = {j ∈ I : i ⊆ j} y F0 = {X : ∃i, Xi ⊆ X}, con esto tenemos que Xi∪j = Xi ∩Xj, as´ıF0 es un filtro (no es complicado verificar las otras

dos condiciones) enI. As´ı por teorema previo existeF ⊇ F0 un ultrafiltro, tal que para

cada i∈I, Xi ∈ F.

As´ı el ultraproducto de los Ai con el ultrafiltro F es el modelo deseado para Γ, ya que si σ ∈ Γ, tenemos que para cada i ∈ I se tiene que Ai |= i, as´ı si σ ∈ j entonces Aj |=σ por lo tanto{j :Aj |=σ} ⊇ {j :σ∈j}={j :{σ} ⊆j}=Xσ ∈ F.

Entonces por ser F un filtro {j : Aj |=σ} ∈ F y, por el teorema de Lo´s, tenemos queA |=σ, es decir, el ultraproducto es un modelo de Γ.

Cabe mencionar, para culminar, una caracterizaci´on del isomorfismo entre ultraproductos que se debe a S. Shelah y H. J. Keisler:

Teorema 3.43. Dos estructuras M y N, sobre el mismo lenguaje L, son elementalmente equivalentes (M ≡ N) si y solo si hay un conjuntos de ´ındices I y un ultrafiltro F sobre I tal que Q_M

/F ∼=Q_N

(42)

3.3.4. An´

alisis No-Est´

andar

Una manera rigurosa de definir los números reales infinitesimales, antiguo problema del análisis matemático, fue propuesta hace más de 25 años por A. Robinson, que establece construir un modelo que sea elementalmente equivalente pero no isomorfo al cuerpo ordenado de los números reales, utilizando el método de las ultrapotencias para construir dicho modelo.

Algunas consecuencias del teorema de J. Lo´s ser´an utilizadas m´as adelante; una serie de interesantes corolarios, cuyas demostraciones son bastantes simples.

Corolario 3.44. Si M y F un ultrafiltro sobre J y M∗ _{es la ultrapotencia} _MJ_/_F, entonces M∗ _{≡ M.}

Ahora, si para cada c∈M, seac#_:_J _→_M _{la funci´}_{on tal que}_c#₍_j_{) =}_c_{, para todo}

j ∈ J. Definamos la funci´on φ tal que para cada c ∈ M, φ(c) = c#_/_{F ∈ M}J_/_F y denotemos el rango de φ por M#_{. Evidentemente dicho conjunto contiene la}

interpretación de los s´ımbolos constantes en la ultrapotencia, más aún, es cerrado bajo la interpretación de s´ımbolos funcionales de la ultrapotencia, entonces es una estructura de la ultrapotencia. De este comentario se desprende el siguiente corolario.

Corolario 3.45. La funci´on φ antes definida es un isomorfismo de M en M#_{. As´ı,}

M# _{es una subestructura elemental de la ultrapotencia.}

Con tal bagaje se está en condiciones de esbozar el método para formalizar los números infinitesimales a través de la ultrapotencia.

Sea _R el conjunto de los n´umeros reales y L un lenguaje que tiene los siguiente s´ımbolos:

- Para cada n´umero real r existe un s´ımbolo constante ar. - Para cada operaci´on n-aria ϕ en_R existe un s´ımbolo fϕ

- Para cada relaci´on Φ n-aria en_R existe un s´ımbolo relacional RΦ

Dicho esto, podemos pensar el conjunto de los n´umeros reales como el universo de un modelo R del lenguaje, interpretando a tales s´ımbolos de manera natural, correspondiendo con su definici´on.

(43)

Sea F un ultrafiltro no principal en el conjunto de los números naturales, as´ı, tomemos la ultrapotencia R∗ _de _R _{sobre el ultrafiltro, denotando el universo de dicho} modelo por _R∗. Por los corolarios previos, R∗ _{≡ R} _{y as´ı la ultrapotencia tiene las} propiedades deRque pueden ser expresadas en el lenguajeL. Más aún, la ultrapotencia tiene un submodelo elementalR# _{tal que}_R# ∼₌_{R, por eso algunas veces nos referimos}

a los miembros del universo de R# _{como los n´}_{umeros reales y aquellos} _x _{∈ R}∗ _{− R}#

son llamados N´umeros Reales No-Est´andar.

Es fácil ver que la ultrapotencia R∗ _{cumple con los axiomas de cuerpo ordenado.} Hasta ahora no tenemos un ejemplo de uno de esos números no-estándar. Exhibamos uno: sea δ(j) = j, para todo j ∈ _N. Consideremos δ/F y veamos que c#_/_F _<R∗

δ/F para todo c ∈ _R. Por virtud del teorema de Lo´s y del hecho de que {j : c#(j) <R δ(j)} = {j : c <R j} es un conjunto de complemento finito, es decir, pertenece al ultrafiltro, ya que no es principal (notando que todo ultrafiltro no principal contiene al filtro de Fr´echet). As´ı, la ultrapotencia es un cuerpo no arquimediano que tiene como subcuerpo a los n´umeros realesR#_.

Sea R1 = {z ∈R∗ : |z| <|u| para algun u ∈ R#}. Estos corresponden a la idea

intuitiva de n´umero finito. Y sea, adem´as, R0 = {z ∈ R∗ : |z| < |u| para todo u ∈

R#}, siendo los miembros de este conjunto intuitivamente n´umeros muy peque˜no

(infinitesimales).

R0es no vac´ıo ya que (δ/F)−1, considerando queR∗ es un cuerpo ordenado y que las

interpretaciones de los s´ımbolos funcionales|( )|y ( )−1 corresponden a las operaciones m´odulo y rec´ıproca de _R.

Consideremos el siguiente par de conjuntos con x∈R1:

- A={u|u∈_R#_∧_{u < x}_}

- B ={u|u∈_R#_∧_u_≥_x_}

Tal par de conjuntos determinan un ´unico real r tal que cumple con las siguientes condiciones:

(44)

1. ∀x(x∈A →x≤r) 2. ∀x(x∈B →x≥r)

Entonces x−r es un infinitesimal, ya que si no lo fuese, se presentan dos casos con respecto al orden entrex y r que contradiciendo las condiciones que cumpler.

Esto motiva la siguiente definici´on.

Definición 3.47 (Parte estándar de un número). Un número real r tal que x−r es un infinitesimal se denomina parte estándar de x y denotado por st(x). En particular, six∈_R, st(x) =x

Diremos que x≈ysi y s´olo st(x) = st(y) si y solo x−yes un infinitesimal. En este caso se dice quex es infinitamente pr´oximo a y.

Cabe destacar que como _N ⊂_R, existen a su vez naturales estándar y no estándar dentro R∗_{, la ultrapotencia, que coinciden con aquellos definidos en una subsecci´}_on anterior los cuales son la interpretación de un s´ımbolo relacional que establece cuando un número pertenece al conjunto de los números naturales y que denotaremos ω∗(cabe notar queω∗ es no vac´ıo ya que al menos la funciónδdefinida anteriormente pertenece a él) y por ω, a los números de R# _{que corresponden a}

N a trav´es el isomorfismo.

Teniendo en cuenta que una sucesión es un elemento de _Rω, decimos S(n, x) si y solo sisn=x. Entonces, enR∗ tendremos una interpretación extensiva deS(n, x). As´ı, se tiene el siguiente resultado de importancia capital en el análisis no-estándar.

Proposición 3.46. Sea s una sucesión de números reales y c∈ _R. Sea s∗ : ω∗ → R∗ la función correspondiente a s en R∗_{. As´ı} _l´ım_s

n = c si y s´olo si s∗(n) ≈ c para todo

n ∈ω∗−ω. (Intuitivamente, esto dice que s∗(n) es infinitamente pr´oximo a c cuando

n es infinitamente grande)

Ahora consideremos otra noción importante del análisis, a saber, la continuidad. Cada función f puede ser representadas en el lenguaje por un s´ımbolo relacional Af dondeAf(x, y) corresponde a la relaciónf(x) =y. As´ı, la relaciónA∗f enR

∗ _determina una funci´onf∗ con respectivo dominio igual a (Dom(f))∗ lo que nos lleva la siguiente proposici´on:

(45)

Proposición 3.47. Sean: f una función sobre _R, c∈Dom(f) yf∗ la correspondiente función sobre R∗_{, as´ı}_f _{es continua en} _c _{si y solo si para todo} _x _∈ _Dom₍_f∗₎ _y _x _≈ _c entonces f∗(x)≈f∗(c)

Dice E. Mendelson:

Muchos teoremas estándar del análisis resulta que tienen demostraciones más simples dentro del análisis no-estándar. Incluso resultados más fuertes pueden ser obtenidos ampliando el lenguaje de los números reales (...) En este sentido los métodos del análisis no estándar pueden ser aplicados a todas las áreas del análisis contemporáneo, algunas veces con resultados originales e impactantes. [5]

Esto puede motivar un estudio más amplio sobre el alcance del análisis no estándar, incluso en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas.

(46)

1. A pesar de lo abstracta que puede ser la lógica matemática, las consecuencias que tiene en el resto de la matemática son de considerable importancia.

2. Resulta curioso como resultados tan fundamentales dentro de la formalizaci´on de la matem´atica sean recientes, esto resulta bastante motivador para futuras investigaciones.

3. La forma de los enunciados de la teor´ıa de modelos (que recuerda al álgebra) revela la creciente interacción entre las distintas disciplinas de la matemática. 4. Una de las consecuencias más importantes del estudio realizado fue el desarrollo

de intuiciones lógicas; una maduración en torno a los conceptos de consistencia, verdad, demostración, entre otros conceptos básicos del razonamiento matemático. 5. No dejaron de surgir resultados que retaban al sentido común, as´ı como también

los de gran belleza estética, en especial aquellos de naturaleza combinatoria. 6. La intuición indica que la lógica matemática hace uso de resultados sobre los

objetos que intenta formalizar, lo cual pareciese insinuar que es autoreferencial. Sin embargo hay quienes afirman que es una ingenuidad creer esto, pues ésta debe ser considerada como una disciplina más, tal como el análisis o la geometr´ıa. Aun as´ı no deja de ser un aspecto filosóficamente problemático.

(47)

1. Para que un trabajo de esta indole sea m´as fruct´ıfero es conveniente manejar conceptos del algebra abstracta, ya que en la teor´ıa de modelos abundan ejemplos de este tipo.

2. Extender la investigación entorno a las posibilidades didácticas del análisis no estándar.

3. Estrechar los v´ınculos existentes y crear nuevos lazos, entre la universidad y los institutos de investigaci´on de pais, con el fin de fomentar el estudio y desarrollo de temas de inter´es mutuo.

4. Asesorar a los estudiantes de matemática sobre las l´ıneas de investigación existentes, para que puedan estar bien informados sobre sus oportunidades de participación en estas.

(48)

[1] Carlos Augusto Di Prisco, Introducción a la lógica matemática, EMALCA Amazonia, 2009.

[2] Heinz-Dieter Ebbinghaus, J¨org Flum, and Wolfgang Thomas, Mathematical logic, Springer-Verlag, 1984.

[3] Martin Goldstern and Haim Judah, The incompleteness phenomenon, AK Peters/CRC Press, 1995.

[4] David Marker,Model theory: An introduction, Springer, 2002.

[5] Elliott Mendelson, Introduction to mathematical logic, Wadsworth & Brooks/Cole, 1987.

[6] Bruno Poizat, A course in model theory: An introduction to contemporary mathematical logic, (Universitext) Springer, 2002.

[7] Andres Villaveces, La tricotom´ıa de zilber: Una breve introducci´on geom´etrica, Ediciones IVIC, 2011.