PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS RESUELTOS Y PROPUESTOS (Primer Corte)

(1)

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL “FRANCISCO DE MIRANDA”

ÁREA DE TECNÓLOGIA COMPLEJO DOCENTE EL SABINO Unidad Curricular: Termodinámica

PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS RESUELTOS Y

PROPUESTOS

(Primer Corte)

Ing. Frank Bello Castillo

Junio 2008

(2)

PROBLEMAS RESUELTOS (TERMODINAMICA)

PRIMER PARCIAL

1) Vapor saturado a 120 Psi está contenido en un arreglo cilindro-pistón, el cual tiene inicialmente un volumen de 1 pie3. El vapor es enfriado por medio de un proceso isométrico hasta que la temperatura alcanza 300 °F. El sistema es luego expandido isotérmicamente hasta que el volumen en el estado 3 es dos veces el inicial. Determinar : a) La masa de vapor en el estado 1. b) La calidad en el estado 2. c)La presión en estado 2. d) La masa de líquido y vapor en el estado 2. e) La presión en el estado 3. f) Represente el proceso en un diagrama Presión–volumen específico(p-v) y Temperatura-volumen específico ( T-v)

Solución: Esquema:

Seguidamente, hay que clasificar la información por estados:

Edo. 1 Edo. 2 Edo. 3 P1= 120 psia V2=V1=1 pie3 T3=T2 =300 °F

V1= 1 pie3 T2 = 300 °F V3=2V1 (expansión)

Vapor saturado

a) Masa de vapor en el estado 1:

Este estado inicial está definido, porque se dice que es vapor saturado y nos especifican su presión, así que como conocemos el volumen del sistema, lo único que nos haría falta para calcular la masa del sistema sería el volumen específico del sistema, para posteriormente sustituirlo en la siguiente ecuación:

m

sis1

= V

sis1

/

ν

sis1

Recuérdese, que el estado de vapor saturado es aquel donde el vapor está en equilibrio con una cantidad insignificante de líquido. En otras palabras en el estado inicial todo el sistema, en el sentido práctico, es vapor, así que al calcular la masa del sistema estamos calculando la masa del vapor:

ν

sis1

=

ν

g @ 120 psia

= 3.73 pie

3

/Lbm

Sustituyendo:

m

sis1

= 1pie

3

/3.73 pie

3

/Lbm =

0.268 Lbm ( m

vapor1

)

Téngase presente, que por ser este un sistema cerrado esta masa (total) calculada para este primer estado es la misma para los restantes, así que:

m

sis1

= m

sis2

= m

sis3

b)Calidad en estado 2:

Aunque, se pide que se calcule la calidad lo cual sugiere que el estado es “mezcla”, lo primero que se hará es determinar el estado, para lo cual es necesario conocer 2 propiedades intensivas independientes.

Hasta este punto, la única propiedad intensiva que se conoce del estado 2, es la temperatura: (T2=300

°

F), sin embargo

téngase presente que el volumen del sistema también se conoce (V2= 1 pie3) y la masa del sistema es común para todos los

estados, por ser un sistema cerrado(m sis2 = 0.268 Lbm). Con estos dos últimos datos podemos calcular la segunda propiedad

intensiva necesaria, que sería el volumen especifico del sistema:

νsis2= Vsis2 / msis2

Así que:

νsis2= 1 pie3/ 0.2680 Lbm = 3.73 pie3/Lbm

Obsérvese que este valor de volumen especifico del estado 2 , es igual al del estado 1. Esto será así cada vez , que el volumen y la masa permanezcan constantes:

Sí

V

sis1

= V

sis2

y m

sis1

= m

sis2

entonces:

ν

sis1

=

ν

sis2 Agua

(3)

Esta última premisa debe tenerse muy presente, porque es bastante frecuente en los problemas que tratan de Sistemas Cerrados.

En definitiva, se conocen 2 propiedades intensivas independientes del estado 2:

T

2

=300

°

F

y

ν

sis2

= 3.73 pie

3

/Lbm

Si entramos con esta temperatura en la “Tabla de Saturación” del agua, se lee:

ν

f

= 0.017448 pie

3

/Lbm

y

ν

g

= 6.472 pie

3

/Lbm

Si se compara estos valores de saturación con el valor del sistema, se tendrá que:

ν

sis2

>

ν

f

y

ν

sis2

<

ν

g

que es equivalente a escribir:

ν

f

<

ν

sis2

<

ν

g

El cumplimiento de esta relación significa que el estado es MEZCLA (como se esperaba). Así que ahora si vamos a proceder a calcular la calidad.

La calidad de este segundo estado, tendría, en teoría, dos formas básicas para calcularse: 1) A partir de masas:

X

2

= m

vapor2

/m

sis2

2) A partir de propiedades intensivas, como los volúmenes específicos:

X

2

= (

ν

sis2

-

ν

f2

) / (

ν

g2

-

ν

f2

)

La forma #1, no es viable para calcular la calidad en este caso, ya que la información es insuficiente. Así que se utilizará la segunda fórmula.

Entonces:

X

2

= (3.73 – 0.017448) pie

3

/Lbm / (6.472-0.017448) pie

3

/Lbm =

0,575

c) Presión en estado 2:

En la parte anterior se determinó que el estado 2 era mezcla o sea un estado de saturación, así la presión que le corresponde será la que se lee directamente en la Tabla de Saturación:

P

2

= P

saturación

= 66.98 psia

( a 300

°

F )

d) La masa de vapor y líquido en el estado 2:

Tengamos presente que la masa de vapor está relacionada estrechamente con el concepto de calidad, así que:

X

2

= m

vapor2

/m

sis2

Como la calidad, ya lo conocimos anteriormente, podemos despejar la masa de vapor de la anterior fórmula:

m

vapor2

= X

2*

m

sis2

m

vapor2

=0.575

*

0.268 Lbm =

0.154 Lbm

Por otro lado hay que tener presente que :

m

sis2

= m

vap2

+ m

Liq2

Entonces:

m

Liq2

= m

sis2

- m

vap2

= (0.268 - 0.154)Lbm =

0.114 Lbm

e) La Presión en el estado 3:

Para poder conocer la presión de este estado se necesita previamente determinar el estado, y para poder hacer esto se necesita conocer 2 propiedades intensivas independientes.

Por los momentos la única propiedad intensiva que conocemos es la T3 = 300 F, pero si analizamos la información adicional

que se tiene de este estado podemos calcular otra propiedad intensiva, que sería el volumen específico, de la siguiente forma:

ν

sis3

= V

sis3

/ m

sis3

Así que:

(4)

Ahora se conocen 2 propiedades intensivas independientes del estado 3:

T

3

=300

°

F

y

ν

sis3

= 7.46 pie

3

/Lbm

Si entramos con esta temperatura en la “Tabla de Saturación” del agua, se lee :

ν

f

= 0.017448 pie

3

/Lbm

y

ν

g

= 6.472 pie

3

/Lbm

Si se compara estos valores de saturación con el valor del sistema, se tendrá que:

ν

sis3

>

ν

f y

ν

sis3

>

ν

g

El cumplimiento de la primera relación no aporta nada en la determinación del estado, pero el cumplimiento de la segunda significa que el estado es VAPOR SOBRECALENTADO. Así que la presión se tendrá que buscar en la “Tabla de Vapor Sobrecalentado”, en donde debemos ubicar a una temperatura de 300 °F un volumen específico de 7.46 pie3/Lbm.

Resolviendo, por interpolación (ver anexo ), el valor solicitado es:

P

3

= 59 psia

f) Representación en diagramas P-v y T-v

2)

El recipiente rígido que muestra la figura contiene agua como mezcla a 101.35 kPascal. Determinar las proporciones en volumen de líquido y vapor (a 101.35 kPascal) necesarias para hacer que el agua pase por el estado crítico al calentarla.

Solución:

Esquema:

Sistema

Clasifiquemos la información por estados:

Edo. 1 Edo. 2 Mezcla Líquido-vapor

Temp.

(

°

F)

ν

(pie

3

/Lbm)

59

Liq.

comprim.

Vapor

Sobrec.

Punto Crítico T1 = 341.27 F 120 66.98 2 3 1 T2 =T3= 300 F

Presión

(Psia)

3.73

7.46 ν

(pie

3

/Lbm)

3.73

7.46 Liq.

comprim.

Vapor

Sobrec.

Punto Crítico P1 = 120 psia . 341.2 2 3 1 300 P2= 66.98 psia . P3= 59 psia

(5)

Mezcla Fracción Vol. Vapor =

(V

vapor1

/

V

sis1

) =

?

Fracción Vol. Líq =

(

V

Liq1

/

V

sis1

)

= ? Análisis

Cualquier parámetro que tenga que ver con las fases vapor y líquida, está relacionado directa o indirectamente, con la calidad(X), así que analicemos su fórmula para ver que se puede obtener:

X1=( mvapor1/msis1)

Pero :

m

vapor1

= V

vapor1

/

ν

g1

y m

sis1

= V

sis1

/

ν

sis1

Sustituyendo:

X1 = (

V

vapor1

/

ν

g1

) / (V

sis1

/

ν

sis1

)

Aplicando la “doble C”:

X1 = (

V

vapor1*

ν

sis1

) / (V

sis1*

ν

g1

)

Despejando:

(V

vapor1

/

V

sis1

)

=X1* (

ν

g1

/

ν

sis1

)

La calidad se puede calcular de la siguiente fórmula:

X

1

= (

ν

sis1

-

ν

f1

) / (

ν

g1

-

ν

f1

)

Los volúmenes específicos se buscan a 101.35 Kpa (Tabla de saturación):

ν

g1

=1.6729 m

3

/Kg y

ν

f1

=0.001044 m

3

/Kg

Téngase presente, que este sistema es rígido y además Cerrado, lo cual se traduce en que el volumen específico del sistema permanezca constante:

ν

sis1

=

ν

sis2

Si hacemos un diagrama p-v, se podrá visualizar fácilmente el problema:

El Punto Críticoes un estado de notable importancia para toda sustancia, en donde las propiedades de la fase vapor son idénticas a las propiedades de la fase líquida. Los valores asociados, para el agua, se pueden leer en la última línea de la

“Tabla de Saturación”:

P

crít

=22.09 Mpa

y

ν

f

=

ν

g

= 0.003155 m

3

/Kg

Ahora bien, si consideramos este estado crítico como un estado de Saturación , podríamos intentar calcular el volumen especifico del sistema a partir de la siguiente fórmula:

ν

sis2

=

ν

f2

+ x

2

(

ν

g2

-

ν

f2

)

pero recordando que para este caso νf = νg, el segundo sumando se anula y por lo tanto queda que:

ν

sis2

=

ν

f2

=0.003155 m

3

/Kg

Bajo estas circunstancias, ahora se conocen el volumen específico del estado inicial y por lo tanto podemos calcular la calidad:

X

1

= (0.00315 – 0.001044) /(1.6729-0.001044) =

0.0126

ν

101.35 Kpa 1 2 T1=100 °C Presión

ν

sis1

=

ν

sis2

(6)

Sustituyendo en la fórmula que se había deducido:

(V

vapor1

/

V

sis1

)

=X1* (

ν

g1

/

ν

sis1

) = 0.00126

* (1.6729m3 /Kg

/

0.003155

m3 /Kg

) =

0.67

Esto representa la fracción de vapor en volumen, que es lo mismo que decir que el vapor ocupa el 67% del volumen del recipiente, por lo tanto la diferencia con respecto al 100%, representaría el porcentaje de líquido o sea 33%, que es equivalente a decir que, la fracción de líquido es:

(V

Líq

/ V

sis1

)

=

0.33

3) Dos recipientes A y B, están conectados a través de una tubería con su respectiva válvula. Inicialmente, el recipiente “B” está vacío y el “A” cuyo volumen es 1 pie3 contiene Freón-12 en una proporción de 90% vapor y 10% líquido en volumen, a 80 °F. Se abre la válvula y fluye Freón-12 desde “A” hacia “B”, hasta que la presión en ambos recipientes se equilibra en 30 Psia. Simultáneamente se le suministra calor al Freón a fin de mantener la temperatura constante a 80 °F. Determine el volumen del recipiente B.

SOLUCIÓN: Esquema:

Seguidamente, hay que clasificar la información por estados:

EDO 1

EDO 2

Recipiente A Recipiente B Recipiente A Recipiente B

T1A= 80 °F V1B=VB =? P2A= 30 Psia P2B= 30 Psia

VL1A= 0.1VA VACÍO T2A = 80 °F T2B = 80 °F

Vv1A= 0.9VA V2A= VA= 1 pie3 V2B= VB=?

V1A= VA= 1 pie3

El volumen del recipiente “B”, se puede obtener aplicando la fórmula de volumen específico del sistema, considerando como tal la masa final en ese recipiente:

V

B

= m

2B*

ν

2B

El

“

ν2B

”

se obtendrá una vez determinado el estado final en B, con 80 °F y 30 Psia. Al hacer esto se establece que es “Vapor Sobrecalentado” , por lo que:

ν

2B =

1.5306 pie

3

/Lbm

Así, lo único que hace falta ahora es obtener la masa final en B

(m

2B

)

. Para hacer esto hay que tener presente que la masa

final en “B”, no es otra cosa que la masa que sale del recipiente A(

m

Asal):

m

2B

= m

Asal

A su vez la masa que sale de A(

m

Asal), es simplemente la diferencia entre la masa inicial(

m

1A) y masa final(

m

2A ) dentro

de ese recipiente:

m

Asal

= m

1A

-

m

2A

Cálculo de la masa inicial en A:

Por ser mezcla, la masa total del sistema es la sumatoria de la masa del líquido(

m

L1A ) y la masa del vapor(

m

v1A ):

m

= m

+

m

(7)

Los porcentajes en volumen permiten establecer que:

VL1A= 0.1VA

=0.1

*

1 pie

3

=

0.1 pie

3

Vv1A= 0.9VA

=0.9

*

1 pie

3

=

0.9 pie

3

Con la fórmula de volumen específico, aplicada a la fase líquida y a la fase vapor individualmente, se puede obtener las masas respectivas:

m

v1A

= V

v1A

/

ν

v1A

= 0.9 pie

3

/0.4114 pie

3

/Lbm =

2.19 Lbm

m

L1A

= V

L1A

/

ν

f1A

= 0.1 pie

3

/0.01228 pie

3

/Lbm =

8.14 Lbm

Entonces:

m

A1

= 2.19 Lbm

+

8.14 Lbm

=10.33 Lbm

Cálculo de la masa Final en A:

Tengamos presente que el estado final en los 2 recipientes es el mismo, así que:

ν

2A =

ν

2B =

1.5306 pie

3

/Lbm

Entonces, aplicando la fórmula de volumen específico al sistema conformado por la masa final en el recipiente A: m2A

= V

2A

/

ν

sis2A

= 1 pie

3

/1.5306 pie

3

/Lbm =

0.65 Lbm

Así que:

m

Asal

= m

1A

-

m

2A

= 10.33 Lbm - 0.65 Lbm =

9.68 Lbm

Finalmente:

V

B

= m

2B*

ν

2B

= = 9.68 Lbm

*

1.5306 pie

3

/Lbm =

14.82 pie

3

(Resp.)

4)Encuéntrese la presión necesaria para comprimir 300 litros de aire a 7 °C y 1 bar de presión hasta 1 litro y –115

°C. Suponga que este proceso tiene lugar en un arreglo cilindro-pistón. (Información adicional: Tcrit = 132 K y pcrit =

37.7 bar)

Solución:

Análisis:

El aire originalmente (estado 1) está a una presión suficientemente baja (1 bar ≅ 1 Atm) para ser considerado como gas ideal, así que se puede asumir un factor de compresibilidad z1 =1. Sin embargo, se presume que la presión del estado 2 es

relativamente alta (debido a la gran disminución en el volumen) y por lo tanto el comportamiento debe desviarse del Ideal. Clasificando la información por estados:

Estado 1 Estado 2

p1= 1 bar T2=-115 C = 158 K

T1= 7 C =280 K p2=?

z1 =1 z2 ≠1

V1 =300 litros V2 =1 litro

Si escribimos la ecuación de gas ideal para un sistema cerrado, modificada con el factor de compresibilidad (z), para ser usada con gases reales, tendremos:

z

2

p

1

V

1

/ T

1

=

z

1

p

2

V

2

/T

2

Si se sustituyen los valores conocidos:

z

2x

1bar

x

300L/ 280 K

=

1

x

p

2x

1 L / 158 K

Simplificando:

(8)

Téngase en cuenta que el factor z2 es función de la presión reducida y de la temperatura reducida del estado 2:

T

r2

=T

2

/T

cri

y

p

r2

=p

2

/p

cri

Así que podemos calcular Tr2; pero no pr2, ya que p2 es precisamente la incógnita, sin embargo, podemos tomar la ecuación 1 y dividirla entre la pcri , obteniéndose una ecuación equivalente pero en términos de la presión reducida:

p

2

/p

crit

= 169.3z

2

/ p

crit, equivalente a:

pr

2

= 169.3z

2

/37.7 bar

ó

pr

2

/z

2

= 4.5

( 1.a)

Esta última expresión se puede resolver, por iteraciones sucesivas o “tanteo”, suponiendo

pr

2 y leyendo el valor del factor

z

2 del “Diagrama de Compresibilidad Generalizado”, hasta que se cumpla la igualdad, pero antes se necesita calcular la

temperatura reducida:

Tr

2

=158 K / 132 K=1.2

Hagamos una tabla para el “tanteo”:

Dada

Tr

2

Suponga

pr

2

Del Diagrama

z

2

pr

2

/z

2

1.2 2

0.57

3.5 1.2 1

0.80

1.25 1.2 2.2

0.55

4.5

(valor correcto) Por lo tanto:

p

2

= p

r2x

p

crit

= 2.2

x

37.7 bar =

82.94 bar

(9)

ANEXO

INTERPOLACION DE LA PRESION FINAL: P3 (Doble interpolacion) (Problema # 1 )

Para obtener el valor de la presión solicitada iremos en principio a buscar en la tabla de vapor Sobrecalentado, volúmenes específicos que estén en el orden de “7.46pie3/Lbm”. Los mismos aparecen en el “bloque” de la presión de 60 Psia. Sin embargo la temperatura de 300 °F no aparece, por lo cual debemos interpolar para obtener el volumen específico a esa temperatura: A 60 Psia:

T (

°

F)

ν

(pie

3

/Lbm)

292.73 7.177 300 X 320 7.485 Resolviendo:

ν

@ 60 Psia, 300°F

=7.259 pie

3

/Lbm

Este valor es inferior a “7.46pie3/Lbm”., así ahora se necesita obtener un valor superior para poder hacer la interpolación final. En este caso para la presión de 40 Psia, se observan volúmenes específicos superiores al que tenemos. Interpolando para una temperatura de 300

°

F , se tiene:

A 40 Psia:

T (

°

F)

ν

(pie

3

/Lbm)

280 10.711 300 X 320 11.360 Resolviendo:

ν

@ 40 Psia, 300 °F

=11.0355 pie

3

/Lbm

Ahora como ya tenemos 2 volúmenes específicos a 300

°

F si podemos interpolar para obtener la presión:

A 300

°

F

ν

(pie

3

/Lbm)

P (

Psia

)

11.0355 40 7.46 X 7.259 60 Resolviendo: