An´alisis de redes el´ectricas de bater´ıas y resistencias (una aplicaci´on de sistemas de ecuaciones lineales)

An´

alisis de redes el´

ectricas de bater´ıas y resistencias

(una aplicaci´

on de sistemas de ecuaciones lineales)

Objetivos. Conocer una aplicaci´on de sistemas de ecuaciones lineales al an´alisis de re-des el´ectricas simples que consisten en fuentes de tensi´on constante (pilas o bater´ıas), resistencias y cables.

Requisitos. Soluci´on de sistemas de ecuaciones lineales (compatibles determinados), co-nocimientos b´asicos de electricidad, especialmente las leyes de Kirchhoff.

1. Leyes de Kirchhoff de circuitos el´ectricos.

Ley de corrientes de Kirchhoff (regla de nodos). En todo nodo, donde la densidad de la carga no var´ıe en un instante de tiempo, la suma de corrientes entrantes es igual a la suma de corrientes salientes. En otras palabras, la suma algebraica de las corrientes es igual a 0 (las corrientes entrantes se tomas con +, las salientes con −).

Ley de tensiones de Kirchhoff (ley de voltaje, regla de mallas, ley de lazos, regla de bucles). En toda malla (trayectoria cerrada, circuito cerrado) la suma algebraica de las diferencias de potencial el´ectrico es igual a 0.

2. Observaci´on. La ley de corrientes sigue de la ley de conservaci´on de cargas el´ectricas. La ley de tensiones se puede considerar como un corolario de la ley de conservaci´on de energ´ıa.

3. Ley de Ohm. En nuestros ejercicios vamos a aplicar la ley de tensiones de Kirchhoff junto con la ley de Ohm: V = RI, el voltaje (la diferencia de potencial) = la corriente multiplicada por la resistencia.

4. Signos en la ley de tensiones. Al pasar por una bater´ıa (pila) de − a +, el potencial sube, por eso escribiremos un sumando con el signo positivo. Al pasar por una resistencia en el sentido del corriente, el potencial baja (la energ´ıa se pierde en la resistencia).

Referencias

[1] Roland E. Larson, Bruce H. Edwards, Introducci´on al ´Algebra Lineal. M´exico: Limusa, 2009. 752 p.: il.; 23 x 15.5 cm.

5. Ejemplo simple. Determine las corrientes I1, I2 e I3 de la siguiente red: nodo 1 nodo 2 + − 30V I1 7Ω + − 11V I2 1Ω + − 28V I3 4Ω trayectoria 1 trayectoria 2

Soluci´on. Apliquemos la ley de corrientes de Kirchhoff al nodo 1. Los tres corrientes entran al nodo 1, por eso los sumandos se escriben con el signo +:

I1+ I2+ I3 = 0.

En el nodo 2 tenemos la siguiente ecuaci´on (todos los tres corrientes salen del nodo 2): −I1− I2− I3 = 0.

En la trayectoria 1 la ley de tensiones de Kirchhoff nos da la siguiente ecuaci´on: 30 − 7I1+ I2− 11 = 0.

Explicaci´on de los signos: pasamos la bater´ıa 30 de − a +, por eso escribimos el sumando 30 con el signo +, pasamos la resistencia 7 en el sentido del corriente I1, por eso escribimos

el sumando −7I1, etc.

A la trayectoria 2 le corresponde la ecuaci´on

11 − I2+ 4I3− 28 = 0.

Obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:     I1 + I2 + I3 = 0; −I1 − I2 − I3 = 0; −7I + I = −19;

Lo escribamos en la forma matricial y resolvemos usando el m´etodo de Gauss–Jordan:     1 1 1 0 −1 −1 −1 0 −7 1 0 −19 0 −1 4 17     R2+= R1 R3+= 7R1 −−−−−−→     1 1 1 0 0 0 0 0 0 8 7 −19 0 −1 4 17     R2↔R4 −−−−→     1 1 1 0 0 −1 4 17 0 8 7 −19 0 0 0 0     R2∗=(−1) −−−−−−→   1 1 1 0 0 1 −4 −17 0 8 7 −19   R1−= R2 R3−= 8R2 −−−−−−→   1 0 5 17 0 1 −4 −17 0 0 39 117   R3∗=₃₉1 −−−−−→   1 0 5 17 0 1 −4 −17 0 0 1 3   R1−= 5R3 R2+= 4R3 −−−−−−→   1 0 0 2 0 1 0 −5 0 0 1 3  .

Respuesta: I1 = 2A, I2 = −5A, I3 = 3A. El valor negativo de I2 y significa que en realidad

la direcci´on de la corriente es opuesta a la dibujada en el dibujo original. Indicamos la respuesta en el dibujo: nodo 1 nodo 2 + − 30V 2A 7Ω + − 11V 5A 1Ω + − 28V 3A 4Ω trayectoria 1 trayectoria 2

Notemos que la corriente pasa a trav´es de la segunda pila (de 11V) en el sentido contrario, i.e. la pila est´a en el r´egimen de recarga.

6. Ejemplo. Determine las corrientes I1, . . . , I6 de la siguiente red: nodo 1 3Ω I5 nodo 3 nodo 4 + − _8V I6 nodo 2 + − 26V I1 4Ω I2 2Ω I3 4Ω + − 21V I4 1Ω trayectoria 1 trayectoria 2 trayectoria 3

Soluci´on. Apliquemos la ley de corrientes de Kirchhoff a los nodos 1, 2, 3, 4: I1+ I2− I5 = 0;

−I1− I2− I6 = 0;

I3 + I4+ I5 = 0;

−I3− I4+ I6 = 0.

Apliquemos la ley de tensiones de Kirchhoff y la ley de Ohm a las trayectorias 1, 2, 3: 26 − 4I1+ 2I2 = 0;

8 − 2I2− 3I5+ 4I3 = 0;

−21 − 4I3+ I4 = 0.

Escribimos el sistema de ecuaciones lineales en forma matricial y lo resolvemos usando el m´etodo de Gauss–Jordan (el sistema tiene una soluci´on ´unica):

       1 1 0 0 −1 0 0 −1 −1 0 0 0 −1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 −1 −1 0 1 0 4 −2 0 0 0 0 26        =⇒ I1 = 4; I2 = −5; I3 = −4; I4 = 5;

7. Ejercicio simple. Determine las corrientes I1, I2 e I3 de la siguiente red: nodo 1 nodo 2 + − 25V I1 5Ω 2Ω _I 2 + − 18V I3 4Ω trayectoria 1 trayectoria 2

Respuesta: I1 = 3A, I2 = 5A, I3 = 2A.

8. Ejercicio. + − _3V I4 8Ω + − 21V I5 1Ω + − 11V I6 4Ω 2Ω I1 1Ω I2 3Ω I3