Alicia Bruno
Universidad de La Laguna
En esta conferencia reflexionaremos sobre la enseñanza de las estructuras aditivas. En primer lugar, centraré los objetivos de la exposición debido a que en el campo de la investigación educativa, este tópico integra aspectos muy diferentes del aprendizaje matemático, como son los algoritmos de la suma y la resta, los problemas aditivos, o bien, las representaciones de los mismos.
El aprendizaje de la suma y la resta comienza en la etapa infantil de una manera informal, a través de situaciones cotidianas y está presente, con diferentes grados de abstracción, a lo largo de la escolaridad obligatoria, a medida que se introducen los sistemas numéricos. Nos centraremos en cómo las estructuras aditivas modelan situaciones cotidianas e implican la resolución de problemas aditivos, tanto con números positivos como negativos (también conocidos como problemas aditivos de enunciado verbal, PAEV). Dos son los sistemas numéricos en los que los problemas aditivos juegan un fundamental en la enseñanza y en la investigación, los números enteros no negativos (en los primeros años de la educación primaria) y los números enteros (en los inicios de la educación secundaria).
Es imposible en dos horas exponer resultados de un tópico sobre el que se han publicado muchos libros e innumerables artículos. Pretendo que este sea un espacio para debatir y reflexionar sobre determinados aspectos de las estructuras aditivas, pero siendo consciente de que sólo será una visión parcial del tema y que me dejo por detrás muchas citas de trabajos interesantes.
Se mostrarán resultados obtenidos por diferentes investigaciones internacionales sobre problemas aditivos con números positivos y negativos. Entre estas últimas, me apoyaré, por indicación de los organizadores, en algunos de los trabajos que hemos realizado en la Universidad de La Laguna (Tenerife, España).
La conferencia la he dividido en seis partes (ver esquema 1). En primer lugar, en la introducción se exponen algunas ideas sobre el aprendizaje numérico, ya que al hablar de las estructuras aditivas no podemos olvidar que éstas forman parte del aprendizaje numérico que van ha adquirir los alumnos en sus escolaridad obligatoria. En la segunda parte se muestra la clasificación de las situaciones numéricas y de los
hablaremos de la resolución de problemas con números positivos y negativos, respectivamente. Se expondrán algunas estrategias y dificultades de los alumnos.
También en el apartado dedicado a los números negativos, he introducido algunas ideas sobre el manejo de la recta numérica por parte de los estudiantes cuando representan situaciones aditivas. En la quinta parte, se expondrá, brevemente, una metodología de enseñanza de los números positivos y negativos experimentada en dos investigaciones, que puede aportar alguna idea sobre el tratamiento en el aula de estos problemas.
Terminaremos la conferencia con las conclusiones.
Esquema 1. Organización de la conferencia
1. Introducción
2. Estructuras aditivas: una clasificación.
2.1 Situaciones numéricas
2.2 Historias aditivas y problemas aditivos 3. Problemas aditivos con números positivos
3.1 Dificultades en la resolución de problemas aditivos con números positivos
3.2 Estrategias en la resolución de problemas aditivos con números positivos
4. Problemas aditivos con números negativos
4.1 Dificultades en la resolución de problemas aditivos con números negativos.
4.2 Estrategias en la resolución de problemas aditivos con números negativos.
4.3 Representación en la recta 5. La metodología redactar
6. Conclusiones
1. Introducción
El análisis didáctico de las estructuras aditivas no puede hacerse desconectado del resto de la enseñanza numérica. Es por ello que, en esta primera parte de la conferencia, situaré nuestra visión del aprendizaje numérico. Las ideas que se exponen están tomadas de diferentes trabajos que hemos realizado en la Universidad de La Laguna (Bruno y Martinón, 1999).
Las investigaciones didácticas sobre los números han sido muy numerosas, en especial las relativas a la enseñanza de los números enteros no negativos y de los racionales no negativos, y, en menor grado, las referentes a los números negativos y a los reales, como se observa en las revisiones de investigaciones de Dickson y otros (1984) y las que se realizan en Handbook of research on mathematics teaching and learning (Grouws, 1992). La mayoría de las investigaciones suelen centrarse sólo en un conjunto numérico y pocos trabajos analizan el proceso de enseñanza de los números en su totalidad, entendiendo por esto el conocimiento sobre los números que adquieren los alumnos a lo largo de su escolaridad, cómo se justifican las extensiones de los conjuntos numéricos, en qué momentos del proceso escolar y bajo qué criterios se conectan unos conjuntos numéricos con otros.
Las tendencias actuales en la enseñanza de los números (Verschaffel y De Corte, 1996; NCTM, 2003) indican que es necesario dedicar menos tiempo a los aspectos de procedimientos, a la práctica de técnicas de algoritmos y de manipulación simbólica, en favor de la actividad conceptual. Entre otros aspectos, destacan que en la enseñanza numérica es necesario:
1. Enfatizar por qué y cómo se producen las extensiones numéricas.
2. Construir un cuerpo coherente de conocimiento numérico, antes que hechos aislados y reglas para cada nueva clase de números.
3. Hacer traslaciones entre símbolos escritos y otras representaciones de los números.
4. Desarrollar un aprendizaje con una extensa fase conceptual y un amplio rango de situaciones.
5. Utilizar la resolución de problemas para dotar de significado a las operaciones y para ayudar a desarrollar los conceptos y habilidades matemáticas formales.
6. Desarrollar sentido numérico.
numéricas.
Si se pregunta a alumnos preuniversitarios o universitarios el tipo de números que manifiestan profundas confusiones Moreno y otros (2004). Robinet (1986) observó que los alumnos, a menudo, diferencian los tipos de números que constituyen los números reales por su escritura, y sólo por eso, dejando de lado las propiedades numéricas.
Por lo tanto, parece que no es suficiente un buen aprendizaje de cada sistema numérico, sino que se necesita conectar mejor unos sistemas con otros. Muchas veces el deseo de que los alumnos se desenvuelvan correctamente en un sistema numérico hace que se olvide que cada avance en el conocimiento numérico de los alumnos debe quedar englobado dentro de un proyecto numérico.
Alrededor del concepto de número hay un conjunto de ideas que tienen distintas manifestaciones: lo operativo y abstracto, las situaciones concretas y las representaciones gráficas, entre las que existen múltiples relaciones. La noción de campo conceptual (Vergnaud, 1990) es útil como marco para explicar estas ideas. Se entiende como campo conceptual al conjunto formado por las situaciones que se corresponden con una idea, así como por los conceptos y teoremas que permiten analizar estas situaciones como tareas matemáticas. Así, Vergnaud habla de campo conceptual aditivo o campo conceptual multiplicativo. Sin embargo, el conocimiento de los números es más amplio, en cierta forma se sitúa en el campo conceptual numérico (González, 1995).
Sasaki (1993) indica que muchos alumnos pueden efectuar cálculos operatorios correctamente y aplicar fórmulas, pero no pueden usar este conocimiento para resolver problemas. Además observa como muchos libros de texto enseñan el significado después de trabajar el cálculo rutinario, con lo cual los alumnos aprenden los procedimientos sin darles significado. En un deseo por dar significado al conocimiento matemático, Sasaki reconoce cuatro piezas de conocimiento o “mundos” que se pueden tener en cuenta en la enseñanza de las matemáticas:
1) el mundo real (conocimiento intuitivo que surge cuando el aprendiz resuelve problemas relevantes y realistas);
2) el mundo representativo (conocimiento concreto que implica conocer cómo manipular objetos para encontrar respuestas a los problemas);
3) el mundo computacional (conocimiento de cálculo que significa utilizar símbolos aplicando un conjunto de reglas procedimentales);
4) el mundo matemático (conocimiento reglado, es decir, leyes y propiedades matemáticas).
Sasaki señala que tradicionalmente estos mundos han sido estudiados de forma separada, y que una enseñanza correcta debe conectarlos, ya que el significado en la enseñanza de las matemáticas se consigue cuando los alumnos establecen correspondencias entre estos mundos y cuando saben seleccionarlos apropiadamente.
Cierta coincidencia tienen las ideas anteriores con las que expone Peled (1991) cuando expresa que el conocimiento que manifiestan los alumnos sobre el concepto de número negativo y de las operaciones de adición y sustracción puede ser clasificado en dos dimensiones: una dimensión cuantitativa y una dimensión de recta numérica. El conocimiento se manifiesta en la dimensión cuantitativa cuando se definen los números negativos como “cosas” de una característica desfavorable, tales como “deber dinero”.
En la dimensión de recta el alumno sabe que existen unos números, llamados números negativos, a la izquierda de cero en la recta.
Para reflexionar sobre los elementos del campo conceptual que rodean al concepto de número, distinguimos entre tres dimensiones del conocimiento numérico (ideas adaptadas de los trabajos de Sasaki, 1993 y Peled, 1981). (1) La dimensión abstracta (conocimientos referidos a los sistemas numéricos como estructuras matemáticas y a las formas de escritura de los números); (2) la dimensión de las representaciones (representación de los números sobre gráficos, la recta u otro tipo de diagramas); (3) la dimensión contextual (aplicaciones, situaciones concretas en las que se usan los números). El conocimiento numérico abarca, no sólo lo relativo a cada una de las tres dimensiones, sino también a las traducciones entre ellas.
Figura 1. Dimensiones del conocimiento numérico
Contexto
Representación Abstracto
En nuestros trabajos previos (Bruno y Martinón, 1999) planteamos que una visión unitaria de la enseñanza de los números contribuiría a establecer las correctas relaciones entre los números. Esta perspectiva unitaria significa que lo que se aprende acerca de los números a lo largo de toda la escolaridad forma parte de un único conocimiento numérico, el cual se va adquiriendo durante el proceso de aprendizaje, que debe tener un hilo conductor que lo unifique y lo haga homogéneo.
2. Estructuras aditivas: una clasificación
Como ya he comentado, nos centramos en cómo las estructuras aditivas modelan situaciones de la vida cotidiana, lo que implica la resolución de problemas aditivos de enunciado verbal. Esto significa analizar las estructuras aditivas tomando como foco principal la dimensión contextual, pero teniendo en cuenta que el conocimiento numérico no sólo afecta a cada una de las dimensiones, sino que también abarca las traducciones entre ellas. La suma 2+3=5 está expresada en la dimensión abstracta. El enunciado “Juan tenía 2 pesos y ganó 3; ahora tiene 5 pesos” corresponde a lo contextual y puede trasladarse a una representación en la recta de la siguiente forma:
2
3
5
En una enseñanza que atienda a las tres dimensiones antes descritas y a las traducciones entre ellas, la resolución de problemas aritméticos de enunciado verbal se convierte en un instrumento de gran utilidad. Los problemas de este tipo se encuentran situados en la dimensión contextual y su resolución puede proceder de un razonamiento en cualquiera de las tres dimensiones. En ocasiones, una mezcla confusa de razonamientos desarrollados en distintas dimensiones permite conjeturar que la argumentación utiliza varios tipos de traducciones entre las dimensiones.
En la enseñanza de la aritmética se realizan traducciones constantemente entre las dimensiones aunque muchas veces no se es consciente de ello y se abusa de determinadas traducciones, como las que pasan de la dimensión contextual a la abstracta, y se olvidan o se trabajan en menor medida otras traducciones, como las que pasan de la representación a lo contextual o de la representación a lo abstracto.
En un problema aditivo simple, es decir, en un problema aditivo en el que están implicados tres números, se puede distinguir diferentes aspectos que los hacen distintos entre ellos. Así, se puede considerar su estructura, la posición de la incógnita, los tipos de números y el contexto en que está redactado.
Las estructuras más usuales en la enseñanza de los problemas aditivos son las tradicionalmente conocidas como Combinación, Cambio, Comparación, Igualación (Carpenter y Moser, 1982; Ryley y otros, 1983). Sin embargo, utilizaremos en esta
hemos ampliado en Bruno y Martinón (1997a) y que se expone a continuación.
2.1 Situaciones numéricas
En primer lugar, diferenciamos entre historias aditivas simples y problemas aditivos simples de enunciado verbal, como lo hacen Rudnitsky et al. (1995). Una historia aditiva simple es una situación numérica que se describe con una adición a+b=c. Por ejemplo, "La temperatura por la mañana en la ciudad era de 7 grados sobre cero y a lo largo del día bajó 10 grados. La temperatura por la noche era de 3 grados bajo cero". Claramente, cada historia aditiva cuyo esquema es a + b = c, da lugar a tres problemas aditivos simples, según cual de las tres anteriores cantidades se convierta en incógnita. Diremos que los problemas son de incógnita 1, 2 ó 3 según que la incógnita sea a, b ó c, respectivamente (I1, I2, I3).
Distinguimos entre diversas situaciones numéricas o usos de los números:
Estados: expresan la medida de una cantidad de una magnitud en un cierto instante.
“La temperatura es 9 grados sobre cero”, "Debo 2 pesos".
Variaciones: expresan los cambios que se producen en una función estado con el transcurso del tiempo
“La temperatura subió 5 grados”, “Gané 9 pesos”.
Comparaciones: expresan la diferencia entre dos estados
“En Tenerife hay 4 grados menos que en México”, “Tengo 9 pesos más que tú”.
0 9
9
e1= 3 e2=5
et = 8
e1= 3 e2=5
et = 8
9
2.2 Historias aditivas y problemas aditivos
A partir de estas situaciones numéricas podemos encontrar cuatro diferentes historias aditivas o estructuras aditivas:
• Combinación (Combinación de estados)
estado parcial 1 + estado parcial 2 = estado total e1 + e2 =et
Jesús tenía 5 manzanas rojas y 3 manzanas verdes. En total tiene 8 manzanas.
Problema de combinación, incógnita 3
Jesús tenía 5 manzanas rojas y 3 manzanas verdes. ¿Cuántas manzanas tiene en total?
• Cambio (Variación de un estado)
estado inicial + variación = estado final ei + v = ef
Elena tenía 5 libros. Compró 3 libros más. Ahora tiene 8 libros.
e1= 5
e2= 8
c=3
v1= 5
v2= 3
vt= 8
Elena tenía 5 libros. Compró 3 libros más ¿Cuántos libros tiene ahora?
• Comparación (Comparación de estados)
estado 1 + comparación = estado 2 e1 + c = e2
Juan tiene 5 pesos y Pedro tiene 3 pesos más que Juan. Pedro tiene Pedro 8 pesos.
Problema de comparación, incógnita 3
Juan tiene 5 pesos y Pedro tiene 3 pesos más que Juan. ¿Cuántos pesos tiene Pedro?
• Dos cambios (combinación de variaciones sucesivas)
variación 1ª + variación 2ª = variación total v1 +v2 = vt
Juan ganó 5 pesos por la mañana y ganó 3 pesos por la tarde. A lo largo del día ganó Juan a 8 pesos.
Problema de dos cambios, incógnita 3
Juan ganó 5 pesos por la mañana y ganó 3 pesos por la tarde. ¿Cuántos pesos ganó Juan a
lo largo del día?
ei=5 v= 3
ef = 8
A continuación, aparece un resumen de los tipos de problemas.
Notación de los problemas aditivos (estructuras e incógnitas) Incógnita
Estructura
I1 I2 I3
Cambio ¿? + v = ef
Cambio1
ei + ¿? = ef Cambio2
ei + v = ¿?
Cambio 3 Combinación ¿? + e2 = et
Combinación1
e1+ ¿? = et Combinación2
e1+ e2 = ¿?
Combinación3 Comparación ¿? + c = e2
Comparación1
e1 + ¿? = e2 Comparación2
e1 + c = ¿?
Comparación3 Dos cambios ¿? + v2 = vt
Dos cambios1
v1 + ¿? = vt Dos cambios2
v1 + v2 = ¿?
Dos cambios3
3. Resolución de problemas con números positivos
La resolución de problemas aditivos de enunciado verbal con números positivos ha sido centro de interés de múltiples investigaciones, en especial entre los años 1970 y 1990. Téngase en cuenta que la resolución de estos problemas constituye una de las principales tareas de la enseñanza de las matemáticas en los diferentes cursos de la educación primaria. A pesar de las muchas horas que se dedican a su práctica, constituye uno de los aspectos más complejos para los alumnos.
La preocupación por este tema se ve reflejada en publicaciones monográficas (Carpenter and Moser, 1982) y queda patente en los libros dedicados a mostrar las investigaciones más importantes realizadas en Didáctica de las Matemáticas de los últimos años (Fuson, 1992; Verschaffel y De Corte, 1996). En estos textos pueden encontrarse múltiples referencias de publicaciones internacionales sobre los problemas aditivos con números positivos.
Las investigaciones han mostrado que los problemas no sólo difieren en el nivel de dificultad, sino también en la clase de estrategias que usan los niños y en la naturaleza de sus errores. Los resultados han servido para ayudar a los alumnos a construir una comprensión más completa sobre estas operaciones, ya que se han ideado métodos de instrucción más adecuados para la comprensión de los alumnos. Hay dos sistemas numéricos en los que los problemas aditivos juegan un papel esencial desde el punto de vista de la enseñanza, los números enteros no negativos y los números enteros, ya que los profesores, los materiales curriculares y los libros de texto dedican mucho tiempo y espacio al tratamiento de los mismos.
Expondremos a continuación el nivel de dificultad de los problemas y algunas estrategias de los estudiantes en el proceso de resolución de problemas aditivos con números positivos.
3.1 Dificultades en la resolución de problemas aditivos con números positivos
La experiencia y, desde luego, los resultados de las investigaciones nos dicen que cada estudiante tiene éxito distinto en problemas diferentes y que estudiantes distintos tienen éxito diferente en cada problema. Obsérvese los siguientes problemas:
(1) Antes Andrés tenía 2 pesos. Después ganó 3 pesos. ¿Cuántos pesos tiene ahora?
(2) Antes Andrés tenía 2 pesos. Ahora tiene 3 pesos más que antes. ¿Cuántos pesos tiene ahora?
(3) Antes Andrés tenía 2 pesos. Antes tenía 3 pesos menos que ahora. ¿Cuántos pesos tiene ahora?
Los tres problemas se corresponden con una misma situación: antes tenía 2, aumenta lo que tiene en 3 y ahora tiene 5; se diferencian en el modo de expresar lo que aumenta. Pues bien, esa expresión tiene gran importancia en el porcentaje de éxito ya que en una investigación que realizamos con alumnos de los primeros cursos de primaria (Bruno y otros, 2001) se obtuvieron diferentes porcentajes de éxitos, 94% en (1), 93% en (2) y 37% en (3).
En los esquemas 2 y 3, se muestran los grados de dificultad de los problemas de suma y resta en función de la estructura del problema y la posición de la incógnita, atendiendo a investigaciones realizadas en diferentes países (ver Dickson y otros, 1984).
Orden de dificultad para la suma
e1+ e2 = et ei + v = ef v1 +v2= vt
e1 + c = e2 ei+ v = ef
Más fácil Más difícil
Combinacion3 Cambio3
Cambio1 Comparación3
DosCambios2
Esquema 2. Orden de dificultad de los problemas de suma
Orden de dificultad para la resta
e1+ e2= et
ei + v = ef e1 + c = e2 ei + v= ef
v1 +v2= vt
Más fácil Más difícil
ei+ v = ef
Cambio3
Cambio1 Cambio2
Dos Cambios2
Combinacion2
Comparación3
Esquema 3. Orden de dificultad de los problemas de resta
Este orden no puede tomarse en sentido absoluto, ya que ninguno de los estudios incluyó todos los tipos de problemas y las edades de los alumnos eran diferentes, sin embargo, puede servir de orientación en el diseño de actividades y materiales curriculares. Lo más destacado es que, tanto para la suma como para la resta, los problemas de incógnita 1 y 2 son más difíciles que los problemas de incógnita 3, y en el lugar más alto de complejidad aparecen los problemas de estructura dos cambios con incógnita 2.
Se conocen otros factores que influyen en la dificultad de resolución de los problemas de sumar y restar son los siguientes sobre los que reflexionamos a continuación.
La forma de redactar los problemas
En los primeros niveles educativos, el lenguaje y la estructura lingüística tienen una gran importancia en la fase de comprensión del enunciado del problema. En ocasiones los niños hacen una traducción lineal del enunciado y se apoyan en las
“palabras clave” que aparecen (más, menos, añadir, quitar…) y en función del sentido de esas palabras, resuelven el problema con una suma o una resta.
Ejemplo 1
Miguel tenía 3 caramelos, compró algunos más y ahora tiene 7, ¿cuántos compró? 3 + 7 = 10
Ejemplo 2
Miguel tenía 8 caramelos, se comió algunos y ahora tiene 3, ¿cuántos se comió?
8 - 3 = 5
En el ejemplo las palabras claves “compró” y “más” pueden llevar al niño a escribir una suma, y en este caso, a un error. Mientras que en el ejemplo 2, la palabra
“comió” induce a efectuar una resta y por consiguiente, a una respuesta correcta.
Influyen también en la dificultad de los problemas el uso de términos desconocidos, el tiempo de los verbos, el abuso de los adverbios, la extensión del enunciado.
Los formatos de presentación
Los formatos de presentación que lleven a una mejor explicación de las situaciones dadas en el problema pueden facilitar el éxito en la resolución, especialmente en las primeras etapas cuando los niños no tiene aún lo que se llama
“esquema del problema”.
Orden de las proposiciones en el enunciado
El orden en que aparecen las proposiciones en el enunciado condiciona la dificultad del mismo. Esto afecta más a determinados problemas, por ejemplo, a los problemas de combinación (e1 + e2 = et), con incógnita una de las partes (I1 o I2), más que a los de cambio (I2) con incógnita la variación. En el siguiente ejemplo, a pesar de ser el mismo problema, la primera redacción resulta más sencilla para los niños que la segunda, debido a que en la primera la redacción se respeta la secuencia temporal de los sucesos.
Tengo 67 pesos, me gasto 33, ¿cuántas me quedan?
Me he gastado 33 pesos de las 67 que tenía, ¿cuántas me quedan?
La posición de la incógnita
Como ya vimos en el esquema 2 y 3, el dato desconocido o incógnita condiciona de manera determinante la dificultad de los problemas de sumar y restar. De manera general, en la siguiente tabla cada columna implica un grado mayor de dificultad.
Más fácil Más difícil
I3 I2 I1
a + b = ¿? a + ¿? = c ¿? + b = c a - b = ¿? a - ¿? = c ¿? – b = c
Tipos de números
Los problemas con números pequeños, pueden llevar a procedimientos de recordar hechos numéricos más que los problemas con números mayores. Hay triadas de números que resultan más fáciles de recordar que otras, para cada persona. Como curiosidad indicar que los problemas de resta con un 5, son más fáciles debido al uso de los dedos.
3.2. Estrategias infantiles para resolver problemas de suma y resta
Indican Carpenter y Moser (1982) que es una creencia falsa el que los problemas aditivos son difíciles para los niños de todas las edades, y que se deben practicar las operaciones de suma y resta antes de poder resolver problemas verbales simples. En sus estudios encontraron que los niños pueden resolver de manera eficiente problemas aditivos antes de recibir instrucción formal sobre ellos. Esto indica que los problemas pueden dar significado a las operaciones de suma y resta, y son una alternativa para introducirlas. Observaron ciertas estrategias empleadas por los niños para la ejecución y resolución de problemas de suma y resta básicas: la estrategia de modelización, la de utilizar la secuencia numérica, y el recordar hechos numéricos ya conocidos. Las estrategias suponen diferentes niveles de abstracción, desde utilizar objetos, a emplear una abstracción matemática, como es el manejo abstracto de los números. A continuación se exponen algunas estrategias de las anteriores.
Estrategias de modelización
En la estrategia de modelización, los niños utilizan objetos para modelizar la acción o las relaciones descritas en el enunciado del problema. Esta es la estrategia básica.
Ejemplos:
Para la suma
Contar todo. El niño representa ambas colecciones de objetos por separado, usando cubos o dedos, y vuelve después a contar desde el principio la colección compuesta.
Para la resta
Separar de. El niño forma el conjunto mayor de objetos, después separa de ellos, de una sola vez, un conjunto de objetos igual al sustraendo y cuenta la cantidad de objetos restantes.
Añadir. El niño forma el conjunto de objetos correspondiente al sustraendo y añade tantos objetos hasta tener el número que indica el minuendo. Después cuentan los objetos añadidos, encontrando así la respuesta.
Emparejamiento. El niño representa las colecciones de objetos indicadas en el minuendo y sustraendo. Las compara estableciendo una correspondencia uno a uno. La respuesta es el número de objetos que no tienen pareja.
Estrategias de la secuencia numérica
En esta estrategia los niños no construyen físicamente los conjuntos, sino que utilizan su conocimiento sobre los números y sobre el recuento.
Para la suma
Contar todo. Esta estrategia es similar a contar todo con objetos, pero el niño usa algún marcador o contador para saber cuando tiene que parar de contar, como pueden ser los dedos (pero aquí los dedos tienen una función diferente que en la estrategia de modelización, sirven para seguir el ritmo o la marca de la secuencia).
Contar a partir del número mayor. Empieza a contar a partir del sumando mayor. En 2 + 3, dice “tres” y cuenta “cuatro” y “cinco”.
Contar a partir del primer sumando. Empieza a contar a partir del primer sumando dado. En 3+6, empieza por 3 y cuenta 4, 5, 6, 7, 8 y 9.
Para la resta
Contar hacia atrás desde. El niño cuenta a partir del minuendo hasta que alcanza el sustraendo. La respuesta es la cantidad de números emitidos.
En 5-3, cuenta 4 y 3. Los dos dígitos emitidos indica la respuesta.
Contar partir de. El niño cuenta a partir del número menor hasta que alcanza el número mayor. La respuesta es la cantidad de números emitidos. En 5-3, cuenta 4 y 5. Los dos dígitos emitidos indica la respuesta.
Estrategias de hechos numéricos
Con esta estrategia los niños utilizan hechos numéricos que recuperan de la memoria.
Ejemplos
Para la suma y la resta
Hecho memorizado: el niño memoriza sumas y restas como si fuera tablas.
Hecho deducido: el niño hace un razonamiento del tipo:
“si 8 + 3 = 11 entonces 7 + 3 = 10”
“si 8 – 3 = 5 entonces 7 – 3 =4”
Estas estrategias se han recopilado en estudios que piden a los niños que resuelvan los problemas de una sólo forma, así que los datos que se analizan son las preferencias de los niños para un método de resolución y no informan sobre el abanico de posibilidades que tienen en los procesos de resolución. Sin embargo, sabemos que los niños pueden presentar múltiples procedimientos de resolución de los problemas en función de diferentes factores.
4. Estructuras aditivas y números negativos
La enseñanza de los números negativos con alumnos de 12 o 13 años, supone la modificación de creencias fuertemente arraigadas construidas a lo largo de la enseñanza primaria
Hay muchos alumnos que cometen errores al efectuar operaciones simples con números negativos. En general, la operación más sencilla de efectuar es la suma y la más difícil es la resta, ya que la multiplicación y división suelen resultar más fáciles que la resta. Las respuestas erróneas son debidas a malas aplicaciones de las reglas. A veces los alumnos inventan reglas falsas que les pueden llevar a resultados correctos o incorrectos, según sean los signos de los números, es por ello, que les resulta complicado modificarlas.
No debemos minimizar los errores de los alumnos, ya que son el reflejo de ciertas dificultades que producen los cambios en la introducción de los números negativos. Siguiendo la terminología de Socas (1997), podemos distinguir entre:
Dificultades asociadas a la complejidad de los objetos matemáticos
• Hay una nueva notación para los números positivos: +2 = 2.
• El signo menos tiene dos significados distintos, como signo del número y como operación de resta.
• Aparece una mayor complejidad sintáctica: paréntesis y signos.
• Se dan nuevas reglas para las operaciones.
Dificultades asociadas a los procesos de pensamiento matemático
• Los números negativos tienen menos usos que los números positivos. Por ejemplo, con los números negativos no podemos establecer el cardinal de un conjunto.
• Se identifican las operaciones de suma y resta.
• Hay un cambio en el efecto de las operaciones: sumar (multiplicar) no siempre es aumentar, restar (dividir) no siempre es disminuir.
Dificultades asociadas a los procesos de enseñanza
• La enseñanza basada sólo en las reglas que rigen la operatoria puede causar problema a muchos estudiantes que necesitan situaciones concretas en las que apoyarse.
• No se conecta con el conocimiento previo de los estudiantes sobre los números positivos.
Desde la perspectiva unificada del aprendizaje numérico, la resolución de problemas juega un papel primordial, ya que se pueden utilizar problemas con igual estructura que con los números positivos, por lo que los problemas se convierten en otro elemento unificador, además los mismo tipos de problemas pueden utilizarse con independencia de la extensión a los negativos que se realice.
El punto de partida en el análisis de los problemas aditivos con números negativos es utilizar lo que se conoce sobre los números positivos. Los alumnos en su etapa primaria han resuelto muchos problemas aditivos. Se trata ahora de ampliar esos problemas a contextos con números negativos, eligiendo estructuras de problemas ya utilizadas con anterioridad con los números positivos.
En la introducción de las operaciones con números negativos utilizando problemas hay cuestiones invariantes con respecto al aprendizaje con números positivos, como los tipos problemas en cuanto a su estructura y posición de la incógnita.
Combinación Cambio
Comparación
Combinación de variaciones
e1 + e2 = et ei + v = ef e1 + c = e2 v1 + v2 = vt
Sin embargo, hay otros aspectos en los que se producen cambios, como los tipos de números que se utilizan (positivos y negativos), ahora las operaciones de suma y resta se unifican (sumar es igual a restar), cada problema admite varias operaciones correctas para su resolución. Por ejemplo, el problema siguiente admite diferentes respuestas correctas:
¿Cuál es su posición después del descenso?
-3 + (-4) = -7 -3 - 4 = -7 3 + 4 = 7
Con los números negativos aparecen contextos nuevos y no usuales con números positivos como: deudas, temperaturas, nivel del mar, ascensor, cronología, carretera con un origen central, etc.
A pesar de que se conoce mucho sobre la resolución de problemas aditivos con números positivos, los resultados no pueden generalizarse a priori a los números negativos y no ha habido un esfuerzo por unificar resultados de los dos campos. Lo cierto es que el conocimiento previo sobre números positivos condiciona el aprendizaje de los números negativos.
4.1 Dificultad de los problemas aditivos con números negativos
Las investigaciones sobre problemas aditivos comienzan con los trabajos de Vergnaud (1976, 1982), los cuales marcaron las investigaciones posteriores sobre este tema. Las siguientes investigaciones han usado desde diferentes perspectivas la resolución de problemas aditivos como base para indagar en el conocimiento de los estudiantes sobre los números negativos: Bruno y Martinón (1997b), Conne (1985), Gallardo (2002), González, (1995), Marthe (1979), entre otros.
Al igual que ocurre con los números positivos las dificultades de los problemas vienen determinadas por los siguientes aspectos:
– La estructura del problema – La posición de la incógnita – El contexto
– Los tipos de números (signos de los números)
Es importante señalar dos cuestiones, primero no encontramos un esfuerzo por unificar la investigación realizada con números positivos y negativos en la resolución de problemas. De hecho, Fuson (1992) manifestó, en su revisión sobre la adición con números positivos, la necesidad de profundizar en los problemas con números negativos. Por otro lado, los resultados de las investigaciones con números negativos y
resolución de problemas están aún muy fragmentados, por lo que, por ejemplo, no se pueden establecer una jerarquía de dificultades de los mismos.
Parece que la principal dificultad de los problemas la determina la posición de la incógnita. Al igual que con números positivos, los problemas de incógnita 3 son más sencillos que los de incógnita 1 y 2.
También en otras investigaciones se ha demostrado cómo las estructuras condicionan la dificultad, con más fuerzo que los contextos. Así Verganud encontró los problemas de Cambio (ei +v = ef) más complejos que los de dos cambios (v1 + v2 = vt).
Por otra parte, el contexto es una variable muy importante en los problemas con números negativos. El contexto más sencillo para los alumnos se ha mostrado el de las deudas y en el otro extremo en el nivel de dificultad se encuentra el contexto de cronología, como se ha visto en Bruno (1997) y Borba (1995). La familiaridad de los alumnos con el contexto deber-tener antes de introducir los números negativos lleva a considerarlo como un contexto apropiado para introducir los números negativos. En contraposición, el contexto cronología necesita un trabajo específico de vocabulario, así como de comprensión de las situaciones temporales (antes/después de Cristo, años vividos, etc.). La poca relación real de los dos contextos citados con la representación en la recta hace necesario el uso de otros contextos más relacionados con la recta como carretera, nivel del mar o ascensor.
También sabemos que tipos de números influye en la dificulta de un problema, ahora agravado por el hecho que puede haber números positivos y negativos, y eso hace que la complejidad sintáctica de la resolución sea mayor. Por ejemplo, se ha visto que los problemas de dos cambios (v1 + v2 = vt) cuyas variaciones parciales (v1 y v2) tienen signos opuestos son más complejos que cuando tienen el mismo signo.
En los problemas de cambio, ei + v = ef, con incógnita el estado final, los problemas en el que el estado inicial es el cero, son más fáciles que cuando empieza en cualquier otro punto o cuando debe cruzar el cero.
negativos
En el caso de que se haya seguido una instrucción en la que la representación de los problemas en la recta haya sido usual, los alumnos resuelven los problemas aditivos con una operación (con números positivos o negativos) y/o mediante una representación en la recta, aunque hay variaciones en la resolución dependiendo del tipo de problema.
Los procedimientos de resolución de problemas de números negativos dependen, por un lado, del contexto y de la dificultad del problema. Para muchos los alumnos, los contextos deber-tener y cronología inducen a un menor uso de la recta que los otros contextos, aunque esto también depende del alumno que lo resuelva. Hay alumnos que tienen tendencia hacia el uso de la recta como apoyo para encontrar la solución y la operación adecuada con números negativos, mientras que otros no manifiestan esa tendencia.
También se ha visto que los alumnos prefieren usar la recta más en los problemas de incógnita 1 y 2 que en los de incógnita 3. Es decir, que los problemas más complejos son los que inducen a los alumnos a utilizar la recta numérica.
Lo cierto es que los alumnos tienen más éxito cuando emplean la recta que cuando resuelven el problema sólo con una operación, es decir, que la representación en la recta ayuda a razonar la operación que es necesaria para resolver el problema.
Veamos a continuación algunas estrategias seguidas por los alumnos al resolver problemas, tomadas de Bruno y Martinón (1997b). Estos procedimientos aparecen en determinados momentos del proceso de resolución, o al pedirles algunas explicación sobre cómo han entendido y resuelto los problemas.
a) Seguir el orden de los datos del enunciado.
b) Adaptar la operación al resultado de la recta c) Falsear el resultado de la operación
d) Interpretar incorrectamente el resultado
a) Seguir el orden de los datos del enunciado.
Cuando los alumnos resuelven los problemas con una operación, en muchas ocasiones escriben los números siguiendo el mismo orden en que aparecen en el enunciado del problema y con los signos que indican las situaciones.
Por ejemplo, ante el problema
Juan tiene en su casa 10 pesetas y debe a un amigo 15 pesetas, ¿cuál es su situación económica?,
Plantean, la operación 10-15.
Este procedimiento no causa errores en los problemas de incógnita 3, pero sí lleva a respuestas erróneas en los problemas de incógnita 1 y 2, ya que se aleja, en estos últimos problemas, de la operación adecuada para la resolución.
Con el siguiente ejemplo, tomado de un extracto de entrevista realizada a un alumno de secundaria (12 años), tomada de Bruno y Martinón (1997b), podemos observar este tipo de error, en la respuesta a un problema de estructura ei + v = ef (I2).
E. Una persona nació en el año 15 antes de Cristo y murió en el año 7 antes de Cristo. ¿Cuántos años vivió?
A. -15 - 7 = -22
15 7 22 +
Nació en el 15 antes de Cristo, sería negativo, y murió en el año 7 antes de Cristo sería negativo. Como menos y menos se suman, y se pone el signo del mayor. ¿Cuántos años vivió?.... Vivió 22 años,
E. Y los años que vivió ¿se pueden poner negativos?
A. Sí porque vivió en pasado, es -22.
E. ¿Qué significa que una persona vivió -22 años?
A. Que como ya está muerta, es -22.
Obsérvese que en este caso, además de seguir el orden y los signos del enunciado el alumno da una interpretación errónea del resultado negativo.
Esta forma de proceder nos parece muy importante porque explica el mayor grado de éxito en los problemas de incógnita 3 frente a los de incógnita 1 y 2
fácilmente a la operación correcta, para los de incógnita 1 y 2 les resulta más complejo.
Por el conocimiento que los alumnos tienen de los números positivos, la resta se asocia con la idea de “quitar” y en mucho menor grado con la idea de “diferencia de dos números”. Este concepto de resta como “quitar” se sigue utilizando en los problemas con números negativos, de ahí que sea costoso entender las operaciones en las que la resta indica una diferencia de dos cantidades y se tiende a ignorar el signo “-” de la diferencia identificándolo con el signo del número. En el ejemplo anterior, aparece una diferencia entre el estado final y el estado inicial, -7-(-15). Sin embargo, hay alumnos, como es el caso del alumno que se expone, que escriben -15-7, asociando el signo “-” de la resta con el del significado del 7 a.C.
Seguir este procedimiento en todos los problemas indica una ausencia de comprensión de las diferencias entre las estructuras de los problemas.
b) Adaptar la operación al resultado de la recta
El procedimiento adaptar la operación a la recta, se puede resumir de la siguiente forma: primero el alumno resuelve el problema en la recta, y a continuación busca una operación cuyo resultado coincida con el obtenido previamente en la recta.
En ocasiones, realiza varios intentos antes de conseguirla operación adecuada.
Esta forma de actuar se produjo, especialmente, en aquellos problemas en los que los alumnos no veían la operación inmediatamente y la observamos, con más frecuencia en los problemas de incógnita 1 y 2.
Aunque los alumnos consiguiesen la operación correcta con números negativos, en ocasiones, no implicó que relacionasen significativamente dicha operación con el enunciado del problema. Veamos un ejemplo de un problema con estructura ei + v = ef (I2) resuelto por un alumno.
E. Un edificio tiene 25 plantas más 5 plantas del sótano. El ascensor del edificio antes de moverse estaba en la planta 8 y después de moverse estaba en la planta 3 del sótano. ¿Cuál fue el movimiento del ascensor?
A. -11
E. ¿Qué pensaste exactamente?
A. Estaba pensando en el ascensor de mi edificio, que estaba en la planta 8 y bajó a la planta 3 del sótano, entonces bajó 11.
E. ¿Te lo imaginaste?
A. Sí, en la recta
8
-3
E. ¿Puedes plantearlo con una operación?
A. -3 - 8 = -11 E. Explícamelo.
A. -3 porque estaba en la 3 del sótano y ...., no sé, le resto 8.
Este tipo de comportamiento muestra que los alumnos tienen más seguridad en los resultados que obtienen en la recta que el que encuentran con la operación.
Asimismo, indica la dificultad para dar sentido a las operaciones con números negativos.
c) Falsear el resultado de la operación
En ocasiones, cuando los alumnos buscan una operación cuyo resultado coincida con el de la recta, plantean operaciones inadecuadas, sin embargo, la seguridad de que el resultado obtenido en la recta es el correcto les llevan a escribir un resultado falso o erróneo en la operación, de forma que coincida con el obtenido en la recta. Se entenderá mejor con las respuesta del alumno al problema de estructura e1 + c = e2 (I2).
E. La temperatura en Londres es de 5 grados sobre cero y en Moscú de 8 grados bajo cero. ¿Qué debe ocurrir con la temperatura en Londres para que sea igual a la de Moscú?
A. Tendría que bajar...,
-8 0 5
Tendría que bajar 13.
E. ¿Podrías resolverlo con una operación?
A. 15 - (-8), se suman y me da 13.
No, pero no... ese es otro problema, me tiene que dar negativo.
E. Pero si pones -13, ¿está bien?
A. No, pero es que a mi el truco me va a salir. Yo le añado el menos.
El ejemplo muestra a un alumno que es consciente de que el cálculo es erróneo, y a pesar de eso, no le importa dar una solución errónea, porque su convencimiento de la solución correcta está por encima de un problema de notación. El error no lo produce el no saber operar con números negativos, ya que muchas veces esto ocurre con alumnos que han demostrado conocer correctamente las reglas que rigen la operatoria de los números negativos, sino el deseo de obtener la misma solución en los dos métodos de resolución.
d) Interpretar incorrectamente el resultado
En ocasiones, las explicaciones dadas por los niños ponen de manifiesto una mala relación entre los contextual y lo numérico, mientras que en otras aparecen justificaciones forzadas.
E. Un edificio tiene 25 plantas más 5 plantas de sótano. El ascensor del edificio bajó 8 plantas y se paró en la planta 4 del sótano. ¿Dónde estaba el ascensor antes de realizar este movimiento?
A. -8 - 4 = -12
Estaría en la planta 12, por encima. Menos y menos se suman y da -12, pero como sólo tiene 5 plantas de sótano, estaría en la 12 por encima.
E. ¿Pero no te da negativo?
A. Da -12 porque me pregunta donde estaba, en pasado.
e) Tener reglas operatorias erróneas
Tener reglas operatorias erróneas lleva, a veces, a plantear operaciones incorrectas como solución del problema. Esto ocurre cuando el alumno sabe de antemano cual es la solución del problema, porque lo ha hecho en la recta, quiere plantear una operación cuyo resultado coincida con el obtenido en la recta, pero como sus reglas operatorias son incorrectas, plantea operaciones incorrectas o sin ninguna relación con el problema. En el ejemplo que exponemos a continuación se muestra este comportamiento de un alumno, en un problema de estructura e1 +c = e2 (I3).
E. Un coche está en el kilómetro 6 a la izquierda del cero y una moto está 11 kilómetros a la derecha del coche. ¿Cuál es la posición de la moto?
A. En el 5.
E. ¿Eso es lo que pensaste para llegar a la operación?
A. Me imaginé‚ la recta y lo que iba desde el -6 al 0, y luego lo que faltaba.
-6 0 5
E. ¿Puedes hacerlo con una operación?
A. -6 - 11 = 5
E. ¿Me lo puedes explicar?
A. -6 es donde estaba el coche y -11... para que me dé el resultado 5. Tengo que poner el signo menos, como menos y menos es más para que me dé el resultado positivo, que es el resultado.
Se puede ver como busca la operación para que le dé lo mismo que en la recta, pero lo hace incorrectamente porque aplica la regla de los signos de la multiplicación (“menos y menos es más”) en lugar de las de la resta.
Otras estrategias de resolución
En otros trabajos (Veragnaud, 1982; Conne, 1982) también se han recogido procedimientos de resolución determinados por la estructura del problema o la posición de la incógnita.
Problemas de cambio 2 (ei + v = ef)
Los alumnos siguen dos estrategias o procedimientos para resolver estos problemas, en los que la incógnita es la variación:
– procedimiento de la diferencia
• si v une dos estados, su valor es la diferencia – procedimiento del complemento
• buscar directamente lo que hay que añadir al estado inicial para obtener el estado final.
Veamos esto con un ejemplo.
durante la partida?
- Procedimiento de la diferencia
-5 - (+6) = -11 Pedro perdió 11 pesos - Procedimiento del complemento
-5 + 11 = +6 Pedro perdió 11 pesos
Problemas de cambio 1 (ei + v = ef )
Se han encontrado dos procedimientos - Procedimiento de la diferencia
• Diferencia entre el estado final y la variación – Procedimiento de la inversión
• Tomar la transformación inversa y sumarlo al estado final.
– Procedimiento del estado inicial hipotético
• Dar un estado inicial hipotético, aplicarle la transformación y comprobar si es correcto
Estos procedimientos se explican ahora con un ejemplo
Luis perdió 5 pesos en una partida y acabó la partida debiendo 3 pesos. ¿Cuántos pesos tenía al principio de la partida?
- Procedimiento de la diferencia
-3 - (-5) = 2 Luis tenía 2 pesos - Procedimiento de la inversión
- 3 + (+5) = 2 Luis tenía 2 pesos - Procedimiento del estado inicial hipotético 4 + (-5) = -1 No puede ser 3 + (-5) = -2 No puede ser 2 + (-5) = -3 Luis tenía 2 pesos
Problemas de dos cambios 3 (v1 + v2 = vt)
En estos problemas, a menudo los alumnos consideran la primera variación como el estado inicial. También encontró que los alumnos tienen dificultades para interpretar el resultado final como una variación, y muchas veces lo dan como un estado.
4.3 La representación en la recta de situaciones aditivas
Como hemos visto, la recta es una representación importante cuando se resuelven problemas aditivos con números negativos, sobre todo debido a que los contextos propios de los números negativos, como la temperatura, el nivel de mar, el ascensor…
inducen a pensar en una representación de la recta. En nuestra visión de la enseñaza de los números negativos la recta juega un papel esencial, por diferentes factores:
• Es una representación común a todos los sistemas numéricos.
• Ayuda a comprender la necesidad de “adjuntar” nuevos números.
• Identificar la recta con los números reales es una idea fundamental de las matemáticas y el orden de los números queda determinado por su posición en la recta.
• Las operaciones admiten una traducción sobre la recta.
Sin embargo, sabemos que la recta no es un modelo obvio para los estudiantes y necesita de una instrucción previa. Por otro lado, la representación de operaciones en la recta de manera abstracta resulta muy compleja. Esto nos lleva a dos cuestiones metodológicas importantes, primero que los alumnos deben estar familiarizados con la recta en su aprendizaje con los números positivos, y segundo, que deben estar habituados a encontrársela contextualizada en muchas ocasiones, para poder transferir el conocimiento a las operaciones abstractas.
Hemos realizado un trabajo con alumnos de bajo rendimiento en matemáticas para intentar caracterizar cuáles son los errores más frecuentes por parte de los estudiantes cuando representan en la recta. También se pueden encontrar resultados de dificultades de los alumnos al representar en la recta números negativos en Gallardo y Romero (1999).
Los errores que cometen los alumnos se pueden clasificar en dos grupos: errores de interpretación y errores de escritura.
• Errores de escritura: son errores de procedimiento o de hábitos de escritura que se cometen al escribir o al leer de la recta. Dentro de estos distinguimos:
Conteo Colocación
Orientación Flecha
representaciones que leen o que realizan en la recta con el concepto, la suma, la resta o el orden de números negativos. Son errores de tipo conceptual.
Denominamos los errores encontrados de la siguiente manera:
Representación aislada Escala
Traducción Reversibilidad
A continuación, describimos los errores más frecuentes de los anteriores utilizando resultados de las entrevistas realizadas a alumnos de bajo rendimiento en matemáticas de secundaria (12-13 años). Los resultados completos del trabajo se pueden encontrar en Bruno y Cabrera (en prensa).
Errores de escritura
Los errores de escritura son errores de procedimiento y no implican que el alumno no comprenda el significado conceptual de la representación en la recta. Hemos observado en este trabajo cuatro errores de escritura: colocación, flecha, conteo y orientación
Colocación
El error de colocación aparece cuando se tiene que representar una flecha (una variación) y el valor de la misma no se coloca encima o debajo de la flecha, sino en el extremo de la flecha. Esto puede llevar, en ocasiones, a la interpretación de la variación como un estado.
En la siguiente actividad:
La temperatura era de –4º y subió 6º.
Representa en la recta la situación y averigua cuál fue la temperatura después de esta subida.
un alumno responde de forma correcta y da como respuesta que la temperatura después de la subida era 2º. Sin embargo, la representación que hace en la recta es la siguiente:
-4 0 +6
Aunque este alumno no dibuja la flecha, realiza el movimiento con la mano y coloca +6 en el lugar de +2. Como hemos dicho, eso no le impidió dar una repuesta correcta, sin embargo, la representación es incorrecta.
Flecha
El error de flecha tiene que ver, como el caso anterior, con las representaciones con flechas de las variaciones. Ahora el error se produce cuando se representa la variación con una flecha en la que se señalan los dos extremos con una punta de flecha.
Con esta representación no es posible averiguar si es una variación positiva o negativa.
Con el siguiente ejemplo se ejemplifica este error. Se pidió a los estudiantes la actividad siguiente:
Mi hermano tiene 5 euros y yo debo 1 euro.
Representa esta situación en la recta. ¿Cuántos euros tiene mi hermano más que yo?
La respuesta de un alumno en la que se observa el error de flecha fue la siguiente:
-1
4
5 0
En este caso se puede observar también que la representación en la recta no ayudó al alumno a encontrar una respuesta correcta al problema. El alumno realizó mentalmente la resta 5 – 1 = 4 y representó 4 en la recta, aunque la flecha tenía una longitud de 6 unidades.
Conteo
El error de conteo se produce cuando se cuentan de forma incorrecta los espacios entre los números en la recta.
error de conteo:
Juan cogió el ascensor en el piso 3 del sótano y se bajó en el piso 5.
Representa en la recta la situación y averigua cuál fue el movimiento del ascensor.
La respuesta de un alumno fue:
+9
-3 0 5
En este caso, el alumno hace una correcta interpretación de la situación del enunciado y representa una situación aditiva. Sin embargo, comete un error de conteo, ya que indica que la variación es 9, siendo 8 la respuesta correcta. Este error se ha producido por que ha contado tanto la raya del origen como del extremo de la flecha.
Errores de interpretación Traducción
El error de traducción aparece cuando el alumno no asocia una representación en la recta como modelo de una situación concreta (concepto, suma o resta) o por el contrario, cuando a partir de una situación concreta no la representa en la recta.
Se encontró este error al plantearles que dieran un ejemplo de una situación real que se correspondiese con una representación concreta, como en el siguiente ejemplo:
Dime una situación que se represente de la siguiente forma
-2
+9
7
En esta actividad, algunos alumnos entrevistados de nuestra investigación expresaron una situación aditiva del tipo: estado inicial + variación = estado final, todos ellos de forma correcta. Una de las respuestas dadas fue la siguiente:
“Estaba en el piso -2 y subí 9 pisos. Me bajé en el piso +7”.
Sin embargo, a otros 3 alumnos, la representación en la recta no les evocó ninguna situación de las usuales. Así por ejemplo, hemos clasificado como error de traducción la respuesta de un alumno al decir:
“Me quitaron dos gomas, me compré 9 y tengo 7”
Este alumno utiliza los tres números que aparecen en la recta, pero describe una situación que no se corresponde con la representación.
Representación aislada
Este error se produce cuando a partir de una situación aditiva se representan en la recta los tres números implicados con tres puntos aislados y sin establecer conexión en ellos.
Por ejemplo, se pidió a los alumnos la siguiente actividad en la que debían representar la situación concreta en la recta:
Juan cogió el ascensor en el piso 3 del sótano y se bajó en el piso 5”.
Representa en la recta la situación y averigua cuál fue el movimiento del ascensor.
La situación dada se corresponde con una del tipo:
estado final - estado inicial = variación,
la cual no fue resuelta correctamente por ningún alumno de los entrevistados, pues todos hicieron una interpretación errónea del enunciado.
La representación que mostramos a continuación, realizada por un alumno, es un ejemplo de lo que hemos denominado error de representación aislada.
-3 0 +2 +5
Para este alumno la situación aditiva dada no tiene una interpretación significativa en la recta, ya que los tres valores son puntos aislados en la recta.
resultan menos difíciles que las traducciones entre lo abstracto y la recta.
Recta
Abstracta Contextual
Más fácil
Recta
Abstracta Contextual
Más dificil
5. La metodología redactar
Una conclusión importante a la que llegó Bell (1986) es que resulta necesario que los alumnos comprendan las diferencias entre las diversas estructuras para que mejoren en la resolución de los problemas.
Rudnitsky et al. (1995) también manifiestan la importancia de que los alumnos distingan las estructuras de los problemas con el objeto de mejorar la correcta resolución de los mismos. En dicho trabajo presentan una investigación sobre problemas aditivos simples de números positivos, con las estructuras Combinación, Cambio y Comparación, en la que se siguió una metodología de enseñanza consistente en que los alumnos redactaran los enunciados de las historias y los problemas, los clasificaran según las estructuras y, por último, los resolvieran. La citada metodología produjo mejoras en la resolución de los problemas aditivos de números positivos por parte de los alumnos.
En Bruno (2000) diseñamos una investigación similar a la descrita en Rudnitsky et al., pero en nuestro caso, sobre problemas aditivos de números negativos y añadiendo además la estructura Dos Cambios. Es decir, realizamos una experiencia en el aula en la que se siguió una metodología de enseñanza, que a partir de ahora la denominaremos metodología redactar, consistente en que los alumnos redactaron historias y problemas con números negativos, los clasificaron, y los resolvieron posteriormente.
El objetivo de pedir a los alumnos que escribieran historias y sus correspondientes problemas fueron dobles:
- facilitar la identificación de las estructuras
- resaltar cómo cambian los problemas según la incógnita.
Esto último da la oportunidad de que los alumnos perciban los diferentes cálculos que es preciso formular, según la posición de la incógnita.
La metodología seguida en ambas experiencias se detalla a continuación.
1. Presentación de historias de números positivos. Se presentan historias de las cuatro estructuras con números positivos (o negativos) y se debate su clasificación.
2. Escribir historias. Los alumnos escriben historias, las clasifican, las intercambian con los compañeros y discuten si las clasificaciones son correctas.
3. Escribir historias y sus problemas. Se presenta una historia y sus correspondientes problemas. Los alumnos escriben los problemas que surgen a partir de una historia
Algunos de los problemas se escogen para ser discutidos con toda la clase.
4. Escribir historias y sus problemas según una estructura. Los alumnos escriben y resuelven problemas correspondientes a una historia de una estructura concreta indicada, intercambiándolos con los compañeros.
Para facilitar que los alumnos clasifiquen los problemas según sus estructuras se puede utilizar la siguiente nomenclatura para los distintos problemas:
Combinación: Todo junto Cambio: Algo ocurre Comparación: Compara Dos cambios: Dos cambios
Ejemplos de historias y problemas redactados por los estudiantes
La metodología consistente en que los alumnos redactaran las historias y los problemas es ser novedosa para los alumnos. Inevitablemente pueden surgir historias diferentes a las estructuras dadas.
En Bruno (2000) se observó que algunos alumnos empezaban a redactar las historias o los problemas sin saber el final de los mismos y, en ocasiones, escribieron problemas más complicados que los requeridos, e incluso incalificables.
Ejemplo 1. Coco y Pepe están pescando con sus barcas. Coco tiene 5 pescados y Pepe 12, más tarde a Pepe se le caen 9 pescados, en total Pepe tiene -2 pescados respecto al otro pescador, en total tiene los dos 7 pescados.
En este ejemplo los alumnos redactan una historia en la que se pueden encontrar tres estructuras de problemas: primero Cambio, luego Comparación y, por último, Combinación (en este caso, el número correcto es 8, y no 7 cómo expresan los alumnos).
Desde luego, esto es muy interesante, porque muestra situaciones que interesan a los alumnos y pueden ser usadas para considerar problemas más familiares para ellos.
Además, algunas de las cuestiones que surgen en el debate con los alumnos se pueden usar para profundizar en los problemas y sus correspondientes operaciones. Por ejemplo, cuando expresan algún dato de más, o cuando no queda claro lo que se pide.
A veces se encuentra un problema de lenguaje en la dificultad de la clasificación. En concreto, si en el enunciado de la historia o del problema aparece la expresión "En total", esto lleva a los alumnos a pensar en la estructura Combinación. En el ejemplo 2, los alumnos clasificaron la historia como Combinación, siendo del tipo
“Dos cambios”.
Ejemplo 2. Seedorf y Kluivert estaban jugando a los boliches. Seedorf perdió - 20 boliches y Kluivert -19. Cuando acabaron la partida vieron que habían perdido en total -39 boliches.
Se exponen ahora algunos ejemplos de las dificultades y errores que encontramos en el paso de las historias a los problemas.
Al redactar dos problemas que surgen de la misma historia, uno es correcto y el otro incorrecto, o se escriben con estructuras diferentes, o bien se escriben dos problemas de la misma incógnita con enunciados "ligeramente" diferentes. Esto último lo encontramos en los ejemplos 3 y 4, correspondientes a una misma historia. El ejemplo 3 corresponde a la estructura “Dos cambios” (aunque no redactaron la variación total de forma correcta), mientras que el ejemplo 4 tiene la estructura “Algo ocurre” con incógnita 3:
Ejemplo 3. En una guagua suben 10 personas en la primera parada, y en la segunda parada bajan 13 personas ¿Cuántas personas quedan en la guagua?
Respuesta del alumno: personas suben - personas bajan = solución total;
10 - -13 = - 3 personas.
Ejemplo 4. En la primera parada de una guagua hay 13 personas, y al llegar al final del trayecto se han bajado 3 personas. ¿Cuántas personas quedan en la guagua?
Respuesta del alumno: Personas hay - Personas bajan = Solución total;
13 - 3 = 10 personas.
Los problemas de la estructura “Dos cambios” (v1 + v2 = vt) poseen una dificultad bien descrita en la literatura (Bruno y Martinón, 1997b) y que en nuestra experiencia hemos confirmado: hay alumnos que necesitan tener el soporte de un estado inicial y otro final, de modo que en realidad escriben historias con estructura ei + v1 + v2
implícitamente (ejemplo 5).
Ejemplo 5. Paula está en la puerta del instituto camina hacia la derecha 10 metros y después 13 metros hacia la izquierda ¿en qué posición está?
En nuestra experiencia se puso de manifiesto que las situaciones con estructura “Dos cambios” son, en cierta forma, irreales para muchos alumnos. Para ellos lo lógico es dar la posición inicial, los dos cambios y la posición final. Se observó que pueden entender la historia, pero cuando se les propone escribir otra historia similar, insisten en expresar la situación final. Es cierto que en su vida cotidiana no son frecuentes los problemas de esta estructura. También en la práctica escolar con números positivos no suelen usarse con insistencia, lo cual puede remediarse, porque son problemas que evidentemente tienen sentido tanto con números positivos como con negativos, y su uso con los positivos mejoraría el trabajo con los negativos, que es donde usualmente aparecen.
En el ejemplo 3 esta interpretación llevó a los alumnos a una solución absurda ("quedan -3 personas en la guagua"), porque no interpretan el resultado final como una variación, sino como un estado.
La metodología utilizada mostró que las mayores dificultades no se encuentran en la redacción de las historias y de los problemas, sino en la resolución los mismos, ya que fue la mayor fuente de errores.
Comentamos ahora aspectos relacionados de manera más directa con el lenguaje que usan los alumnos o con su forma de expresarse.
A los alumnos se les comentó que estábamos interesados en trabajar problemas de números negativos, por eso encontramos en sus redacciones el uso de contextos usuales de los negativos, pero también otros contextos o expresiones que denotan negatividad (morir, quemar, faltar, tirar piedras, vender).
• "Fallecieron -168 personas"
• "Se quemaron -125 hectáreas"
• "Le faltan -2000 pesetas"
El ambiente en una clase que sigue la metodología redactar es bien diferente al que existe cuando se utilizan otros métodos más tradicionales, en las que el profesor explica y los alumnos practican a continuación. Aquí los alumnos trabajan por parejas, redactan problemas, los intercambian y alguno de ellos se elige para ser discutido con
toda la clase, momento que el profesor utiliza para referirse a las ideas que considera necesarias. Una metodología así implica que en la clase haya "más ruido". Esto puede provocar dificultades con alumnos que tienden a perder la concentración con facilidad.
En uno de los grupos que participaron en la investigación, la profesora manifestó haber tenido dificultades para controlar la clase en algún momento.
Otros aspectos que destacaron los profesores fueron los siguientes:
• Se progresa más lentamente que en la habitual, porque además de resolver problemas hay que escribirlos y discutir las estructuras. Será útil si, finalmente, es un tiempo ganado en comprensión.
• Los alumnos tienen diferentes ritmos cuando redactan los problemas, por lo que el profesor debe tener preparadas algunas tareas para los alumnos que terminan pronto.
• Los alumnos pueden manifestar cansancio al escribir las historias y los problemas.
De hecho, en ocasiones, escribieron directamente los problemas sin redactar la historia inicial, o sólo escribieron dos de los tres problemas que surgen de una historia.
• La evaluación del método es diaria, implica un seguimiento diario por parte del profesor sobre cómo evolucionan los alumnos, no se puede dejar para el final.
• El papel del profesor es diferente al tradicional, ya que por un lado se rompe el esquema habitual de clase: explicación del profesor y, luego, práctica de ejercicios.
A través de esta metodología se puede controlar el nivel de comprensión de los enunciados de los problemas que tienen los estudiantes.
La metodología ha sido útil para entender determinadas dificultades de algunos alumnos con estos problemas. La forma de expresarlos nos muestra la idea que tienen de los mismos. Por ejemplo, en los problemas de comparación de estados, o combinación de variaciones sucesivas, la forma en la que escriben nos ha dado pistas de cómo entienden las situaciones. La importancia de los aspectos lingüísticos en la resolución de problemas también se observa cuando el uso de una palabra con connotaciones negativas les lleva, en ocasiones, a escribir una resta.
