INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICA UNIDAD PROFESIONAL TICOMAN INGENIERIA EN AERONAUTICA

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICA UNIDAD PROFESIONAL TICOMAN

INGENIERIA EN AERONAUTICA

T E S I S

QUE PARA OBTENER EL TITULO DE:

INGENIERO EN AERONAUTICA

P R E S E N T A : CECIA ZENDEJAS MORALES

ASESORES:

M. en C. MARTIN JULIAN FERNANDEZ CUETO ING. VICTOR MANUEL SAUCE RANGEL

MEXICO, D.F. DICIEMBRE 2008

“EVALUACION DEL COMPORTAMIENTO NO LINEAL DE PÉRDIDAS DE METAL EN TUBERÍAS DE PARED

DELGADA BAJO PRESIÓN INTERNA”

INDICE

Pág.

SIMBOLOS Y ABREVIATURAS v

LISTA DE FIGURAS viii

LISTA DE GRÁFICAS xii

LISTA DE TABLAS xiv

RESUMEN 1

INTRODUCCIÓN 2

OBJETIVO 4

JUSTIFICACIÓN 5

ANTECEDENTES 6

CAPITULO I. ESTADO DEL ARTE 11

CAPITULO II. CONSIDERACIONES TEORICAS

2.1 Introducción 15

2.2 Análisis de esfuerzos en recipientes cilíndricos sometidos a presión

interna 16

2.2.1 Comportamiento no lineal del material 17

2.2.2 Criterios de cedencia 19

2.2.3 Regla de flujo 20

2.2.4 Regla de endurecimiento 21

2.2.5 Formulación general para pequeñas deformaciones en plasticidad 22

2.3 Método del elemento finito (MEF) 25

2.3.1 Operación fundamental 26

2.3.2 Estructuras y elementos 28

2.3.3 Formulación del elemento 30

CAPITULO III. MÉTODOS PARA LA EVALUACIÓN DE TUBERÍAS CON PÉRDIDAS DE METAL

3.1 Introducción 38

3.2 Consideraciones básicas para el diseño de tuberías 39

3.2.1 Selección del factor de diseño 40

3.3 Criterio ANSI/ASME B31G 42

3.3.1 Aplicación y limitaciones del procedimiento 43

3.3.2 Procedimiento de análisis 44

3.3.3 Longitud máxima permisible (L) del defecto 46

3.3.4 Evaluación de la presión de operación máxima permisible 48

3.3.5 Evaluación del esfuerzo remanente 50

3.4 Criterio ASME B31G Modificado 52

3.5 Práctica Recomendada API RP 579 54

3.5.1 Aplicación y limitaciones del procedimiento 54 3.5.2 Perfil de Espesor Crítico en tuberías (CTP) 58 3.5.3 Evaluación general de la pérdida de metal generalizada 60 3.5.4 Evaluación de la pérdida de metal local 64 CAPITULO IV. SIMULACIÓN DE LOS CASOS DE ESTUDIO

4.1 Introducción 72

4.2 Modelos de experimentación numérica 73

4.3 Pruebas de tensión en probetas de acero API 5L X52 77

4.3.1 Ensayo de tensión 77

4.4 Definición de los pasos de carga en el análisis no lineal 81 CAPITULO V. RESULTADOS Y ANÁLISIS COMPARATIVO

5.1 Introducción 85

5.2 Resultados del ensayo a tensión 86

5.2.1 Propiedades mecánicas del acero API 5L-X52 88

5.3 Resultados de la evaluación API RP 579 89

5.3.1 Análisis de resultados de la evaluación API RP 579 94 5.4 Resultados del criterio de evaluación ASME B31G 96 5.4.1 Análisis de resultados del criterio de evaluación ASME B31G 97

5.5 Resultados del análisis no lineal por MEF 99

5.5.1 Análisis de resultados del análisis no lineal por MEF 102

CONCLUSIONES 104

REFERENCIAS 107

ANEXO 1. DISTRIBUCIÓN DEL ESFUERZO DE VON MISES PARA LOS CASOS DE ESTUDIO

110

ANEXO 2. PARÁMETROS API Y PERFILES DE ESPESOR CRÍTICO 116

ANEXO 3. PROCEDIMIENTO PARA REALIZAR UN ANÁLISIS NO LINEAL 132

SIMBOLOS Y ABREVIATURAS

A Área de la pérdida de metal a través del espesor A

Área original

AGA American Gas Association API American Petroleum Institute

ASME American Society of Mechanical Engineers ASTM American Society for Testing and Materials β Orientación del defecto en forma de ranura

c Longitud de la pérdida de metal máxima en la dirección circunferencial CTP Critical Thickness Profile

D Diámetro exterior del tubo (según ASME B31G) D Diámetro interior del tubo (según API)

D.N. Diámetro Nominal

d Profundidad máxima medida en el defecto e Eficiencia de la unión soldada

E Modulo de Elasticidad del material

e

Eficiencia de la unión soldada en la dirección circunferencial e

Eficiencia de la unión soldada en la dirección longitudinal F.S. Factor de seguridad

f

Factor de diseño por presión interna FCA Future Corrosion Allowance

FFS Fitness-For-Service

g

Longitud del defecto en forma de ranura g

Ancho del defecto en forma de ranura g

Radio del defecto en forma de ranura IMP Instituto Mexicano del Petróleo

L Longitud máxima permisible del defecto (según ASME B31G) L Longitud para el espesor promedio (según API)

Lm Longitud del defecto

L

Distancia a la discontinuidad estructural más cercana LOSS Pérdida de Metal

LTA Locally Thin Area

λ Parámetro de longitud del defecto longitudinal



Parámetro de longitud del defecto circunferencial

M Factor de abultamiento (según ASME B31G) M Factor de Folias (según ASME B31G Modificado)

M

Factor de Folias (según API)

MAOP Maximum Allowable Operating Pressure (según ASME B31G) MAWP Maximum Allowable Working Pressure (según API)

MAWP Presión de operación máxima permisible para un esfuerzo circunferencial

MAWP Presión de operación máxima permisible para un esfuerzo longitudinal

MAWP

Presión de operación máxima permisible reducida

 Relación de Poisson NDE Prueba No Destructiva P Presión de diseño

P’ Presión máxima de seguridad P

Presión de falla

R Radio exterior del tubo (según ASME B31G) R Radio interior del tubo (según API)

R

Relación de espesor remanente RP Recommended Practice

RSF

Allowable Remaining Strength Factor S Esfuerzo permisible

s Longitud de la pérdida de metal máxima en la dirección longitudinal SMYS Specified Minimum Yielding Strength

 Esfuerzo aplicado



Esfuerzo principal en la dirección circunferencial



Esfuerzo principal en la dirección longitudinal σ

Esfuerzo de falla

σ

Esfuerzo de flujo



Esfuerzo de cedencia

 Esfuerzo de flujo



Esfuerzo último a tensión



Esfuerzo de von Mises T Factor de temperatura t Espesor nominal del tubo t

Espesor promedio medido

c

t

Espesor promedio medido en la dirección circunferencial

s

t

Espesor promedio medido en la dirección longitudinal

t

Espesor mínimo requerido

C

t

Espesor mínimo requerido para un esfuerzo circunferencial

L

t

Espesor mínimo requerido para un esfuerzo longitudinal t

Espesor mínimo medido

t

Espesor requerido para cargas adicionales TSF Tensile Strength Factor

UT Inspección por ultrasonido

UTS Ultimate Strength Tensile

LISTA DE FIGURAS

Pág.

Figura A.1 Comparación de incidentes en tuberías destinadas al transporte

de diferentes productos. 6

Figura A.2 Corrosión interna en una tubería de conducción. 7 Figura A.3 Corrosión externa en una tubería enterrada. 7 Figura A.4 Desprendimiento del recubrimiento de una tubería enterrada. 8

Figura A.5 Falla de una tubería por corrosión. 8

Figura A.6 Proceso de evaluación de defectos en tuberías. 9

Figura A.7 Falla de una tubería con defecto. 10

Figura 2.1 Esfuerzos en un recipiente cilíndrico a presión interna. 16 Figura 2.2 Curva esfuerzo-deformación (comportamiento no lineal con

endurecimiento por deformación parabólico). 17 Figura 2.3 Curva esfuerzo-deformación (comportamiento elastoplástico

ideal con endurecimiento por deformación lineal). 18 Figura 2.4 Comparación entre el criterio de cedencia de Tresca y von

Misses. 20

Figura 2.5 Modelos matemáticos para el comportamiento de

endurecimiento por deformación. 21

Figura 2.6 Dominio de un sólido estructural continuo tridimensional. 25

Figura 2.7 Sistema de resortes unidimensional. 26

Figura 2.8 Elemento resorte unidimensional. 27

Figura 2.9 Elemento cuadrilátero bidimensional. 33

Figura 2.10 Elemento hexaedro de primer orden. 36

Figura 3.1 Dimensiones de la tubería. 39

Figura 3.2 Factores de seguridad en la presión de diseño. 40 Figura 3.3 Procedimiento para el análisis de esfuerzo remanente en

tuberías con defectos por corrosión. 44

Figura 3.4 Parámetros para el análisis de resistencia remanente. 46

Figura 3.5 Curva para determinar el valor de B. 47

Figura 3.6 Gráficas para obtener P’ en función de (d/t) para valores de A

Figura 3.7 Dimensiones del Defecto. 51

Figura 3.8 Ejemplo de una reparación por desbaste. 54

Figura 3.9 Modelo de elementos finitos (continuo tridimensional). 56 Figura 3.10 Procedimiento para evaluar una tubería con pérdida de metal. 57

Figura 3.11 Planos de inspección en tuberías. 58

Figura 3.12 Perfil de Espesor Crítico. 59

Figura 3.13 Longitud de la pérdida de metal máxima. 59

Figura 3.14 Dimensión del defecto tipo LTA. 64

Figura 3.15 Dimensión del defecto en forma de ranura – Perfil del defecto. 65 Figura 3.16 Orientación del defecto en forma de ranura. 65 Figura 3.17 Criterio de Filtración Nivel 1 para Pérdida de Metal Local. 67 Figura 3.18 Criterio de Filtración Nivel 1 para la Extensión Circunferencial

Máxima Permisible de una Pérdida de Metal Local. 69 Figura 3.19 Definición de las áreas utilizadas para calcular el RSF de una

región con Pérdida de Metal Local en una Evaluación Nivel 2. 71 Figura 4.1 Geometría y dimensiones de las pérdidas de metal

consideradas en el tubo. 74

Figura 4.2 Modelo de elementos finitos del tubo con pérdida de metal

orientada en la dirección longitudinal. 75

Figura 4.3 Modelo de elementos finitos del tubo con pérdida de metal

orientada en la dirección circunferencial. 76

Figura 4.4 Modelo de elementos finitos del tubo con pérdida de metal

orientada a un ángulo  con respecto al eje longitudinal del tubo. 76 Figura 4.5 Probetas para el ensayo de tensión uniaxial. 77 Figura 4.6 Probeta con extensómetro, colocada en la máquina de pruebas. 78

Figura 4.7 Diagrama Esfuerzo-Deformación. 80

Figura 4.8 Proceso iterativo de solución por el método de Newton-

Raphson. 81

Figura 4.9 Solución de los Pasos de Carga. 82

Figura 4.10 Incremento de tiempo por cada incremento de carga. 83 Figura 5.1 Distribución de esfuerzos von Mises para un defecto longitudinal

(Lm: 6.2830 plg). 101

Figura 5.2 Distribución de esfuerzos von Mises con un esfuerzo nominal de

72% del SMYS para un defecto longitudinal (Lm: 6.2830 plg). 102

Figura AN1.1 Esfuerzo de Cedencia. ( 

). 110

Figura AN1.2 Esfuerzo de Flujo. ( 

). 110

Figura AN1.3 Resistencia Última a la Tensión. ( 

). 110 Figura AN1.4 Diagrama de Esfuerzos von Mises (Esfuerzo-Carga), en psi. 110

Figura AN3.1 Extrucción del Aluminio. 133

Figura AN3.2 Geometría de la placa con un concentrador de esfuerzos en el

centro. 134

Figura AN3.3 Área rectangular. 135

Figura AN3.4 Área rectangular y circular. 136

Figura AN3.5 Un cuarto de placa. 137

Figura AN3.6 Área rectangular 1. 139

Figura AN3.7 Área rectangular 2. 139

Figura AN3.8 Plot Lines. 139

Figura AN3.9 Área a dividir. 140

Figura AN3.10 Líneas que dividen. 140

Figura AN3.11 Áreas a borrar. 140

Figura AN3.12 Área dividida. 141

Figura AN3.13 Número de áreas. 141

Figura AN3.14 Borrar área 7. 142

Figura AN3.15 Arco a dividir. 142

Figura AN3.16 Arco dividido. 142

Figura AN3.17 Generar línea recta. 143

Figura AN3.18 Líneas que definen el área 1. 144

Figura AN3.19 Áreas definidas por líneas. 144

Figura AN3.20 Área definida para la malla de elementos finitos. 144

Figura AN3.21 Líneas a dividir. 145

Figura AN3.22 Malla de Elementos Finitos. 146

Figura AN3.23 Líneas para la condición simétrica. 150

Figura AN3.24 Restricciones simétricas. 150

Figura AN3.25 Selección de los nodos. 152

Figura AN3.27 Selección en Basic. 153

Figura AN3.28 Selección en Sol’n Options. 153

Figura AN3.29 Gráfico que muestra el proceso de solución iterativo. 155

Figura AN3.30 Distribución de Esfuerzos Von Mises. 156

LISTA DE GRÁFICAS

Pág.

Gráfica 5.1 Diagrama esfuerzo-deformación para el acero API 5L X-52;

curva obtenida de la prueba de tensión. 86

Gráfica 5.2 Diagrama esfuerzo-deformación mostrando los valores de esfuerzo-deformación en el rango plástico para el acero API

5L X-52. 87

Gráfica 5.3 Presión de operación máxima permisible para una longitud

de defecto Lm: 6.28 - 6.34. 90

Gráfica 5.4 Presión de operación máxima permisible para una longitud

de defecto Lm: 12.56 – 14.22. 91

Gráfica 5.5 Criterio de filtración Nivel 1 para la pérdida de metal

Helicoidal. 92

Gráfica 5.6 Criterio de filtración Nivel 1 para la extensión circunferencial

máxima permisible de una pérdida de metal Helicoidal. 92 Gráfica 5.7 Criterio de filtración Nivel 1 para la extensión circunferencial

máxima permisible de una pérdida de metal Helicoidal. 93 Gráfica 5.8 Reducción de la capacidad para soportar carga por presión

interna (%). 94

Gráfica 5.9 Reducción de la presión de falla (%). 97

Gráfica 5.10 Relación de Carga-Defecto para una longitud de defecto

Lm: 6.28 - 6.34. 100

Gráfica 5.11 Relación de Carga-Defecto para una longitud de defecto Lm: 12.56 – 14.22.

100 Gráfica AN2.1 Factor de Folias, M

Parámetro de la Tabla AN2.2. 118 Gráfica AN2.2 Criterio de Filtración Nivel 1 para la Extensión Circunferencial

Máxima Permisible de una Pérdida de Metal Local. 119 Gráfica AN2.3 Perfiles de Espesor Crítico (CTP) para la Pérdida de Metal en

la Orientación Longitudinal (Longitud (Lm): 6.283 plg). 126 Gráfica AN2.4 Perfiles de Espesor Crítico (CTP) para la Pérdida de Metal en

la Orientación Longitudinal (Longitud (Lm): 12.566 plg). 127 Gráfica AN2.5 Perfiles de Espesor Crítico (CTP) para la Pérdida de Metal en

la Orientación Circunferencial (Longitud (Lm): 6.2861 plg). 128 Gráfica AN2.6 Perfiles de Espesor Crítico (CTP) para la Pérdida de Metal en

129

Gráfica AN2.7 Perfiles de Espesor Crítico (CTP) para la Pérdida de Metal en

la Orientación Helicoidal (Longitud (Lm): 6.3431 plg). 130 Gráfica AN2.8 Perfiles de Espesor Crítico (CTP) para la Pérdida de Metal en

la Orientación Helicoidal (Longitud (Lm): 14.2256 plg). 131

LISTA DE TABLAS

Pág.

Tabla A.1 Principales Causas de Fallas en Tuberías. 7

Tabla 3.1 Factor de diseño por Clase de Localización. 41 Tabla 3.2 Factores de diseño para la construcción de tuberías de acero. 41 Tabla 4.1 Dimensiones del tubo y de las pérdidas de metal considerados

para el modelo de elementos finitos. 75

Tabla 4.2 Dimensiones de probetas planas para el ensayo de tensión

(ASTM E8). 78

Tabla 4.3 Pasos de carga por presión interna. 84

Tabla 5.1 Valores de esfuerzo-deformación en el rango plástico para el

acero API 5L X-52. 88

Tabla 5.2 Propiedades Mecánicas del Acero API 5L X52. 88 Tabla 5.3 Espesores mínimos requeridos para la evaluación de las

pérdidas de metal.

89 Tabla 5.4 Valores de presión de operación máxima permisible (MAWP). 90 Tabla 5.5 Reducción de la capacidad para soportar carga por presión

interna (%). 94

Tabla 5.6 Comparación del % de error conservador con respecto al criterio

de Evaluación Nivel 3. 95

Tabla 5.7 Presiones de falla en una tubería sin defectos. 96 Tabla 5.8 Presiones de falla en una tubería con pérdidas de metal en la

dirección longitudinal. 96

Tabla 5.9 Reducción de la presión de falla (%). 97

Tabla 5.10 Comparación del % de error conservador con respecto a la presión de falla obtenida por el método de los elementos finitos

(MEF). 98

Tabla 5.11 Valores de presión interna obtenidos por el método de los

elementos finitos (MEF). 99

Tabla 5.12 Reducción de la capacidad para soportar carga por presión

interna (%). 103

Tabla AN2.1 Parámetros Para Calcular La Longitud Del Espesor Promedio. 116 Tabla AN2.2 Factor de Folias, M

en Base al Parámetro del Defecto

117

Tabla AN2.3 Ecuaciones para las Curvas TSF. 118 Tabla AN2.4 Datos de Espesores para la Pérdida de Metal en la Orientación

Longitudinal (Longitud (Lm): 6.283 plg). 120

Tabla AN2.5 Datos de Espesores para la Pérdida de Metal en la Orientación

Longitudinal (Longitud (Lm): 12.566 plg). 121

Tabla AN2.6 Datos de Espesores para la Pérdida de Metal en la Orientación

Circunferencial (Longitud (Lm): 6.2861 plg). 122 Tabla AN2.7 Datos de Espesores para la Pérdida de Metal en la Orientación

Circunferencial (Longitud (Lm): 12.5697 plg). 123 Tabla AN2.8 Datos de Espesores para la Pérdida de Metal en la Orientación

Helicoidal (Longitud (Lm): 6.3431 plg). 125

Tabla AN2.9 Datos de Espesores para la Pérdida de Metal en la Orientación

Helicoidal (Longitud (Lm): 14.2256 plg). 125

Tabla AN3.1 Líneas a dividir. 145

Tabla AN3.2 Propiedades mecánicas. 146

Tabla AN3.3 Valores Esfuerzo-Deformación. 149

RESUMEN

En este trabajo se evaluaron defectos del tipo pérdida de metal en tramos de tuberías de pared delgada bajo presión interna, mediante criterios establecidos en los códigos ASME B31G y B31G modificado para los defectos orientados en la dirección longitudinal de la tubería, y la Práctica Recomendada API RP 579 para pérdidas de metal orientadas en las direcciones longitudinal, circunferencial y helicoidal.

Una solución no lineal de modelos de elementos finitos (mef) para los diferentes casos de estudio fue realizada con incrementos monotónicos de la carga por presión interna, hasta generar esfuerzos equivalentes al límite de cedencia del material (σ

) pasando por el esfuerzo de flujo (σ

), y deteniendo el análisis al llegar a la resistencia última tensil (UTS), para determinar la magnitud de las cargas por presión que pueden conducir eventualmente a una condición de falla en un tubo que presente defectos en forma de pérdidas de metal según las orientaciones referidas.

El material utilizado en este trabajo fue un acero API 5L X-52, comúnmente utilizado para la fabricación de tubos de acero bajo la norma API (American Petroleum Institute). Las propiedades mecánicas del acero fueron obtenidas mediante ensayos de tensión uniaxial, para conocer la función de Hollomon (   K

) que caracteriza la curva esfuerzo-deformación verdadera del material, valores de esfuerzo y deformación que describen el comportamiento no lineal del material, mismos que sirvieron para definir los parámetros de entrada del material en el análisis no lineal por mef evaluados en los diferentes casos de estudio.

Por último, se realizó el análisis comparativo entre los resultados obtenidos

por el análisis no lineal de los modelos de mef y la normatividad aplicable (ASME

B31G, ASME B31G Modificado y API RP 579), para determinar los criterios mas

aptos que definan valores de carga límite, los cuales garanticen una operación

segura del componente en presencia de los defectos evaluados.

INTRODUCCIÓN

El trabajo tiene como finalidad aplicar métodos de evaluación de la aptitud para el servicio en recipientes cilíndricos de pared delgada sometidos a presión interna, como lo son tuberías destinadas al transporte de hidrocarburos ó suministro de combustibles; todos estos componentes están expuestos a ambientes donde los defectos en forma de pérdida de metal pueden presentarse. Los defectos pueden originarse por corrosión, el golpe de algún objeto filoso ó equipo mecánico, superficies debilitadas por agrietamiento que tuvieron que ser removidas por alguna técnica de desbaste. Estas formas de daño disminuyen la resistencia mecánica del componente, y por lo tanto la vida en servicio ó vida residual de los mismos (la capacidad para soportar carga por presión interna disminuye con respecto a un componente que no presenta defectos, poniendo en riesgo la operación del mismo).

Cuando un defecto en forma de pérdida de metal es evaluado mediante métodos de evaluación de aptitud para el servicio (criterios establecidos en los códigos ASME B31G, B31G modificado y Práctica Recomendada API RP 579) por lo regular implica una evaluación determinista de la carga por presión máxima de operación que una tubería puede soportar en presencia de defectos, para decidir si puede operar sin riesgo de falla, y no disminuir por completo la integridad mecánica de la tubería. Como el nombre lo sugiere, una evaluación de aptitud para el servicio siempre asegurará que la tubería es adecuada y está en condición segura para la operación.

La evaluación de la capacidad para soportar carga requiere por lo tanto de un

análisis de integridad, que se refiere a la inspección de la tubería para determinar el

contenido de defectos, la recopilación de los datos de diseño, condiciones de

operación y el análisis del comportamiento debido a los defectos mediante la

aplicación de métodos que consideren la carga límite por colapso plástico, con el fin

de obtener una mejor estimación de la carga segura que puede soportar la tubería,

sin que esta llegue a la falla (valores de presión permisibles menos conservadores)

en tuberías de conducción existentes.

El concepto de integridad mecánica puede definirse como el nivel de capacidad de un componente para desempeñar la función para la cual fue concebido, considerando la presencia de defectos. Los componentes deberán ser más resistentes y tolerantes a los defectos. Donde la resistencia residual es la carga máxima que soporta un componente con defectos, mientras que la vida residual es el tiempo en el cual un defecto alcanzará su tamaño crítico bajo las condiciones de carga actuales.

Una tubería sometida a presión interna opera por normatividad a niveles de esfuerzo por debajo del límite de cedencia del material. Sin embargo al presentarse defectos por corrosión/erosión ó algún tipo de daño mecánico que provoque la reducción del espesor nominal de la tubería, el nivel local de esfuerzos puede eventualmente rebasar la cedencia del material, llevando al tramo de tubería afectado a operar en el régimen elasto-plástico (comportamiento no lineal del material), donde la concentración de los esfuerzos no puede determinarse nada más con las ecuaciones de equilibrio ó el uso de las ecuaciones de la teoría de la elasticidad, por lo que es necesario utilizar métodos más avanzados de análisis, como la teoría de la plasticidad para explicar el comportamiento posterior a la cedencia (no linealidad del material) y el método de los elementos finitos.

El análisis del comportamiento no lineal del material implica incrementos de carga por presión interna que generan esfuerzos equivalentes al límite de cedencia del material (σ

) pasando por el esfuerzo de flujo (σ

), hasta llegar a la resistencia última tensil (UTS), es decir, aplicar una fuerza uniformemente distribuida en la pared interna del tubo en estudio, hasta que el esfuerzo equivalente ó esfuerzo de von Misses en la sección con daño iguale el esfuerzo límite establecido. Para conocer la carga por presión interna que puede conducir eventualmente a una condición de falla ó colapso plástico de un tubo que presenta defectos en forma de pérdidas de metal.

Los parámetros de entrada para realizar un análisis no lineal mediante

modelos de elementos finitos, son las propiedades mecánicas del material en el

rango elástico-plástico obtenidas mediante ensayos de tensión uniaxial, para conocer

la función de Hollomon (   K

) que caracteriza la curva esfuerzo-deformación

verdadera del material, valores de esfuerzo y deformación que describen el

comportamiento no lineal del material en el rango plástico.

OBJETIVO

Evaluar el comportamiento mecánico mediante simulaciones por elemento finito en modo no lineal y por los criterios definidos según la normatividad aplicable, de tuberías de acero grado API 5L X-52 sometidas bajo presión interna, conteniendo defectos del tipo pérdidas de metal en las direcciones longitudinal, circunferencial y helicoidal, para determinar los niveles de carga máxima permisibles que garanticen la operación en rango seguro del componente, considerando la presencia de los defectos referidos.

La aplicación de los parámetros de evaluación de aptitud para el servicio en

tramos de tuberías que presentan las pérdidas de metal, según los criterios de la

normatividad permitirán determinar las cargas por presión máximas permitidas en

operación, mediante los criterios establecidos en los códigos ASME B31G, ASME

B31G modificado y la Práctica Recomendada API RP 579. Finalmente, la realización

de un análisis comparativo con la solución numérica obtenida, permitirá calibrar

modelos sencillos que puedan aplicarse a un modelo más complejo donde la

solución analítica no existe.

JUSTIFICACIÓN

El medio de transporte masivo de hidrocarburos más utilizado en el mundo es el sistema de tuberías grado API, en el cual los accidentes registrados es aproximadamente del 41% por corrosión, 25% por falla de material, 13% por golpes de maquinaria, 4.5% por tomas clandestinas, 3% por fisuras en soldaduras, y 13.5%

por otras causas (IMP, 2004). A lo largo del territorio nacional, PEMEX mantiene en operación un sistema de tuberías terrestres de alrededor de 54 mil kilómetros destinadas al transporte de petróleo crudo, gas natural, gas amargo, gas dulce, gasolinas, diesel y otros productos refinados, de los cuales el 90% son básicamente del tipo API 5L X52.

Las pérdidas de metal por corrosión son uno de los problemas más frecuentes en tuberías de conducción de hidrocarburos, y es una de las formas de daño que disminuyen su resistencia mecánica, así como la principal causa de reparación ó reemplazo de las mismas, elevando sus costos de operación debido a los paros de servicio, pérdidas de producto en la línea, aunados a los costos indirectos (costos a terceras personas) asociados con daños por afectación al medio ambiente.

Una tubería sometida a presión interna opera por normatividad a niveles de esfuerzo por debajo del límite de cedencia del material. Sin embargo al presentarse defectos por corrosión/erosión o algún tipo de daño mecánico en el espesor, éstos pueden ser acompañados por deformación plástica local ó deformación permanente en la base del defecto, la cual puede reducir la ductilidad local del material y conducir eventualmente a la tubería a una condición de falla, llevando al tramo afectado a operar en el régimen elastoplástico (comportamiento no lineal), donde el nivel local de esfuerzos es mayor al esfuerzo de cedencia del material y el uso de las ecuaciones de la teoría de la elasticidad ya no son aplicables, por lo que es necesario utilizar la teoría de la plasticidad para explicar el comportamiento posterior a la cedencia (no linealidad por plasticidad).

Así, se consideró conveniente utilizar herramientas de cómputo y/ó métodos

aplicables a la evaluación de la resistencia remanente de tuberías con defectos en

forma de pérdidas de metal, con el fin de obtener una mejor estimación de la presión

máxima de operación que puede soportar la tubería, sin que esta llegue a la falla

ANTECEDENTES

En la actualidad la industria petrolera mexicana cuenta con una gran infraestructura terrestre de tuberías destinadas al transporte de hidrocarburos distribuidas a lo largo de la República Mexicana, las cuales superan los 40 mil kilómetros para el transporte principalmente de gas y crudo. Algunas de estas tuberías han estado en operación por más de 30 años, en diversas condiciones que favorecen la presencia de corrosión u otros tipos de daños (mecánico o interferencia por terceras personas) que disminuyen la integridad estructural, y por lo tanto la vida en servicio de las mismas debido a que se encuentran en operación con un costo- efectividad mínimo de mantenimiento por largos periodos de tiempo.

Las tuberías cuando llevan tiempo en servicio pueden fallar por varias razones, mal diseño, errores de operación, y/o deterioro por corrosión (pérdida de material). En la figura A.1 se muestran las principales causas de falla que pueden tener las tuberías destinadas al transporte de diferentes productos [1].

Gas Natural

Terceras P erso nas 40.0%

Otro 32.0%

Co rro sió n 28.0%

Crudo

Terceras P erso nas 19.0%

Otro 43.0%

Co rro sió n 38.0%

Multifase

So brepresió n 8.0%

So ldadura 4.0%

Terceras P erso nas 10.0%

Otro 16.0%

Co rro sió n 62.0%

Alberta, Canadá, 1991 – 208,000 km

Daño po r Fabricació n Agua

6.0%

Otro 17.0%

So ldadura 5.0%

Co rro sió n 72.0%

Figura A.1. Comparación de incidentes en tuberías destinadas al transporte de

diferentes productos.

En la tabla A.1 se resume algunas de las principales causas de falla en sistemas de tuberías [2].

Tabla A.1. Principales Causas de Fallas en Tuberías.

País Principal causa de falla

Velocidad de falla (1000

km/año)

USA (Gasoducto terrestre) Interferencia Externa 0.16

USA (Gasoducto marino) Corrosión 0.70

USA (Oleoducto terrestre) Interferencia Externa 0.56

USA (Oleoducto marino) Interferencia Externa 0.56

Europa (Gasoducto terrestre) Interferencia Externa 0.60

Europa (Oleoducto terrestre) Corrosión 0.80

Hungría (Gasoducto terrestre) Defectos en Soldadura Circunferencial 0.10

Polonia (Gasoducto terrestre) Corrosión 0.08

CIS (Gasoducto terrestre) Construcción/Material con Defecto 0.33 Checoslovaquia (Gasoducto

terrestre)

Construcción/Material con Defecto 0.13

Las diferentes causas de falla no son de sorprenderse ya que las tuberías operan en una variedad de ambientes hostiles. Por consiguiente, la corrosión general en una tubería puede ocurrir tanto interna como externa y presentarse de diferentes formas, corrosión uniforme, por picaduras y erosión [3]. En la figura A.2 se muestra un ejemplo de corrosión interna en una tubería que transportaba petróleo, debido a los altos niveles de agua salada y bióxido de carbono (CO

).

Figura A.2. Corrosión interna en una tubería de conducción.

Figura A.3. Corrosión externa en una

tubería enterrada.

Hay diferentes modos de corrosión externa que pueden ocurrir en tuberías enterradas. El primer modo de corrosión es el localizado debido a la naturaleza del suelo o desprendimiento del recubrimiento sobre la superficie de la tubería (ver figura A.4). En la figura A.3 se muestra un ejemplo de corrosión externa de una tubería enterrada.

Figura A.4. Desprendimiento del recubrimiento de una tubería enterrada.

Si el defecto por corrosión sigue creciendo, la integridad de la tubería se verá eventualmente afectada. En otras palabras, la tubería puede fallar. Dependiendo del tamaño del defecto, las propiedades mecánicas del material y la presión de operación en la tubería, la falla puede ocurrir como una fuga ó una ruptura (ver figura A.5).

Figura A.5. Falla de una tubería por corrosión.

Los métodos utilizados para la evaluación de defectos en tuberías, dependen de las

dimensiones del defecto detectado, el tipo de tubería, ó los requerimientos del

cliente. En la figura A.6 se muestra de manera resumida los diferentes niveles de

evaluación para defectos, y los datos requeridos. Generalmente, las evaluaciones de

defectos son a partir del Paso 3. Si los defectos no son aceptados en este Paso, será necesario evaluar en el siguiente nivel, ó reparar.

Figura A.6. Proceso de evaluación de defectos en tuberías.

Una tubería puede fallar de diferentes formas: por presión interna ó sobrecargas axiales provocadas por sismos, etc. Sin embargo, la falla más común es por presión interna ejercida sobre la pared de la tubería dañada. La falla por parte de los defectos en la pared de la tubería (tales como picaduras ó deterioro de material por corrosión) debido a la reducción para soportar carga en el ligamento remanente que existe entre el defecto y el material sano. Por consiguiente, los defectos en tuberías son evaluados con soluciones en base al límite de carga, o colapso plástico

DEFECTO TIPO Y DIMENSIÓN

DATOS DE OPERACIÓN (PRESIÓN)

PROPIEDADES MECÁNICAS DEL

MATERIAL

MODELO DE ANÁLISIS (TUBERÍA)

ARREGRLO DE TUBERÍA

1. CUALITATIVO MÉTODOS DE

INSPECCIÓN

INFORMACIÓN PASOS DE EVALUACIÓN

2. CUANTITATIVO ASME B31.G

API RP 579

3. CUANTITATIVO CÁLCULO DE ESFUERZOS

Y DEFORMACIONES

4b. CUANTITATIVO ANÁLISIS NÚMERICO

(ELEMENTO FINITO) 4a. EXPERIMENTAL

MODELO COMPLETO/ESCALA

5. PROBABILIDAD ANÁLISIS DE RIESGO

RECHAZAR

ACEPTAR +

+

+

+

ACEPTAR

ACEPTAR

ACEPTAR

ACEPTAR

ACEPTAR RECHAZAR

ACEPTAR RECHAZAR

RECHAZAR

RECHAZAR

RECHAZAR

Los defectos parciales en el espesor de pared de una tubería pueden fallar de la siguiente forma:

 El defecto puede alcanzar su tamaño crítico cuando se incremente la presión interna de la tubería.

 El espesor remanente en el defecto se deforma plásticamente.

 Puede iniciar el crecimiento de grieta “estable”, cuando se incremente la presión interna.

 Crecimiento de grieta “inestable” a través el espesor de pared.

El defecto que atraviesa el espesor de pared puede presentarse como una falla por:

 Fuga (su longitud no incrementa) ó

 Ruptura (su longitud incrementa), depende de su longitud inicial y la presión en la tubería.

 El defecto por ruptura puede comportarse de la siguiente forma:

 Arresto (la longitud del defecto se detiene)

 Propagarse (el defecto sigue creciendo en longitud, la fractura en la tubería se propaga).

Figura A.7. Falla de una tubería con defecto.

t l

d

a. Defecto parcial en el espesor de pared (Deterioro del Material ó Pérdida de Metal).

b. Si el esfuerzo en la tubería alcanza el valor crítico, entonces el espesor remanente bajo el defecto parcial de pared puede fallar, y producir un defecto que atraviese el espesor de pared.

c. Defecto que atraviesa el espesor de pared en una tubería.

d. FUGA: Si el defecto no crece, ó la presión interna es baja.

e. RUPTURA: Si el defecto sigue creciendo, ó la presión interna es alta.

g. PROPAGARSE: Si la presión interna es alta, y/o el material de la tubería es de baja tenacidad.

g. ARRESTO: Si la presión interna es baja, y/o el material de la tubería es de alta tenacidad.

CAPITULO I

Estado del Arte

Resumen

En el presente capítulo se hace una revisión bibliográfica

sobre los trabajos realizados hasta la fecha, a nivel

nacional e internacional, sobre los procedimientos de

evaluación de aptitud para el servicio aplicados a tuberías

bajo presión interna que presentan defectos en forma de

pérdida de metal.

I

ESTADO DEL ARTE

La pérdida de metal causada por corrosión es uno de los problemas más

frecuentes en tuberías de conducción de hidrocarburos, principal causa para la

reparación ó reemplazo de las mismas, elevando sus costos de operación debido

principalmente a los paros del servicio. Por estos motivos el IMP y PEMEX crearon

un programa de investigación y desarrollo tecnológico para generar herramientas que

permitan hacer mejores estimaciones de la integridad de los ductos existentes,

proponer medidas para incrementar su seguridad y desarrollar nuevas tecnologías

para su inspección. En Noviembre de 1999 se inició el Programa de Investigación en

Ductos, en el cual se consideran proyectos de confiabilidad y análisis de riesgo,

problemas de corrosión, detección de fugas, inspección instrumentada en línea para

la inspección interna de ductos y análisis de integridad estructural en tuberías de

conducción. Así también se creó el Grupo de Análisis de Integridad de Ductos (GAID-

IPN), el cual mantiene un programa de investigación cuyo objetivo principal es

desarrollar criterios cuantitativos para la evaluación de la severidad de defectos que

disminuyen la vida residual del componente, y por lo tanto, la evaluación de la

integridad estructural de componentes cuando presentan defectos, mediante la

aplicación de metodologías que consideran simultáneamente los estados límite de

fractura y carga límite por colapso plástico. Actualmente las líneas de conducción

utilizadas en PEMEX son tubos de acero fabricados bajo la norma API (American

Petroleum Institute) [7].

Instituto Battelle Memorial de Columbus, Ohio

A fines de los años 60’s, el Instituto Battelle Memorial de Columbus, Ohio, en conjunto con una compañía dedicada al transporte de gas por tubería, realizaron investigaciones para analizar el inicio de la fractura debida a varias clases de defectos por corrosión en tuberías de conducción. Esto incluía determinar la relación entre el tamaño de un defecto y el nivel de la presión interna que podría causar la fuga o ruptura de la tubería. Los ensayos realizados por la compañía y Battelle demostraron que podría desarrollarse un procedimiento y metodología para analizar el nivel de daño por corrosión en tuberías existentes. Por lo que, un operador puede decidir si una tubería permanece en servicio, deba repararse ó reemplazarse [8].

Se efectuaron cientos de pruebas en tuberías a escala real con todo tipo de defecto, para encontrar expresiones matemáticas semi-empíricas que permitieran calcular el esfuerzo debido a la presión interna, expresiones matemáticas en principios establecidos por la mecánica de fractura.

A inicios de los 70’ fue desarrollado un criterio a través de la investigación patrocinada por la Texas Eastern transmisión Corporation y la American Gas Association Pipeline Research Comité (AGA PRC) para evaluar la resistencia de una tubería que presenta defectos por corrosión. Este criterio, comúnmente referido como

“el criterio B31G”, se ha utilizado para la evaluación de la resistencia remanente de tuberías con defectos por corrosión, por sus siglas en inglés (Manual for determining the remaining strength of corroded pipelines) [9,10,11].

Line Pipe Corrosion Group Sponsored Project

Actualmente Line Pipe Corrosion Group Sponsored Project, bajo la dirección

de BG Technology (anteriormente Gas Británico), ha desarrollado nuevos métodos

de evaluación en tuberías a presión interna con defectos por corrosión. Para la

validación de los métodos de evaluación, fueron llevadas acabo más de 70 pruebas a

escala real con diferentes formas de defectos (como picaduras en áreas de corrosión

general), junto con un gran número de análisis no lineales (elástico-plástico)

mediante modelos de elementos finitos 3D [12].

El proyecto ha generado una guía de evaluación para diferentes formas de defectos (un solo defecto ó conjunto de defectos), y un método para evaluar la forma real de un defecto por corrosión. El modelo de falla fundamental tiene la misma forma que el criterio de falla Battelle original (como el utilizado en los códigos B31G y B31G modificado), excepto que ahora, el factor de corrección por geometría (factor de Folias) ha sido modificado. También, el esfuerzo de flujo se ha definido en términos de la resistencia última tensil (UTS) del acero grado tubería, en vez de en términos de la resistencia de cedencia, en base a un modelo analítico de la presión última, mediante la prueba hidrostática de un tramo de tubería con defectos por corrosión [13].

La ecuación para un solo defecto esta determinada por:

 







 









 





M 1 t 1 d

t 1 d

f

donde

2

t D 31 L . 0 1

M  



 

 

 y   0 . 9 UTS

El método toma en cuenta el perfil real del defecto por corrosión, donde un procedimiento iterativo, principalmente considera el perfil como una colección de

“picaduras”. El defecto es dividido en un número de incrementos, en base a la profundidad, y un modelo idealizado que contenga un número de “picaduras”. El método de evaluación determina si el defecto se comporta como un solo defecto irregular, ó si hay picaduras locales dentro del defecto predominante. También es evaluada la interacción potencial entre las picaduras. La presión de falla es considerada como la mínima del análisis de todos los incrementos de profundidad [14].

DNV Joint Industry Project

Joint Industry Project, bajo la dirección de Det Norske Veritas (DNV), también

ha generado métodos para la evaluación de defectos por corrosión, pero

considerando cargas axiales y de flexión además de la presión interna [15]. En el

desarrollo del proyecto, fueron llevadas acabo 12 pruebas a escala real con defectos

en la dirección longitudinal y circunferencial de la tubería sujeta a presión interna,

además de carga axial y de flexión, junto con un gran número de análisis no lineales

(elástico-plástico) mediante modelos de elementos finitos 3D.

Los resultados del proyecto DNV fueron utilizados como guía para la evaluación de defectos por corrosión bajo presión interna y cargas combinadas.

Además, fue llevado acabo un ejercicio de calibración probabilística para generar factores de seguridad parciales, el cual fue utilizado con el método de evaluación. El objetivo de proporcionar factores de seguridad parciales, en vez de un solo factor de seguridad, fue para dar un nivel de seguridad más consistente en un amplio rango de tamaños de defectos y geometrías en tuberías.

Los métodos desarrollados por este proyecto, junto con los del proyecto Line

Pipe Corrosion Group Sponsored Project, han sido integrados a la Práctica

Recomendada DNV, RP-F101 [14].

CAPITULO II

Consideraciones Teóricas

Resumen

En el presente capítulo se describen los fundamentos

teóricos del análisis de esfuerzos en recipientes cilíndricos

sometidos a presión interna, así como los necesarios para

llevar a cabo una solución numérica mediante el uso del

método de elementos finitos.

II

CONSIDERACIONES TEÓRICAS

2.1 Introducción.

En este capítulo se describen los fundamentos teóricos aplicables al análisis de esfuerzos en recipientes cilíndricos de espesor de pared delgada sometidos a presión interna, así como, los fundamentos de la teoría de plasticidad para explicar el comportamiento no lineal del material (posterior al esfuerzo de cedencia), para aplicarlos a un análisis no lineal mediante el método de elementos finitos.

El comportamiento no lineal del material bajo un esfuerzo aplicado, inicia después del

esfuerzo de cedencia para continuar con la deformación plástica, y finalmente la

fractura. En este capítulo nos enfocaremos a la segunda respuesta: deformación

plástica, para justificar el comportamiento no lineal del material en una tubería que

presenta pérdidas de metal o reducción de espesor.

2.2 ANÁLISIS DE ESFUERZOS EN RECIPIENTES CILÍNDRICOS SOMETIDOS A PRESIÓN INTERNA.

Las tuberías destinadas al transporte de hidrocarburos se clasifican como recipientes cilíndricos a presión, ya que asumen el comportamiento de un recipiente de pared delgada sometido a presión interna, por poseer una relación D/t > 10.

Ningún esfuerzo cortante actúa sobre las caras laterales de este elemento, debido a la simetría del recipiente y sus cargas. Los esfuerzos resultantes en un elemento de pared delgada están contenidos en un plano tangente a la superficie del mismo. En un recipiente cilíndrico de radio interior r y espesor de pared t, que contiene un fluido a presión p. Cuando un tubo de pared delgada se somete a presión interna, se generan tres esfuerzos principales elásticos [16,17], los cuales corresponden a las direcciones circunferencial, longitudinal y radial del tubo (ver figura 2.1):

t r p

1



 (2.1)

t 2

r p

2



 (2.2)

3

 0

 (2.3)

t 4

r p

) plano el en (

max



 (2.4)

Figura 2.1. Esfuerzos en un recipiente cilíndrico a presión interna.

2.2.1 COMPORTAMIENTO NO LINEAL DEL MATERIAL.

Un recipiente cilíndrico sometido a presión interna opera por normatividad a niveles de esfuerzo por debajo del límite de cedencia del material. Sin embargo al presentarse defectos por corrosión/erosión o algún tipo de daño mecánico que provoque la reducción del espesor en el recipiente, el nivel de esfuerzos puede eventualmente rebasar el valor de cedencia del material, llevando al tramo afectado a operar en el régimen elastoplástico (material elástico-plástico), donde el nivel de esfuerzos es mayor al esfuerzo de cedencia del material y el uso de las ecuaciones de la teoría de la elasticidad ya no es aplicable, por lo que es necesario utilizar la teoría de la plasticidad para explicar el comportamiento posterior a la cedencia (comportamiento no lineal del material como se muestra en la figura 2.2).

Figura 2.2. Curva esfuerzo-deformación (comportamiento no lineal con endurecimiento por deformación parabólico).

En las figuras 2.2 y 2.3 se muestran diagramas de esfuerzo-deformación idealizados. Notar que las curvas de esfuerzo-deformación son verdaderas. Son una aproximación del comportamiento elastoplástico ideal, con dos pendientes E

y E

que representan el comportamiento elástico y plástico del material, respectivamente.

El comportamiento del acero podría ser un buen ejemplo para este comportamiento elastoplástico, y endurecimiento por deformación lineal, como una aproximación de la forma no lineal que se muestra en la figura 2.2. [18].

La razón fundamental para aceptar una deformación plástica limitada es el

endurecimiento por deformación que sufre el material en esa región, y la deformación

plástica terminará una vez que el esfuerzo de flujo alcance el esfuerzo aplicado.

Figura 2.3. Curva esfuerzo-deformación (comportamiento elastoplástico ideal con endurecimiento por deformación lineal).

La forma convexa de la curva esfuerzo deformación de la figura 2.2, se representa por la siguiente expresión:

K 



 (2.5)

Donde n < 1. Esta respuesta se conoce como endurecimiento “parabólico”, donde la curva puede trasladarse hacia arriba asumiendo un esfuerzo de cedencia



, entonces la expresión (2.5) queda como:

n ys

 K 





 (2.6)

El exponente n es el coeficiente de endurecimiento por deformación.

Las expresiones anteriores describen el comportamiento parabólico de la curva esfuerzo-deformación de un metal policristalino, conocidas como las ecuaciones de Ludwik-Hollomon [18]. Donde, K es una constante, y el exponente n depende de la naturaleza del material, la temperatura a la cual es endurecido por deformación, y

es la deformación. El exponente n varía entre 0.2 y 0.5, mientras el valor de K varía

entre G/100 y G/1,000, G es el modulo de corte. En la expresión (2.5)  es la

deformación plástica verdadera, mientras en la expresión (2.6) es la deformación

total verdadera. La descripción anterior es válida únicamente en la región angosta de

la curva esfuerzo-deformación. Hay dos razones para esto. Primero, las ecuaciones

predicen una pendiente de infinito para   0 , que no corresponden con los hechos

experimentales. Segundo, las ecuaciones implican que el    cuando    .

Pero sabemos que esto no es correcto y que experimentalmente, ocurre una saturación de esfuerzos a grandes deformaciones.

En el régimen elastoplástico la relación de esfuerzo-deformación esta dada por:





 E d

d

(2.7)

La teoría de la plasticidad incremental provee una relación matemática que caracteriza los incrementos, de esfuerzos y deformaciones para representar el comportamiento de un material en el rango plástico. Hay 3 componentes básicos en la teoría de plasticidad incremental [19]:

 Criterio de cedencia

 Regla de flujo

 Regla de endurecimiento

Las leyes elastoplásticas son de trayectoria dependiente y disipativas. Una gran parte del trabajo consumido en deformar plásticamente el material es irreversiblemente convertido en otras formas de energía, particularmente calor. El esfuerzo depende del historial completo de la deformación y no puede ser escrito como una función sencilla evaluada de la deformación; puede ser especificada como una relación entre valores estimados de esfuerzo y deformación [20].

2.2.2 CRITERIOS DE CEDENCIA.

Cuando un material alcanza su esfuerzo de cedencia en tensión uniaxial, comienza a deformarse plásticamente. Sin embargo, en situaciones prácticas es muy común que el material se encuentre bajo un estado combinado de esfuerzos y la deformación plástica puede ocurrir a un esfuerzo diferente al esfuerzo de cedencia en tensión uniaxial. A la manera de calcular si existe cedencia bajo un estado combinado de esfuerzos se le llama criterio de cedencia [21]. Éste debe de ser un invariante, porque no depende de la orientación y debe eliminar el esfuerzo hidrostático, ya que éste no causa deformación [22]. Existen dos criterios de cedencia principales, mostrados en la figura 2.4 y descritos como:

a. Criterio de Tresca.

0 3 1

   

 (2.8)

b. Criterio de von Mises.



 

 



0

2

1           



 (2.9)

La cedencia ocurre cuando el esfuerzo equivalente excede al esfuerzo de cedencia del material: 

 

Figura 2.4. Comparación entre el criterio de cedencia de Tresca y von Misses.

El criterio de Tresca es el más empleado para el análisis y diseño de estructuras, por predecir esfuerzos menores que producen cedencia, lo que da un margen de seguridad adicional. El criterio de von Mises es mas exacto, y es válido si consideramos que para iniciar la deformación plástica se debe de suministrar un valor crítico de energía [21].

2.2.3 REGLA DE FLUJO.

Prescribe la dirección de la deformación plástica cuando ocurre la cedencia.

Define como las componentes individuales de la deformación plástica ( ε

, ε

, ε

)

desarrollan cedencia.

Las ecuaciones de flujo, las cuales son derivadas desde el criterio de cedencia, implican típicamente que las deformaciones plásticas se desarrollen en una dirección normal a la superficie de cedencia.

2.2.4 REGLA DE ENDURECIMIENTO.

Describe como el criterio de cedencia inicial cambia con la progresiva deformación plástica. La regla de endurecimiento describe como la superficie de cedencia es modificada durante el flujo plástico. Determina cuando el material cederá nuevamente si la carga es mantenida o si la carga es invertida. La superficie de cedencia varía en cada etapa de la deformación plástica, adoptando un modelo alternativo para el endurecimiento por deformación.

Partiendo de la consideración de un plástico perfecto (figura 2.5a), hay 2 reglas de endurecimientos básicas usadas para prescribir la modificación de la superficie de cedencia: endurecimiento isotrópico y endurecimiento cinemático. En el endurecimiento isotrópico (figura 2.5b) la superficie de cedencia expande uniformemente en todas las direcciones con el flujo plástico. En el endurecimiento cinemático (figura 2.5c) la superficie de cedencia permanece constante en tamaño y se traslada en dirección de la cedencia. La mayoría de los metales exhiben un comportamiento de endurecimiento cinemático para cargas cíclicas con pequeñas deformaciones.

Figura 2.5. Modelos matemáticos para el comportamiento de endurecimiento por

2.2.5 FORMULACIÓN GENERAL PARA PEQUEÑAS DEFORMACIONES EN PLASTICIDAD.

Partiendo de la consideración del esfuerzo uniaxial  y la correspondiente deformación axial , e idealizando la relación esfuerzo-deformación como bilineal, cuando el esfuerzo  incrementa desde cero la cedencia iniciará en un esfuerzo 

en la deformación correspondiente 

. En general la cedencia se define por F = 0, donde F es la función de cedencia como [23]:

F    

(2.10)

El criterio de cedencia uniaxial, modificado por la acción de las reglas de endurecimiento se establece de la siguiente forma:

F    

F      

(2.11) Endurecimiento isotrópico Endurecimiento cinemático

Donde:











(2.12)

Es la magnitud mas grande del esfuerzo uniaxial alcanzado en la deformación plástica previa. El coeficiente  llamado cambio cinemático, usado en la regla de endurecimiento cinemático asume un valor cero antes del inicio de la cedencia.

Condiciones elásticas son predichas para F<0, cedencia para F=0 y sin significado físico para F>0.

Para deformaciones mayores que 

, un incremento en la deformación dε puede ser descompuesto en sus contribuciones elástica dε

y plástica dε

en la forma:

p

e

d

d

d      (2.13)

Los incrementos de esfuerzo son asociados con la componente elástica,

               

   

 

p

e

E d d E d H d

d E

d            (2.14)

Donde [E]: es la matriz de propiedades elásticas, [H

]: es el parámetro de endurecimiento por deformación y [E

]: es el módulo tangente. Considerando la función de cedencia:

   

 , , W



F

F    (2.15)

Donde los valores de    , W

describen como una superficie de cedencia es alterada en el espacio de esfuerzos multidimensional para el endurecimiento, debido a los cambios de tamaño ó localización de respuesta a las deformaciones plásticas.

La regla de flujo es establecida en términos de una función Q, llamada potencial plástico. Con un escalar multiplicador plástico dλ, los incrementos en la deformación plástica son dados por:

  ^

 



 







 

 Q d

d

(2.16)

Para el modelo se considera un endurecimiento cinemático, éste se representa por el vector    , el cual considera la traslación de la superficie de cedencia en el espacio vectorial, representado como:

  ^{ } _   ^C   ^{d }

^(2.17)

Expresión obtenida de la integración de:

  ^{d  }   ^C   ^{d }

,    _ ^ _ ^ 2 1 2 1 2 1 1 1 1 3 H

C 2

(2.18)

Donde H

es el módulo plástico del material.

Para un incremento en la deformación plástica, dF = 0, se obtiene de la ecuación (2.15):

  F   d 0

F

d

 

 



 







 

 

 

 







 (2.19)

Al sustituir la ecuación (2.16) en las ecuaciones (2.14), (2.17) y (2.18) se obtiene:

          ^

 



 







 

 



 



 

 



 







 





 Q d

C d

, Q d d

E

d (2.20)

Al sustituir las expresiones (2.20) en (2.19) y resolver la ecuación para el multiplicador plástico dλ se obtiene:

  d     P

  d  (2.21)

Donde   P es la matriz fila:

   

   

 



 









 



 







 

 



 









 



 









 



 













C Q F E Q

F

F E

P

T

(2.22)

Finalmente, de las ecuaciones (2.20) y (2.21) se obtiene:

  d     E

  d  ,         _



 





 



 







 

 Q P

I E

E

(2.23)

Donde   I es una matriz unitaria,   E

es la matriz elastoplástica y puede considerarse como una forma generalizada del módulo tangente E

.

La deformación total esta compuesta por los incrementos de la deformación elástica e incrementos de la deformación plástica:

p el

 





 (2.24)

2.3 METODO DEL ELEMENTO FINITO.

El Método del Elemento Finito (MEF) es un método numérico que sirve para resolver un sistema de ecuaciones de gobierno sobre el dominio de un sistema físico continuo [24]. En muchos campos de la ciencia es aplicado y en particular para el análisis estructural, las ecuaciones de gobierno son dadas por la mecánica del medio continuo de la teoría de la elasticidad y de la teoría de la plasticidad.

Figura 2.6. Dominio de un sólido estructural continuo tridimensional

La base del MEF consiste en considerar pequeñas partes llamadas

"elementos", los cuales subdividen el dominio del sólido estructural, conectándose unos con otros en un número finito de puntos llamados "nodos" (figura 2.6). Este ensamble proporciona un modelo para el elemento estructural, en el cuál el dominio de cada elemento asume una solución general simple a las ecuaciones de gobierno.

La solución específica para cada elemento viene a ser una función de valor

desconocido en los nodos. Aplicando una solución de forma general a todos los

elementos resulta en un grupo finito de ecuaciones algebraicas que deben ser

resueltas para las incógnitas de valor nodal. Las ecuaciones para cada elemento

finito se combinan para obtener la solución del sistema físico completo. Una

respuesta lineal de la estructura resulta en ecuaciones algebraicas lineales, las

cuales se resuelven por procedimientos numéricos comunes.