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ALGEBRA, CÁLCULO NUMÉRICO Y GEOMETRÍA ANALÍTICA Capítulo 1 CONICAS. COMENTARIOS GENERALES 2 a CIRCUNFERENCIA, definición y ejemplos...

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1

CAPITULO 1

CONICAS COMENTARIOS GENERALES………2 a 3

1. CIRCUNFERENCIA, definición y ejemplos...3 a 6

2. PARABOLA, definición y ejemplos...7 a 12 3. ELIPSE, definición y ejemplos………...12 a 19 4. HIPERBOLA, definición y ejemplos………...20 a 25 5. EJERCICIOS ADICIONALES……… 25 a 26

(2)

2

Cónicas

Anteriormente estudiamos que una ecuación de primer grado en dos variables:

a x + by + c =0 siempre representa una recta, y toda recta se puede representar por una ecuación de primer grado en dos variables.

La ecuación general de segundo grado en dos variables tiene la forma

a x2 + b xy + c y2 + dx + ey + f = 0

en la cual a, b y c son números reales que no son cero a la vez.

Las ecuaciones de segundo grado en dos variables representan, con dos excepciones triviales, a secciones cónicas; esto es, curvas formadas por la intersección de un plano con un cono circular recto.

(3)

3

De manera inversa, todas las secciones cónicas se designan mediante ecuaciones de segundo grado en dos variables. (Analice que representa si b = d = e = f = 0 y si d = e

= f = 0 y si además a = 0 ó c = 0)

Un cono tiene dos porciones, o troncos, separados entre sí por el vértice; no tiene base o extremo, por lo que se prolonga indefinidamente en ambas direcciones; de esta manera, algunas de las secciones cónicas no están acotadas, eso depende de cómo corte el plano al cono…

Las secciones cónicas tradicionales, o simplemente cónicas, son la elipse, la parábola, la hipérbola; la circunferencia es un caso especial de la elipse.

A los demás casos se les llama cónicas degeneradas. Existen otros dos casos representados por ecuaciones de segundo grado: un par de rectas y la carencia de gráfica, que no se obtienen como intersección de cono y plano.

(4)

4

1. Circunferencia

En este apartado vamos a determinar ecuaciones para las circunferencias, que como veremos luego es un caso particular (y muy sencillo) de una situación más general. Una circunferencia es el conjunto de puntos del plano que equidistan (están a igual distancia) de un punto fijo llamado centro. Esa distancia se llama radio.

Dependerá de la posición del centro C y el radio r la ecuación que se obtendrá. Sea C(α, β) y sea r el radio. Si P(x, y) es un punto genérico de la circunferencia por ello debe cumplir:

d(P,C) = r

es decir, aplicando la definición de distancia : 2 2 2 2 2 ) ( ) ( : cual lo por ) ( ) ( r y x r y x = − + − = − + − β α β α

Hemos determinado la expresión buscada. 2 2 2 ( ) ) (x−α + y−β =r (1) Ecuación canónica de la circunferencia con centro C(α,β) y radio r 1.1.1 EJEMPLO :

Hallar una ecuación de la circunferencia con centro en C(2, −1) y tiene radio 5. Solución: En este caso β = −1 y α = 2 , y r = 5, sólo hay que remplazar en la expresión hallada (1) estos datos:

(x − 2)2 + (y − (−1))2 = 52 o sea:

(x− 2)2 + (y +1)2 = 25 1.1.2 EJERCICIO:

Hallar una ecuación de la circunferencia: a) De centro C(−1, 2) y radio1

b) De centro C(0, 0) y radio 3 c) De centro C(0, 0) y radio 1. d) De centro C(− 3, 4) y radio 1. e) De centro C(5, 0) y radio 31/2.

(5)

5 Si se desarrollan los cuadrados en (1) se obtiene: x2 – 2 α x+ α2 + y2 – 2 β y +β2 = r 2

que se puede llevar a la forma :

(2) a x2 + b y2 + c x + d y + e = 0 para valores convenientes de a, b, c, d y e en R

Observar que debe ser a = b.

La pregunta es ¿toda expresión de la forma (2) representa una circunferencia? Analicemos con un ejemplo la respuesta.

1.1.3 EJEMPLO:

Consideremos 2 x2 + 2 y2 + 4 x 8 y 8 = 0 el propósito es llevarla a la forma (1)

para determinar sus elementos; dividimos por 2 miembro a miembro y completamos cuadrados.

2 2 2 4 4 0

x +y + xy− =

Este artilugio o estrategia, de completación de cuadrados, consiste en tratar que la expresión en “x”, respectivamente en “y”, que poseemos se parezca a una de la forma

(

)

2

x−α , pero como

(

xα

)

2 =x22xα α+ 2, análogo para

(

yβ

)

2. Así resulta que:

x2+2x y+ 24y− =4 x22 ( 1)x − +y22.2y− = 4 0

Observar que como x2 +2x x= 22 ( 1)x − = x22 ( 1)x − + −

( )

1 2− =1

(

x1

)

2− (i) 1 y de igual forma : y24y= y22.2y+22− =4

(

y2

)

2− (ii) 4

Luego, la expresión

puede escribirse como:

x2+2x y+ 24y=4

Y por lo observado antes en (i) y (ii) puede reescribirse sumando a ambos miembros 1 unidad para completar las “x” y 4 unidades para completar las “y”.

x2+2x+ +1 y24y+ = + + 4 4 1 4 Con lo que nos queda :

(

x+1

) (

2+ y−2

)

2 = 9

Observar que el primer miembro es POSITIVO, luego para ser una circunferencia el segundo miembro que está representando al cuadrado del radio también debe serlo y en este caso así es.

Por lo tanto la ecuación dada representa una circunferencia con centro C(− 1, 2) y radio 3, cuya gráfica es la adjunta.

?

(6)

6 1.1.4EJEMPLO :

Sea ahora la ecuación: 2 2 3 67 0

2 16

x +y − +x y= . Estudiemos a que circunferencia corresponde, llevándola a su forma canónica para luego representarla gráficamente. Completemos cuadrados…

2 2 3 67

2 16

x − +x y + y=

Sumamos a ambos miembros lo necesario para que los términos en “x” y en “y” sean cuadrados perfectos. 2 2 2 2 2 2. .1 1 2 2. .3 3 67 1 3 2 2 4 4 16 2 4 xx +⎜ ⎟⎛ ⎞ +y + y +⎛ ⎞⎜ ⎟ = +⎛ ⎞⎜ ⎟ +⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Con lo que queda:

2 2 2 2 1 3 67 1 3 2 4 16 2 4 x y++= +⎛ ⎞ +⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

que resolviendo las cuentas del segundo término nos da :

2 2 1 3 5 2 4 x y++= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Por lo tanto la ecuación dada representa una circunferencia con centro 1, 3

2 4

C ⎛ − ⎞

⎝ ⎠ y

radio = 5 , cuya gráfica es la de la figura.

1.1.5 EJERCICIO:

Encontrar la condición para que (2) represente una circunferencia.

1.1.6 EJERCICIO:

Decir, justificando la respuesta, si las siguientes ecuaciones representan o no una circunferencia.

En caso de serlo hallar sus elementos.

a) x2 + y2 – 2x + 2y = 1 b) x2 + y2 + 2x – 2y = 1 c) x2 + y2 – 2x – 2y – 1 = 0 d) x2 – 2x + y2 = 1 e) 3x2 + 3y2 + 9x – 3y + 21 = 0 f) 6x2 + 6y2 – 12x + 12y – 6 = 0

(7)

7

2. Parábola

La definición de parábola como lugar geométrico es la siguiente:

Una parábola es el conjunto de los puntos de un plano que equidistan (están a igual distancia) de un punto fijo (foco) y de una recta fija (directriz), que no contiene al foco. Imaginemos que el punto F(c, 0) es el foco y la directriz, x = – c , c ≠ 0. Escogemos un punto P(x, y) de la parábola y vemos que condiciones deben satisfacer x e y.

Al valor c se lo llama distancia focal.

De acuerdo a la definición, se tiene:

d(P,F)=d(P,D)

Por qué podemos afirmar que D

tiene coordenadas (−c, y)? Aplicando la definición de distancia: 2 2 2 ( ) ) (xc + y = x+c

y como las bases son positivas:

2 2 2 ( ) ) (xc +y = x+c x2 2cx+c2 +y2 = x2 +2cx+c2 que simplificando nos queda :

y2 = 4cx (1)

Observar que los pasos que realizamos a partir de la definición hasta obtener (1) pueden revertirse. Porqué?

Por lo tanto si un punto está en la parábola cuyo foco está en (c, 0) y su directriz tiene ecuación x = – c, satisface la ecuación y2 = 4cx y recíprocamente.

Un punto P(x, y) está en la parábola de foco F(c, 0) y directriz d: x = - c si y sólo si satisface la ecuación

y2 = 4cx

Observación: Comprobar que un punto P(y2 /4c , y2 ) es tal que d(P, F) = d(P, D), con

F(c,0) el foco y la directriz dada por x = – c , c ≠ 0

(8)

8 • Veamos algunas propiedades de esta parábola:

Primero observemos que el eje x es eje de simetría de la curva; en otras palabras, la parte que está abajo del eje x es la imagen especular (en espejo) de la parte de arriba de él. A esta recta se le llama el eje de la parábola y es perpendicular a la directriz y contiene al foco.

El punto de intersección del eje de la parábola con la parábola es el vértice V.

El vértice de la parábola dada por y2 = 4cx coincide con el origen del sistema, V(0, 0).

La distancia del vértice al foco es c (por eso su nombre, aunque también es la distancia de la directriz al vértice….).

Se puede invertir el papel de x e y en lo anterior, se obtendrá:

Un punto P(x, y) se encuentra en la parábola cuyo foco está en F(0, c) y cuya directriz es d: y = – c, si y sólo si satisface la ecuación

x2 = 4cy

1.2.1EJEMPLO:

Trazar y describir a y2 = 8x.

Solución:

Esta ecuación tiene la forma

y2 = 4cx, siendo entonces c = 2.

De esta manera, representa una parábola cuyo vértice está en el origen (0, 0) y su eje es el eje x.

El foco está en F(2, 0) y su directriz esta determinada por x = – 2.

Acá trabaje

(9)

9 1.2.2.EJEMPLO:

Trazar y describir x2 = – 12y

Solución:

Esta ecuación tiene la forma

x2 = 4cy, siendo entonces c = – 3.

Por consiguiente, es una parábola con su vértice en el origen y su eje es el eje y. El foco está en F(0, – 3) y una ecuación de la directriz es y =3.

Observemos que, de acuerdo con estos dos ejemplos, el signo de c expresa la dirección hacia la cual se abre la parábola. En general vale (justifique!!!):

Si c es positiva, la parábola se abre en dirección positiva (a la derecha o arriba). Si c es negativa, la parábola se abre en dirección negativa (a la izquierda o abajo).

1.2.3 EJEMPLO:

Deducir una(s) ecuación(es) de la o las parábolas que tienen su vértice en el origen y su foco en (– 4, 0).

Solución:

Como el foco y el vértice se encuentran en el eje x, éste es el eje de la parábola. Por tanto, está representada por una ecuación de la forma y2 = 4cx.

Si el vértice es V(0,0) y el foco está en F(– 4,0) resulta c = – 4 y la ecuación es

y2 = – 16x.

• Hay una única parábola con vértice en el origen y foco F(– 4.0), que es la representada en la figura.

(10)

10 • Respecto a las ecuaciones que la representan son sólo una, salvo por modificaciones

algebraicas equivalentes, por ejemplo:

16 x + y2 =0 , 4 x + y2 /4 =0 , 3 y2 = -48 x , etc.

que son expresiones algebraicas distintas, pero todas equivalentes entre sí.

• Representar la parábola para: 8 x2 - 3 y = 0 y sus elementos, y de tres ecuaciones equivalentes.

1.2.4 EJERCICIO:

Trazar y describir las parábolas representadas por las siguientes ecuaciones a) y2 = – 12x c) x2 = – 8y e) y2 =10x

b) x2 = 5y d) x2 = 6y f) y2+5x =0

1.2.5EJERCICIO:

Deduce una(s) ecuación(es) de la o las parábolas descriptas en los siguientes items: a) Vértice en (0, 0), eje en el eje x, contiene a (1, 5)

b) Vértice en (0, 0), eje en el eje y, contiene a (1, 5) c) Foco en (– 3, 0), directriz representada por x = 3. d) Vértice en (0, 0), contiene a (2, 3) y a (– 2, 3) e) La directriz es dada por y = 3 y foco en (0, -3)

(11)

11

™

Sea ahora una parábola de vértice V

(

α β,

)

, con eje paralelo al eje x, distancia focal c, tal como ilustra la figura.

Si planteamos que por la definición la distancia de un punto P x y

( )

, al foco es igual a la distancia del punto P x y

( )

, a la recta directriz, resulta que:

(

x

(

α+c

)

)

2+

(

y−β

)

2 =

(

x

(

α−c

)

)

2

1.2.6 EJERCICIO:

Continuar la demostración planteada, llegará a la expresión:

(

y−β

)

2 =4c x

(

−α

)

Un punto P(x, y) está en la parábola de foco F(α + c, β) y directriz d: x = α - c , y vértice V

(

α β,

)

si y sólo si satisface la ecuación

(

y−β

)

2 =4c x

(

−α

)

(la parábola es de eje paralelo al eje x, con distancia focal c )

1.2.7 EJERCICIO:

Deducir una ecuación de la parábola de vértice V

(

α β,

)

y con foco F(α , β + c) y directriz d: y = β - c (la parábola es de eje paralelo al eje y, con distancia focal es c ). Representar gráficamente para orientarse!!!

1.2.8 EJERCICIO:

Graficar las parábolas determinadas por las siguientes ecuaciones: a) y2 = 4(x – 1)

(12)

12 c) (x+1)2 = 4(y – 1)

d) (x+1)2 = 4(y + 1) Qué observa?

1.2.9 EJERCICIO:

Considere las parábolas del ejercicio anterior y para cada una de ellas: a) Determine el foco F.

b) Determine la directriz d y una ecuación que la represente.

c) Determine un punto A que esté en la parábola. Compruebe que d(A, F)= d(A, d)

3. Elipse

Veremos otra cónica que la circunferencia es un caso particular.

Una elipse es el conjunto de los puntos P(x, y), tales que la suma de las distancias de

P(x, y) a un par de puntos fijos distintos (los focos) es una constante fija.

Representaremos a los focos como F1(c, 0) y F2(– c, 0) y a la constante fija como 2 a. 2 a >0 (porqué????)

Si P(x, y) representa a un punto de la elipse, entonces

d(P,F1)+d(P,F2)=2.a

que por la definición de distancia se puede expresar como :

a y c x y c x ) ( ) 2. ( 2 + 2 + + 2 + 2 =

Pasando una raíz al otro miembro: 2 2 2 2 2. ( ) ) (xc +y = ax+c + y

elevando al cuadrado ambos miembros y haciendo cuentas:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2cx c y 4a 4a. (x c) y x 2cx c y x − + + = − + + + + + +

cancelando y pasando de miembro convenientemente:

cx a y c x a. ( ) 4 4 4 + 2 + 2 = 2 +

dividiendo ambos miembros por 4a (Cómo es a??): a cx a y c x+ )2 + 2 = + (

(13)

13 2 2 2 2 2 2 222 a x c cx a y c cx x + + + = + +

Cancelando y agrupando nos queda:

2 2 2 2 2 2 2 c a y x a c a + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −

Dividiendo ambos miembros por a2− (cómo es c2 a2− ????): c2 2 2 1 2 2 2 = − + c a y a x

El triángulo cuyos vértices están en (c, 0), (– c, 0) y P(x, y), tiene uno de sus lados de longitud 2 c . La suma de las longitudes de los otros dos lados es 2.a. Así,

2a > 2 c a > c a2 > c2 a2 – c2 > 0

• Como a2 – c2 es positivo, lo podemos llamar b2 . Por lo tanto, al reemplazar obtenemos:

2 1 2 2 2 = + b y a x en donde b2 = a2 - c2

• Observemos que hemos elevado al cuadrado ambos lados de la igualdad al efectuar dos pasos, y como hemos partido de distancias que son positivas y por la definición de la elipse ambos lados de la igualdad son positivos. En consecuencia, no hemos introducido raíces extrañas y esos pasos se pueden invertir.

• Algunas propiedades de esta elipse:

Vemos que hay dos ejes de simetría: el eje x y el eje y.

Además, (± a, 0) son las abscisas al origen, (0, ± b) son las ordenadas al origen.

Como a > b (porque b2 = a2 - c2 ).

Por ello, al eje x se le llama eje mayor, y al eje y se le llama eje menor de la elipse. Los puntos (± a, 0) en el eje mayor se llaman vértices y los puntos (0, ± b),

covértices.

(14)

14 Los focos están en el eje mayor, están en (± c, 0).

Un punto P(x, y) está en la elipse con vértices en (± a, 0) y focos en (± c, 0) si y sólo si satisface la ecuación 22 + 22 =1

b y a x

en la cual b2 = a2 – c2 (ecuación en forma

canónica o estándar)

Para pensar: Que ocurre si impone a b= ?

También en este caso los papeles de x e y se pueden invertir.

Un punto P(x, y) está en la elipse con vértices en (0, ± a) y focos en (0, ± c) si y sólo si satisface la ecuación 22 + 22 =1

b x a

y

en la cual b2 = a2 - c2 (ecuación en forma

canónica o estándar) 1.3.1EJEMPLO:

Describir la curva determinada por 9 x2 + 25 y2 = 225

Solución: Primero pasaremos esta ecuación a su forma estándar; para ello dividimos ambos miembros por 225:

1 9 25 2 2 = + y x

De inmediato surge la pregunta acerca de cómo podemos saber que estamos manejando, si 22 + 22 =1 b y a x ó 2 1 2 2 2 = + b x a y

Los números en los denominadores no tienen etiquetas que digan cuál es a y b, de modo que ¿cómo sabemos cuál es a y cuál es b? La respuesta es “el tamaño”. En ambos casos, a > b. Así, el denominador mayor será a2 y el menor b2.

Entonces,

a2 = 25, b2 = 9,y c2 = a2 – b2 = 16.

Esta elipse tiene su centro en (0, 0), sus vértices en (±5, 0), sus covértices (0, ± 3), y sus focos en (± 4, 0). Una representación grafica de la elipse es la siguiente:

????

Trabaje!!!! !

(15)

15 1.3.2 EJEMPLO:

Trazar y describir la curva dada por la ecuación 25 x2 + 16 y2 = 400.

Solución: Pasamos esta ecuación a su forma canónica, dividimos ambos miembros por 400, obtenemos: 1 25 16 2 2 = + y x Entonces a2 = 25 y b2 = 16, por lo tanto c2 = a2 – b2 = 9.

Esta elipse tiene su centro en (0, 0), sus vértices en (0, ± 5), sus covértices en (± 4, 0) y sus focos en (0, ± 3).

Haga un dibujo de la misma.

Durante dos mil años, se creyó que los planetas se movían en órbitas circulares, alrededor de la Tierra, según el llamado modelo aristotélico. Después de todo, el universo debe ser perfecto y el círculo es la figura perfecta (o lo que ello signifique). Estos argumentos filosóficos se tomaron como demostración suficiente de la hipótesis. Sin embargo, Johannes Kepler, en el siglo XVII, demostró que las órbitas son elípticas y que el Sol está en uno de los focos, por esta razón se abandonó el modelo aristotélico del sistema solar. No obstante, es posible que hayan órbitas circulares, y algunas (entre ellas la Tierra) son casi circulares. De hecho, si redujéramos la órbita de la Tierra de tal modo que el eje mayor tuviera 8 pulgadas de longitud, el eje menor tendría 7.8

pulgadas. Con esa diferencia tan pequeña era difícil reconocer que la órbita es una elipse y no una circunferencia. (Una pulgada es 2,54 cm)

1.3.4EJERCICIO:

Trazar y describir las elipses de los siguientes apartados:

a) 1 25 169 2 2 = + y x c) 1 169 144 2 2 = + y x b) 1 49 25 2 2 = + y x d) 4x2 + 25y2 = 100

(16)

16 1.3.5EJERCICIO:

Representar y deducir una ecuación de la o las elipses descriptas en los siguientes casos:

a) Centro en (0, 0), vértice en (0, 13), foco en (0, -5). b) Centro en (0, 0), covértice en (0, 5), foco en (-12, 0).

c) Ejes sobre los ejes coordenados, un vértice en (0,4) y otro en (3, 0).

™

Sea una elipse con centro en C

(

α β,

)

, de ejes paralelos a los ejes coordenados, con distancia focal c y semiejes a y b.

Supongamos además que el eje mayor de la elipse es paralelo al eje x, tal como se indica en la figura.

Se quiere encontrar una ecuación que determine a la elipse del dibujo anterior. Si P(x, y) representa a un punto de la elipse, entonces por definición:

d(P,F1)+d(P,F2)=2.a

Reemplazando por la fórmula de la distancia entre puntos se tiene:

(

)

(

)

2

(

)

2

(

(

)

)

2

(

)

2

2.

x− α−c + y−β + x− α+c + y−β = a

1.3.6 EJERCICIO:

Continuar la demostración planteada, siguiendo las ideas que hemos empleado para la elipse centrada en el origen de coordenadas, para llegar a la expresión:

(

) (

)

2 2 2 2 1 x y a b α β − − + =

(17)

17 Un punto P(x, y) está en la elipse con centro en C

(

α β,

)

, de ejes paralelos a los ejes coordenados, con distancia focal c y semiejes a y b, con el eje mayor de la elipse paralelo al eje x si y sólo si sus coordenadas satisfacen la ecuación

(

) (

2

)

2 2 2 1 x y a b α β − −

+ = siendo b2 = a2 - c2 (ecuación en forma canónica o estándar)

1.3.7 EJERCICIO:

Deducir una ecuación de la elipse con centro en C

(

α β , de ejes paralelos a los ejes ,

)

coordenados, con distancia focal c y semiejes a y b, con el eje mayor de la elipse paralelo al eje y.

Representar gráficamente.

(Idea: haga un dibujo de la situación y siga pasos similares al ejercicio anterior)

Un punto P(x, y) está en la elipse con centro en C

(

α β , de ejes paralelos a los ejes ,

)

coordenados, con distancia focal c y semiejes a y b, con el eje mayor de la elipse paralelo al eje y si y sólo si sus coordenadas satisfacen la ecuación

(

) (

2

)

2 2 2 1 x y b a α β − −

+ = siendo b2 = a2 - c2 (ecuación en forma canónica o estándar)

1.3.8 EJERCICIO:

Graficar las elipses dadas por las siguientes ecuaciones y sacar conclusiones:

a) 1 9 4 2 2 = + y x b) 1 9 4 ) 2 ( 2 2 = + − y x c) 1 9 ) 2 ( 4 2 2 = − + y x

Comparar las gráficas de las mismas.

1.3.9 EJERCICIO:

Para cada una de las elipses determinadas por las ecuaciones del EJERCICIO anterior: a) Determinar un punto E que esté en la elipse.

b) Hallar las coordenadas de los focos F1 y F2 . c) Verificar que d(E, F1) + d(E, F2)=2ª

d) Fuera de que región del plano seguro que no hay puntos de las elipses determinadas en el EJERCICIO 1.3.8.

(18)

18 1.3.10 EJEMPLO:

Trazar y describir la curva descripta por: 2 9 2 2 27 59 0 4

x + yx+ y− =

Solución: Para ello completaremos cuadrados, aunque observando que las “y” se verán multiplicadas por 9, es decir, nos quedará algo de la forma : 9. y

(

−β

)

2.

Tenemos entonces:

2 9 2 2 27 59 0 4

x + yx+ y− = que puede reescribirse como : 2 2 9 2 27 59 4

xx+ y + y=

para completar cuadrados en las "x" agregaremos 1 a ambos miembros ya que la ecuación anterior es equivalente a :

2 2 .1 12 9 2 27 59 12 4

xx + + y + y= +

Ahora completaremos las “y”, para ello sacamos factor común 9 y …. :

(

)

2 2 2 3 3 59 9 1 9. 2. . 1 9. 2 2 4 4 x− + ⎛⎜y + y +⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎞⎟= + + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Siguiendo las cuentas:

(

)

2 3 2 144 1 9. 2 4 x− + ⎛y+ ⎞ = ⎝ ⎠ lo que equivale a

(

)

2 2 3 1 9. 36 2 x− + ⎛y+ ⎞ = ⎝ ⎠

Si dividimos miembro a miembro por 36 queda:

(

)

2 2 1 9 3 1 36 36 2 x y + + = ⎝ ⎠

Que podemos escribir como:

(

)

2 2 2 2 3 1 2 1 6 2 y x+ ⎞ ⎜ ⎟ − + =

Y esta es la ecuación canónica de una elipse, con centro en (1, 3) 2

C − , como 62 >22 resulta que a=6 y b=2.

Por lo tanto es una elipse de eje mayor paralelo al eje x, con vértices en 1 6, 3 2 ⎛ ± −

⎜ ⎟

⎝ ⎠, es

decir los vértices son: A1 5, 3 2 ⎛− − ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ y A2 3 7, 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠. Los covértices son 1, 3 2

2 ⎛ − ±

⎜ ⎟

⎝ ⎠, es decir los puntos: B1 1 1, 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ y B2 7 1, 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

Como c2 =6222 =32, resulta que los focos son 1 32, 3 2

±

⎜ ⎟

⎝ ⎠, es decir los puntos: F1 1 32, 3 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠y F2 3 1 32, 2 ⎛ + ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

La gráfica de esta elipse es:

(19)

19 1.3.11EJERCICIO:

Hallar los elementos de las elipses dadas por las siguientes ecuaciones (si es que corresponde) y representar: a)

(

)

2 2 1 1 4 16 x+ + y = b)

(

) (

)

2 2 3 2 4 9 4 xy+ + = c)x2+4y22x y+ − = 8 0 d) 3x2+2y2+6x4y+124 0= 1.3.12 EJERCICIO:

La siguiente tabla representa las longitudes de los semiejes mayores (a) y la

excentricidad e de las órbitas planetarias. Con esta información, calcula las distancias mínima y máxima (de centro a centro) de mercurio al Sol.

La excentricidad de la elipse está dada por e = c/a Semieje mayor

Planeta (millones de km) Excentricidad

Mercurio 57,9 0,2056 Venus 108,2 0,0068 Tierra 149,6 0,0167 Marte 227,9 0,0934 Júpiter 778,3 0,0484 Saturno 1427,0 0,0560 Urano 2869,0 0,0461 Neptuno 4497,1 0,0100 Plutón 5900 0,2484

(20)

20

Otra cónica importante es la hipérbola. En este Curso no estudiaremos la deducción de las fórmulas que la representa pero si daremos cuales son esas expresiones que las representan.

4. Hipérbola

Una hipérbola es el conjunto de todos los puntos P(x, y) en el plano, tales que la diferencia positiva entre las distancias de P(x, y) a un par de puntos fijos distintos (los focos) es igual a una constante.

Otra vez representaremos a los focos como F1(c, 0) y F2(– c, 0) y la constante como 2.a Si P(x, y) representa un punto de la hipérbola, se cumplirá lo siguiente.

Aplicando la definición (y haciendo un proceso similar al de la deducción en el caso de la elipse):

d(P,F1)−d(P,F2)=±2a

El signo ± es debido a que la expresión correcta sería d P F( , )1d P F( , )2 =2a, pero para facilitar las cuentas, trabajamos sin valor absoluto. Aplicando la definición de distancia:

(xc)2 + y2 (x+c)2 + y2 =±2a

pasando una raíz al otro miembro :

(xc)2 +y2 = (x+c)2 + y2 ±2a

elevando al cuadrado y haciendo cuentas:

x2 2cx+c2 +y2 = x2 +2cx+c2 +y2 ±4a. (x+c)2 +y2 +4a2 cancelando y pasando de miembro convenientemente:

±4a. (x+c)2 +y2 =4a2 +4acx

Dividiendo ambos miembros por 4a :

a cx a y c x+ + = + ± ( )2 2

elevando al cuadrado nuevamente:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 a x c cx a y c cx x + + + = + +

Pasando de miembro y agrupando convenientemente:

y

P(x, y)

F2 F1 F2 =(−c,0) F1 =(c,0)

(21)

21 2 2 2 2 2 2 2 a c y x a a c =

Dividiendo por c2− ambos miembros: a2

2 2

2 2 2 1

x y

aca =

™

En el triángulo PF1F2, (En todo triángulo la longitud de un lado es menor que la suma de las longitudes de los otros dos lados) se tiene que :

PF2 < PF1+F1F2

PF2PF1 <F1F2

Por lo cual 2a < 2c

a < c entonces 0 < c2 – a2

Como c2 – a2 es positivo, podemos llamarlo b2, entonces:

2 1 2 2 2 = − b y a x siendo b2 = c2 – a2

Otra vez hemos elevado al cuadrado ambos miembro de una igualdad en dos pasos de la deducción. La primera vez los dos lados eran positivos, y la segunda podían ser

positivos o negativos. Así, no hemos introducido raíces extrañas y los pasos se pueden invertir. Por ello se concluye:

Un punto P(x, y) está en la hipérbola con vértices en (± a, 0) y focos en (± c, 0) si y sólo si satisface la ecuación 2 1 2 2 2 = − b y a x en donde b2 = c2 – a2 .

Y también, los ejes x e y son ejes de simetría, y una vez más las abscisas al origen están

en (± a, 0). En este caso no hay ordenadas al origen, ya que cuando x = 0, se tiene 1 2 2 = − b y

y esta ecuación no se cumple para ningún número real y.

El eje x, que contiene dos puntos de la hipérbola, se llama eje transversal; el eje y, que

no tiene puntos de intersección con la hipérbola, se llama eje conjugado.

Los puntos (± a, 0) del eje transversal son los vértices, y el punto de intersección de los ejes (0,0), se llama centro.

Para toda hipérbola existen dos rectas a las que la curva se acerca cada vez más. A esas rectas se les denomina asíntotas.

Debemos decir las parábolas no tienen asíntotas. Por consiguiente, la hipérbola no es, como podría suponerse al ver diagramas de hipérbolas, un par de parábolas.

(22)

22 Si la hipérbola está determinada por 2 1

2 2 2 = − b y a x

tiene asíntotas representadas por

x a b y

™

Cambiando x por y, en el razonamiento anterior se puede llegar a la siguiente conclusión:

Un punto P(x, y) está en la hipérbola con vértices en (0, ± a) y focos en (0, ± c) si y sólo si satisface la ecuación 2 1

2 2 2 = − b x a y siendo b2 = c2 – a2

Las asíntotas de la hipérbola de ecuación 2 1 2 2 2 = − b x a y se representan x b a y=± 1.4.1 EJEMPLO: Describir 1 16 9 2 2 = − y x

Solución: Vemos que a2 = 9, b2 = 16 y c2 = a2 + b2 = 25. Esta hipérbola tiene su centro en (0, 0), sus vértices en (± 3, 0) y sus focos en (± 5, 0). Las asíntotas están dadas por:

x y 3 4 ± = 1.4.2 EJEMPLO:

Trazar y describir lo representado por 16x29y2+144 0=

Solución: Pasaremos esta ecuación a su forma estándar. Para ello podemos transformar la ecuación separando los términos con variables de los números sin variables: 16x29y2 = −144

Que dividiendo ambos miembros por – 144 se obtiene: 16 2 9 2 1 144x − 144y =

− −

y simplificando convenientemente obtenemos: 1 9 16 2 2 = −x y

Vemos que a2 = 16, b2 = 9 y c2 = a2 + b2 = 25. Esta hipérbola tiene su centro en (0, 0), sus vértices en (0, ± 4) y sus focos en (0, ± 5). Sus asíntotas se representan mediante

x y 3 4 ± =

(23)

23

1.4.3.EJERCICIO:

Trazar y describir lo que representan las ecuaciones de los siguientes apartados:

a). 1 9 16 2 2 = − y x b) 1 9 1 2 2 = −x y c) 4x2 – y2 = 4 d) x2 – y2 = 0 e) 16x2 – 9y2 = – 36 f) 5x2- 5 y2+ 5=0 1.4.4 EJERCICIO:

Deducir una ecuación que represente a las hipérbolas descriptas en los siguientes casos: a) Vértices en (± 2, 0), foco en (-4, 0) b) Asíntotas: y x 3 2 ± = , vértice en (6, 0). 1.4.5 EJERCICIO:

Para cada una de las hipérbolas determinadas por las ecuaciones de los incisos a), b), c) y e) del EJERCICIO 1.4. 3:

a) Determinar un punto H que esté en la hipérbola.

b) Considerar los focos F1 y F2 .

c) Verificar que ⏐d(H, F1) – d(H, F2) ⏐ = 2a

™

Sea una hipérbola de centro C

(

α β y de ejes paralelos a cada uno de los ejes ,

)

coordenados, con distancia focal c y semiejes a y b.

Supongamos además que el transverso es paralelo al eje x, tal como muestra la figura.

(0, 4)

(0,-4)

Se ha dibujado un rectángulo que sirve de guía para el dibujo de las asíntotas dela hipérbola. Son las diagonales de ese rectángulo

(24)

24 Por la definición de hipérbola:

a F P d F P d( , 1)− ( , 2)=±2

Usando la definición de distancia entre dos puntos se tiene:

(

)

(

)

2

(

)

2

(

(

)

)

2

(

)

2

2

x− α+c + y−β − x− α−c + y−β = ± a

1.4.6 EJERCICIO:

Continuar la demostración planteada, siguiendo las ideas que hemos empleado para la hipérbola centrada en el origen de coordenadas, para llegar a la expresión:

(

) (

)

2 2 2 2 1 x y a b α β − − − =

Un punto P(x, y) está en la hipérbola con centro en C

(

α β , de ejes paralelos a cada ,

)

uno de los ejes coordenados, con distancia focal c y semiejes a y b, siendo su eje

transversal paralelo al eje x si y sólo si sus coordenadas satisfacen la ecuación

(

) (

2

)

2 2 2 1 x y a b α β − − − = siendo b2 = c2 – a2.

Sus asíntotas son determinadas por: (y ) b(x )

a

β α

− = ± −

1.4.7 EJERCICIO:

Deducir una ecuación de la hipérbola de centro C(α, β) y de ejes paralelos a cada uno de los ejes coordenados, con distancia focal c y semiejes a y b, siendo su eje transversal

paralelo al eje y. Representar gráficamente. (Idea: haga un dibujo de la situación y siga

pasos similares al ejercicio anterior).

Un punto P(x, y) está en la hipérbola con centro en C

(

α β , de ejes paralelos a cada ,

)

uno de los ejes coordenados, con distancia focal c y semiejes a y b, siendo su eje

transversal paralelo al eje y si y sólo si sus coordenadas satisfacen la ecuación

(

) (

2

)

2 2 2 1 y x a b α β − − − = siendo b2 = c2 – a2

Sus asíntotas son determinadas por: (y ) b(x )

a

β α

(25)

25 1.4.8 EJERCICIO:

Hallar los elementos de las hipérbolas dadas por las siguientes ecuaciones (si es que corresponde) y representar: a)

(

)

2 2 1 1 16 4 x+ y = b)

(

) (

)

2 2 2 3 4 4 9 y+ x− − = c)x24y22x y+ − = 8 0 d) 3x22y2+6x4y+124 0=

EJERCICIOS ADICIONALES

1) Dada la ecuación 3x2 + 3y2 = 9.

a) Verificar que representa una circunferencia. Halle sus elementos y represente geométricamente.

b) Verificar que el punto A(1, 2) está en la circunferencia.

c) Halle otro punto de la circunferencia que tenga igual abscisa que A. d) Halle otro punto de la circunferencia que tenga igual ordenada que A.

2) Dada la ecuación x2 − 2x + y2 = 0.

a) Verificar que representa una circunferencia. Halle sus elementos y represente geométricamente.

b) Verificar que el punto A(2 + 3 , 1) está en la circunferencia.

c) Puede hallar otro punto de la circunferencia que tenga igual abscisa que A? y que tenga igual ordenada?

3) Hallar los elementos de las siguientes cónicas y graficarlas: 49 2 2 + y = x x2 + y9 =0 8 2 2 2 + y = x 2y2 =8x2 2 2 4 x y= − 3x2 =124y2 36 9x2 + y2 = 4x2 + y2 =4 4 9 2 2 + y = x x2 − y2 =1 36 9 4y2 − x2 = 2x2 + y3 2 =24

(26)

26 12 3 4x2 + y = y2 − x2 =9 49 2 2 + y = x x2 + y9 =0 4) Graficar: a) 0y2 − x2 = b) 4x2 − y2 =0 c) 4x2 + y2 =0 5) Resolver los siguientes sistemas e interpretar gráficamente la situación: a) (x − 1)2 + y2 = 4 c) x2 + y2 = 4

x + y = 1 y2 = 2 − x

b) (x − 1)2 + y2 = 1 x2 + (y − 1)2 = 1

6) En los siguientes sistemas, determinar si es posible hallar un valor de a tal que la

recta resulte tangente a la circunferencia. Interpretar gráficamente. a) x2 + y2 =1/4 b) x2 + y2 = 1

y = a x + 1 x + y = a

7) Resolver e interpretar geométricamente los siguientes sistemas: 2 2 49 xy = x2 + y9 =0 a) 2x y =7 c) x y =1 b) 2 2 3 12 4 1 x y x y ⎧ = − ⎨ + = ⎩

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