Técnicas de Monte Carlo.

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Técnicas de Monte Carlo.

Breve descripción matemática Algunos matemáticos que han

contribuido a la historia del método Monte Carlo

Aplicaciones

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MÉTODO DE MONTE CARLO

Bajo el nombre de “Método de Monte Carlo” o “Simulación Monte Carlo” se agrupan una serie de procedimientos que analizan distribuciones de variables aleatorias usando simulación de números aleatorios.

El Método de Monte Carlo da solución a una gran variedad de problemas matemáticos haciendo experimentos con muestreos estadísticos en una computadora. El método es aplicable a cualquier tipo de problema, ya sea estocástico o determinístico.

Generalmente en estadística los modelos aleatorios se usan para simular fenómenos que poseen algún componente aleatorio. Pero en el método de Monte Carlo, por otro lado, el objeto de la investigación es el objeto en sí mismo, un suceso aleatorio o pseudo-aleatorio se usa para estudiar el modelo.

A veces la aplicación del método de Monte Carlo se usa para analizar problemas que no tienen un componente aleatorio explícito; en estos casos un parámetro determinista del problema se expresa como una distribución aleatoria y se simula dicha distribución. Un ejemplo sería el famoso problema de las Agujas de Bufon.

La simulación de Monte Carlo fue creada para resolver integrales que no se pueden resolver por métodos analíticos, para resolver estas integrales se usaron números aleatorios. Posteriormente se utilizó para cualquier esquema que emplee números aleatorios, usando variables aleatorias con distribuciones de probabilidad conocidas, el cual es usado para resolver

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ciertos problemas estocásticos y determinísticos, donde el tiempo no juega un papel importante.

El método fue llamado así por el principado de Mónaco por ser ``la capital del juego de azar'', al tomar una ruleta como un generador simple de números aleatorios. El nombre y el desarrollo sistemático de los métodos de Monte Carlo data aproximadamente de 1944 con el desarrollo de la computadora electrónica. Sin embargo hay varias instancias (aisladas y no desarrolladas) en muchas ocasiones anteriores a 1944.

El uso real de los métodos de Monte Carlo como una herramienta de investigación, viene del trabajo de la bomba atómica durante la Segunda Guerra Mundial. Este trabajo involucraba la simulación directa de problemas probabilísticos de hidrodinámica concernientes a la difusión de neutrones aleatorios en material de fusión.

Aún en la primera etapa de estas investigaciones, John von Neumann y Stanislao Ulam refinaron esta curiosa ``Ruleta rusa'' y los métodos``de división''. Sin embargo, el desarrollo sistemático de estas ideas tuvo que esperar el trabajo de Harris y Herman Kahn en 1948. Aproximadamente en el mismo año, Fermi, Metropolos y Ulam obtuvieron estimadores para los valores característicos de la ecuación de Schrödinger para la captura de neutrones a nivel nuclear.

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Breve descripción matemática

La idea básica del método de Monte Carlo consiste en escribir la integral requerida como el valor esperado de alguna función con respecto a alguna distribución de probabilidad, lo cual sugiere una solución ``estadística'' al problema de integración. Para motivar la discusión consideremos el

siguiente ejemplo.

Sea . supongamos que existe , tal que para todo y que se desee calcular la integral

El valor de esta integral no es más que el área bajo la curva para . Dicha gráfica queda inscrita en el rectángulo

Sea

Entonces corresponde a la función de densidad (respecto a la medida de LEbesgue) de una distribución uniforme sobre el rectángulo . La integral puede entonces estimarse simulando una muestra de y contando cuántos de estos valores caen bajo

la curva .

Especificamente sea

donde

es un estimador insesgado de . En efecto, cada observación

corresponde a un ensayo Bernoulli con probalbilidad de éxito ,

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por lo que .

Más aún la varianza de este estimador es

Algunos matemáticos que han contribuido a la historia del método Monte Carlo

1.777 A la edad de 20 Georges Buffon descubrió el teorema binomial, colaboró con Cramer (*) en mecánica, geometría, probabilidad , teoría del número y el cálculo diferencial e integral.

Su primer trabajo-carreau de Sur le jeu introdujo cálculo

diferencial e integral en la teoría de las probabilidades, escribió Théorie de la terre

Lo recuerdan la mayoría, en el campo de las matemáticas por un experimento de la probabilidad que realizó calculando los palillos, que una vez lanzados sobre su hombro caían sobre un piso

embaldosado. Contando el número de ensayos, los palillos cayeron a través de las líneas entre los azulejos. Este experimento causó

mucha discusión entre los matemáticos que ayudaron hacia una comprensión de la probabilidad. (*)

1.824 Guillermo Thomson Kelvin, ingresó en la Universidad de Glasgow a la edad de años. En el curso 1.838-39 estudió Química y

Astronomía, y el curso siguiente cursos de filosofía natural (hoy llamado Físicas) en los cuales profundizó en los estudios de calor, electricidad y magnetismo.

En 1.841 estudió las transformadas de Fourier para concluir un informe sobre el movimiento uniforme de calor y su conexión con la teoría matemática de la electricidad, publicado en 1.842.

Los estudios de termodinámica de Kelvin, le hicieron proponer una escala absoluta de temperaturas, la cual, fue enunciada antes del principio de conservación de la Energía, si esta se hubiera

formulado antes, los estudios de Kelvin se hubieran comprendido mejor.

1.888 En 1.934, Richard Courant se incorporó en la Universidad de Nueva York, dónde formó un pequeño grupo de investigación, este grupo reflejó el estilo de trabajo del famoso instituto Göttinger, Alemania, dónde había sido alumno de David Hilbert.

Las investigaciones de Courant fueron de diversos tipos: métodos finitos de la diferencia, superficies mínimas y ecuaciones

diferenciales parciales. Fué pionero en publicaciones de textos matemáticos y de monográficos de alta calidad; un ejemplo

"Métodos de Física Matemática" por Courant e Hilbert.

Quizás es más conocido, "posiblemente" por sus talentos científicos de la organización y dirección en el instituto que lleva su nombre.

Friedrichs dijo de él: "No se pueden apreciar los logros científicos

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de Courant simplemente fijándose en sus publicaciones, pues sus investigaciones no eran aisladas sino que estaba completamente interrelacionado con otros campo de la Ciencia, y además, era la inspiración de muchos otros trabajos de investigación" (*)

1.889 Hyman Levy Matemático, filósofo y humanista. Nacido en

Edimburgo en una familia judía ortodoxa. Educado en la escuela de George Heriot y la universidad de Edimburgo, en donde estudió matemáticas y física. Trabajó en Alemania hasta el inicio de la primera guerra mundial, que se desplazó a Inglaterra, inicialmente en Oxford y la entonces la universidad imperial (Londres) donde lo designaron profesor de matemáticas en 1923. Publicó en el campo de la probabilidad y de ecuaciones diferenciales, junto con varios trabajos sobre la filosofía, incluyendo el universo de Science (1932). (*)

1.901 Kurt Otto Friedrichs solucionó un problema en relatividad mientras aún estaba en la universidad. Su disertación en la teoría de las placas elásticos fue escrita bajo la supervisión de Courant en Göttingen. Fué ayudante de Courant y ayudó a la publicación del libro de Courant y de Hilbert.

Su trabajo principal trataba sobre ecuaciones diferenciales parciales en física matemática. Utilizó diferencias finitas para

probar la existencia de soluciones. Friedrichs también trabajó en la dinámica de fluidos.

1903 John Von Newman, Formo parte del grupo de los seis profesores de matemáticas de instituto de estudios avanzados de Princeton junto con J.W. Alexander, A. Einstein, O. Veblen y H. Weyl, en 1.933 fué corredactor de "los anales de las matemáticas" y dos años más tarde del "Compositio Mathematica".

En 1.938 la sociedad de matemática americana, concedió a

Neumann el premio Bôcher por su trabajo "Funciones y grupos casi periódicos de la memoria" publicado en dos partes en 1.934 y

1.935. Fué uno de los pioneros de la informática haciendo

contribuciones significativas al desarrollo del diseño lógico. Avanzo considerablemente la teoría de los autómatas celulares. Su trabajo con el grupo de Los Alamos continuó desarrollando el synergism entre las capacidades de las computadoras y las necesidades de soluciones de cómputo a los problemas nucleares relacionados con la bomba de hidrógeno.

1908 Student Función « T »,

1909 Stanilaw Marcin Ulam, solucionó el problema de cómo iniciar la fusión en la bomba de hidrógeno. Él también ideó el ' método de Monte Carlo ' usado extensamente en solucionar problemas matemáticos usando el muestreo estadístico.

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Aplicaciones

Diseño de reactores nucleares Cromo dinámica cuántica Radioterapia contra el cáncer Densidad y flujo de tráfico Evolución estelar

Econometría

Pronóstico del índice de la bolsa

Prospecciones en explotaciones petrolíferas diseño de VLSI

Fisica de materiales Ecología

Criptografía

Valoración de cartera de valores Programas de ordenador

Métodos cuantitativos de organización industrial

Bibliografía

http://random.mat.sbg.ac.at/links/monte.html http://www.mat.usach.cl/histmat/html/ia.html www.addlink.es/product/palisade/risk.htm http://www.csm.ornl.gov/ssi-expo/MChist.html http://www.ccs.uky.edu/

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