4 Lugar Geométrico de las Raíces.

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(1)

Apuntes: 543 444 41

4 Lugar Geométrico de las Raíces.

La ubicación de los polos en sistemas lineales contiene la información relevante de éste. En efecto, a partir de ésta se puede concluir de su estabilidad y características dinámicas y estáticas. En este capítulo se revisa el concepto de Lugar Geométrico de las Raíces como el gráfico de la ubicación de los polos de un sistema lineal. En particular, se revisan técnicas para bosquejar esta ubicación a partir de la F. de T. en L.D. como función de un parámetro del sistema. Normalmente, este parámetro corresponde a la ganancia del controlador.

4.1 Introducción.

Sea la planta en L.C. como se muestra en la Fig.4.1(a). La F. de T. en L.D. es,

) 4 ) ( ( ss

s k

l , con r(s) = 1.

y por lo tanto las raíces en L.A. son s1,2 = 0 y 4. La F. de T. en L.C. es,

k s s

k k s s

k grk kg s y

s y

d() 1 ( 4) 4 

) (

2 ,

y por lo tanto las raíces en L.C. son s1,2 (4r 164k)/2 2r 4k, las cuales dependen de k.

Algunos valores se muestran en la tabla siguiente y la gráfica que se denominará el lugar geométrico de las raíces (L.G.R.) en la Fig.4.1(b).

k s1 s2

0 4 0

2 2 2 2 2

y k

yd

+



1 s(s + 4)

5 0

5 0 5

(a) (b) Fig.4.1 Sistema en L.C. y su L.G.R. en función de k; (a) diagrama, (b) L.G.R..

Apuntes: 543 444 42

4 2 2

6 2j 2 2j 2 8 2j2 2j2

Se observa que,

- para k = 0 se tiene que las raíces en L.C. son las raíces en L.D., - a medida que k aumenta, las raíces del polinomio en L.C. se

mueven por ramas, por lo que hay un número de ramas que es igual al número de raíces, el cual a su vez es igual al orden del polinomio característico.

Si ahora por ejemplo la F. de T. en L.D. es,

) 1 (

) 2 ) (

( 

 s

s s k

l , con r(s) = 1,

hay un polo en -1 y además hay un cero en 2. La F. de T. en L.C.

sería,

1 2 ) 1 (

) 2 ( ) 1 ( ) 2 (

) 2 ( 1

) (

) (

















 sk k

s k s

s k

s k kgr kg s y

s y

d

,

por lo que el polinomio característico es 1 + l(s) =

) 1 (

) 2 1 (



  s

k s = s1k(s2) =

0 1 2 ) 1 (k  k

s , por lo tanto, hay un polo en

1 1 2

1 

  k

s k , de esta expresión se concluye que,

- para k = 0 se tiene que el polo en L.C. es el polo en L.D..

- el polo viaja al cero a medida que k aumenta.

Por ejemplo, se estudia el caso de la F. de T. en L.D. dada por,

3 2 1 0 1

5 0 5

Fig. 4.2 L.G.R. de ) 1 (

) 2 1 (



  s k s = 0.

8 6 4 2 0 2

5 0

5 0

8 6 4 2 0 2

5 0

5 0

(a) (b)

Fig. 4.3L.G.R. de 0

) 6 5 )(

6 5 )(

6 )(

2 (

) 3 4 )(

3 4 1 (

) (

1      







 

 ss s s j s j

j s j k s

s

kgr ; (a) k positivo, (b) k negativo.

(2)

Apuntes: 543 444 43

) 6 5 )(

6 5 )(

6 )(

2 (

) 3 4 )(

3 4 ) (

( ss s s j s j

j s j k s

s

l      







 ,

la cual genera una F. de T. en L.C. dada por,

k s k s

k s

s s

s k s

y y

d 18 153 (608 ) (732 8 ) 25

25 8

2 3

4 5

2

















 .

Es claro que no es posible determinar la ubicación de los polos de esta función por inspección. El resultado exacto se encuentra en la Fig. 4.3.

Ejemplo 4.1. Estudiar la ubicación de los polos en L.C. del sistema de suspensión de un automóvil en función de la ganancia del controlador kc. R.: Se asume conocido el modelo en variables de estado que es x Axbuep y, cx. Al utilizar la realimentación se tiene que u = yd – y, por lo tanto, el sistema queda definido por

yr(t) M

k1

d

k2

u x2(t) m x1(t)

suspensión automóvil +

-

'yd 'u

'yr

'y kc

(a) (b)

10 5 0

50 0 50

0 0

10 5 0

50 0 50

0 0

(c) (d)

0 2 4 6 8 10 12 14 16

0 0.2 0.4

(e)

Fig. 4.4Sistema de suspensión de un automóvil, Ejemplo 4.1; (a) diagrama físico, (b) control realimentado, (c) ubicación de valores propios en L.C. para kc >0, (d) idem (c) pero para kc < 0, (e) simulación en L.C. para kc = 5000.

Apuntes: 543 444 44

( ) ,

c d

k y y p y x

  

x Ax b e c , lo que es simplificado a x (Ak ccb x) bk yc dep y, cx. Es decir, la ubicación de los polos está dada por la ubicación de los valores propios de la matriz A- kcbc. Los resultados se ilustran en la Fig. 4.4, de éstos se puede concluir que el sistema siempre oscila en L.C., para valores altos de kc se hace inestable en L.C. La Fig.

4.4(e) muestra la simulación para un cambio en la referencia y luego en la perturbación (camino). Claramente, el sistema oscila inaceptablemente.h

El método del L.G.R. es una técnica gráfica para determinar los polos de la F. de T. en L.C. h(s) a partir de la F. de T. en L.D. l(s) conforme varía uno de los parámetros del sistema. Este método proporciona un gráfico que permite estudiar,

- estabilidad o polos en el S.P.I./S.P.D..

- dinámica o ubicación de polos en el diagrama (complejos: oscilaciones).

- estado estacionario o error en estado estacionario en el diagrama (polos en el origen).

- sensibilidad o variación del L.G.R. en función de algún parámetro.

- diseño o ubicación de los polos.

Desafío: bosquejar el L.G.R. de la F. de T. en L.C. a partir de la F. de T. en L.D. en forma rápida. Para esto existe el Método del L.G.R. que propone varias reglas para la construcción de éste.

4.2 El Método del L.G.R.

Es un conjunto de reglas que permiten encontrar la ubicación de los polos en L.C. del sistema general dado por la Fig. 4.5 sin resolver la ecuación característica. Los polos en L.C. están dados por las raíces de la ecuación,

0 ) ( 1 ) (

1ls kgrs

Todo punto s en el plano complejo que cumpla con la ecuación anterior, es un polo del sistema en L.C..

La expresión anterior puede ser escrita como,

) 2 1 ( ) 2

( 1

1 1 ) 1

( j j n ej n

e k e k k s k

gr  S S S S .

Por lo tanto, se debe cumplir que,

s k

gr 1

)

( y arg(gr(s)) S(2n1),

las cuales se conocen como la condición de magnitud y ángulo, respectivamente. En general, un punto en el plano complejo debe cumplir con la condición de ángulo para que corresponda a un polo del sistema en L.C.. La ecuación de magnitud puede ser posteriormente utilizada para determinar la ganancia k necesaria para tener el punto en L.C. como polo.

y k

yd

+



g(s)

r(s)

Fig. 4.5Sistema generalizado en L.C. para análisis con el L.G.R..

(3)

Apuntes: 543 444 45

Ejemplo 4.2. Supongamos que

) 4 ( ) 1 (s ss

kgr . Determine si –6 y –1 pertenecen al L.G.R. en L.C.. R.: Sea s1 = 1 un

punto del lugar geométrico, entonces, 180º

) 4 1 ( 1 arg 1 )) ( arg( 1

¿¾

½

¯®

­



 s 

gr , por lo tanto s1  al L.G.R.; además,

3 / 1 ) 4 1 )(

1 /(

1 / 1 )

(s1 k   

gr , por lo que k = 3. Por otro lado, sea s1 = 6 un punto del L.G.R., como º

) 0 4 6 ( 6 arg 1 )) ( arg( 1

¿¾

½

¯®

­



 s 

gr , entonces, s1 al L.G.R.. Esto corrobora el diagrama de la Fig.4.1.h

Las reglas para construir el L.G.R. son las siguientes.

Regla Nº1: Numero de ramas.

El número total de ramas es igual al número de polos de la F. de T. en L.D. l(s). Dem.: En L.C. hay igual número de polos que en l(s).

Regla Nº2: Puntos de inicio (k o 0).

Las ramas del L.G.R. comienzan en los polos de la F. de T. en L.D. l(s). Dem.:

) 0 (

) 1 (

) (

1 3 



 3



j i

p s

z k s s

kgr ;? 3(spj)k3(szi) 0, con k = 0 se tiene que 0

) ( 

3s pj . Por lo tanto, los valores de s que satisfacen esta ecuación son los polos del sistema.

Regla Nº3: Puntos finales (k o f).

Si l(s) tiene Kp polos y Kz ceros, entonces Kz ramas terminan en los Kz ceros y las Kp Kz

ramas restantes terminan en el infinito. Dem.: 0

) (

) 1 (

) (

1 3 



 3



j i

p s

z k s s

kgr ; ?

0 ) ( )

(   3 

3s pj k s zi , o también 1 ( ) ( ) 0

 3





3s pj s zi

k con ko f

0 ) ( 

3s zi . Por lo tanto, los valores de s que satisfacen esta ecuación son los ceros del sistema.

Regla Nº4: Comportamiento a lo largo del eje real (s = V).

Un punto en el eje real es un punto del L.G.R. si la suma del número de polos y ceros que se encuentran a la derecha del punto es impar. Dem.: Utilizando el criterio de los ángulos.

El aporte neto de ángulo por un número par de ceros y/o polos es cero. Por lo tanto, el número debe ser impar.

Regla Nº5: Determinación de la ganancia.

La ganancia en un punto arbitrario s1 que pertenece al L.G.R. se calcula como

1

) ( 1

s

s s

k gr . Dem.: |gr(s)| = 1/k, por definición de punto que pertenece al L.G.R.

Apuntes: 543 444 46

Ejemplo 4.3. Sea el sistema de la Fig. 4.6(a), determine su L.G.R.. R.: La ecuación característica es ) 0

4 (

) 2 ( 1 2

1 

 

 ss

k s

kgr , por lo que se tienen dos ramas como se muestra en la Fig. 4.6(b). Para determinar k en s = -1 se

tiene que

3 2

3

· 1 1

· 2 1

| 4 1

||

1

|

| 2 1

| 2

1

) 4 1 )(

1 (

) 2 1 ( 2

1

|

| 1

1



















s  gr s

k . En general, para determinar k se procede usando el

criterio de las distancias relativas que se simplifica a la ecuación,

–

–

rg rg k k

de ceros los a distancia

de polos los a distancia '

1

donde k’ es la ganancia de gr(s). En el caso anterior k’ = 2 y k = 1/2(3·1/1). h

4.3 Reglas Adicionales para la Construcción del L.G.R.

Regla Nº6: Simetría del L.G.R.

El diagrama del L.G.R. es siempre simétrico respecto del eje real. Dem.: Los polos complejos siempre aparecen como complejos conjugados. Notar que estos pueden originarse no sólo cuando l(s) tiene polos complejos.

Regla Nº7: Puntos de salida (llegada) sobre el eje real.

Un punto de salida (llegada) del (al) eje real sucede en un máximo (mínimo) relativo de la ganancia. Éstos se pueden se pueden encontrar resolviendo 0

V

dss

dk . Dem.: En

cualquier punto del L.G.R. se tiene que 1kgr(s) 0, lo que se puede asumir como ) 0

( ) 1 (

s d

s

kn o como d(s)kn(s) 0. En el eje real se cumple que s = V, por lo que 0

) ( ) (V knV

d . Para un pequeño incremento de k se tiene d(V)(k'k)n(V) 0, 0

) ( ) ( )

(V knV'knV

d , o también, 0

) ( ) (

) 1 (

V

 V ' V

 d kn

k n . Si se asume k de manera de estar en el punto de partida (llegada) entonces hay polos múltiples y por lo tanto

0 ) ( ) (V knV

d se puede escribir como (V - Vo)n\’(V), con n la multiplicidad del polo y y

k yd

+

1

2s + 2 s + 4

6 4 2 0 1

5 0 5

(a) (b) Fig. 4.6 Ejemplo 4.3; (a) diagrama, (b) L.G.R.

(4)

Apuntes: 543 444 47

Vo el punto exacto en el eje real del punto de partida (llegada). Por lo tanto, se puede

escribir, 0

) ( ' ) (

) 1 (

o \ V

V

 V ' V

 n

k n , ( ) 0

1 'V

V ' \

 k n , ( ) 0

1 1

V '

V

\ V '

' n

k ,

) (

1

V

\ V

' V '

'k n

, por lo que si 'V o 0 , entonces 'k/'V o 0.

Ejemplo 4.4. Determine el punto de partida/llegada de

) 4 ( ) 1 (s ss

gr . R.: ( ( 4))

) (

1  

¿¾

½

¯®

­ ss

ds d s gr ds d ds

dk . Al

tomar (V24V) 2V4 0 V

V V d

d ds dk d dk

s

, entonces, V = 2. Esto corrobora el diagrama de la Fig.4.1.h

Regla Nº8: Ángulo de salida (llegada) del (al) eje real.

Las líneas que entran (salen) del (al) L.G.R. están separadas por un ángulo dado por 180º/D en el punto de entrada (salida), donde D es el número de ramas que se cruzan.

Dem.: El número de ramas que se cruzan es siempre múltiplo de dos y además se tiene, ) 0

( ) (

) 1 (

' 

 d s kns s

k n . Cerca del polo múltiple en L.C. que es so se puede escribir,

) (

1

) (

) (

) 1 (

) (

) 1 (

) (

o o o

o

n n n n

n

j s k j

j s k j

j j k s

s s k s

Z '

 V '



\ '

 Z '

 V '

Z '

 V '



\ '

 Z '

 V '

Z  '

 V '

Z '

 V '

 ' \

  ' \

,

de donde, arg('Vj'Z) argn1argn'k\(so'Vj'Z). El tomar 'Vj'Zo0 implica que 'k o 0, así límarg( )

0

0 'V 'Z

o Z 'Vo

' j = argn + 1 límargn k (so j )

0

0 '\ 'V 'Z

o Z 'Vo '

= argn , puesto que el argumento de la raíz es siempre positivo. Así, para n = 2, 1 º

90 , º 90 ) arg(

), arg(

) arg(

lím

0

0 'V 'Z  

o Z 'Vo

' j j j y para n = 4,

°°

¯

°°

®

­











 Z

'

 V '

o Z 'Vo '

º 315 ) 2 / 2 2 / 2 arg(

º 225 ) 2 / 2 2 / 2 arg(

º 135 ) 2 / 2 2 / 2 arg(

º 45 ) 2 / 2 2 / 2 arg(

) arg(

lím

0 0

j j j j

j .

Ejemplo 4.5. Dibuje el L.G.R. de

) 2 (

3 3 ) 4

( 

 s s k s s

kgr . R.: R.1 : dos ramas, R.2 : ko 0, p1: 0, p2:2, z1:3, R.3 :

ko f, p1:3, Kp Kz = 2  1 = 1, R.4: ver Fig. 4.7, R.7 : 0 ) ( 1

¿¾

½

¯®

­

 V

V GH

d

d ,

¿ V

¾½

¯®

­



 

V s s

s s d

d ) 3 ( 4

) 2 (

3 =

Apuntes: 543 444 48

¿¾

½

¯®

­

 V

 V V



 V V





 V 2

) 3 (

) 2 ( ) 3 )(

2 ( 4

3 = 0

) 3 (

6 6 4 3

2 2

¿¾

½

¯®

­

 V

 V



 V ,

732 . 4 3 3

268 . 1 3 3

2 1



|



 V



|





V con un valor de k de

268 . 1 3

) 268 . 1 2 )(

0 268 . 1 ( 3 / 4

1





 = 0.402, R.8 : 90º, 90º. h

Regla Nº9: Comportamiento asintótico para valores de k grandes.

El L.G.R. tiende a los ceros en infinito a través de asíntotas centradas en VA y con ángulos IA. Cuando el número finito de ceros Kz es menor que el número de polos Kp, entonces Kp Kz ramas del L.G.R. terminan en ceros en el infinito. Las ramas del L.G.R. viajan en asíntotas cuando ko f. Las asíntotas están centradas en un punto en el eje real dado por,

z p

A K K

V

¦

localizaciónpolos

¦

localizaciónceros.

El ángulo respecto del eje rea está dado por, º 1180 2

z p A

q K

 K

I  , q = 0, 1, 2, ..., (Kp Kz1).

Dem.(a): 1 + l(s) = 0 Ÿ p k s

z s

p z

j j i

i 1

) (

) (

1

1 





–

–

K K

. Separando el denominador,

p k s p s

z s

z z p

z

l l j

j i

i 1

) ( ) (

) (

1 1

1 







–

–

–

K K

 K

K

,

para so f (k o f) se tiene que,

º 1180 2 º 360 º arg 180

1 arg 1

arg arg

) arg(

º 360 º 180

z p z p

j q q q

e

k k

s

z p

z p z p z p z

p

K

 K

 K

 K



°¿

°¾

½

°¯

°®

­







K

 K



K

 K K

 K K

 K K

 K

, q = 0, 1, ..., Kp Kz 1.

y k

yd

+



4 s + 2 1/3(s + 3)

s 46 4 2 0

2 0 2 4

(a) (b) Fig. 4.7Ejemplo 4.3; (a) diagrama, (b) L.G.R.

(5)

Apuntes: 543 444 49

Dem.(b): 1 + l(s) = 0 Ÿ ( ) ( ) 0

1 1







–

–

K Kz

p

i i j

j k s z

p

s , lo que puede ser escrito como

0 )

( 0

1 1 0

1

1      

 K K K K

 K

K a s a ks b s b

s z z

z p

p

p " " y reducido a,

0 )

( 1 1 1 

 K K KK K



K a b s k

s p z p z p z " k

Se asume que gr(s) es de la forma

z p

sVA)KK (

1 y se aproxima

k s

s

s A p z A A

z p z

p z

p  K K V  V  

V

 )KK KK ( )( )KK( 1) "

( 1 usando Taylor alrededor

deVA = 0. Entonces,

k s

s

kgr p z  KpKz p z VA 

 0 KK ( 1)( )KK1 "

1 h

Igualandok y h se tiene que aKp1bKz1 (KpKz)VA, y dado que K

¦

K

p

p j

pj

a

1

1 y

¦

K

 K

z

z i

zi

b

1

1 , entonces,

z p z

p i

i j

j A

z p

z p

K

 K

 K

 K





V

¦

K

¦

K

¦

localizaciónpolos

¦

localizaciónceros

1

1 .

Regla Nº10: Cruces en el eje imaginario.

Las ramas del L.G.R. cruzan el eje imaginario cuando la ganancia (k = kc) y la frecuencia (Z = Zc) cumplen con,

0 )) ( ( m )) ( ( m

0 )) ( ( e )) ( ( e

Z

‚

 Z

‚

Z

ƒ

 Z

ƒ

c c c

c c c

j n k j

d

j n k j

d .

Dem.: 1 + l(s) = 0. En el cruce k = kc; s = Vc + jZc = jZc. Además, l(s) = kn(s)/d(s), entonces,

) ( ) ( ) 0 (

)

1 ( c c c

c c

c d j kn j

j d

j

k n Z  Z

Z

 Z .

Esta ecuación es una ecuación compleja, por lo tanto, su parte real e imaginaria deben ser idénticamente iguales a cero. Nota: alternativamente, kc se puede encontrar utilizando el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz.

Ejemplo 4.6. Dibuje el L.G.R. de

) 2 )(

1 ( ) 6

(s kss s

kgr . R.: R.7 : 0

6 ) 2 )(

1 (

¿¾

½

¯®

­ V V V V 

V d

d d

dk ,

^

V33V22V

`

0

V d

d , 3V26V2 0, V1 1 3/2 0.422, V2 1 3/2 1.577, R.8 : 90º, 90º, R.9:

Apuntes: 543 444 50

^(012)(0)`/3 1

VA ,

°¯

°®

­ I

2 º 300

1 º 180

0 º 60

q q q

A , R.10 : ƒe^jZc(jZc1)(jZc2)`ƒe^ `6kc 0 3Z2c6kc,

^jZc jZc jZc `‚ ^ `kc Zc Zc

‚m ( 1)( 2) m6 0 3 2 , de donde, Zc r 2, y kc 1.h

Regla Nº11: Suma de los polos en lazo cerrado.

Si en la función de transferencia de lazo directo se cumple que Kp Kzt 2, entonces la suma de los polos de la F. de T. de L.C. permanece constante (independiente de k) y es igual a la suma de los polos de la F. de T. de L.D. Dem.: El polinomio característico de l(s) es:

0 1

1 1

)

(s p s a s a rs r a

j j

p p p

p p p











 K K K

 K K K

–

" " , en donde, K

¦

K

p

p j

pj

a

1

1 .

El polinomio característico de la F. de T. en L.C. es,

–

–

–

K   K  K 

p z

p

k k i

i j

j k s z s P

p s

1 1

1

) ( ) ( )

( ,

por lo tanto,

0 1 1

0 1 1 0

1

1 ( )

d s

d s

b s

b s k a s

a s

a s

p p p

z z p z

p p

p

p r

r

























 K

 K K

 K

 K

 K K

 K

 K

 K K

"

"

"

"

,

en donde K

¦

K

p

p k

Pk

d

1

1 . Si Kz = Kp r y Kp r < Kp 1 Ÿ Kz < Kp 1 Ÿ Kzd Kp 2 se tiene,

0 1 1 0

0 1

1s (a k)s a kb s d s d

a

s p p

p p

p p

p

p r

r      





 K K K K

 K

 K

 K

K " " " ,

entonces, aKp1 dKp1 Ÿ

¦

K

¦

K

p p

j j k

k p

P

1 1

.

Regla Nº12: Ángulos de salida (llegada) de (a) un par de polos (ceros) conjugados.

El ángulo de partida de un polo complejo está dado por,

4 2 0

5 0 5

Fig. 4.8L.G.R. del Ejemplo 4.6.

(6)

Apuntes: 543 444 51

Tp





¦

¦

ángulosdesdelosceros ángulosdesdelosrest.polos 180º ,

ecuación que corresponde al criterio de ángulo, y el ángulo de llegada por, Tc





¦

¦

ángulosdesdelospolos ángulosdesdelosrest.ceros 180º ,

Dem.: 1 + l(s) = 0.

°

°

¿

°°

¾

½

°

°

¯

°°

®

­





–

–

K K

p z

j j i

i

p s

z s s

gr

1 1

) (

) ( arg º 180 ) (

arg .

Sea pc el polo complejo en donde se desea saber el Tp.

°¿

°¾

½

°¯

°®

­  



°¿

°¾

½

°¯

°®

­

–

K 

–

K

1

1 1

) ( ) ( arg ) ( arg º 180

p z

j j c i

i s p s p

z

s .

En el entorno de pc,s pc'Vj'Z, se cumple,

¿¾

½

¯®

­  'V 'Z



Z '

 V '

¿

¾½

¯®

­  'V 'Z

–

–

 K K

1

1 1

) (

arg

) arg(

) (

arg º 180

p z

j

j c

i

i c

p j p

j z

j p

,

Entonces el ángulo de partida Tp arg('Vj'Z) cuando 'V y 'Z o 0 es,

. º 180 polos rest.

los desde ángulos ceros

los desde ángulos

º 180 ) ( arg ) ( arg

1

1 1







¿¾

½

¯®

­  

¿

¾½

¯®

­  

T

¦

¦

–

–

Kz Kp

j

j c i

i c

p p z p p

4 2 0 2 4

4 2 0 2 4

Fig. 4.9 L.G.R. del Ejemplo 4.7.

Apuntes: 543 444 52

Ejemplo 4.7. Dibuje el L.G.R. de

2 2

( 2 2 )( 2 2 ) 4 8

( ) ( 2 2 )( 2 2 ) 4 8

s j s j s s

kgr s

s j s j s s

     

      . R.:Tp1 180º135º90º180º 45º, y º

225 º 180 º 270 º 0 º 315

1   

Tc .h

4.4 Análisis de Sistemas y Ejemplos de Sintonización.

Para el análisis de sistemas mediante el L.G.R. se debe generalizar su utilización en donde el parámetro pueda ser distinto de k e incluir k negativos.

A . El L.G.R. con Parámetros distintos a k.

Hasta ahora se han estudiado sistemas como el ilustrado en la Fig. 4.5, donde la ecuación característica es de la forma,

0 ) ( 1kgrs .

El estudio se fundamenta en encontrar la ubicación de las raíces (polos) de la F. de T. en L.C. sin tener que solucionar la ecuación 1 + l(s) = 1 + kgr(s) = 0. El problema que persiste es cómo estudiar el caso en que k está definido (k = 5, por ejemplo) y en gr(s) hay un parámetro que puede variar de 0 a infinito o en algún rango. Es decir, se debe estudiar el caso 1 + kgr(D, s) = 0, donde D puede tomar un rango de valores. Este análisis se puede efectuar ordenando la ecuación característica de manera de obtener 1 + Dw(s, k) = 0, donde w(s, k) es una nueva función (con k dado) de s. Naturalmente, en 1 + Dw(s, k) = 0 se pueden aplicar las reglas de construcción del L.G.R. anteriores.

Ejemplo 4.8. Dibuje el L.G.R. de 0

) 3 )(

2 )(

( 1 2

1  D  

s s

kgr s si D varía desde 0 a f. R.: En este caso la ecuación característica es (s2(2D)s2D)(s3)2 0, por lo que debe reordenarse para obtener la estructura generalizada. Así, s3(2D)s22Ds3s23(2D)s3·2D2 0, s3(5D)s2(5D6)s6D2 0,

0 2 6 5 ) 6 5

(2   3 2 

Ds s s s s , 0

2 6 5

6

1 3 25

2







 D 



s s s

s

s , por lo que,

2 6 5

6 ) 5

( 3 2

2









 s s s

s s s

w ,

0 ) 1 )(

2 2 )(

2 2 (

) 3 )(

2 1 (











 D 

 s s s

s

s . En esta última ecuación se pueden aplicar las reglas anteriores. R.7 : 0 V D

V d

d d

dk ,

) 0 3 )(

2 (

) 1 )(

2 2 (s ) 2 2 (s

°¿

°¾

½

°¯

°®

­















V s s

s d

dk ,

2 2

2 3 2

2

) 6 5 (

) 2 6 5 )(

5 2 ( ) 6 5 )(

6 10 3 0 (























s s

s s s s s s s

s ,

yd(s) +

2 y(s) (s + D)(s + 2)(s + 3)

4 2

2 1 0 1 2

(a) (b) Fig. 4.10Ejemplo 4.8; (a) diagrama, (b) L.G.R.

Figure

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