Universidad de Zaragoza
Facultad de Ciencias
Trabajo de Fin de Grado
Escapar de un agujero negro
Director:
Dr. Javier Redondo Mart´ ın Autor:
Iv´ an Fern´ andez Fern´ andez
10 de septiembre de 2021
Abstract
Una de las caracter´ısticas m´as notables de los agujeros negros est´a relacionada con la absorci´on de materia y radiaci´on por parte de estos. En los sistemas m´as simples, una vez la materia cruza una cierta regi´on, esta deja de ser visible para un observador externo y jam´as saldr´a del agujero negro.
En este trabajo se profundizar´a en el an´alisis de este suceso para sistemas de agujeros negros m´as complejos. Esta complejidad nos obligar´a a tratar de simplificar el problema a trav´es de la termodin´amica, proporcionando una relaci´on para la entrop´ıa de agujeros negros acelerados que podr´a servir como punto de partida para futuros estudios.
´ Indice general
1. Introducci´on y objetivos 1
2. Agujeros negros estacionarios 4
2.1. Agujero negro de Kerr . . . 5
2.1.1. Proceso de Penrose . . . 6
2.1.2. Identificaci´on de part´ıculas dentro de la ergosfera . . . 7
3. Sistemas de agujeros negros 9 3.1. Termodin´amica de agujeros negros . . . 10
3.1.1. Ejemplos simples de fusi´on de agujeros negros . . . 11
3.2. Planteamiento del sistema de estudio . . . 14
4. Agujeros negros acelerados 15 4.1. M´etrica acelerada . . . 15
4.1.1. Sistema de coordenadas aceleradas . . . 15
4.1.2. M´etrica original . . . 16
4.1.3. Transformaci´on de la m´etrica . . . 16
4.1.4. Caracter´ısticas de la m´etrica resultante . . . 18
4.2. Entrop´ıa del agujero negro acelerado . . . 19
4.3. An´alisis de la entrop´ıa del agujero negro . . . 21
5. Conclusi´on 23 Anexo I A.1. C´alculo de trayectorias en agujeros negros estacionarios . . . i
A.2. Proceso de Penrose original . . . iv
Cap´ıtulo 1
Introducci´ on y objetivos
El desarrollo de la teor´ıa de la Relatividad General permiti´o predecir uno de los ele- mentos relativistas por excelencia: los agujeros negros. Un agujero negro es una regi´on finita del espacio que encierra una masa con densidad extremadamente grande, deforman- do la curvatura del espacio-tiempo de manera que ni siquiera la luz es capaz de escapar de dicha regi´on. Estos vienen enteramente caracterizados por cargas locales conservadas, como su masa M, su momento angular J y su carga el´ectrica Q.
Debido a que la estructura interna del agujero negro no afecta (a priori) a las trayecto- rias que siguen las part´ıculas externas a este, generalmente se modelizan como una masa puntual [1]. Como consecuencia de esta descripci´on encontramos una singularidad central en la que diverge la curvatura del espacio-tiempo. Esta singularidad est´a encerrada en el interior de distintos tipos de horizontes, que son regiones del espacio-tiempo en las que se cumplen unas condiciones preestablecidas debidas a la presencia de la masa central. En este trabajo distinguiremos:
Horizonte de sucesos: frontera dentro de la cual los eventos no afectan a un obser- vador externo.
Horizonte aparente: frontera dentro de la cual las trayectorias se dirigen inevitable- mente hacia su interior; su interior es una regi´on de atrapamiento. Dentro de estos horizontes siempre hay agujeros negros.
Superficie de l´ımite estacionario: frontera a partir de la cual el vector de Killing ∂/∂t pasa a ser de tipo espacio [2].
La diferencia entre estos horizontes es sutil. Los horizontes de sucesos est´an definidos de manera global como la frontera entre las geod´esicas nulas (trayectorias seguidas por los fotones) que son capaces de “escapar” al infinito y aquellas que irremediablemente acaban cayendo al agujero negro, por lo que es evidente que debemos conocer todas las trayectorias
CAP´ITULO 1. INTRODUCCI ´ON Y OBJETIVOS
posibles en el espacio-tiempo para poder identificar el horizonte de sucesos. Los horizontes aparentes se definen localmente como la superficie sobre la cual el desplazamiento de las geod´esicas nulas salientes es nulo. A partir de aqu´ı vemos que la principal diferencia entre ambos horizontes es que ninguna geod´esica es capaz de salir del horizonte aparente, mientras que las geod´esicas pueden alejarse del horizonte de eventos antes de caer dentro del agujero negro [3, 4].
Por otro lado, la superficie de l´ımite estacionario es una superficie en cuyo interior una part´ıcula es incapaz de mantenerse en reposo respecto a un observador externo. Cuando una part´ıcula atraviesa esta superficie, esta es arrastrada por el espacio-tiempo debido a la influencia de la masa central del agujero negro. Sin embargo, esta superficie no impide que las part´ıculas salgan de la misma [3].
Todos estos horizontes coinciden en las m´etricas est´aticas y estacionarias, como es el caso de los agujeros negros de Schwazschild (sin rotaci´on ni carga el´ectrica). Adem´as, en el caso de m´etricas estacionarias los horizontes de sucesos y aparente coinciden. Por este motivo generalmente son confundidos [2, 3].
Por motivos evidentes, la ´unica forma experimental de estudiar los agujeros negros es analizando los objetos que caen o se acercan mucho al agujero negro. Por ello, en este trabajo analizaremos las situaciones en las que un observador externo (nosotros) podr´ıa ver c´omo una part´ıcula entra y sale de un agujero negro.
En este estudio supondremos el observador situado en el infinito. A todos los efectos pr´acticos, nos encontramos lo suficientemente lejos del agujero negro m´as relevante como para que esta aproximaci´on sea v´alida. Este agujero negro en cuesti´on es Sagitario A*, situado en el centro de la V´ıa L´actea; tiene una masa de unos 4 millones de masas solares, un radio de Schwarzschild de unos 12 millones de kil´ometros y se encuentra a unos 26 millones de a˜nos luz de la Tierra, lo que equivale a decir que nos encontramos a unos 3, 4 · 108 radios de Schwarzschild del agujero negro.
Bajo esta condici´on y atendiendo a las definiciones de los distintos horizontes, con- clu´ımos que no podremos observar ninguna part´ıcula ni fot´on que traspase el horizonte de sucesos o el horizonte aparente en ca´ıda libre.
Comenzaremos con un an´alisis de agujeros negros estacionarios. En esta parte estudia- remos los agujeros negros de Schwarzschild y de Kerr (con momento angular), haciendo hincapi´e en el proceso de Penrose, que permite que las part´ıculas aprovechen la rotaci´on de los agujeros negros de Kerr para alejarse de la regi´on m´as cercana al horizonte de su- cesos. Durante este proceso la part´ıcula gana energ´ıa cin´etica extray´endola de la energ´ıa de rotaci´on del agujero negro.
En esta primera parte estudiaremos las trayectorias de part´ıculas en sistemas con un solo agujero negro, con el objetivo de encontrar situaciones en las que una part´ıcula se
CAP´ITULO 1. INTRODUCCI ´ON Y OBJETIVOS
vuelve indetectable por un observador externo lejano al aproximarse al agujero negro para posteriormente ser capaz de observarla alej´andose de este. Para una mejor comprensi´on de los argumentos expuestos en esta parte, se recomienda al lector familiarizarse con las trayectorias resumidas en el Anexo A.1.
A continuaci´on se trat´o de realizar c´alculos de trayectorias en sistemas m´as complejos mediante relatividad num´erica. Sin embargo, no se contaba con la potencia computacional requerida para poder llevar a cabo estas simulaciones de forma satisfactoria, por lo que se han tenido que utilizar argumentos termodin´amicos para poder hacer an´alisis simplificados de sistemas complejos de agujeros negros.
Estos argumentos termodin´amicos no son capaces de proporcionarnos resultados tan precisos como los que nos proporciona el estudio de trayectorias. Por lo tanto el primer paso que daremos en esta segunda parte ser´a comprobar que estos argumentos son capaces de predecir los resultados obtenidos en la primera parte. A continuaci´on aplicaremos este procedimiento a un agujero negro acelerado como primera aproximaci´on a un sistema de dos o m´as agujeros negros, y veremos qu´e efecto tiene la aceleraci´on sobre el agujero negro buscando situaciones similares a las buscadas en la primera parte.
Cap´ıtulo 2
Agujeros negros estacionarios
En este apartado analizamos las trayectorias en la m´etrica de Kerr, obteniendo las de la m´etrica de Schwarzschild haciendo tender el momento angular del agujero negro a 0.
En todo el trabajo utilizaremos la signatura (−, +, +, +) y trabajaremos en unidades geom´etricas (c = G = 1).
La m´etrica de un agujero negro de Kerr en las coordenadas de Boyer-Lindquist es [3]:
ds2 =gµνdxµdxν =
= −
1 − 2M r Σ
dt2− 4M ra sin2θ
Σ dtdφ + Σ
∆dr2+ Σ dθ2+ +
r2+ a2+ 2M ra2 Σ sin2θ
sin2θ dφ2 Σ = r2+ a2cos2θ
∆ = r2− 2M r + a2
(2.1)
Las coordenadas espaciales hacen el papel de coordenadas esf´ericas con origen en la singularidad del agujero negro, donde r ∈ [0, ∞) es el radio, φ ∈ [0, 2π) y θ ∈ [0, π).
El par´ametro a es el par´ametro de momento angular, definido como a = J/M , con M la masa del agujero negro; este par´ametro debe cumplir a2 < M2 para evitar tener una singularidad desnuda. En el caso de tener que a2 > M2, los horizontes del agujero negro desaparecen y la singularidad central del agujero negro ser´ıa observable desde el exterior, violando la hip´otesis de censura c´osmica.
Los agujeros negros de Schwarzschild han sido extensamente estudiados debido a su simplicidad. En esta situaci´on tenemos que todos los horizontes definidos anteriormente coinciden, de manera que, sin excepci´on, veremos c´omo la imagen de las part´ıculas que caigan al agujero negro se va desvaneciendo sin llegar a ver c´omo ´esta cruza el horizonte de sucesos; esto se debe a que el factor de redshift (cociente entre frecuencia de emisi´on
CAP´ITULO 2. AGUJEROS NEGROS ESTACIONARIOS
y detecci´on) es proporcional a g−1/2tt . A pesar de que la part´ıcula cruza el horizonte en un tiempo propio finito, desde nuestro sistema de referencia mediremos que ´esta tarda un tiempo infinito.
Utilizando los resultados del Ap´endice 1 A.1 y suponiendo que la part´ıcula se desplaza desde una distancia R hasta r = 0, encontramos que efectivamente la part´ıcula tarda un tiempo propio finito en llegar a la singularidad τ = π2R
q R
2M. Sin embargo, podemos comprobar que el intervalo temporal que medimos desde nuestro sistema de referencia diverge en el horizonte y su velocidad se anula (A.7), por lo que para un observador externo las trayectorias nunca llegan a cruzar el horizonte. Obtenemos unos resultados similares si aplicamos el mismo procedimiento a un fot´on (A.9).
Por tanto, podemos concluir que en esta situaci´on ser´a imposible observar que una part´ıcula entre y salga del agujero negro.
2.1. Agujero negro de Kerr
La m´etrica de Kerr est´a definida sobre un sistema de coordenadas esferoidales oblatas, por lo que la singularidad central es una singularidad en forma de anillo en θ = π/2 con un radio |a|.
Los horizontes de sucesos y aparente coinciden en el radio para el que se anula ∆:
rH = M ± √
M2− a2, donde el signo + corresponden al horizonte externo y el signo
− al horizonte interno (tambi´en denominado horizonte de Cauchy). Por otro lado, y como anticipamos, la superficie de l´ımite est´atico se encuentra fuera del horizonte de sucesos en el radio para el que se anula el componente puramente temporal de la m´etrica:
rE = M ±√
M2− a2cos2θ , donde de nuevo aparece un horizonte interior y otro exterior.
Como veremos m´as adelante, estos dos ´ultimos horizontes se corresponden tambi´en con los horizontes de blueshift y de redshift infinito, respectivamente.
Una regi´on de inter´es, cuya importancia se har´a patente m´as adelante, es la ergosfera.
Esta es la regi´on comprendida entre el horizonte de sucesos externo y el horizonte de redshift infinito. La caracter´ıstica m´as relevante de esta regi´on es la incapacidad de que un observador para permanecer en reposo dentro de la misma; la rotaci´on del agujero negro arrastra consigo el espacio-tiempo, provocando que dentro de la ergosfera rote con una velocidad superior a la de la luz.
Al analizar las ecuaciones del movimiento (A.13) vemos que el comportamiento en- contrado para el agujero negro de Schwarzschild (la part´ıcula cruza la superficie en un tiempo propio finito, pero para un observador externo esta tarda un tiempo infinito) se repite en el horizonte de sucesos, por lo que a priori concluir´ıamos que la superficie de l´ımite estacionario no es un horizonte de redshift infinito. Sin embargo, podemos encon-
CAP´ITULO 2. AGUJEROS NEGROS ESTACIONARIOS
trar de nuevo una divergencia del factor de redshift en la superficie de l´ımite estacionario [6], de modo que a partir de esta superficie no seremos capaces de observar la trayectoria de la part´ıcula que la ha cruzado.
A diferencia del caso del agujero negro de Schwarzschild, en general en este caso s´ı que ser´ıamos capaces de observar c´omo la part´ıcula cruza esta superficie en un tiempo finito, aunque debido al redshift no podr´ıamos precisar cu´ando lo cruza. Adem´as, al situar al observador tan lejos del agujero negro veremos que la part´ıcula se introduce en la sombra de este antes de desaparecer.
En este contexto, se entiende por sombra de un agujero negro la silueta que percibe un observador externo cuando un agujero negro se interpone entre este y una fuente de luz. Cuando esta fuente de luz se supone de un tama˜no angular grande desde el punto de vista del observador (como la producida por un fondo de estrellas) y se sit´ua al observador en el infinito, el contorno de la sombra, denominado anillo de fotones, viene determinado por las ´orbitas esf´ericas inestables para fotones. En un agujero negro de Kerr estas ´orbitas dependen del sentido de propagaci´on de los fotones en relaci´on con el sentido de rotaci´on del agujero negro, permiti´endonos distinguir dos tipos de ´orbitas: las ´orbitas progradas (o directas), en las que el fot´on se propaga en el mismo sentido de rotaci´on que el agujero negro, y las ´orbitas retr´ogradas, en las que se propaga en el sentido opuesto. Cuando el fot´on del fondo se aproxima al observador en el infinito siguiendo una ´orbita directa sigue una trayectoria m´as cercana a la singularidad central que cuando lo hace a trav´es de una
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orbita retr´ograda, de modo que la rotaci´on del agujero negro deforma la sombra circular que tendr´ıa un agujero negro de Schwarzschild. Para profundizar, v´ease [5].
Recopilando, en un agujero negro de Kerr tenemos un horizonte a partir del cual no somos capaces de observar a las part´ıculas que lo cruzan pero que, a su vez, no impide la salida de las mismas. Por lo tanto, es l´ogico plantear las siguientes dos preguntas:
¿Puede una part´ıcula cualquiera salir de esta regi´on del espacio-tiempo?
¿Somos capaces de identificar la existencia de part´ıculas dentro de la ergosfera?
2.1.1. Proceso de Penrose
Para contestar a la primera cuesti´on podemos acudir al llamado proceso de Penrose [3].
Este proceso f´ısico se basa en las caracter´ısticas especiales de la ergosfera. En esta regi´on el momento generalizado pt del lagrangiano que define las trayectorias, que viene dado por 2L = gµνdxµ
dτ dxν
dτ , puede pasar a ser de tipo espacio. Este momento generalizado es una cantidad conservada que se identifica con la energ´ıa de la part´ıcula, lo que indica que la part´ıcula ser´ıa percibida por un observador externo como una part´ıcula con energ´ıa
CAP´ITULO 2. AGUJEROS NEGROS ESTACIONARIOS
negativa; para ello, es necesario que el momento angular de la part´ıcula Lz tenga un signo opuesto a a. Bajo esta condici´on, es posible extraer energ´ıa y momento angular del agujero negro.
Originalmente, Penrose plante´o una situaci´on en la que una part´ıcula se adentra en la ergosfera sobre el plano ecuatorial con las condiciones adecuadas para que se detenga ( ˙r) en un punto del interior de esta regi´on. Una vez alcanzase este punto, esta part´ıcula se desintegrar´ıa en dos fotones, uno de los cuales caer´ıa dentro del agujero negro (con energ´ıa negativa) y el otro escapar´ıa del agujero negro (con energ´ıa positiva) con una energ´ıa superior a la de la part´ıcula inicial. Se muestran los c´alculos resumidos en A.2.
Siguiendo procedimiento similar, podemos obtener resultados similares para cualquier tipo de desintegraci´on. Por tanto, podemos concluir que podemos observar part´ıculas que salen de la ergosfera. Pero, ¿podemos ver salir a la misma part´ıcula que vimos entrar?
Efectivamente, este proceso puede darse por colisi´on entre part´ıculas [7]. As´ı que, siempre que los valores de a y M sean lo suficientemente grandes como para que la part´ıcula en cuesti´on sea capaz de entrar por completo en la ergosfera sin desintegrarse por las fuerzas de marea del agujero negro, podr´ıamos ver c´omo esta part´ıcula entra y sale del agujero negro.
Podemos concluir que, aunque las condiciones que deben darse para que se d´e el proceso de Penrose son muy restrictivas, s´ı que es posible ver c´omo un objeto desaparece dentro de un agujero negro de Kerr y posteriormente sale de ´el pasado un cierto tiempo finito.
2.1.2. Identificaci´ on de part´ıculas dentro de la ergosfera
Es evidente que si imponemos que el agujero negro sea muy masivo (lo que es necesario para que las fuerzas de marea no afecten a la estructura de la part´ıcula entrante) y que la part´ıcula a la que hacemos referencia tiene una masa y momento angular muy peque˜nos en relaci´on con las del agujero negro, podemos minimizar los efectos que tiene la part´ıcula sobre la m´etrica.
El efecto m´as notable de la presencia de la part´ıcula en la ergosfera es la distorsi´on de la sombra del agujero negro, ya que esta vendr´ıa dada por la deformaci´on de las trayectorias de los fotones observables por el observador externo lejano que pasan m´as pr´oximas a la part´ıcula. Si la part´ıcula est´a lo suficientemente alejada del anillo de fotones, no se apreciar´a una deformaci´on de la sombra.
Dado que la part´ıcula se encontrar´ıa dentro de la ergosfera, podemos estimar la po- sici´on de la part´ıcula respecto del anillo de fotones calculando la distancia m´ınima entre el anillo de fotones y la superficie externa de la ergosfera. El radio m´ınimo al que un observador externo lejano observa el anillo de fotones viene dado por la ´orbita esf´erica
CAP´ITULO 2. AGUJEROS NEGROS ESTACIONARIOS
inestable para fotones en ´orbitas directas. La diferencia de radios d entre este radio l´ımite y la superficie externa de la ergosfera viene dado por (v´ease [5]):
d = 2M cos 2
3arc cos
−|a|
M
(2.2) Esta distancia se anula para |a|M =
√2
2 ≈ 0,71. Podemos asumir entonces que si el valor de a no es grande y la masa de la part´ıcula suficientemente peque˜na, esta distancia m´ınima ser´a lo suficientemente grande como para que la m´etrica perturbada sea equivalente a un agujero negro de masas y momentos angulares suma.
Entonces podemos concluir que existe la posibilidad de que no podamos identificar la existencia de part´ıculas dentro de la ergosfera si la masa y el momento angular de la part´ıcula entrante son peque˜nas.
A la vista de lo expuesto, se puede afirmar que en agujeros negros de Kerr el proceso de Penrose permite a observadores externos lejanos ver c´omo part´ıculas desaparecen dentro del agujero negro y posteriormente salir de este sin ser capaces de seguir su trayectoria.
Cap´ıtulo 3
Sistemas de agujeros negros
Hemos podido comprobar que existe la posibilidad de observar c´omo un peque˜no objeto desaparece dentro de un agujero negro estacionario en rotaci´on y posteriormente salir de
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este si se dan una ciertas condiciones. Ahora trataremos de encontrar resultados similares en sistemas que involucren m´as de un objeto con una masa relevante; en otras palabras, m´as de un agujero negro.
Para este prop´osito plantearemos el siguiente sistema. Supondremos un agujero negro s´upermasivo y un objeto adicional con una masa no despreciable, que llamaremos “masa distorsionante” y modelizaremos como un agujero negro de masa peque˜na. Cuando la masa distorsionante se acerque lo suficiente al horizonte de eventos del agujero negro s´upermasivo se producir´a un desplazamiento de los diferentes horizontes respecto de la situaci´on estacionaria.
A priori podemos esperar que la superficie de redshift infinito se aleje del agujero negro s´upermasivo. Esta superficie est´a relacionada con el potencial gravitatorio a trav´es de la componente puramente temporal de la m´etrica. Al acercarse la masa distorsionante al agujero negro el potencial aumentar´a en magnitud en la regi´on comprendida entre ambas masas, provocando el efecto mencionado.
Respecto a los horizontes de sucesos y aparente, pensar´ıamos que ambos se retraer´ıan por el efecto gravitatorio de la masa distorsionante. Si bien esta intuici´on es correcta en el caso del horizonte aparente (siempre que la masa distorsionante no est´e demasiado cerca), es err´onea para el comportamiento del horizonte de sucesos. Como podemos comprobar en [8] es la distribuci´on de las masas de nuestro sistema la que determina la localiza- ci´on del horizonte de sucesos, provocando que este se expanda ligeramente hacia la masa distorsionante.
La principal diferencia entre ambos horizontes viene dada por las definiciones. El ho- rizonte aparente se define localmente, de manera que al acercarse la masa distorsionante disminuye la intensidad gravitatoria que siente la part´ıcula de prueba en la regi´on com- prendida entre ambas masas. La definici´on del horizonte de sucesos es global y se basa
CAP´ITULO 3. SISTEMAS DE AGUJEROS NEGROS
en las trayectorias que siguen las part´ıculas de prueba; de esta manera, las part´ıculas que pasan entre ambas masas sienten el tir´on gravitatorio generado por ambas masas, modificando su trayectoria y pudiendo provocar que acaben cayendo en alguna de los dos agujeros negros.
Si bien se puede tratar estos sistemas de masas como una perturbaci´on de la m´etrica del agujero negro s´upermasivo [9] [10], este m´etodo no proporciona expresiones manejables salvo para casos concretos. Por lo tanto, si queremos tratar sistemas complejos estaremos forzados a utilizar relatividad num´erica.
Tras estudiar varios softwares de simulaci´on (Einstein Toolkit [11], GR Chombo [12]
y FANTASY [13]) se lleg´o a la conclusi´on de que no se contaba con la potencia compu- tacional necesaria para poder llevar a cabo las simulaciones requeridas en un periodo de tiempo aceptable, por lo que fue necesario reenfocar el trabajo con la finalidad de ser capaces de obtener un resultado en el caso de sistemas m´as complejos.
3.1. Termodin´ amica de agujeros negros
Como alternativa a la relatividad num´erica realizaremos un tratamiento termodin´ami- co. Este tratamiento no ser´a capaz de darnos resultados precisos, pero s´ı que nos propor- cionar´a l´ımites para los que el sistema propuesto inicialmente no ser´a v´alido y que ser´an un punto de partida para futuros estudios. Obtendremos este l´ımite aplicando la segunda ley de la termodin´amica, que estipula que un sistema completo s´olo puede conservar o aumentar su entrop´ıa (jam´as puede disminuir).
En el caso de que encontr´asemos este l´ımite en un sistema que ´unicamente involucrase masas grandes existir´ıa la posibilidad de que nos estuviese indicando que el sistema no est´a descrito por completo; esto podr´ıa ocurrir al estudiar la fusi´on de dos agujeros negros mediante argumentos termodin´amicos, indic´andonos (por ejemplo) que la generaci´on de ondas gravitacionales es relevante en el sistema planteado. Si este l´ımite aparece al intro- ducir una part´ıcula de prueba en el sistema (puede tener una masa tan peque˜na como queramos, pudiendo despreciar las posibles correcciones) con constantes de movimiento peque˜nas (por ejemplo un momento angular peque˜no), podremos concluir que la situaci´on planteada simplemente no podr´a ocurrir. Nos centraremos en buscar estos l´ımites en este
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ultimo tipo de situaciones.
A pesar de no ser una teor´ıa completamente formada ya que siguen existiendo proble- mas de compatibilidad con la teor´ıa cu´antica, numerosos estudios relacionan la entrop´ıa de los agujeros negros con el ´area de su horizonte de sucesos (v´ease [14, 15]). Posterior- mente se introdujeron correcciones a esta relaci´on definiendo un “´area generalizada” en t´erminos del escalar de Ricci, y que entran en juego en sistemas din´amicos o perturbados.
CAP´ITULO 3. SISTEMAS DE AGUJEROS NEGROS
Por el momento nos olvidaremos tanto de la correcci´on al ´area generalizada como de las constantes que acompa˜nan al ´area del horizonte de sucesos en la expresi´on de la entrop´ıa. De esta manera, podremos calcular la entrop´ıa seg´un
S ∝ AH = Z 2π
0
Z π 0
q
gθθ gφφ− gθφ2 rH
dθ dφ (3.1)
Aqu´ı, rH es el radio del horizonte de sucesos y g hace referencia a las distintas com- ponentes de la m´etrica del sistema en cuesti´on.
Es sencillo comprobar que este ´area para los agujeros negros de Schwarzschild (masa M ) y de Kerr (masa M y par´ametro de momento angular a) viene dada por:
Schwarzschild : AH = 16πM2 Kerr : AH = 8πM
M +√
M2 − a2 (3.2)
Una propiedad importante es que la entrop´ıa del agujero negro se mantiene invariante bajo transformaciones de Lorentz. Por tanto, tendremos que esta ser´a la misma indepen- dientemente de si el agujero negro se encuentra est´atico o se desplaza con una velocidad constante.
Por otro lado, la relaci´on entre los cambios en la masa, la entrop´ıa y el momento angular del agujero negro viene dada por la primera ley de la termodin´amica para agujeros negros sin carga:
dM = T dS + Ω dJ (3.3)
donde T es la temperatura del sistema, J su momento angular y Ω su frecuencia angular.
3.1.1. Ejemplos simples de fusi´ on de agujeros negros
Para comprobar la utilidad de los argumentos termodin´amicos aproximaremos las situaciones estudiadas en el Cap´ıtulo 2 a la fusi´on de dos agujeros negros haciendo que la masa de uno de los dos agujeros negros sea much´ısimo menor que la del otro, pudiendo despreciar correcciones al sistema.
El primer sistema que analizaremos es la fusi´on de dos agujeros negros de Schwarzs- child. Supondremos el agujero negro de mayor masa M est´atico y ser´a el agujero negro de menor masa m el que caer´a en su interior rotando alrededor de este con un momento angular L.
CAP´ITULO 3. SISTEMAS DE AGUJEROS NEGROS
La diferencia de entrop´ıa entre el estado final (un agujero negro de Kerr de masa M0 = M + m par´ametro angular a = L/M0) y el inicial (dos agujeros negros de Schwarzschild de masas M y m) vendr´a dado por:
∆S = Sfinal− Sinicial ∝ 8πM0
M0+
q
(M0)2− a2
− 16π M2+ m2
(3.4) Esta diferencia se anula para el siguiente valor del momento angular L:
a2 = 8mM (M2+ m2)
(M0)2 → L2 = 8mM M2+ m2
(3.5) Para el caso que nos ocupa, m M , vemos que el momento angular L crece con M3/2, haciendo patente que ser´ıan necesarios momentos angulares muy grandes para que el cam- bio de entrop´ıa sea negativo. Esta condici´on no proporciona ning´un resultado concluyente:
al requerir un momento angular muy grande existe la posibilidad de que el resultado nos indique que se emiten ondas gravitacionales.
Ahora repetimos el proceso suponiendo que ahora el agujero negro de masa M tiene un momento angular intr´ınseco, con par´ametro angular a. En este caso, el agujero negro resul- tante de la fusi´on, de masa M0 = M +m, tendr´a un par´ametro angular a0 =
M~a + ~L /M0. Siguiendo el mismo procedimiento, llegamos a la siguiente relaci´on para la anulaci´on de la entrop´ıa:
L2+ 2M |~a|
L~
cos α = 2mM
2M2+ 4m2+ mM + (2M − m)√
M2− a2
(3.6) Lo primero que observamos es la dependencia del valor de L con el ´angulo α formado por este vector y el que indica el eje de giro del agujero negro ~a. Este es el comportamiento observado en las ´orbitas directas y retr´ogradas en la m´etrica de Kerr, que indica que una part´ıcula requiere de un momento angular menor para escapar de la influencia del agujero negro si el sentido de rotaci´on de la part´ıcula es el mismo que el del agujero negro.
Sin necesidad de hacer c´alculos, se puede concluir que es posible aproximarse m´as a un agujero negro de Kerr antes de llegar a un punto de no retorno si nuestra trayectoria est´a contenida en el plano ecuatorial y rotamos en la misma direcci´on que el agujero negro.
Finalmente, podemos aproximar la expresi´on a primer orden en m para observar gr´afi- camente este comportamiento. Resolviendo la ecuaci´on cuadr´atica, mostramos los valores (a, α) para los que se cumple (3.6) en la figura 3.1 para distintos valores de L. Se muestran todos los valores por unidad de M para un valor de m = 10−10M .
Podemos ver c´omo para ´angulos α peque˜nos (´orbitas directas) y valores grandes de a el momento angular
L~
requerido para que se anule la diferencia de entrop´ıa disminuye.
CAP´ITULO 3. SISTEMAS DE AGUJEROS NEGROS
Figura 3.1: Valores de (a, α) para los que se anula la entrop´ıa con un momento angular L de 10−9 M2 (azul), 10−8 M2 (morado), 10−7 M2 (verde), 0, 05 M2 (naranja), 0, 5 M2 (rojo) y 1, 5 M2 (negro).
Esta situaci´on cumple las condiciones necesarias para poder despreciar la generaci´on de ondas gravitacionales (masa y momento angular peque˜nos), por lo que podemos asumir que en agujeros negros de Kerr con par´ametro angular a grande existir´a un cierto valor de
~L
para el que la part´ıcula podr´a escapar de la influencia del agujero negro.
Estos resultados tambi´en nos permiten entrever el proceso de Penrose colisional. Su- ponemos que la part´ıcula se introduce en la ergosfera con un momento angular peque˜no, del orden del momento angular requerido para que el argumento termodin´amico indique que la entrop´ıa disminuye para ´orbitas directas, siguiendo una trayectoria entrante. Una vez en la ergosfera, la part´ıcula sufre una colisi´on que modifica su momento angular li- geramente en direcci´on y m´odulo; si el momento angular final se orienta en la direcci´on adecuada y con el m´odulo adecuado, el argumento termodin´amico nos indicar´a que la entrop´ıa disminuye y, por tanto, la part´ıcula no caer´a dentro del agujero negro.
As´ı, hemos sido capaces de acotar los aspectos a tener en cuenta en nuestro problema con unos pocos c´alculos previos sencillos.
CAP´ITULO 3. SISTEMAS DE AGUJEROS NEGROS
3.2. Planteamiento del sistema de estudio
Hemos podido comprobar que a trav´es de un an´alisis termodin´amico podemos intuir la existencia de procesos con comportamientos especiales en referencia a la posibilidad de que un objeto escape del agujero negro desde trayectorias que se dirigen a su interior. Siguiendo la misma filosof´ıa, trataremos de modelizar un sistema compuesto con interacci´on entre las masas relevantes de la forma m´as simple posible.
Si queremos describir un sistema realista deber´ıamos calcular la m´etrica compuesta de dos agujeros negros, pero en general requiere de c´alculo num´erico para poder obtenerla.
Para simplificar al m´aximo el sistema nos centraremos en el efecto m´as caracter´ıstico de la interacci´on gravitatoria entre dos masas: las masas sufrir´an una aceleraci´on. Por tanto, estudiaremos la m´etrica resultante de acelerar un agujero negro.
Respecto a “c´omo aceleramos” la m´etrica, podr´ıamos estar tentados de aplicar una aceleraci´on que fuese realista, con origen en alg´un punto y que se anulase en el infinito. Si aplic´asemos una aceleraci´on con esta forma la transformaci´on se diferenciar´ıa muy poco de la composici´on de dos m´etricas de agujeros negros, por lo que no estar´ıamos simplificando realmente los c´alculos.
La forma m´as sencilla de abordar el problema es la de aplicar una aceleraci´on constante en todos los puntos del espacio. De esta forma simplificaremos enormemente los c´alculos, aunque tendremos que analizar cuidadosamente la m´etrica resultante para poder identi- ficar qu´e condiciones ser´an necesarias para que el cambio de coordenadas sea v´alido y los resultados obtenidos sean correctos.
Cap´ıtulo 4
Agujeros negros acelerados
En este cap´ıtulo analizaremos los aspectos b´asicos que tendremos que considerar en la m´etrica acelerada del agujero negro. Despu´es procederemos al c´alculo y an´alisis de la entrop´ıa del mismo.
4.1. M´ etrica acelerada
Antes de realizar c´alculos en una m´etrica transformada debemos comprender la trans- formaci´on y las caracter´ısticas de la m´etrica engendrada.
En esta secci´on analizaremos:
El sistema de coordenadas aceleradas.
La selecci´on de la m´etrica original que transformaremos posteriormente.
La transformaci´on de la m´etrica.
Las caracter´ısticas de la m´etrica resultante.
4.1.1. Sistema de coordenadas aceleradas
Inspirados en [2] utilizaremos las llamadas coordenadas de Kottler-Moller. Este siste- mas de coordenadas describe la aceleraci´on de un sistema de coordenadas cartesianas en la direcci´on de uno de los ejes coordenados seg´un:
ˆt = x + g−1 sinh (gt) ˆ
x = x + g−1 cosh (gt) − g−1 ˆ
y =y ˆ z =z
(4.1)
CAP´ITULO 4. AGUJEROS NEGROS ACELERADOS
Aqu´ı las variables con “ ˆ ” hacen referencia al sistema de coordenadas original y g es la aceleraci´on, que en nuestros sistema de unidades tiene unidades de M−1. Se puede comprobar que una traslaci´on temporal equivale a un boost en la direcci´on x.
Es importante hacer notar que esta transformaci´on se comporta mal si la aceleraci´on g y/o el tiempo t son muy grandes. Este problema se puede explicar por un lado porque esta transformaci´on no impide velocidades mayores que las de la luz, y por otro porque la aceleraci´on provoca la aparici´on de un horizonte de sucesos ligado a esta.
Por tanto, si queremos tener resultados aceptables, tendremos que restringirnos a tiempos y aceleraciones peque˜nas. Con las restricciones que implica este cambio de sistema de coordenadas estaremos sacrificando la posibilidad de obtener soluciones que describan m´as fielmente la realidad en favor de la simplicidad a la hora de realizar los c´alculos.
4.1.2. M´ etrica original
Llegados a este punto tendremos que elegir entre simplicidad y utilidad.
Por un lado tenemos los agujeros negros de Schwarzschild. Esta m´etrica es muy sencilla y las coordenadas admiten una transformaci´on directa desde un sistema cartesiano. Sin embargo, si partimos de esta m´etrica el resultado tendr´a pocas aplicaciones; ya hemos comprobado que el caso de un agujero negro de Schwarzschild est´atico no tiene ning´un inter´es en el caso que nos ocupa, y adem´as s´olo podr´ıamos considerar trayectorias de part´ıculas de prueba radiales, es decir, sin momento angular.
Por otro lado, los agujeros negros de Kerr son de mayor inter´es pero las coordenadas del sistema son esferoidales oblatas, por lo que la aplicaci´on de la transformaci´on es m´as complicada.
La elecci´on m´as inteligente en este caso ser´a aquella que preserve su simplicidad a la vez que nos permita manejar el mayor n´umero de par´ametros posible. Por esta raz´on selec- cionaremos la m´etrica de Kerr con par´ametro de momento angular peque˜no, aproximando a primer orden en a la m´etrica de Kerr. De esta manera, el sistema de coordenadas se aproximar´a a coordenadas esf´ericas y mantendremos el efecto de la rotaci´on en la m´etrica.
Esta m´etrica ser´a:
ds2 = −
1 −2M r
dt2− 4M a sin2θ
r dtdφ + r
r − 2Mdr2 + r2 dθ2+ r2sin2θ dφ2 (4.2)
4.1.3. Transformaci´ on de la m´ etrica
Antes de aplicar la transformaci´on de la m´etrica a un sistema de coordenadas ace- leradas es importante notar que ahora tendremos dos direcciones especiales: la definida
CAP´ITULO 4. AGUJEROS NEGROS ACELERADOS
por la aceleraci´on g y la definida por la rotaci´on del agujero negro a. Dado que existe la posibilidad de que haya una interacci´on entre ambas magnitudes es conveniente aplicar una rotaci´on previa a la aceleraci´on, de manera que podamos observar esta interacci´on en relaci´on al ´angulo que formen estas dos magnitudes.
Por tanto, en primer lugar aplicaremos una rotaci´on de la m´etrica en torno al eje y, que es la direcci´on perpendicular tanto al eje de rotaci´on del agujero negro como a la direcci´on en la que este es acelerado. Esta transformaci´on viene descrita por:
ˆt =t ˆ
x =x cos α + z sin α ˆ
y =y ˆ
z = − x sin α + z cos α
(4.3)
Aqu´ı, α es el ´angulo de rotaci´on. Para α = 0 las dos direcciones mencionadas ser´a perpendiculares, y para α = π/2 estas ser´an coincidentes e ir´an en la misma direcci´on.
Tras este pre´ambulo, aplicamos consecutivamente esta transformaci´on seguida de (4.1) y finalmente cambiamos a coordenadas esf´ericas, lo que facilitar´a el c´alculo de la entrop´ıa del agujero negro. Una vez hechos los c´alculos, llegamos al siguiente sistema de ecuaciones que nos permite llevar a cabo el cambio de coordenadas:
ˆt = r sin θ cos φ + g−1 sinh (gt) ˆ
r2 =r2+ r2sin2θ cos2φ sinh2(gt) + 2r sin θ cos φ cosh (gt)cosh (gt) − 1
g +
+ cosh (gt) − 1 g
2
ˆ
r2sin2θ =rˆ 2sin2θ sin φ + r cos θ sin α + r sin θ cos φ + g−1 cosh (gt) − g−1 cos α2
tan ˆθ = q
r2sin2θ sin φ + (r cos θ sin α + ((r sin θ cos φ + g−1) cosh (gt) − g−1) cos α)2 r cos θ cos α − ((r sin θ cos φ + g−1) cosh (gt) − g−1) sin α
tan ˆφ = r sin θ sin φ
r cos θ sin α + ((r sin θ cos φ + g−1) cosh (gt) − g−1) cos α
(4.4) Por ´ultimo debemos tener en cuenta que la masa del agujero negro cambiar´a con la transformaci´on. Denotamos como M la masa del agujero negro en el sistema de referen- cia original, en el que supondremos est´atico, y M0 la masa en el sistema de referencia
CAP´ITULO 4. AGUJEROS NEGROS ACELERADOS
transformado. Dado que nos estamos restringiendo a tiempos y aceleraciones peque˜nas (de modo que gt es peque˜no), podemos aproximar la relaci´on entre ambas masas a la obtenida en las transformaciones de Lorentz, esto es:
M0 ≈ M
q
1 − (gt)2
(4.5)
Siempre que la velocidad que alcance el agujero negro sea peque˜na respecto a la velo- cidad de la luz en nuestra aproximaci´on, esta relaci´on ser´a v´alida.
Por ´ultimo obtendremos las componentes de la m´etrica final gµν aplicando la relaci´on entre esta y la m´etrica original ˆgab:
gµν = ˆgab dˆxa dxµ
dˆxb
dxν (4.6)
4.1.4. Caracter´ısticas de la m´ etrica resultante
El primer aspecto relevante de esta m´etrica es que no limita la velocidad que puede alcanzar el agujero negro. Como hemos apuntado anteriormente, este hecho nos limita a la hora de seleccionar la aceleraci´on que sufre el agujero negro y el tiempo m´aximo que podemos considerar, oblig´andonos a imponer que tanto la aceleraci´on como el tiempo que transcurre sean peque˜nos.
La siguiente caracter´ıstica que debemos tener en cuenta tambi´en hace referencia a la aceleraci´on y acota el rango de validez de la transformaci´on. Se trata del hecho de que, al aplicar la transformaci´on, el espacio-tiempo en su totalidad est´a acelerado en la misma direcci´on y con la misma magnitud. Esta situaci´on es irreal, por lo que tendremos que relacionar la situaci´on que queremos representar con la m´etrica que hemos obtenido para poder realizar c´alculos v´alidos.
La raz´on por la que introdujimos la aceleraci´on fue para modelizar la interacci´on de un agujero negro sobre otro. Idealmente, esta aceleraci´on disminuir´ıa en un factor r−2 desde el punto en el que situaramos al otro agujero negro, pero incluir este comportamiento complicar´ıa la obtenci´on y manipulaci´on de la m´etrica final. Dado que tenemos impuesto que la aceleraci´on debe ser peque˜na y que la aceleraci´on es constante en las inmediaciones del agujero negro, la situaci´on que m´as se ajusta es la siguiente: los dos agujeros negros est´an lo suficientemente alejados como para que la interacci´on gravitatoria sea peque˜na y casi constante. A pesar de que esta situaci´on se aleja un poco del sistema que se plante´o al comienzo del cap´ıtulo 3, nos servir´a como una primera aproximaci´on al problema.
Adicionalmente, s´olo podremos considerar la regi´on cercana al agujero negro. De esta manera evitaremos los problemas que acarrea la aceleraci´on del espacio-tiempo completo.
CAP´ITULO 4. AGUJEROS NEGROS ACELERADOS
Como consecuencia de esta acotaci´on podremos suponer nula la curvatura escalar de Ricci, ya que situaremos el sistema en el vac´ıo y por tanto el tensor energ´ıa-momento ser´a nulo en todos los puntos del espacio-tiempo salvo en aquellos donde se encuentren las masas centrales de los agujeros negros [1]. Haciendo esto sortearemos las correcciones al ´area generalizada mencionadas anteriormente [15] y podremos calcularlo como se especifica en (3.1).
Por ´ultimo tenemos que estudiar el c´alculo del horizonte de sucesos. Si bien podemos encontrar un m´etodo de c´alculo en [4], tenemos que recordar que este horizonte se define globalmente y nuestro sistema est´a definido localmente. Aqu´ı encontramos el primer pro- blema: el hecho de que el espacio-tiempo completo est´e acelerado nos imposibilita obtener un resultado v´alido del horizonte de sucesos.
Sin embargo, como hemos hecho notar anteriormente, la localizaci´on de las masas dentro del sistema es uno de los factores clave para determinar la localizaci´on del horizonte.
Las condiciones impuestas para validar los c´alculos con esta m´etrica suponen que los agujeros negros est´an suficientemente alejados, por lo que el efecto de la configuraci´on del sistema sobre el c´alculo del horizonte de sucesos es m´ınimo. En este caso podemos suponer que el horizonte de sucesos y el horizonte aparente son casi coincidentes.
De esta manera, podemos utilizar el horizonte aparente como aproximaci´on al horizon- te de sucesos, aprovechando que este est´a definido localmente. Su c´alculo es m´as simple si recordamos que es una regi´on de atrapamiento, por lo que nos bastar´a con calcular la regi´on en la que la componente puramente radial grr cambia de signo. Bajo esta defini- ci´on es f´acil ver que todas las trayectorias radiales interiores a esta regi´on se dirigir´an irremediablemente hacia el interior del agujero negro.
4.2. Entrop´ıa del agujero negro acelerado
Una vez sentadas las bases, podemos proceder a calcular la entrop´ıa del agujero negro a trav´es del calculo del ´area del horizonte aparente de este. Para realizar los c´alculos se ha utilizado el software libre “WxMaxima” [16], similar a Mathematica, y se proporcionar´a el c´odigo utilizado a petici´on.
Antes de mostrar los resultados obtenidos se indica que para calcular el horizonte aparente se ha aproximado la componente puramente espacial grr a segundo orden en el tiempo e igualado a 0 para obtener el radio al que se encuentra el horizonte.
Una vez ejecutado el programa, encontramos las siguientes expresiones para los t´ermi- nos de orden 0, 1 y 2 en t para q
gθθ gφφ− gθφ2 rH
:
CAP´ITULO 4. AGUJEROS NEGROS ACELERADOS
Orden 0 : 4M2|sin θ|
Orden 1 : 2agM cos(α) sin(φ) sin(θ) |sin(θ)| t Orden 2 : − 1
2
a2g2sin2(α) sin4(φ) + a2g2− 3a2g2sin2(α) sin2(φ) + 2a2g2sin2(α)−
−a2g2 sin4(θ) + 2a2g2cos(α) sin(α) cos(φ) sin2(φ)−
−2a2g2cos(α) sin(α) cos(φ) cos(θ) sin3(θ) + 2a2g2sin2(α) + 4M2g2) sin2(φ)−
−3a2g2sin2(α) + a2− 4M2 g2 sin2(θ) + (2a2g2cos(α) sin(α) cos(φ) cos(θ)−
−4M g cos(φ)) sin(θ) + a2g2sin2(α) + 4M2g2 |sin(θ)| t2
(4.7) Ahora analizaremos los distintos t´erminos del ´area del horizonte:
Orden 0 Si integramos la expresi´on correspondiente de (4.7) encontramos que el ´area a tiempo 0 del horizonte viene dado por
AH,0= 16πM2 (4.8)
Como se puede ver en (3.2), esta expresi´on es la misma que la del ´area de un agujero negro de Schwarzschild. Nuestra m´etrica transformada part´ıa de la m´etrica de un agujero negro de Kerr con a peque˜no y, como se puede comprobar, el ´area de un agujero negro con estas caracter´ısticas es la misma que la de un agujero negro de Schwarzschild con la misma masa.
Conclu´ımos entonces que el resultado obtenido nos indica que, a orden 0, la entrop´ıa del agujero negro es la propia de ese agujero negro si se encontrase en reposo.
Orden 1 En este caso, al integrar la expresi´on de (4.7) encontramos que el t´ermino de primer orden en t se anula.
AH,1= 0 (4.9)
Este t´ermino de la entrop´ıa est´a relacionado con la velocidad del agujero negro. Como hemos indicado anteriormente, un boost del agujero negro no modifica el ´area del hori- zonte de sucesos, por lo que su entrop´ıa no cambia. El resultado obtenido muestra este comportamiento.
Orden 2 Finalmente, la integral sobre el t´ermino de orden 2 de (4.7) nos proporciona:
CAP´ITULO 4. AGUJEROS NEGROS ACELERADOS
AH,2= −4πa2g2sin2α + (12πa2+ 80πM2) g2
15 t2 (4.10)
De este resultado podemos extraer tres conclusiones:
La entrop´ıa disminuye con el tiempo por efecto de la aceleraci´on.
La entrop´ıa disminuye incluso cuando el agujero negro considerado es un agujero negro de Schwarzschild.
Existe una interacci´on aceleraci´on-momento angular que modifica la disminuci´on de la entrop´ıa.
4.3. An´ alisis de la entrop´ıa del agujero negro
Como hemos visto, la entrop´ıa del agujero negro acelerado viene dada por:
S ∝ 16πM2−4πa2g2sin2α + (12πa2+ 80πM2) g2
15 t2 (4.11)
El efecto m´as relevante de la aceleraci´on es la disminuci´on de la entrop´ıa con el tiempo, independientemente de si el efecto de la aceleraci´on es el de aumentar o disminuir la velocidad del agujero negro de estudio. Este efecto tambi´en ha sido observado en [8].
Volviendo a (3.3) vemos que este cambio en la entrop´ıa tambi´en puede afectar a la masa y el momento angular del agujero negro. Dado que la disminuci´on de entrop´ıa tambi´en ocurre para agujeros negros de Schwarzschild, podemos concluir que provocar´a una disminuci´on de la masa del agujero negro, emiti´endola al exterior en alguna forma de energ´ıa (ya sea t´ermica o mediante ondas gravitacionales). Dado que consideramos aceleraciones y tiempos peque˜nas, esta emisi´on de energ´ıa ser´a de una magnitud muy peque˜na.
Tambi´en encontramos una relaci´on con a: a mayor a mayor ser´a la disminuci´on de entrop´ıa, por lo que el agujero negro tender´a a disminuir su momento angular intr´ınseco para que la disminuci´on de entrop´ıa, y por tanto de masa, sea lo menor posible en m´odulo.
Por otro lado, vemos una dependencia con el ´angulo entre ~a y ~g que indica que el agujero negro tender´a a alinear su eje de rotaci´on con la direcci´on de aceleraci´on (α = π/2).
De esta manera vemos que el agujero negro modificar´a su orientaci´on y disminuir´a su momento angular intr´ınseco para minimizar la cantidad de masa que emite en forma de energ´ıa debido a la disminuci´on de entrop´ıa. Estos cambios espont´aneos modifican sustancialmente las trayectorias de las part´ıculas de prueba en la m´etrica: por un lado la reorientaci´on del agujero negro (considerando que es un agujero negro de Kerr) modificar´a
CAP´ITULO 4. AGUJEROS NEGROS ACELERADOS
las localizaciones de la ergosfera y del plano ecuatorial, y por otro lado el cambio en la magnitud a y la masa M del agujero negro modifican la localizaci´on de los horizontes de sucesos y aparente.
A estos cambios en la orientaci´on del agujero negro hay que a˜nadir la emisi´on de energ´ıa. Esta emisi´on provoca que la regi´on cercana al agujero negro no pueda considerarse como “vac´ıo”, por lo que modificar´a el tensor energ´ıa-momento y por tanto la m´etrica, y nos obligar´a a incluir las correcciones mencionadas anteriormente al c´alculo del ´area del horizonte.
El principio de equivalencia afirma que un sistema afectado por un campo gravitatorio es indistinguible de un sistema de referencia no inercial acelerado, por lo que el resultado obtenido es equivalente al que obtendr´ıamos si nuestro agujero negro estuviese bajo la influencia de otro agujero negro (lo suficientemente alejado como para que la aceleraci´on sea la misma en todo el espacio cercano al agujero negro). Puesto que en la fusi´on de dos agujeros negros se emiten ondas gravitacionales, es plausible afirmar que por lo menos parte de la energ´ıa emitida ser´a mediante ondas gravitacionales. Este detalle modificar´a la forma en la que la radiaci´on emitida modifica las trayectorias de las part´ıculas de prueba, ya que estas ondas distorsionan las direcciones perpendiculares a su direcci´on de propagaci´on.
Dado que s´olo podemos afirmar que al menos parte de la energ´ıa emitida ser´a en forma de ondas gravitacionales, existe la posibilidad de que otra parte de la energ´ıa emitida sea en forma de energ´ıa t´ermica, es decir, fotones. Esta densidad de energ´ıa que emitir´a el agujero negro modificar´a las trayectorias cercanas a la regi´on cercana a este, a˜nadiendo una presi´on de radiaci´on que podr´ıa disminuir la atracci´on gravitatoria.
A todo esto hay que a˜nadir que, al haber un cambio de la m´etrica con el tiempo, existe la posibilidad de que la absorci´on de una part´ıcula por parte del agujero negro dependa del tiempo que le costar´ıa a la part´ıcula atravesar el horizonte de sucesos. Este fen´omeno ser´ıa observable con part´ıculas que caen al agujero negro con momentos angulares altos o con velocidades radiales peque˜nas.
A la vista de los comportamientos expuestos, existe la posibilidad de encontrar las situaciones que buscamos (que un observador externo lejano sea capaz de ver materia desaparecer en el agujero negro y posteriormente salir de la regi´on) en agujeros negros de Kerr acelerados.
Cap´ıtulo 5
Conclusi´ on
Tras un breve an´alisis de las m´etricas de agujeros negros estacionarios hemos en- contrado una situaci´on satisfactoria en lo que respecta al resultado que esperabamos: el proceso de Penrose. Este proceso es ampliamente conocido y se ha utilizado para explicar (parcialmente) los jets que emiten los cu´asares.
Posteriormente hemos podido observar los efectos de una aceleraci´on sobre un agujero negro. Esta situaci´on abre la posibilidad de encontrar los efectos buscados, por lo que se propone para futuros trabajos:
El estudio de la entrop´ıa para un agujero negro de Kerr acelerado con a grande.
Extender la aplicabilidad de la m´etrica obtenida a tiempos mayores para poder estudiar las trayectorias y compararlas con las del mismo agujero negro estacionario.
Comprobar los efectos de esta aceleraci´on cuando se introduce en el sistema del agujero negro un disco de acreci´on.
La inclusi´on de los efectos de reorientaci´on y emisi´on de energ´ıa de los agujeros negros acelerados en la fusi´on de dos agujeros negros, comparando las predicciones que realiza con las medidas realizadas.
En definitiva, podemos afirmar que en nuestras observaciones desde la Tierra podemos llegar a ver c´omo peque˜nas cantidades de materia escapan de un agujero negro desde su interior.
Bibliograf´ıa
[1] S. Weinberg, Gravitation and Cosmology. Principles and Applications of the General Theory of Relativity, John Wiley & Sons (1972).
[2] C. W. Misner, K. S. Thorne, J. A. Wheeler, Gravitation, San Francisco: W.
H. Freeman (1973).
[3] S. Chandrasekhar, The Mathematical Theory of Black Holes, Oxford University Press (1983).
[4] M. Alcubierre, Introduction to 3+1 Numerical Relativity, Oxford University Press (2008).
[5] P. V. P. da Cunha, Black Hole Shadows, Master Thesis, University of Coimbra (2015).
[6] A. Herrera-Aguilar, U. Nucamendi, Kerr black hole parameters in terms of red/blue shifts of photons emitted by geodesic particles, arXiv:1506.05182v1 [gr-qc]
[7] J. D. Schnittman, The Collisional Penrose Process, arXiv:1910.02800v1 [astro- ph.HE]
[8] R. Emparan, M. Mart´ınez, Exact Event Horizon of a Black Hole Merger, ar- Xiv:1603.00712v3 [gr-qc]
[9] K. Martel, E. Poisson, Gravitational perturbations of the Schwarzschild spacetime:
A practical covariant and gauge-invariant formalism, arXiv:gr-qc/0502028v1
[10] S. O’Sullivan, S. A. Hughes, Strong-field tidal distortions of rotating black holes:
Formalism and results for circular, equatorial orbits, arXiv:1407.6983v3 [gr-qc]
[11] M. Zilh˜ao, F. L¨offler, An Introduction to the Einstein Toolkit, ar- Xiv:1305.5299v2 [gr-qc]
BIBLIOGRAF´IA
[12] K. Clough, P. Figueras, H. Finkel, M. Kunesch, E. A. Lim, S. Tunya- suvunakool, GRChombo: Numerical Relativity with Adaptative Mesh Refinement, arXiv:1503.03436v3 [gr-qc]
[13] P. Christian, C. Chan, FANTASY: User-Friendly Symplectic Geodesic Integrator for Arbitrary Metrics with Automatic Differentiation, arXiv:2010.02237v4 [gr-qc]
[14] R. M. Wald, The Thermodynamics of Black Holes, arXiv:gr-qc/9912119v2
[15] A. C. Wall, A Survey of Black Hole Thermodynamics, arXiv:1804.10610v2 [gr-qc]
[16] http://wxmaxima-developers.github.io/wxmaxima/