Longitud de Arco y Sectores

(1)

(2)

Objetivos Matemáticos

 Los estudiantes reconocerán que la suma de dos ángulos centrales, que se combinan para formar una circunferencia es de 360°.

 Los estudiantes reconocerán que la razón entre el ángulo central y 360° determina la longitud del arco definido por ese ángulo.

 Los estudiantes reconocerán que la razón entre el ángulo central y 360° determina el área del sector circular definido por ese ángulo.

Expectativas e indicadores para Puerto Rico Noveno Grado

Expectativa 8: Justifica y aplica las fórmulas de medidas asociadas a figuras geométricas de dos y tres dimensiones para perímetro/circunferencia, área, volumen y aplica estas fórmulas y otras propiedades geométricas relacionadas con ángulos y medidas de arco para resolver problemas que involucran medidas de figuras bidimensionales y tridimensionales.

M.TM.9.8.6 Determina la longitud de arco de círculos y áreas de sectores de círculos usando proporciones

.

Vocabulario

Circunferencia, área, arco, ángulo de sector (o ángulo central), medida de arco, longitud del arco, sector.

Acerca de la Actividad

Esta actividad consiste en arrastrar un punto alrededor de un círculo para ver cómo los arcos y los sectores circulares cambian conforme el ángulo central, que los define, cambia.

Como resultado los estudiantes deben:

 Observar cómo los ángulos centrales, los sectores, y las razones que los acompañan cambian a medida que se arrastra un punto alrededor de un círculo.

 Especificar los porcentajes (razones) de circunferencia y área para diversos ángulos centrales.

 Identificar la conexión entre ángulo central, porcentaje de circunferencia y porcentaje de área, para determinar la longitud del arco y el área del sector circular.

Habilidades en el uso de la Tecnología TI-Nspire™:

 Descargar documento TI- Nspire

 Abrir un documento

 Desplazarse entre páginas

 Agarrar y desplazar un punto

Consejo de Enseñanza:

 Estar seguro que el tamaño de la fuente en tu

calculadora TI-Nspire es seleccionado a Medio.

Materiales para la Lección:

Actividad del Estudiante:

Longitud_de_Arco_y_Sec tores_Estudiante.PDF Longitud_de_Arco_y_Sect ores_Estudiante.DOC Documento TI-Nspire:

Longitud_de_Arco_y_Sector es.tns

Visite

www.al g ebr ai nspirada.com para actualización de lecciones, y videos con consejos de enseñanza.

(3)

arrastrar un punto, asegúrese de que han movido la flecha hasta que se convierta en una mano (

÷

), indicando que está lista para agarrar el punto. Además, asegúrese de que la palabra punto aparece. Luego oprime

/x

para agarrar el punto y cerrar la mano (

{

).

(4)

1. Arrastra el punto A alrededor del círculo dado. ¿Qué hecho numérico se puede observar sobre las medidas de los dos ángulos que rodean el centro del círculo?

2. ¿Cómo tiene que ser la medida de un ángulo de sector (o ángulo central) para obtener el 25% del círculo? 50%? 75%?

100%?

TI-N s pire P á gina 1.3

La suma de las medidas de los 2 ángulos siempre es 360°.

90°, 180°, 270°, and 360°

Consejo de Enseñanza: Haga que los estudiantes giren el punto A en el sentido (o en sentido contrario) del movimiento de las manecillas del reloj. Si no identifican inmediatamente la suma, indique que coloquen el punto donde uno de los ángulos de un número fácil, por ejemplo 10 °.

Consejo de Enseñanza:Algunos estudiantes tendrán dificultad en obtener un ángulo exactamente 90°, pero se puede hacer con pequeños y cuidadosos movimientos del punto. También se puede aprovechar esta oportunidad para discutir el error inherente de redondeo cuando el movimiento de los puntos se ve limitado por los píxeles. Esto también apunta a la conexión de que la longitud del arco y el área del sector se determinan como un porcentaje de la circunferencia y el área.

(5)

3. Arrastra el punto B alrededor del círculo dado para probar tu conjetura anterior.

¿Fue correcta?

4. Arrastra el punto B hasta que el ángulo del sector sea de 90º. Compara la relación entre la razón de la medida del ángulo del sector a 360º con la razón de la longitud del arco a la circunferencia. ¿Qué observas?

5. ¿Cambiaría tu respuesta a la pregunta anterior si el ángulo del sector fuera una medida diferente?

6. ¿Cómo crearías un arco con una longitud de aproximadamente el 33.3% de la circunferencia del círculo? Explica tu razonamiento.

7. ¿Cuál es la relación entre la longitud del arco y la medida del ángulo del sector que intercepta el arco?

Discutir las reacciones de los estudiantes

Las razones son las mismas

No, las razones seguirían siendo las mismas.

Tendrías que hacer el ángulo central de 120°. Cuando el ángulo central es de 120°, la razón entre la longitud de arco a la circunferencia es de aproximadamente 33.3%.

La medida del ángulo del sector determina el porcentaje de la circunferencia que define el arco.

©2009 education.ti.com Consejo de Enseñanza: Este es el principio básico para la determinación de la longitud del arco. Los estudiantes deben entender que la clave para encontrar la longitud de arco es que su longitud es una fracción (o porcentaje) de la circunferencia total.

Esa fracción de la circunferencia es determinada por el ángulo central.

Consejo de Enseñanza:Esto es lo que quieres que los estudiantes vean. Las razones son las mismas sin importar la medida del ángulo central.

Consejo de Enseñanza:En un entorno tradicional, a los estudiantes generalmente se les da la fórmula para encontrar la longitud del arco, y luego se les da un ángulo central y se les pide que encuentren la longitud de arco resultante. Esta cuestión hace que los estudiantes piensan en lo contrario. En otras palabras, ¿cómo conseguir una longitud de arco que sea una cierta fracción de la circunferencia completa? El objetivo de todo esto es conseguir que piensen en el razonamiento detrás de la fórmula.

Haga hincapié en este punto con los estudiantes.

(6)

TI-N s pire P á gina 2.1

8. Arrastra el punto C alrededor del círculo dado. ¿Cómo se relaciona la medida del ángulo del sector que intercepta un arco con el área de su sector correspondiente?

9. ¿Cómo crearías un sector cuya área es aproximadamente el 66.6% de la superficie del círculo? Explica tu razonamiento.

La medida del ángulo central determina el porcentaje de la superficie que define el sector.

Tendrías que hacer el ángulo central de 240°. ¿Cuándo el ángulo central es de 240°, la razón entre la longitud del arco y la circunferencia es aproximadamente del 66.6%.

Consejo de Enseñanza:Debes tener mucho cuidado de destacar la relación entre el ángulo central y el porcentaje.

Los estudiantes necesitan realizar la conexión de que como el ángulo central barre el arco, el ángulo central es precisamente lo que determina el porcentaje de toda la circunferencia que es considerada por el arco. A continuación, el alumno será capaz de conceptualizar que la longitud de arco se determina multiplicando una fracción (o porcentaje) por la circunferencia.

Consejo de Enseñanza:Una vez más, tener cuidado al enfatizar la relación entre el ángulo central y el porcentaje. Al igual que en el problema anterior, el ángulo central determina el porcentaje de toda el área ocupada por el sector. A continuación, el estudiante será capaz de conceptualizar que esa área del sector se determina multiplicando una fracción (o porcentaje) por la circunferencia.

Consejo de Enseñanza:Una vez más, en un ambiente tradicional, los estudiantes suelen dar la fórmula para hallar el área de un sector y un ángulo central, y se les pide que encuentren el área del sector resultante. El objetivo de esta pregunta es lograr que los estudiantes piensen en el razonamiento detrás de la fórmula. Continúa enfatizando este punto.

este punto.

(7)

10.¿Cuál es la relación entre la medida del ángulo del sector y el área del sector?

11.Describe en tus propias palabras la relación entre la longitud de arco, área de un sector, y la razón entre el ángulo central y 360°.

La medida del ángulo central determina el porcentaje del área delimitada por el sector.

Conforme cambia el ángulo central, su correspondiente razón comparada con 360° cambia. La longitud de su arco interceptado y el área de su sector correspondiente también cambian en la misma razón. Esta razón puede ser usada para calcular la longitud del arco y el área del sector como una fracción(o porcentaje) de la circunferencia total y área total del círculo.

©2009 education.ti.com Consejo de Enseñanza: Los estudiantes necesitan realizar la conexión que, conforme el ángulo central barre a través del círculo, es el ángulo central, precisamente, el que determina el porcentaje del área total que es absorbida por el sector.A continuación, los estudiantes serán capaces de comprender mejor que el área del sector se determina multiplicando una fracción (o porcentaje) por el área del círculo.

Consejo de Enseñanza: Fomenta la discusión. Es importante que los estudiantes verbalicen esta relación. Si pueden comprender y verbalizar este concepto, tendrán una mejor comprensión del significado de las fórmulas.

(8)

Resumiendo:

Al término del debate, el profesor debe garantizar que los estudiantes sean capaces de:

 Reconocer que la suma de dos ángulos rodeando el centro de un círculo es 360°.

 Entender que la razón entre el ángulo central y 360° determina la longitud de un arco.

 Entender que la razón entre el ángulo central y 360° determina el área de un sector circular..