- Transforma a número mixto las siguientes fracciones impropias: Fracción División. Fracción impropia equivalente. Número mixto equivalente

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GUÍA DE APRENDIZAJE

Subsector Matemática Fecha

Curso 7° Básico

Conocimientos - Valor absoluto.

- Orden y comparación.

- Potencias de base 10.

- Adición y sustracción de números enteros.

- Multiplicación y división de fracciones.

- Porcentajes.

- Lenguaje algebraico.

- Expresiones algebraicas.

- Reducción de términos semejantes.

- Proporciones.

- Proporcionalidad directa.

Objetivos de Aprendizaje

- Mostrar que comprenden la adición y la sustracción de números enteros.

- Explicar la multiplicación y la división de fracciones positivas.

- Mostrar que comprenden el concepto de porcentaje.

- Utilizar el lenguaje algebraico para generalizar relaciones entre números, para establecer y formular reglas y propiedades y construir ecuaciones.

- Reducir expresiones algebraicas, reuniendo términos semejantes.

- Mostrar que comprenden las proporciones directas e inversas.

Habilidades - Elegir y utilizar representaciones simbólicas para enunciados y situaciones en contextos diversos.

- Resolver problemas utilizando diversas estrategias.

- Comprobar reglas y propiedades.

- Seleccionar y ajustar modelos lineales para resolver problemas.

- Comprender.

- Analizar.

Instrucciones:

- Escribe los ejercicios con letra y números claros y legibles.

- Utiliza solo lápiz grafito.

- Esta guía debes traerla al colegio a penas se retomen las clases, para su revisión y repaso.

I. Recordando lo aprendido:

- Desarrolla las siguientes adiciones y sustracciones de números enteros:

-97 + 5 – (-12) + (-40) -1 + 4 = 6 + 15 + (-34) – (-19)=

- Transforma a número mixto las siguientes fracciones impropias:

Fracción

impropia División Número mixto equivalente

Fracción

impropia División Número mixto equivalente

12 9

20 3

- Transforma a fracción impropia los siguientes números mixtos:

Número mixto

Multiplicación y adición

Fracción impropia equivalente

Número mixto

Multiplicación y adición

Fracción impropia equivalente

151

4 7 6

10

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- Simplifica las siguientes fracciones hasta que sean irreductibles:

Fracción Simplificación Fracción

irreductible 84

180

153 204

- Desarrolla las siguientes multiplicaciones y divisiones de fracciones, y simplifica el producto hasta que sea irreductible, solo cuando sea necesario:

2 7∙ 1 7

21= 104

5÷ 5 8 10=

- Calcula los siguientes porcentajes:

El 40% de 35: ¿Qué porcentaje es 150 de 120?

Calcular el 100%, si el 8%

es 6:

- Reduce las siguientes expresiones algebraicas:

𝑘 + (−8𝑘) + 7 + (−7𝑘) − (−𝑘) + (−6) = 14𝑜𝑝 − 𝑜𝑝 − (−𝑜𝑝) + 3𝑜𝑝 =

𝑎 + (−2𝑎) + 3𝑎 + (−4𝑎) + 5𝑎 + (−6𝑎) = 3𝑥 − 15𝑥 + (−𝑥) + 3𝑥 − (−5𝑥) =

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II. Relaciones proporcionales:

Las relaciones proporcionales, o proporciones, corresponden a la equivalencia entre dos o más razones.

RECORDEMOS: una razón es una comparación entre dos cantidades mediante una división o cociente.. Sus partes son antecedente y consecuente. Ejemplo:

𝑎

𝑏 ó

𝑎: 𝑏

a: antecedente b: consecuente

Las razones se leen de la siguiente manera:

𝑎

𝑏

:

“a” es a “b”

5

6

:

cinco es a seis

IMPORTANTE: una razón que se presenta de esta forma 𝑎

𝑏 no es lo mismo que una fracción.

Algebraicamente, las proporciones se pueden expresar de la siguiente manera:

𝑎 𝑏 = 𝑐

𝑑 𝑎: 𝑏 = 𝑐: 𝑑

Esto se lee de la siguiente manera: “a” es a “b” como “c” es a “d”.

Las partes de una proporción son extremos y medios.

Se dice que hay una proporción cuando entre 2 razones “el producto entre los extremos es igual al producto entre los medios”. En palabras simples (cuando una proporción está ordenada de esta forma 𝒂

𝒃

=

𝒄

𝒅), si se multiplica cruzado los valores de las razones que se están comparando y se obtiene el mismo producto, significa que estamos en presencia de una proporción. Ejemplo:

𝟓 𝟖= 𝟔𝟓

𝟏𝟎𝟒

Extremos: 5 y 104

𝟓 ∙ 𝟏𝟎𝟒 = 𝟓𝟐𝟎 Medios: 8 y 65

𝟖 ∙ 𝟔𝟓 = 𝟓𝟐𝟎

Como en ambas

multiplicaciones el producto es 540, significa que existe una proporción entre las razones 5

8 y 65

104

𝟕 𝟏𝟔= 𝟒

𝟗

Extremos: 7 y 9

𝟕 ∙ 𝟗 = 𝟔𝟑 Medios: 16 y 4

𝟏𝟔 ∙ 𝟒 = 𝟔𝟒

En este caso, el producto entre los extremos es 63, y el producto entre los medios es 64, por lo tanto, las

razones 167 y 49 no son proporcionales, aunque la diferencia entre los

productos se solo de 1.

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Ejercicio:

- Indica si los siguientes pares de razones forman o no una proporción (guíate por el ejemplo):

COMPARACIÓN

DE RAZONES EXTREMOS MEDIOS RESPUESTA

3

6 = 6 11

3 y 11 3 ∙ 11 = 33

6 y 6

6 ∙ 6 = 36

NO SON PROPORCIÓN

2

3 = 13 19,5 25

40 = 150 9 240

3 = 27 14 9

32 = 8 17

Hay ocasiones en las que, en una proporción uno de sus términos es desconocido, por ejemplo:

8

𝑥 = 4 5,5

Cuando esto sucede se debe proceder de la misma manera como si el par de razones estuviese completo, pero multiplicando solo las partes (extremos o medios) donde se conozca ambos términos. En este caso, la multiplicación sería:

𝟖 ∙ 𝟓, 𝟓 = 𝟒𝟒

Luego, el producto obtenido se divide por el término que no se utilizó:

𝟒𝟒 ÷ 𝟒 = 𝟏𝟏

En este caso, el cociente obtenido es 11, por lo tanto, el término desconocido en el ejemplo es 11.

Ejercicio:

- Completa las proporciones con el término que falta (guíate por el ejemplo):

12

16 = 252 𝑥

16 ∙ 252 = 4.032

12

16 = 252 4.032 ÷ 12 = 336 𝟑𝟑𝟔

x = 336 𝑎

9 = 10 6

4

𝑒 = 5 25

30 15 = 8

𝑝

20 60 = 𝑐

18

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III. Proporcionalidad directa:

Este tipo de proporcionalidad es la más usada, y es posible (o tal vez seguro) de que tú alguna vez la hayas utilizado, sin saber que lo estabas haciendo. Ejemplos claros de su aplicación son: al comprar cosas cuyo valor depende de la cantidad, masa o volumen que tú compres (comprar pan, cargar combustible, valor de la cuenta de luz o agua, etc.); el número de sillas que se necesitan para que se siente un grupo de personas; la cantidad de forraje que se debe tener para alimentar ganado; etc.

Dos razones o más razones o variables son directamente proporcionales, si el cambio entre ellas es definido por la siguiente constante:

𝒌 = 𝒚 𝒙

k: constante de proporcionalidad y: variable dependiente

x: variable independiente

Variable Independiente: es el dato que cambia en la proporcionalidad directa, que no necesita que otro dato o variable para que se pueda modificar. En palabras simples, es el dato que “manda” en la proporcionalidad.

Variable Dependiente: es el dato o variable que solo puede cambiar si la variable

independiente es modificada. Es decir, es el dato que “obedece” en la proporcionalidad.

Constante de proporcionalidad: corresponde al cociente (resultado de la división) entre la variable independiente y la variable dependiente.

También se puede definir la proporcionalidad directa de la siguiente manera: si una de las variables aumenta, la otra también lo hace y de forma constante y proporcional; si una de las variables disminuye, la otra también disminuye y proporcionalmente.

Este tipo de proporcionalidad se puede representar y calcular utilizando el siguiente tipo de tablas (se pueden construir de forma horizontal o vertical):

X 2 4 5 9

Y 10 20 25 45

En esta tabla tenemos proporcionalidad directa, que se puede comprobar de la siguiente forma:

𝒌 =𝒚

𝒙 2 ÷ 10 = 0,2 4 ÷ 20 = 0,2 5 ÷ 25 = 0,2 9 ÷ 45 = 0,2

Para este ejemplo, la constante de proporcionalidad es 0,2 la que se obtuvo dividiendo la variable independiente por la variable dependiente que le corresponde.

Ejercicio:

- Indica si las siguientes tablas representan o no proporcionalidad directa (guíate por el ejemplo):

X 12 18 30 51

Y 4 6 10 17

𝒌 =𝒚

𝒙 12 ÷ 4 = 3 18 ÷ 6 = 3 30 ÷ 10 = 3 51 ÷ 17 = 3 RESPUESTA: Si hay proporcionalidad directa, ya que la constante de proporcionalidad es la misma en todos los casos.

X 9 27 19 81

Y 10 30 20 90

𝒌 = 𝒚

𝒙 9 ÷ 10 = 0,9 27 ÷ 30 = 0,9 19 ÷ 20 = 0,95 81 ÷ 90 = 0,9 RESPUESTA: No hay proporcionalidad directa, ya que la constante no es la misma en todos los casos.

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X 16 12 40 32

Y 20 15 50 40

𝒌 = 𝒚 𝒙

RESPUESTA:

X 18 75 90 80

Y 12 50 60 70

𝒌 = 𝒚 𝒙

RESPUESTA:

X 2 18 40 24

Y 3 27 60 36

𝒌 = 𝒚 𝒙

RESPUESTA:

Hay ocasiones en las que a la tabla le falta alguno de los datos. En este caso conviene aplicar el mismo procedimiento que para encontrar el término desconocido entre razones proporcionales. Ejemplo:

X 15 X 33 57

Y 30 36 66 Y

15 ∙ 36 = 540 540 ÷ 30 = 18

X = 18

66 ∙ 57 = 3.762 3.762 ÷ 33 = 114

Y = 114 Ejercicio:

- Completa las siguientes tablas, encontrando los valores desconocidos (desarrolla los ejercicios en tu cuaderno):

X 200 180 160 b

Y 160 a 128 40

X c 4 d 30

Y 9 6 18 45

X 25 50 100 g

Y 40 e f 8

RECOMENDACIÓN: puedes apoyarte con la aplicación “PHOTOMATH” para comprobar el resultado que obtuviste.

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