UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS ESTUDIO DE RELACIONES.

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DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

ESTUDIO DE RELACIONES.

Las relaciones nos acompañan diariamente: Cuando comparamos la estatura de dos personas, sus edades, los cambios monetarios, etc. En estos eventos siempre la comparación básica es entre un par de objetos.

Si A es un conjunto, una relación en A es TODO subconjunto de A x A, es decir un grupo de pares ordenados Ejemplos: A = {1, 2, 3, 4}, A x A = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4)}

1. R₁ = {(1, 2), (3, 4)} es una relación definida arbitrariamente.

2. R₂ = {parejas cuyas suma sea 5}={(x, y) / x + y = 5}

3. R₃ = {parejas cuya segunda componente sea una unidad menos que la primera}={(x, y) / y = x – 1}

4. R₄ = {parejas cuyas segundas componentes sean 1}={(x, y) / y = 1}

Diagramas de Venn

Una forma útil de representar las relaciones es mediante unos diagramas conocidos con el nombre de Venn.

En éstos, los elementos se conectan mediante flechas que indican cómo se asocian mediante la regla especí- fica. Para la relación R₁ anterior, tenemos el siguiente:

1 2 3 4

A A

R₁

Diagramas cartesianos:

Se emplean dos rectas numéricas perpendiculares en sus orígenes. Cada punto del plano queda determinado por una pareja de números cuya primera componente se sitúa en la horizontal y la segunda en la vertical

Eje y o Eje de Ordenadas

Eje x o eje de abscisas P(x,y)

A(x,0) B(0,y)

I Cuadrante II Cuadrante

III Cuadrante IV Cuadrante o

Ejemplos:

Las siguientes relaciones están definidas en el conjunto de los números Reales. Mostrar en un dibujo la región del plano correspondiente a cada una de ellas.

1. R₁ = {(x, y) / x + y = 6}

2. R₂ = {(x, y) / y = 2}

3. R₃ = {(x, y) / x + y < 5}

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DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DE UN PLANO CARTESIANO.

Hallemos la distancia entre dos puntos de un plano. Para ello, consideremos los puntos A (x₁, y₁) y B (x₂, y₂) en un plano cartesiano y los unimos mediante un segmento.

x₁

x₂ - x₁

x₂ y₁

y₂

.

B

A

E

y₂ - y₁ Puede verse que se forma un triángulo recto en E. La hipotenusa de este triangulo corresponde a la distancia desde el punto A hasta el B, la cual representa- remos con d(AB). Usando el teorema de Pitágoras se tiene que:

𝑑 𝐴𝐵 = 𝑥₂− 𝑥₁ ²+ 𝑦₂− 𝑦₁ ²

Por ejemplo cuando A(1, 2) y B(5, 8), tendremos: 𝑑 𝐴𝐵 = 5 − 1 ²+ 8 − 2 ²= 4²+ 6²= 10 ACTIVIDADES.

Halla la distancia entre cada par de puntos:

1. A(1, 1) B(- 2, 5) 4. G(4, 6) H(- 8, 1) 7. M(3, 1) N(3, 5) 10. S(2, 3) T(6, 3) 2. C(2, 0) D(6, - 3) 5. I(- 7, 4) J((8, - 4) 8. O(- 2, 6) P(- 2, - 1) 11. V(- 2, 1) W(4, - 2) 3. E(-3, - 4) F(6, 8) 6. K(- 4, - 7) L(9, 8) 9. Q(- 1, 4) R(3, 4) 12. U(8, - 2) Z(2, 4) LUGARES GEOMÉTRICOS.

Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que cumplen ciertas propiedades.

Ejemplos:

a. El conjunto de puntos del plano que equidistan de un punto fijo, se llama circunferencia. El punto fijo es el centro y la distancia constante, el radio.

.

b. El conjunto de puntos de una reta que es perpendicular a un segmento en su punto medio, es la mediatriz.

A B

Estudiaremos las expresiones matemáticas útiles para representar algunos lugares geométricos.

LA CIRCUNFERENCIA.

P(x, y) r C(h, k)

.

x

y Si P(x, y) es un punto cualquiera de la circunferen-

cia cuyo centro es C(h, k) y el radio r, su ecuación será:

𝑑 𝐶𝑃 = 𝑥 − ℎ ²+ 𝑦 − 𝑘 ²= 𝑟 Que al elevar al cuadrado, se transforma en:

𝑥 − ℎ ²+ 𝑦 − 𝑘 ²= 𝑟²

Cuando el centro es el origen, C(0, 0), la ecuación es:

𝑥²+ 𝑦²= 𝑟²

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Ejemplo:

La ecuación de la circunferencia con centro en C(- 4, 1) y radio 3, es: 𝑥 + 4 ²+ 𝑦 − 1 ²= 3²= 9 ACTIVIDADES.

1. Hallar la ecuación ordinaria de la circunferencia cuyo centro y radio se indican. Graficar:

a. C(5, 4), r = 3 b. C(0, 0), r = 1 c. C(3, - 2), r = 4

d. C(- 3, - 7), r = 5 e. C(0, - 1), r = 2 f. C(- 4, 2), r = 3 2. Halla las coordenadas del centro, la medida del radio y grafica la circunferencia cuya ecuación es:

a. (x – 4)² + (y – 2)² = 16 b. (x + 1)² + (y – 5)² = 4 c. x ² + y² = 9

d. x ² + (y + 3)² = 36

e. Si cada una de las siguientes expresiones representa a una circunferencia, halla el centro y el radio:

1. x² + y² – 8x + 10y – 12 = 0 2. x² + y² – 6x + 4y – 12 = 0 3. x² + y² – 8x – 7y = 0 4. x² + y² – 8x + 6y + 29 = 0 5. 2x² +2 y² – 10x + 6y – 15 = 0 LA LINEA RECTA.

1 2 3 4 5 6

- 1 - 2 - 2 - 1

- 3 - 4 1 2 3 4 5 6

x y

. .

A

C D

E

B

.



.

P(x, y ) F 4 - 2

2 -1

En el dibujo se han ubicado en un plano algunos puntos A(-2, 4), B(-1, -2), C(1, 2), D(2, 4) y P(x, y). Puede verse que todos ellos están sobre una misma línea recta. La recta presenta una inclinación con relación a la horizontal, que hemos representado con la letra griega alfa 𝛼. La tangente trigonométrica de este ángulo se denomina la pendiente de la recta y se abrevia con la letra m.

En este caso su valor es el del cociente:

𝑚 =𝐸𝐷

𝐶𝐸 =4 − 2 2 − 1=2

1= 2

La recta está formada por todos los puntos del plano tales que dos cualesquiera de ellos dan la misma pendiente.

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Si P(x, y) es un punto cualquiera de una recta que pasa por los puntos A (x₁, y₁) y B (x₂, y₂), su ecuación será:

x y

. .

A

B



.

P(x, y )

y₂ - y₁ y -y₂

x₂ - x₁

x - x₂

1. Hallamos la pendiente entre P y B:

𝑚 =𝑦 − 𝑦₂ 𝑥 − 𝑥2

2. Encontramos la pendiente entre A y B:

𝑚 =𝑦₂− 𝑦₁ 𝑥2− 𝑥1

3. Por transitividad se tiene que:

𝑦 − 𝑦₂ 𝑥 − 𝑥2

=𝑦₂− 𝑦₁ 𝑥2− 𝑥1

= 𝑚 4. Despejando 𝑦 − 𝑦2= 𝑚(𝑥 − 𝑥2)

Esta es la expresión que representa a la recta que pasa por los puntos A y B.

La recta que pasa por los puntos A y B se representa con 𝐴𝐵

Ejemplo: Dibujar la recta que pasa por los puntos A(1, 5) y B(3, 9), escribiendo la ecuación que la representa.

Solución:

x y

. .

^{A(1, 5)}

B(3, 9)

.

^{P(x, y )}

Encontramos el valor de la pendiente:

𝑚 =

⁹⁻⁵

3−1

= 2

Escogemos el punto P(x, y) que genera la recta y uno de los puntos dados, en este caso A(1, 5):

𝑦 − 5 = 2(𝑥 − 1), es la ecuación de la recta.

Eliminando paréntesis y simplificando encontramos otra manera de presentar la ecuación:

𝑦 − 5 = 2 𝑥 − 1 ↔ 𝑦 − 5 = 2𝑥 − 2 𝑦 − 5 = 2𝑥 − 2 ↔ 𝑦 = 2𝑥 + 3 Esta última ecuación 𝑦 = 2𝑥 + 3 se llama forma pendiente ordenada porque el coeficiente de x (2) coincide con el valor de la pendiente y el término 3, con el punto en el eje “y” (ordenada) por donde pasa la recta.

Significado de la pendiente.

Ubicándonos en cualquier punto de la recta, avancemos hacia la derecha o hacia la izquierda y después subamos o bajemos hasta la recta. ¿Cuántas unidades se suben o bajan? ¿Con cuál número coincide este valor?

ACTIVIDADES.

1. Escribir la ecuación de cada una de las rectas que pasan por cada par de puntos dados y graficar. Indicar la posición de las rectas y comparar con el signo de la pendiente:

a. (3, 2) y (6, 8) b. (- 2, 4) y (3, 4) c. (1, 5) y (1, - 1) d. (- 1, 5) y (2, - 1) e. (2, 1) y (4, 7) f. (1, 3) y (5, 1) 2. En las siguientes tablas se muestran las relaciones entre dos magnitudes. Para cada una de ellas:

 Sitúa las parejas en un plano y observa si todos los puntos están sobre una misma recta.

 En caso afirmativo, halla el valor de la pendiente e indica su significado.

a. Grados centígrados y grados Farenheit:

°Centígrados -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50

°Farenheit -40 -22 -4 14 32 50 68 86 104 122

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b. El número de pasajeros que ingresan a un bus y el precio que pagan para que los transporten:

c. El precio de un artículo y el número de libras que vende un granero:

3. Rectas paralelas.

a. A continuación encontrarás dos grupos de pares de puntos:

𝑖. 𝐴 1, 2 𝑦 𝐵(4, 5)

𝐶 −1, −4 𝑦 𝐷(5, 2) 𝑖𝑖. 𝐸 3, 0 𝑦 𝐹(0, −4) 𝐺 1,5 𝑦 𝐻(−2, 1) b. Dibuja en un plano las rectas 𝐴𝐵 y 𝐶𝐷 . En otro plano dibuja las rectas 𝐸𝐹 y 𝐺𝐻 c. Completa la siguiente tabla:

Par de rectas ¿Son paralelas?

SI NO

Valor de la pendiente

i

ii

m_AB = m_CD = m_EF = m_GH =

d. ¿Para cada par de rectas, cómo es el valor de las pendientes? ¿Qué conclusión se puede escribir respecto a las rectas que son paralelas y al valor de sus pendientes?

4. Rectas perpendiculares

a. A continuación encontrarás dos grupos de pares de puntos:

𝑖. 𝐴 8, 1 𝑦 𝐵(5, −2)

𝐶 −1, 7 𝑦 𝐷(4, 2) 𝑖𝑖. 𝐸 1, 3 𝑦 𝐹(−3, −4) 𝐺 −2, 3 𝑦 𝐻(5, −1) b. Dibuja en un plano las rectas 𝐴𝐵 y 𝐶𝐷 . En otro plano dibuja las rectas 𝐸𝐹 y 𝐺𝐻 c. Completa la siguiente tabla:

Par de rectas

¿Son perpendiculares?

SI NO

Valor de la pendiente

i

ii

m_AB = m_{C D} = m_EF = m_GH =

Producto de las pendientes

m_AB * m_{C D} =

m_EF * m_GH =

d. ¿Para cada par de rectas, cuánto es el producto de las pendientes? ¿Qué conclusión se puede escribir respecto a las rectas que son perpendiculares y al producto de sus pendientes?

5. Determinar cuáles de las siguientes pares de rectas son paralelas o perpendiculares:

a. La que pasa por A(− 7, − 1) y por B(1, 5) con la que pasa por D(−2, − 4) y por C(2, − 1) b. La que pasa por E(− 3, 3) y por F(2, −4) con la que pasa por D(−3, − 4) y por C(2, 3) c. La recta con ecuación 3𝑥 + 4𝑦 = 2 con la recta cuya ecuación es 15𝑥 + 20𝑦 = −10 d. La recta con ecuación 2𝑥 + 3𝑦 = 23 con la recta cuya ecuación es 3𝑥 − 2𝑦 = 6

6. Cuando la libra de cierto producto está a 150u, un Granero vende 500 libras; pero cuando el precio es de 200u, logran vender 400 lb.

a) Con esta información, elabora un gráfico.

b) Halla la ecuación que relaciona la información dada.

c) ¿Cuántas libras se venden, cuando el precio sea de 300u?

d) ¿Cuál será el precio cuando no logran vender el producto?

No de pasajeros 5 10 15 20 25 30

Precio 7000 14000 21000 28000 35000 42000

Precio 500 1000 1500 2000 2500 No de Lb 700 600 500 400 300

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7. Un auto cuesta $ 21.800.000 y al cabo de un año su valor comercial es de $ 21.450.000. Si el valor del auto disminuye con rapidez lineal:

a) Construir un gráfico.

b) Hallar su ecuación escrita en la forma pendiente ordenada.

c) Interpretar el valor de la pendiente.

d) ¿En cuánto tiempo, el auto carece de valor comercial?

8. Una compañía fabrica dos productos A y B, disponiendo para ello de 120 horas de trabajo. Cada unidad del artículo A necesita de 3 horas de trabajo, mientras que para elaborar una unidad del producto B se emplean 2.5 horas:

a) Definir la ecuación que relaciona la producción de los dos artículos en 120 h.

b) ¿Cuántas unidades de A se producen, cuando se elaboran 30 unidades de B?

c) Si la compañía desea producir un solo artículo, ¿cuál es la máxima cantidad que puede confeccionar de A y de B?

9. Los costos para producir un producto queda determinado por los costos fijos y los costos variables (mano de obra, materia prima, mantenimiento de instrumentos, lubricantes, etc.).Por ello:

COSTO = COSTOS FIJOS + COSTOS VARIABLES.

Una fábrica de zapatos desea tener una expresión que relacione los costos anuales “c”, en término del número de unidades “q” producidas. Los gastos fijos anuales son $ 50 millones mientras que los costos por unidad producida son de $ 5500 en materia prima, $ 1500 por mano de obra y $ 1250 en transporte.

¿Cuál es el costo cuando se produzcan 100.000 unidades?

10. La utilidad obtenida en un negocio está determinada por la diferencia entre los ingresos y los costos. Si la fábrica del caso anterior, vende cada unidad en $ 12500, escribir una ecuación que exprese la utilidad que deja la producción de “q” unidades. ¿Cuánto se gana por la venta de las 100.000 unidades? ¿Cuál es la mínima cantidad que debe producir, para que al venderse, no haya pérdida?

DESIGUALDADES LINEALES.

Son ejemplos de este tipo: x + y ≤ 0 2x + y > 5 4x – 7y < 11

Para este tipo de inecuaciones no se puede dar una solución de forma algebraica, solo se puede dar una solu- ción de forma grafica, para ello se requiere la representación grafica de las relaciones.

La solución es, siempre, un semiplano de los que la grafica (siempre una línea recta) divide al plano, basta probar con un punto cualquiera de un semiplano para determinar cuál es.

Ejemplo: Resolver la inecuación 2x + y ≥ 5 Solución:

Primero se grafica la ecuación 2x + y = 5, que es equivalente a y = 5 – 2x. Como los valores deben ser mayores que 5, la solución será la región del plano que está por encima de la recta, en el dibujo se ha sombreado. Escogiendo un punto cualquiera de esta región se comprueba que satisface la desigualdad.

Por ejemplo escogiendo A(3, 4), reemplazamos estos valores en la inecuación y tenemos que 2(3) + 4 = 10

> 5 es una expresión verdadera.

ACTIVIDADES.

Dibujar la región del plano correspondiente a la solución de cada una de las siguientes inecuaciones:

a. 𝑥 − 2𝑦 < 4 b. 3x + 2y > 6 c. 𝑥 + 𝑦 ≤ 5

d. −2 < 𝑥 < 1 ∧ 1 < 𝑦 < 3 e. −4𝑥 + 3𝑦 ≥ −24 f. 3𝑥 + 5𝑦 ≤ 75,∧, 𝑥, 𝑦 ≥ 0

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LA PARÁBOLA.

Es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que están a una misma distancia de un punto fijo y de una recta fija.

Algunos elementos de la parábola

Eje: Es la recta que pasa por el foco y es perpendicular a la directriz.

Vértice: Es el punto de la parábola que está sobre el eje. Es el punto medio de

DF .

Ecuación de la parábola con vértice en el origen de un sistema Cartesiano y eje, el de las “x”

 Las coordenadas de V son (0, 0).

 Designamos con la letra p, la primera coordenada de F. Como el eje es x, las componentes de F son (p, 0).

 VF representa la distancia dirigida desde el vértice hasta el foco. Será positiva siempre que el foco esté a la derecha del vértice. En este caso VF = p – 0 = p

 Las coordenadas de Q son ( - p, y)

 Por definición de parábola, QP = QF

Por lo tanto tendremos:

(xp)²(yy)²  (xp)²(y0)² ↔(xp)²(xp)²y²↔(xp)²(xp)²y² ↔ (xpxp)(xpxp)y² ↔ (2x)(2p)y² ↔ 4xpy², o, y² 4px

Si hacemos que

𝑎 =

¹

4𝑝, la anterior ecuación se transforma en 𝑥 = 𝑎𝑦²

Similarmente, cuando el eje de la parábola sea el eje “y”, se demuestra que la ecuación de la parábola es 𝑥²= 4𝑝𝑦, la cual se transforma en 𝑦 = 𝑎𝑥² cuando hacemos

𝑎 =

¹

4𝑝 ACTIVIDADES.

Esbozar el gráfico de las siguientes parábolas:

1. 𝑥 = 2𝑦² 2. 𝑥 = −4𝑦² 3. 𝑦 = 𝑥² 4. 𝑦 = −2𝑥²

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LA ELIPSE.

Es el lugar geométrico de todos los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos (llamados Focos), es constante.

Elementos:

.

F₁ F₂

V₂ V₁

B₁

B₂

P(x, y)

PF + PF = Constante eje focal

eje normal

Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.

Eje normal: Es la mediatriz de F₁F₂

Vértices: Son los puntos de la elipse que están sobre el eje focal.

Centro: Es el punto de intersección de los ejes.

Ecuación de la elipse con centro en el origen de un sistema Cartesiano y eje, el de las x

.

F₁(c, 0) F₂( - c, 0)

B₁(0, b) P(x, y)

b a

c

V₁(a, 0) V₂( - a, 0)

B₂(0,- b)

Consideremos el punto P(x, y) móvil que genera la elipse. F₁(c, 0) y F₂ (– c, 0) las coordenadas de los focos.

PF₁ + PF₂ = 2 a, por distancia y se demuestra que la ecuación es:

2

1

2 2 2



 b y a x

Miremos la intersección con los ejes:

a. Si y = 0 entonces 1

2 2  a

x

,

por lo que xa

.

Esto significa que las coordenadas de los vértices son V₁(a, 0) y V₂(– a, 0)

b. Si x = 0 entonces 1

2 2

 b

y , por lo que yb. Por consiguiente las coordenadas de los extremos del

eje menor, son B₁(0, b) y B₂(0, – b) Relación entre a, b y c:

c

b a a² = b² + c²

Ejemplo:

Trazar la gráfica de la elipse 4 x² + 9 y² = 36.

Solución:

Dividimos entre 36 para escribir la ecuación en su forma ordinaria: ^4𝑥

2 36

+

^9𝑦²

36

=

³⁶

36

↔

^𝑥²

9

+

^𝑦²

4

= 1

 𝑎²= 9 ↔ 𝑎 = ± 3; 𝑏²= 4 ↔ 𝑏 = ± 2. Por lo tanto las coordenadas de los vértices son:

𝑉₁= 3, 0 𝑦 𝑉₂= −3,0 y los extremos del eje menor 𝐵₁= 2, 0 𝑦 𝐵₂= −2,0

 Como 𝑎²= 𝑏²+ 𝑐², se tendrá que 9 = 4 + 𝑐² por lo que 𝑐 = ± 5

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ACTIVIDAD

Esbozar la gráfica de la elipse 4 x² + 25 y² = 100 LA HIPÉRBOLA.

Es el lugar geométrico de todos los puntos del plano tal que el valor absoluto de la diferencia de las distancias a dos puntos fijos (llamados Focos), es constante y menor que la distancia entre los focos.

Elementos:

Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.

Eje normal: Es la mediatriz de F₁F₂

Vértices: Son los puntos de la hipérbola que están sobre el eje focal.

Centro: Es el punto de intersección de los ejes.

Ecuación de la hipérbola con centro en el origen de un sistema Cartesiano y eje focal, el de las x.

Consideremos el punto P(x, y) móvil que genera la hipérbola. F₁(c, 0) y F₂ (– c, 0) las coordenadas de los focos. | PF₁ – PF₂ | = 2 a, implica que:

i. PF₁ – PF₂= 2 a, siempre que PF₁ – PF₂> 0_. ii. PF1 – PF2 = – 2 a, siempre que PF1 – PF2 < 0.

La relación i. se tiene cuando P está en la rama izquierda, mientras que la ii. se cumple si P se encuentra en la rama de la derecha. La ecuación se encuentra mediante un procedimiento algebraico al calcular las distancias indicadas. El resultado es:

2

1

2 2 2



 b

y

a

x

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Miremos la intersección con los ejes:

 Si y = 0 entonces 1

2 2  a

x

,

por lo que xa

.

Esto significa que las coordenadas de los vértices son V₁(a, 0) y V₂(– a, 0)

 Si x = 0 entonces no hay intersecciones con el eje y. Sin embargo, tomaremos como extremos del eje conjugado los puntos B₁(0, b) y B₂(0, – b)

Una asíntota es una recta tal que la grafica de una curva se “pega” a ella cada vez más, a medida que los valores de la variable aumentan. Para la hipérbola horizontal, sabemos que:

2 2 2

2 1

x x a a a b a x

yb   

.

Analizando el radicando, se observa que cuando x tome valores cada vez

mayores, el cociente

2 2

x

a se aproxima a cero y en consecuencia la raíz a 1. Por lo tanto: x a

yb

,

represen-

tan las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola con centro en el origen del plano y eje focal el de las x.

Ejemplo: Trazar la gráfica de la hipérbola 9x² – 16 y² = 144.

Solución:

Dividimos entre 144 para escribir la ecuación en su forma normal: ^9𝑥

2

144

−

^16𝑦²

144

=

¹⁴⁴

144

↔

^𝑥²

16

−

^𝑦²

9

= 1

 El centro es (0, 0)

 𝑎²= 16 ↔ 𝑎 = ± 4; 𝑏²= 9 ↔ 𝑏 = ± 3. Por lo tanto las coordenadas de los vértices son:

𝑉₁= 4, 0 𝑦 𝑉₂= −4,0

 𝑎²+ 𝑏²= 𝑐²↔ 16 + 9 = 25 = 𝑐²↔ 𝑐 = ± 5 , por lo que las coordenadas de los focos son:

𝐹₁= 5, 0 𝑦 𝐹₂= −5,0

 Partimos del centro construimos un rectángulo de longitud 2 a = 8 y altura 2 b = 6. Las diagonales de este rectángulo son las asíntotas de la hipérbola

ACTIVIDAD

Esbozar la gráfica de la hipérbola 𝑥²− 𝑦²= 1