1302 17 MATEMÁTICA Vectores

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(1)Vectores Matemática. 3º Año Cód. 1302-17. Prof.Mónica Napolitano Prof. M. Del Luján Martínez Revis ión Prof. Patric ia Godino. Dpto. de Matemática.

(2) Vectores Matemática 1- INTRODUCCIÓN En diversas oportunidades nos hemos encontrado en temas relacionados con la Física, con magnitudes que quedan definidas mediante un número, las denominadas magnitudes escalares. Entre ellas, podemos citar la longitud, la masa, el volumen. Otras, en cambio, las magnitudes vectoriales, requieren además del número, para su definición, de elementos tales como dirección y sentido representados por segmentos orientados o flechas denominados vectores. Se cuenta entre estas últimas magnitudes, como ejemplo, las fuerzas, los desplazamientos, las velocidades, etc. 2- VECTOR Definición. Sus elementos Se llama vector a todo segmento orientado, es decir, a todo segmento determinado por un par ordenado (a; b) de puntos. El punto a se llama origen y el punto b extremo del vector..  Para simbolizarlo usaremos ab o simplemente u b. a Los elementos de un vector son tres, a saber:  Dirección La dirección de un vector está dada por la dirección de la recta que lo contiene o cualquiera de sus paralelas..  u.  Sentido La orientación del vector sobre la recta, definida por su origen y su extremo, determina el sentido del mismo. En cada dirección hay dos sentidos. Gráficamente el sentido de un vector es indicado con una flecha.. POLITECNICO. 11.

(3) Vectores Matemática. A // B Ejemplo:. d c. h. b. g f. A a. B. . e. . . . En la figura, los vectores ab y ef tienen igual sentido y los vectores ab y hg tienen distinto sentido. Observaciones: El sentido se compara en forma gráfica, sólo si tienen igual dirección  Módulo El módulo es la medida del segmento orientado. . . El módulo de un vector ab se simboliza ab Por todo lo precedente, podemos decir que el módulo de un vector es siempre un número no negativo, o sea   u  0 u. Observación: Diremos que dos vectores ab y cd poseen igual módulo si la medida de los segmentos ab y cd son iguales, respecto a la misma unidad de medida. a. b. d.  ab = cd  c. 12. POLITECNICO.

(4) Vectores Matemática Vectores particulares . Vector libre. Dado un segmento ab , se llama vector libre ab al conjunto de todos los vectores que tienen igual módulo, dirección y sentido que ab , incluido el propio ab . En lo sucesivo será indistinto trabajar con cualquiera de los elementos de dicho conjunto. . Vector nulo Llamaremos vector nulo a todo punto y lo notaremos o En el vector nulo el origen y el extremo del mismo coinciden.. ● uo. El vector nulo es el único que tiene módulo cero y que no tiene definido ni dirección ni sentido. En símbolos:. .  uo u 0. Versor Se llama versor o vector unitario a cualquier vector de módulo uno..       v  w  u 0  1  v; w y u 0 son versores. . Versor asociado a un vector    Dado un vector u  0 , se llama “versor asociado al vector u ”, y se simboliza u 0 , al  versor que posee igual dirección y sentido que u. En el ejemplo anterior el versor  versor asociado a u ..  w.  por tener igual dirección y sentido que u es un. POLITECNICO. 13.

(5) Vectores Matemática . Vector opuesto a un vector . . . Dado un vector cualquiera a , se llama vector opuesto de a y se simboliza  a , . . al vector que tiene igual dirección, igual módulo y distinto sentido que a , si a no . . es nulo y si el vector a = o ,  a = o.    . . dirección  a  dirección a  sent  a  sent a Si a  0    a  a . . . . Si a  0   a  0. . . a. a. . ●a = a= o. Vectores iguales Dos vectores son iguales cuando son ambos nulos o tienen igual módulo, dirección y sentido. En símbolos:   uv. .     u  v        u  v  o  direc. u  direc. v   sent.u  sent. v     . Ejemplo:  u.  v  w.    uvw Definición: Dos vectores no nulos son paralelos cuando poseen la misma dirección. En símbolos:. a // b  dirección de a  dirección de b. 14. POLITECNICO.

(6) Vectores Matemática Actividades: 1) Dados los vectores de las figuras completa de modo que las siguientes expresiones resulten verdaderas a). c . b. ........... es el extremo de bc A. b). B. C. A // B // C. ......... y ........... tienen distinta dirección ......... y ........... tienen igual dirección ......... y ........... tienen distinto sentido   . . 2) Dibuja los vectores a; b; c; y t , sabiendo que . . La dirección de a es una recta horizontal y su sentido hacia la derecha, . con a  3 . . La dirección de b es una recta vertical y su sentido hacia abajo con  1  b  a 2. . b y c tienen igual dirección, igual módulo pero distinto sentido. . . . . . t  a0. POLITECNICO. 15.

(7) Vectores Matemática . 3) Dado a dibuja . . . . . v // a , sent. v  sent. a. a) v / . . . b) m / m  a . . . y. v . 3  a 2. . m  a. 4) Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F). justifica la respuesta . . a) u  u 0 . . b) En los vectores de la figura es u  v . . . . c) u // v  u o  v o . . . . d) u  v  u 0  v 0. 3- OPERACIONES ENTRE VECTORES SUMA DE VECTORES. Definición . . Dados los vectores u y v , se denomina suma de vectores a un vector que se . . nota u + v y se obtiene de la siguiente manera Fijado arbitrariamente un punto a, queda determinado un punto . . b tal que u  ab y a su vez queda determinado un punto c tal que . . . . . bc  v . Se llama suma de u y v al vector ac así obtenido.. b. c. a. 16. POLITECNICO.

(8) Vectores Matemática NOTA: se puede demostrar que la suma de vectores es independiente . . del punto a elegido y en consecuencia de los representantes ab y bc correspondientes.. Actividades:   . . 5) Dados los vectores t ; u; v y w de la figura. i). Determina gráficamente . . a) u  v . . b) t  v . . c) u  w ii). Completa con la relación de orden que corresponda:     u  v .......... .. u  v     v  t .......... .. v  t     u  w .......... .. u  w. 6) Prueba geométricamente que:.        a y b es a  b  a  b . . 7) Dibuja dos vectores u y v tales que:.    a) u + v = s.     s uv.    b) u + v = s. .  s 0.   ¿Qué características tienen u y v en cada caso?. POLITECNICO. 17.

(9) Vectores Matemática Propiedades de la suma de vectores.  . . Dados a; b y c se puede probar la validez de las siguientes propiedades. S1) La suma de vectores es asociativa. .  . .       a bc  ab c. S2) La suma de vectores es conmutativa.     ab  ba S3) Existencia del elemento neutro.     a se tiene a  o  o  a  a A o se lo denomina elemento neutro de la suma de vectores. S4) Existencia del elemento opuesto.  .  a  -a / a a  o. Actividades 8) Suma los vectores indicados en cada uno de los casos siguientes si   v 2 y w 4. 18. a). b). c). d). e). f). POLITECNICO.

(10) Vectores Matemática    9) Dados los vectores a; b y c. 30º 15º. Dibuja:  a) d /  b) e /.     d  a  b   c      e   abc. . . DIFERENCIA ENTRE DOS VECTORES.    a; b es.  .     ab  a b. Actividades . . 10) Dados a y b de la figura. Construye:   a) a  b.   b)  a  b.   c) a  b d) b  a   ¿Cómo son los vectores a  b y b  a ?.   e)  a  b. POLITECNICO. 19.

(11) Vectores Matemática 11) Verifica usando propiedades de la suma de vectores que:        a; c es a  m  c con m  c  a   12) Verifica que si los vectores a y b con origen común determinan un     paralelogramo, los vectores a  b y a  b están sobre las diagonales del paralelogramo.   13) Expresa en cada caso los vectores indicados en función de u y v a) . bc =. b. c. . cb =. a. . ca =. d. c. b) abcd es un paralelogramo . cd = . da =. a. b. . db = . ac =. 14) En la figura tenemos un cubo. Nombra: . a) tres vectores iguales que ab . Justifica . b) tres vectores iguales a dh . c) dos vectores iguales que  gf. . d) dos vectores con igual módulo que eh pero distinta dirección. 10 1. POLITECNICO.

(12) Vectores Matemática 15) Analiza si la siguiente proposición es verdadera. Justifica.  a  2      ab  5 b  3 . 16) Dados a ; b y c determina x gráficamente de modo que - a + b - x + c = 0. a. c a. b a. 17) Dados a ; b y c del gráfico expresa u ; v y w en función de a ; b y c .. u = v =. w=.  km 18) Un nadador quiere atravesar un río nadando a una velocidad v1  6 en h dirección perpendicular a la orilla; pero la corriente lo desplaza con una    km velocidad v2  4 . Dibuja los vectores v1 y v2 (con una escala h     conveniente) y encuentra el vector v / v  v1  v2 . Este vector representa la  velocidad de desplazamiento del nadador. La dirección de v es la dirección real en que se mueve el nadador.  Calcula v observando que quedó determinado un triángulo rectángulo.. POLITECNICO. 11 1.

(13) Vectores Matemática PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN NÚMERO REAL Definición. . Llamamos producto de un u por un número real  , o producto de un número    por un vector u , a un vector v tal que: . . . Si   0  u  0. . Si   0  u  o  v  o.    v   .u    dirección v  dirección u v  .u     sentido de v  sentido de u si   0 sentido de v  sentido de u si   0 . . . Ejemplos: f 1). e d c b a. . . . . . ab  bc  cd  de  ef  t. . . ec   2t. . fe   1t. bd  2t. . af  5t. 2).  7 ab   d 3. 12 1. POLITECNICO. . cf  3t.

(14) Vectores Matemática Actividad    19) Dibuja los vectores t ; l y m tales que  a) t  0,5 a.  5 b) l  a 3  c) m  3 a  . . 20) Sabiendo que u , v y w tienen las direcciones y sentidos indicados en las aristas de la pirámide de la figura, y además  1  1  1 v  cb , u  ab y w  eb , expresa en función de 2 2 3    u , v y w o sus opuestos los siguientes vectores: e.   ab =.  w.   ea . . .  bc =.  ac .   be =.   ed . . .  db .  ce . c. d  v.  v. a.  u. b. Propiedades del producto de un vector por un número   Para cualquier par de vectores u y v y los números reales  y  se pueden demostrar las siguientes propiedades:.     P1)  u  v    u   v    P2)    u   u   u   P3)  u     u   P4) 1 v  v. POLITECNICO. 13 1.

(15) Vectores Matemática Actividades.   21) ¿Por qué 1u  u ?    22) Dados a ; b y c.   1 2  Representa gráficamente w siendo: w   a  b  c 2 3 23) Siendo. 1  v. 1  v. a) dibuja   v y    v 1  v. . . b) demuestra que   v es el versor asociado v 0  de v. VECTORES PARALELOS Propiedad de los vectores paralelos: Condición de paralelismo entre vectores . . Dos vectores u y v no nulos, son paralelos si y sólo si existe un número real     0 tal que v   u En símbolos:. Si u  o  v  o ; u // v     R - 0 / v  u. Notemos que si: v  λ u , entonces   v u. 14 1. POLITECNICO.

(16) Vectores Matemática de donde.  v    u.    como v y u son números reales y u  0 siempre existe el cociente.  v  que nos da el u. valor absoluto del número  buscado, en cuanto si es positivo o negativo dependerá . . que u y v tengan igual o distinto sentido. Actividades 24).    a; b y c son los vectores paralelos cuyos sentidos están indicados en la    figura con a  2; b  4 y c  3. a).     calcula  y  tal que a   b y b   c. b).      determina t si t  a  b  c.     25) En la figura a  3; b  6,5 a // b.   3  Construye el vector v tal que v  a  b 5. 26) Calcula el valor de k si.  k v 5 2 y.  v 2 2. POLITECNICO. 15 1.

(17) Vectores Matemática 27) Reproduce la siguiente figura y averigua cuánto vale el número x tal que   vx w. . 28) Sea la figura siguiente con ab  6 y . . construye el vector v tal que v  . . cd  7.2 con respecto al centímetro,. 1  2  cd  ab 3 3 c. b. a d.   29) Se dan los vectores u y v de la figura, determina el valor de x tal que   vxu.    5 1 30) Se da un vector i . Dibuja los vectores : 5 i ;  i ; i , construye la suma v 2 2  de dichos vectores y determina x tal que v  x i. 16 1. POLITECNICO.

(18) Vectores Matemática ANGULO ENTRE VECTORES Definición: Dados los vectores a y b no nulos se denomina ángulo entre los vectores a y b y . . se indica a b al ángulo convexo entre 0; 2  (es decir 0  a b   ) por ellos determinado al ser aplicados con origen en el mismo punto. Ejemplo: b. a. Actividades . 31) Si oa  ob y oc bisectriz de aob ¿cuál es la medida de cada uno de los siguientes ángulos?. b).  uv  wv. c).  u (- u ). a). . d) u u . e) u (-w) . f) (2u )( 3 v ). PRODUCTO ESCALAR O INTERNO ENTRE VECTORES Definición: Dados dos vectores a y b , se llama producto escalar o interno entre los vectores a y b , y se simboliza a  b , al número:  si a  o  b  o 0  ab      a  b  cos a b si a  o  b  o . POLITECNICO. 17 1.

(19) Vectores Matemática Propiedades  a ; b y   R se cumplen las siguientes propiedades: PE1) a  b  b  a Demostración: . . a  b  a b cos a b  b a cos b a  b  a (1). ( 2). (1) Definición de Producto Escalar (2) Propiedad conmutativa de la multiplicación (3) cos 0 =1 (4) Definición de potenciación. (1). . a  b  a b cos a b. PE2) a  b  c  a  c  b  c PE3) .a   b  .b  a   .a   b  PE4) a  a  a 2  0 Demostración: . a  a  a a cos a a  a . a  a (1). (3). 2. ( 4). PE5) si a  o  b  o : a  b  0  a  b vectores no nulos). (condición de perpendicularidad entre. Demostración: . . . ) a  b  0  a b cos a b  0  cos a b  0  a b  90º  a  b . . ) a  b  a b  90º  cos a b  0  a  b  0. Actividades 32) Siendo a  2 , determina: a) a  a b) (2a )  a c) a  (-a ) . 33) Sabiendo que a  3 , b  4 y a b  30 º , calcula: a) b  a0 b) 3b    2a   1  2. c)    a  b0. 18 1. POLITECNICO.

(20) Vectores Matemática 34) Sabiendo que u  4 , v  6 , determina u  v si: a) u // v y tienen igual sentido b) u // v y tienen distinto sentido. c) u  v . d) u v  150 º 35) Determina: a) el ángulo que forman a y b , sabiendo que a  b . 5 5 ; a  5 y 2. b 4.. b) El módulo del vector v , sabiendo que u  v  20 , u  10 y . u v  120 º. 4 - SISTEMA DE REFERENCIA CARTESIANO ORTONORMAL  En el espacio Definición: Dado un punto cualquiera del espacio o (origen de coordenadas), y en él aplicados tres versores i ; j y k perpendiculares dos a dos, al conjunto o; i; j; k  se lo denomina sistema de referencia ortonormal en el espacio. Denominaremos como:  ejes coordenados “x”; “y” y “z” a cada una de las rectas que contienen a cada uno de los versores i ; j y k , respectivamente.  planos coordenados xy; xz e yz, a los planos que determinan los ejes x e y , los ejes x y z , y los ejes y y z , respectivamente. Gráficamente resulta:   i  j  k  1  o; i; j; k sistema de referencia ij  ortonormal en el espacio  jk   ki . punto fijo o. . . POLITECNICO. 19 1.

(21) Vectores Matemática  En el plano Definición: Dado un punto cualquiera del plano o (origen de coordenadas), y en él aplicados dos versores i y j perpendiculares, al conjunto o; i; j se lo denomina sistema de referencia ortonormal en el plano.. . .  ejes coordenados “x”e “y” a cada una de las rectas que contienen a cada uno de los versores i y j respectivamente.  Se denominan al eje x, eje de las abcisas y al eje y, eje de las ordenadas Gráficamente resulta:. punto fijo o  o; i; j sistema de referencia  i  j 1   ortonormal en el plano   ij . . . Actividades 1) En un sistema de referencia o; i; j  ubica los puntos a(-1; 3) ; b(2 ; - 3) ; c(o ; 3) y a (-4 ; 0) 2) En un sistema de referencia o; i; j; k ubica los puntos: a(2 ; 1; 3) ; b(0 ; 2 ; 1) ; c( 1; 0 ; 0) y d(4 ; 0 ; 3) . 3) Completa de modo que resulten verdaderas las siguientes proposiciones a. px;....  eje de las abscisas con x  R b. p0; y   eje ........................ con y  R c. p0; 0; z   eje ……………… con z  R d. p4; 3 ; 0   plano …………………... 20 1. POLITECNICO.

(22) Vectores Matemática 4) Representa en distintos sistemas de referencia los siguientes subconjuntos de puntos a) A  x; y  / x  2   1  y  3. e) E  x; y  / x  Z; y  Z ; x.y  12. b) B  x; y  / x  1  y  3. f) F  x / x  0. c) C  x; y  / x  2  y  1. g) G  x; y  / x  0. . d) D  x; y  / x   . 2   y  2 3 . h) H  x; y; z  / x  0. 5) Escribe el conjunto de puntos que se indica en cada caso a). A.  j  i. b). POLITECNICO. 21 1.

(23) Vectores Matemática c). 2. y. x. d). e). 22 1. POLITECNICO.

(24) Vectores Matemática AUTOEVALUACIÓN 1) Determina si las siguientes proposiciones son V (verdaderas) o F (falsas). Justifica tus respuestas   a) u paralelo a v    u v   u  v.  b) Si  u  4 2 c).  u  2 2 entonces   2. . En el rectángulo abcd la base es el doble de su altura, entonces: . . i) ab  cd . b. c. a. d. . ii) bc   da . 1  iii) cd  bc 2 . . iv) bc  2 ab . . . v) ad  ab cd d) Todo vector tiene módulo distinto de cero. e) Si dos vectores tienen igual dirección y módulo, son opuestos. f) Si dos vectores son opuestos tienen igual dirección y módulo. g) Dos vectores que tienen distinto sentido pueden tener distinta dirección. h) Dos vectores iguales son paralelos. i) El versor asociado a un vector es paralelo a ese vector. j) Todos los versores son iguales. . . k) Si a y b tienen igual módulo, son iguales u opuestos..      3) Expresa u ; v y w en función de a y b y/o de sus opuestos. a. f. b c. d. e. POLITECNICO. 23 1.

(25) Vectores Matemática Bibliografía  . 24 1. Apunte Cod 1302.15 ALGEBRA VECTORIAL – Autores varios Apunte Cod 1403-15 VECTORES – Cattáneo, B.; Lagreca, N.. POLITECNICO.

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