EC 2322 Solución General de Ecuación de Onda pdf

Texto completo

(1)EC2322 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 1: FUNDAMENTOS DE LAS ONDAS ARMÓNICAS. 1.5. SOLUCIÓN GENERAL A LA ECUACIÓN DE ONDA EN SISTEMAS AXIALES.. 1.5.1 Sistema de coordenadas axial generalizado. Para el estudio de los problemas de transmisión se supondrá que las ondas electromagnéticas viajan en línea recta. Los sistemas de coordenadas adecuados para el estudio son aquellos que tienen una dirección fija, tales como el de coordenadas rectangulares, el de coordenadas cilíndricas circulares y el de coordenadas cilíndricas elípticas. A fin de hacer posible la presentación de las ecuaciones en un sistema de coordenadas único, que pueda luego ser particularizado por uno de los mencionados en el párrafo anterior, se define el Sistema de coordenadas axial generalizado, en el cual una de las coordenadas es la coordenada z, la cual tiene dirección fija, se denomina coordenada axial y se supondrá que coincide con la dirección de propagación de la onda, mientras que las otras dos coordenadas están en planos z = constante y se denominan coordenadas transversales. En la figura 1.1 de la siguiente página se representa un sistema de coordenadas axial generalizado. El sistema de coordenadas axial generalizado, además de tener fija la coordenada z, tiene las siguientes propiedades:. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2013 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 20.

(2) EC2322 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 1: FUNDAMENTOS DE LAS ONDAS ARMÓNICAS. -. Es ortonormal.. -. Los coeficientes métricos de las coordenadas transversales no varían respecto a la coordenada axial: ∂ h1 ∂ h2 = = 0; h3 = hz = 1 ∂z ∂z u1. 1u1 1u2 1z u2 z. Figura 1.1: Sistema de coordenadas axial generalizado. 1.5.2 Deducción de la forma general de las soluciones a la ecuación de onda. Al utilizar el concepto de permitividad compleja, la ecuación de onda (ecuación 1.12) se simplifica de la siguiente forma: ∇ 2 Fˆ (r ) + ω 2 µ εˆ Fˆ (r ) = 0. (1.24). A fin de obtener expresiones para la forma general de las soluciones a la ecuación de onda en el sistema de coordenadas axial generalizado, en primer lugar se postula a la solución como el producto de un campo escalar complejo que depende sólo de la coordenada axial por un campo vectorial complejo que Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2013 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 21.

(3) EC2322 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 1: FUNDAMENTOS DE LAS ONDAS ARMÓNICAS. depende de las coordenadas transversales, el cual a su vez se descompone como la suma de sus componentes transversal (identificada con el subíndice “t”) y axial: Fˆ (u1 , u 2 , z ) = fˆ (u1, u 2 ) gˆ ( z ) = [fˆt (u1 , u 2 ) + 1z fˆz (u1 , u 2 )] gˆ ( z ). (1.25). La forma de solución propuesta es una variación del Método de separación de variables comúnmente usado para la solución de ecuaciones diferenciales parciales escalares. Las variables transversales se mantienen juntas porque a priori son desconocidas. El operador Laplaciano vectorial ∇ 2 F̂ presente en la ecuación de onda sólo puede expresarse en términos de los operadores Laplacianos escalares de cada componente del vector F̂ en el sistema de coordenadas rectangulares. En cualquier otro sistema de coordenadas, como el axial generalizado, debe usarse la definición:. ∇ 2 Fˆ = ∇(∇ ⋅ Fˆ ) − ∇ × (∇ × Fˆ ). (1.26). Puede demostrarse que ∇ 2 F̂ en el sistema de coordenadas axial generalizado es, para F̂ definido de acuerdo a la ecuación (1.25), como sigue: término axial 6 474 8. 2 ˆ 2ˆ   ∂ Ft ˆ ∇ F = 1z ∇ Fz + ∇ t  ∇ t ⋅ Ft  + + 1z × ∇ t  ∇t × Fˆ t  ⋅ 1z  2   2ˆ. ∂4 z 442444444444443 144444444. (1.27). términos transversales. donde: -. ∇ t ⋅ F̂t es la divergencia transversal del vector F̂t , que es la. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2013 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 22.

(4) EC2322 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 1: FUNDAMENTOS DE LAS ONDAS ARMÓNICAS. divergencia sin el término de derivada respecto a z. -. ∇ t × F̂t es el rotacional transversal del vector F̂t , que se obtiene colocando cero en el lugar de ∂ ∂z y en el lugar de F̂z en la matriz del rotacional en el sistema de coordenadas axial generalizado, quedando: ∇ t × Fˆ t = 1z. -. 1 h1 h2.  ∂  ∂  ∂ u (h2 Fˆ2 ) − ∂ u (h1 Fˆ1 )  1  2. (1.28). ∇ t Ψ es el gradiente transversal del campo escalar Ψ, que es el gradiente sin el término de derivada respecto a z. Al sustituir las ecuaciones 1.27 y 1.25 en la ecuación de onda (1.24) y. tomar la componente paralela a 1z, se tiene:. (. ). ∇ 2 fˆz gˆ ( z ) + ω 2 µ εˆ fˆz gˆ ( z ) = 0 Desarrollando el Laplaciano escalar del producto fˆz gˆ ( z ) :. ∂ 2 gˆ ( z ) ˆ 2 ˆ gˆ ( z )∇ t f z + f z + ω 2 µ εˆ fˆz gˆ ( z ) = 0 2 ∂z. Dividiendo todo entre gˆ ( z ) ( gˆ ( z ) ≠ 0 ) :. ∇ t2 fˆz +. 1 ∂ 2 gˆ ( z ) ˆ f z + ω 2 µ εˆ fˆz = 0 gˆ ( z ) ∂ z 2. (1.29). En la ecuación 1.29 el primer y el tercer sumando son constantes si se varía solamente la coordenada z. Como la suma de los tres términos es constante, se concluye que el segundo término también debe ser constante, por lo cual: Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2013 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 23.

(5) EC2322 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 1: FUNDAMENTOS DE LAS ONDAS ARMÓNICAS. ∂ 2 gˆ ( z ) 1 ∂ 2 gˆ ( z ) 2 = cte = γˆ ⇒ − γˆ 2 gˆ ( z ) = 0 ⇒ gˆ ( z ) = e m γˆ z (1.30) gˆ ( z ) ∂ z 2 ∂ z2 En conclusión, al postular la solución Fˆ (u1 , u 2 , z ) como fˆ (u1 , u 2 ) gˆ ( z ) , gˆ ( z ) debe ser una exponencial para que se cumpla la ecuación de onda vectorial. A la función gˆ ± ( z ) = e m γˆ z se le denomina exponencial de propagación de la onda. Los signos “−” y “+” se relacionan con ondas que se propagan en sentido positivo y negativo de la coordenada z, respectivamente. Al sustituir la ecuación 1.30 en la 1.29, queda para fˆz : ∇ t2 fˆz + γˆ 2 fˆz + ω 2 µ εˆ fˆz = 0 = ∇ t2 fˆz + kˆc 2 fˆz. (1.31). donde: kˆc 2 = γˆ 2 + ω 2 µ εˆ. (1.32). Por su parte, al sustituir las ecuaciones 1.25 y 1.27 en la ecuación de onda (1.24) y seleccionar los términos transversales, se tiene: ∂ 2 (fˆt (u1 , u 2 ) gˆ ( z ) ) ˆ ∇ t (∇ t ⋅ (f t (u1 , u 2 ) gˆ ( z ) )) + + ∂ z2 1z × ∇ t [(∇ t × (fˆt (u1 , u 2 ) gˆ ( z ) )) ⋅ 1z ] + ω 2 µ εˆ fˆt (u1 , u 2 ) gˆ ( z ) = 0 Al sustituir gˆ ( z ) = e m γˆ z (1.30) y dividir luego todo por emγˆ z , queda: ∇ t (∇ t ⋅ fˆt (u1 , u 2 ) ) + γˆ 2 fˆt (u1 , u 2 ) + 1z × ∇ t [(∇ t × fˆt (u1 , u 2 ) ) ⋅ 1z ] + ω 2 µ εˆ fˆt (u1 , u 2 ) = 0 Finalmente, al sustituir la ecuación 1.32, se obtiene:. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2013 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 24.

(6) EC2322 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 1: FUNDAMENTOS DE LAS ONDAS ARMÓNICAS. ∇ t (∇ t ⋅ fˆt (u1 , u 2 ) ) + 1z × ∇ t {(∇ t × fˆt (u1 , u 2 ) ) ⋅ 1z} + kˆc 2 fˆt (u1 , u 2 ) = 0 144444444 42444444444 3 ∇ t2 fˆt (u1 , u 2 ). ∇ t2 fˆt (u1 , u 2 ) + kˆc 2 fˆt (u1, u 2 ) = 0. (1.33). Entonces la función vectorial fˆt (u1, u 2 ) satisface la ecuación de onda vectorial 1.33, donde el Laplaciano vectorial transversal ∇ t2 fˆt (u1 , u 2 ) queda definido en el sistema de coordenadas axial generalizado como: ∇ t2 fˆt (u1 , u 2 ) = ∇ t (∇ t ⋅ fˆt (u1 , u 2 ) ) + 1z × ∇ t {(∇ t × fˆt (u1 , u 2 ) ) ⋅ 1z} (1.34) Resumen Las soluciones generales Fˆ ± (u1 , u 2 , z ) de la ecuación de onda vectorial para medios sin fuentes en el dominio complejo son de la forma: Fˆ ± (u1 , u 2 , z ) =. (fˆt± (u1, u2 ) + 1z fˆz± (u1, u2 ))emγˆ z. (1.35). donde:. γˆ 2 = kˆc 2 − ω 2 µ εˆ (viene de la ecuación 1.32) ∇ t2 fˆt± (u1, u 2 ) + kˆc 2 fˆt± (u1, u 2 ) = 0 transversal vectorial). (ecuación. ∇ t2 fˆz± (u1 , u 2 ) + kˆc 2 fˆz± (u1 , u 2 ) = 0 transversal escalar). (ecuación. (1.36) de. onda (1.37). de onda (1.38). Es requisito previo para determinar la constante de propagación y resolver cualquiera de las ecuaciones de onda determinar los autovalores k̂c . Dichos autovalores, como se verá en las Unidades 2, 4 y 5, dependen de las condiciones de frontera del problema de transmisión que se considere.. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2013 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 25.

(7) EC2322 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 1: FUNDAMENTOS DE LAS ONDAS ARMÓNICAS. Nótese que se ha introducido los signos “+” y “−” en la notación, lo cual corresponde a las dos soluciones correspondientes a ondas que se propagan en direcciones +1z y −1z, respectivamente. 1.6. MODOS DE PROPAGACIÓN. Los modos de propagación son una clasificación de las soluciones a la. ecuación de onda, dependiendo de la presencia o no de las componentes de los campos paralelas a la dirección de propagación, Eˆ z± (u1 , u 2 , z ) y Hˆ z± (u1 , u 2 , z ) (las componentes transversales no pueden estar ausentes, ya que sin ellas no hay flujo de potencia promedio transmitido en la dirección de propagación z). Los modos de propagación son: -. Modo TEM: El modo Transversal Electro-Magnético existe cuando Eˆ z± (u1 , u 2 , z ) = 0 y Hˆ z± (u1 , u 2 , z ) = 0 . En el caso general de que la dirección de propagación es un vector arbitrario 1v , se cumple ˆ ± (r ) ⋅ 1v = 0 y H ˆ ± (r ) ⋅ 1v = 0 . E. -. Modo TE (ó modo H): El modo Transversal Eléctrico o modo H existe cuando Eˆ z± (u1 , u 2 , z ) = 0 y Hˆ z± (u1 , u 2 , z ) ≠ 0 . En el caso general se ˆ ± (r ) ⋅ 1v = 0 y H ˆ ± (r ) ⋅ 1v ≠ 0 . cumple E. -. Modo TM (ó modo E): El modo Transversal Magnético o modo E existe cuando Eˆ z± (u1 , u 2 , z ) ≠ 0 y Hˆ z± (u1 , u 2 , z ) = 0 . En el caso general ˆ ± (r ) ⋅ 1v ≠ 0 y H ˆ ± (r ) ⋅ 1v = 0 . se cumple E. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2013 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 26.

(8) EC2322 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 1: FUNDAMENTOS DE LAS ONDAS ARMÓNICAS. -. Modos híbridos E-H ó H-E: Los modos híbridos existen cuando Eˆ z± (u1 , u 2 , z ) ≠ 0 y Hˆ z± (u1 , u 2 , z ) ≠ 0 . Son la superposición de un modo TE con un modo TM. En el caso general se cumple ˆ ± (r ) ⋅ 1v ≠ 0 y H ˆ ± (r ) ⋅ 1v ≠ 0 . E Cada modo de propagación está asociado con un método diferente de. cálculo de los campos, excepto en el caso de los modos híbridos. La factibilidad de existencia de un modo de propagación específico en un medio de. propagación. depende. fundamentalmente. de. las. propiedades. electromagnéticas del medio y de las condiciones de frontera. La tabla 1.3 muestra los modos de propagación que pueden transmitir los medios de transmisión más comunes utilizados en ingeniería.. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2013 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 27.

(9) EC2322 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 1: FUNDAMENTOS DE LAS ONDAS ARMÓNICAS. Tabla 1.3: Modos de propagación que se propagan en diversos medios de transmisión. Medio de transmisión. MODOS TEM. MODOS TE. MODOS TM. MODOS HIBRIDOS. Espacio libre. SI. SI. SI. SI. Medio semi-infinito homogéneo. SI. SI. SI. SI. Línea de transmisión uniforme homogénea. SI. SI. SI. SI. Guía de ondas metálica uniforme. NO. SI. SI. SI. Guía de ondas dieléctrica plana. NO. SI. SI. SI. Guía de ondas dieléctrica cilíndrica (fibra óptica). NO. NO. NO. SI. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2013 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 28.

(10)

Figure

Actualización...

Referencias

Actualización...