MA 2115 Guía Ejercicios Sucesiones y Series 2004 Ene Mar pdf

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(1)UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS APLICADAS MATEMATICAS IV TRIMESTRE Enero- Abril 2004. PRACTICA DE SUCESIONES Y SERIES. 1.- Investigue si las siguientes sucesiones son o no convergente. Si converge, calcule su límite a) a n = n(n + 2) − n. b) co = 2,. cn =. an =. n (−1) n 1+ n. c). an =. 2n − 1 1+ n. d). e). an =. cos(nπ ) n. f) an = e n 2(1− n). n2 + n − 1. h). an =. j). an =. g). an =. i). an =. k.- a n =. n 5 + 5n 3 ln(1 + e n ) n. 2ncn −1 1 + n2. , si n ≥ 1. n−3 3n 1 + 2 + 3 + .... + n n2. cos(1 + n 3 ) cos(2 + n 3 ) cos(3 + n 3 ) cos(n + n 3 ) + + + + ........ n2 + 1 n2 + 2 n2 + 3 n2 + n. 2.- Pruebe, la convergencia de las siguientes sucesiones: a) an =. 3n + 2 − sen n n. b) bn =. 3) Calcule el lim an , n →∞. a) an =. si b) an = ( n + 1 − n ) n + 3. 1 nn. c) a n+1 =. n 2n + 1. 1 1 (a n + ) a 1 = 3 2 an. d) an =. π n2 sen n 2n + 1. 4.- Investigar la convergencia de la sucesión dada por la formula recursiva : a) an = 2 + an −1 ,. a1 = 2 , n ≥ 2 .. b) an +1 =. 2an ,. a1 = 1, n = 1,2,3,.

(2) 1 c) an +1 = 1 + an ; a1 = 1 2 e). d) an +1 =. 1 2 (an − ); a1 = 2 2 an. ⎞ ⎛ 2n 2 − 1 ⎟⎟ si n ≥ 1 Co = 1, C n = ⎜⎜ C n − 1 2 1 3 n + ⎠ ⎝ 5.- Sean. {an }, {bn } , sucesiones, Se supone {an } acotada, ( es decir, existe M>0 lim a n bn = 0.. ∀n, a n < M ) y lim bn = 0. Usar la definición de límite para probar que n →∞. n →∞. 6.- Analizar la convergencia de la sucesión en término general a) an =. c) c n =. 1.3.5.........(2n − 1). an =. b). ( 2n) n. 1.3.5.........(2n − 1) 2.4.6.8.....2n. 3n + 2 − senx , n ≥1 n. = 2 an , si n ≥ 1 . Decidir si {an }, es 7.- Sea an la sucesión definida por a = 3 , a 1 n +1 convergente y si lo es. Hallar su límite. 8.- Demuestre que si. a > 0 , entonces la sucesión. n. a converge y su límite es 1.-. Demuestre que si a > 0 , b > 0 entonces la sucesión max(a,b).. 9.- Investigue si la sucesión calcule su límite:. n. a n + b n , converge y su límite es. a n = n(n + 2) − n , a > 0 es convergente. Si converge,. 10.- Determine si la siguiente proposición es verdadera o falsa. Si es verdadera demuéstrelo si no de un contra ejemplo. a) Si a n y bn son sucesiones convergentes tales que a n > bn , entonces lím a n > lím bn n →∞. n →∞. ⎧ an+1 ⎫ ⎬ converge y su límite a ⎩ n ⎭. b) Sea {a n } una sucesión tal que a n ≠ 0 ∀n . Si la sucesión ⎨. L verifica L<1, entonces la sucesión {a n } converge y su límite es 0.. 11.- Determine si es cierta o falsa la siguiente afirmación: “ Sean {a n } y {bn } sucesiones . Si {bn } y {a n bn } convergen , entonces. {an } converge. EJERCICIOS DE SERIES. 1 Determine si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Si es verdadera, demuéstrelo si no dé un contra ejemplo..

(3) a) Si la serie ∑ a n converge entonces ∑ a n2 converge. ∞. b) La serie ∑ 0. sen(n 2 + n) converge absolutamente. n2 ∞. c) Si la serie de potencias ∑ a n ( x − 2) n converge para x = −0.1, entonces converge para 0. x=4. d) Si la serie ∑ (a n + bn ) converge, entonces ∑ a n y ∑ bn convergen.. e) Si ∑ a n converge y a n ≥ 0 ∀n entonces ∑. an n. converge.. 2.- Determine si la serie infinita converge o diverge. sí es convergente, calcule su suma.. EJERCICIO ∞. 1.-. 3. ∞ ⎛ −1 ⎞. n −1. 1.C,4. ∞. 37. 3. C. ∑. n n =1 (100) ∞. 5.-. EJERCICIO. ∑. n =1 4. 3.-. RESPUESTA. ∑ (−1). n −1. 5. D. 5 5 5 + + ... + .. 1.2 2.3 n(n + 1). 9.-. 4.-. 3n n =1 5 n − 1. ∑. n =1. 6.-. 2. n. 1 1 1 + + ... + .. 4.5 5.6 ( n + 3)( n + 4). 7.-C, 5. 8.- 3 +. 9.- D. 10.-. ∞. ∑. 3n −1. ∞. 37 99. n =1. 7.-. n −1. ⎟ 2.- ∑ ⎜ ⎜ 5⎟ n =1⎝ ⎠. 3 3 + ... + .. 2 n. ∞. ⎛ 1. ∑ ⎜⎜. n =1 ⎝ 8. n. +. 1 ⎞ ⎟ n(n + 1) ⎟⎠. RESPUESTA 2 C,. 5 ( 5 + 1). 4.- D. 6. C.. 1 4. 8.- D. 10.- C,. 8 7. 3.- Determine si la serie converge o diverge EJERCICIO ∞. 1.-. ∑. n =1. 1 n. RESPUESTA. EJERCICIO. RESPUESTA. ∞. 1.D. 2.-. ⎛ 5 5 ⎞ ⎟⎟ − n =1 ⎝ n + 2 (n + 3) ⎠. 3.- D. 4.-. ∑ n sen. e. ∑ ⎜⎜ ∞. n =1. 1 n. 2.- C. 4.- D.

(4) ⎛ ⎛ 3 ⎞n ⎛ 2 ⎞n ⎞ ∑ ⎜⎜ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎟⎟ ⎝3⎠ ⎠ n =1 ⎝ ⎝ 2 ⎠ ∞. 3.-. 4.- Encuentre una formula para S n y demuestre que la serie converge o diverge usando EJERCICIO ∞. 1-. n =1 4 n 2. EJERCICIO ∞. 1. ∑. RESPUESTA. −1. 1 ⎤ 1.- S n = ⎡1 − 1 ( 2n + 1)⎥⎦ 2 ⎢⎣. lim S n. n→∞. 2.-. C, 1/2. ∑ ln. n =1. n n +1. RESPUESTA 2.- S n = − ln(n + 1); D. 5.- Use el criterio de la integral para determinar si la serie converge o diverge EJERCICIO ∞. 1.-. 1. ∑. n =1. (3 + 2n) 2. RESPUESTA. EJERCICIOS. 1. C. 2.-. ∞. 3.-. 1 n =1 4n + 7. 5.-. ln n n =1 n. ∑. ∑ n =1. 1 + n2. 2n + 1. 2 .-C. ∞. 4.-. 1 n =1 n ( 2n − 5). 5.- D. 6.-. ∑ n 2− n. ∑. n =1 ∞. 1 3. n =1. ∞. ∑ ∞. arctgn. 3.- D. ∞. 7.-. ∞. ∑. RESPUESTA. 7.- D. 8.-. ∑. n =1. 2. 1 n3. 4.- C. 6.- C. 8.-D. ln n. 6.- Use el criterio de comparación para determinar si la serie converge o diverge.. EJERCICIO ∞. 1.-. 4. ∞. 1. n =1 n. 3.-. 1. ∑. ∑. + n2 + 1. n n =1 n 3. 5.-. ∞ 2n + n 2 ∑ 3 n =1 n + 1. 7.-. n n =1 n + 4. RESPUESTA. EJERCICIO. 1.C. 2.-. ∑ n 2 n =1 e (n + 1). 3.- C. 4.-. ∑. ∞ 1 + 2n n n =1 1 + 3. 4.- C. 5.- D. 6.-. ∑. ∞ 2 + cos n n2 n =1. 6.-C. 7.- D. 8.-. ∞ ( 2 n + 1)3 3 2 n =1 ( n + 1). 8.-C. ∞. ∞. ∑. ∑. 8n 2 − 7. RESPUESTA. 2.-C.

(5) ∞. 9.-. 11.-. 4n − 5n. ∑n n =1. 9.-C. 3. n =1 ∞. ∞. 1. ∑. 10.-. ∑. n =1. 1. 11.-C. n. ∞. 12.- ∑. n =1. 1 3. 10.-D. 2. 5n + 1. (−1) n +1 n +1 + n. 12.- D. 7.- Encuentre los números reales p para los que la serie converge. EJERCICIO ∞ 1 1.- ∑ p n =2 n ln n. RESPUESTA 1.. EJERCICIO ∞ 1 2.- ∑ n = 2 n (ln n) p. RESPUESTA. 8.- Use el criterio de la razón o de la raíz para determinar si la serie converge o diverge. EJERCICIO ∞ 3n + 1 1.- ∑ n n =1 2 ∞ 5n 3.- ∑ n = 1 n (3 n + 1 ) ∞. 5.-. 100 n ∑ n =1 n!. 7.-. ∑. ∞. n n =1 e ∞. 9.-. n!. ∑. n. 2 n =1 n + 1 ∞ 1 11.- ∑ 2 n =1 n (ln n). RESPUESTA 1.C. 3.- D. EJERCICIO ∞ arctgn 2.- ∑ 2 n =1 n ∞ 2 4.- ∑ n =1 n 3 + e n ∞. ∑. 5.- C. 6.-. 7.- D. 8.-. 9.-C. 10.-. 2.-C. 4.-C. nn. 6.-D. n n =1 10 ∞. (n!) 2 n =1 (2n)! ∞ ln n. ∑. ∑. n =1 ∞. 11.-C. RESPUESTA. 12.-. 8.-C. 10.-C. (1.01) n. ∑ n tg. n =1. 1 n. 12.-D. 9.- Determinar si la serie es absolutamente convergente, condicionalmente convergente o divergente n 4 9 16 25 36 ⎛ π kπ ⎞ + n +1 a) − 1 + + + + + cos⎜ − b) ∑ ( −1) ⎟ ,k ∈ R 5 15 29 47 69 2 n 1 ⎝ ⎠. c).-. ⎛ nπ ⎞ sen⎜ ⎟ ∞ ⎝ 3 ⎠ ∑ n =1 n!. ⎛ n +1 ⎞ e).- ∑ ⎜ ⎟ 1 ⎝n+ 2⎠ ∞. b ⎞⎤ ⎡ ⎛ ∑ ⎢ln⎜ a + ⎟⎥ n =1 ⎣ ⎝ n ⎠⎦ ∞. d).-. n2. 10.- Determine los valores de “ p “ para los cuales la serie converge.. n. ,donde. b ≥ 0, a ≥ 1.

(6) ∞. a) ∑ 3 ∞. c) ∑ 1. ∞. Ln(n) np (−1) np. b) ∑ 3. 1 (nLn(n)) p. ∞. n. d) ∑ ( n p + 1 - n p ) 0. 1+ x +. 11.- Encuentre el conjunto de convergencia de la serie. x 2 x3 x 4 x5 + + + + ..... 2 3 4 5. 12. - Encuentre una fórmula para R6 ( x), el residuo del polinomio de Taylor de orden 6 en a y estime R6 (0,5) , para f(x)=sen(x) y a=1. 13.- Encuentre los términos (hasta el quinto) de la serie de Maclaurin correspondiente a f ( x) = Cosx ln(1 + x) .. 14.- Pruebe que si. ∑a. n. Diverge y. ∑b. n. converge entonces. ∑ (a + b ) Diverge. n. n. 15.- ¿ Converge o diverge la serie ∞. ( ) k + 2kk−+11. ∞. a) ∑ 1 2. b) ∑. k =1 ∞. c). ∑ n =1. n 2 +1 3n. ⎛ 1⎞ e.- ∑ ln⎜1 + ⎟ n =1 ⎝ k⎠ ∞. d). 1. 2 k = 2 k (ln k ) ∞ ⎛ n ⎜ ⎝ 3 n+2 n =1. ∑. ⎞ ⎟ ⎠. n. 2. ∞. 1 converge y estime el error ln(n + 1) N =1 cometido al usar la suma parcial S9 como aproximación de la suma S. 16. - Demuestre que la serie alternante. ∑. (-1) n +1. ∞. 1 n +1 + n n =1 condicionalmente convergente o convergente. 17.-Clasifique la serie. ∑ (-1) n +1. como absolutamente convergente,. 18. Determine el intervalo de convergencia de las siguientes series de potencias:.

(7) ∞. a) ∑. n =1. c) S =. ∞. ∑. n =1 ∞. d.- ∑. n =1. ∞. 1 ( x − 2) n n n3. (-1) n. b). ∑ n =1. 1 n 6n. (2 x − 1) n. n ⎛ 2n + 1 ⎞ x ln⎜ ⎟ ⎝ n ⎠ n. Además, para x = 1 obtener un valor aproximado de la suma con un error de −3 magnitud menor que 10. 1 (2 x + 1) n n n 3 2. 19.- Para las siguientes funciones hallar una representación en series de potencias e indicar su radio de convergencia. a) f ( x) =. x2. b) f ( x) = x3arctn( x). ( x + 1) 2. c) f ( x) = x e x. 2. 20.- Obtener los tres primeros términos de la serie de Mac Laurin correspondiente a las siguientes funciones y dar su radio de convergencia: b) f ( x) = 2 − sen x. a) f ( x) = e − x cos x. c) f ( x) = ln. 1− x 1+ x. d) f ( x) = Cosx ln(1 + x) .. 21.- Sea f ( x) = cos 2 x a) Hallar la serie de Mac Laurin de f(x) y su radio de convergencia. 21 b) Escribir una suma parcial que aproxima a f ( x) = cos con un error de magnitud menor 2 1 que 10− 2 2. ⎛ ⎛ x ⎞3 ⎞ 22.- Sea f ( x ) = ln⎜1 + ⎜ ⎟ ⎟ . ⎜ ⎝2⎠ ⎟ ⎠ ⎝ a) Halle la serie de Maclaurin de f y su radio de convergencia. 4 b) Escriba una suma parcial que aproxime a ln(1 + (0,5) ) con un error de magnitud menor −3. que 10 c) Dar el valor de f. (12 ). ( 0).

(8) 23.- a) Obtener una representación en series de potencia alrededor de x=0 de ⎧ sen x , ⎪ f ( x) = ⎨ x ⎪⎩ 1. si x ≠ o. y su radio de convergencia. si x = 0. 24.- Para la serie de potencias. ∞ ( −1) n x 2 n ⎛ ⎞. ∑ 2n + 1⎜ 2 ⎟ 0. ⎝ ⎠. tales que la serie converge y calcule su suma.. determine el conjunto de puntos de “ x “.

(9)