Curso de topología. Martín Blufstein - Gabriel Minian

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Curso de topolog´ıa

Mart´ın Blufstein - Gabriel Minian

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Prefacio

Estas notas están basadas en el curso de Topolog´ıa dictado por Gabriel Minian en el Departamento de Matemática de la FCEyN- UBA en el segundo cuatrimetre de 2016. La primera parte del curso (cap´ıtulos 1 al 7 de estas notas) está dedicada al estudio de topolog´ıa general. Las referencias utilizadas para esta primera parte son los libros [1, 2, 4, 5, 7].

Varias de las demostraciones que se encuentran aqu´ı son clásicas o estándar y pueden encontrarse en la bibliograf´ıa citada, como as´ı también varios de los ejemplos y contraejemplos que exhibimos en estas notas. Sin embargo, el enfoque que le damos acá a ciertos temas difiere del que se encuentra en la bibliograf´ıa, por ejemplo nuestra exposici ón sobre espacios compactos, funciones propias y compactificaciones, el estudio sobre la ley exponencial, la caracterizaci ón de espacios T0y nuestro abordaje a las topolog´ıas finales e iniciales.

En la segunda parte del curso (que abarca los últimos cap´ıtulos de estas notas) presen- tamos una introducci ón a la topolog´ıa algebraica: estudiamos el grupo y grupoide fundamental de un espacio, la teor´ıa de revestimientos, el teorema de van Kampen y aplicaciones, y terminamos con una introducci ón a la homolog´ıa y sus aplicaciones más inmediatas.

Para esta segunda parte, las referencias utilizadas son los libros [2, 3, 5, 6].

La relaci ón entre revestimientos y el grupo fundamental es abordada aqu´ı utilizando la noci ón de fibraci ón. Esto nos permite clarificar que esa correspondencia se basa principal- mente en las propiedades globales que tienen los revestimientos de levantar homotop´ıas y de levantar caminos en forma única, a pesar de que la noci ón original de revestimiento es de naturaleza local. La relaci ón entre lo local y lo global en este caso se evidencia en el resultado que prueba que todo revestimiento es una fibraci ón con levantamiento único de caminos.

En este curso se incluye tambi´en una introducci ´on al estudio de los CW-complejos.

La decisi ón de incluir este tema en el curso se basa en que estos espacios aparecen en forma natural en matemática. Por otra parte, analizar espacios con estructuras de CW- complejos, nos permite calcular fácilmente e intuitivamente sus grupos fundamentales, utilizando para esto una de las aplicaciones del teorema de van Kampen que probamos también en estas notas.

Al final de cada cap´ıtulo incluimos una lista de ejercicios, muchos de estos fueron reco- pilados de las gu´ıas prácticas utilizadas en el dictado de la materia. Varios de los ejercicios son clásicos y pueden encontrarse también en la literatura citada.

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´Indice general

1. Conjuntos bien ordenados 1

1.1. Conjuntos ordenados y teorema de Zermelo . . . 1

1.2. Ejercicios . . . 5

2. Espacios topol ´ogicos 9 2.1. Conceptos b´asicos . . . 9

2.2. Bases y sub-bases . . . 11

2.3. Topolog´ıa del orden . . . 12

2.4. Redes . . . 13

3. Funciones continuas, topolog´ıas iniciales y finales 21 3.1. Introducci ´on . . . 21

3.2. Topolog´ıas iniciales . . . 22

3.3. Topolog´ıas finales . . . 26

4. Conexi ón y arco conexi ón 37 4.1. Conexi ón . . . 37

4.2. Arco conexi ´on y π0 . . . 38

4.3. Primeros axiomas de separaci ´on . . . 41

5. Funciones propias, compacidad y compactificaciones 47 5.1. Pullbacks, funciones propias y compactos . . . 47

5.2. Axiomas de separaci ´on, segunda parte . . . 54

5.3. Teorema de Tychonoff . . . 59

5.4. Compactificaci ´on de Stone ˇCech . . . 61

5.6. Ejercicio adicional: El teorema de Tietze . . . 66

6. Espacios de funciones 69 6.1. Topolog´ıa de convergencia puntual . . . 69

6.2. Ley exponencial y topolog´ıa compacto-abierta . . . 69

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´Indice general

7. Adjunci ´on y CW-complejos 75

7.1. Espacios de adjunci ´on . . . 75

7.2. CW-complejos . . . 81

8. Conceptos b´asicos de categor´ıas 87 8.1. Categor´ıas . . . 87

8.2. Funtores . . . 88

8.3. Grupoides . . . 90

8.4. Transformaciones naturales . . . 91

9. Grupo fundamental 93 9.1. Homotop´ıas . . . 93

9.2. Grupoide fundamental . . . 96

10. Fibraciones y revestimientos 105 10.1. Fibraciones y levantamiento de caminos . . . 105

10.2. Revestimientos . . . 109

10.3. Ejercicios . . . 116

11. Teorema de van Kampen 119 11.1. Producto libre de grupos, presentaciones y productos amalgamados . . . . 119

11.2. Teorema de van Kampen . . . 121

11.3. Grupo fundamental de grafos . . . 126

11.4. Comportamiento del π₁al adjuntar una 2-celda . . . 127

11.5. Ejercicios . . . 130

12. Clasificaci ´on de revestimientos 133 12.1. Revestimientos y subgrupos conjugados . . . 133

12.2. Transformaciones deck y revestimientos normales . . . 138

12.3. Ejercicios . . . 139

13. Homolog´ıa y aplicaciones 141 13.1. Conceptos generales . . . 141

13.2. Homolog´ıa simplicial . . . 144

13.3. Homolog´ıa singular . . . 147

13.4. Homolog´ıa relativa y teorema de escisi ´on . . . 152

13.5. Ejercicios . . . 156

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Conjuntos bien ordenados

1.1. Conjuntos ordenados y teorema de Zermelo

Vamos a comenzar estas notas con una breve introducci ´on a algunos conceptos de teor´ıa de conjuntos y al estudio de conjuntos ordenados.

Definici ón. (X, ď)es un poset si ď es reflexiva, transitiva y antisimétrica. Un poset es un orden total si todo par de elementos de X es comparable. Dado x P X decimos que es un máximo (m´ınimo) si @y P X, x ě y (x ď y). Además decimos que x es maximal si [@y P X, y ě x]ñ[y=x].

Definici ´on. Un conjunto totalmente ordenado es bien ordenado si todo subconjunto no vac´ıo tiene m´ınimo.

Dado un conjunto totalmente ordenado X y un elemento a P X, denotamos Sa = tx P X | x ă au a la secci´on de a.

Definici ´on. Sean a, b P X con(X, ă)un orden total, a ă b. Si(a, b) = ∅decimos que a es predecesor inmediato de b, y b sucesor inmediato de a.

Observaci ´on. Si(X, ď)es bien ordenado, todo elemento tiene sucesor inmediato.

Definici ´on. Sea(X, ă)un poset (orden total), A Ď X un subconjunto. Definimos el orden heredado en A como a ă_A b ô a ă b si a, b P A. Con esta relaci ´on(A, ă_A)es un poset (orden total).

Definici ón. Sean(X, ă),(Y, ă¹) órdenes totales. Definimos en X ˆ Y el orden lexicográfi- co dado por(x, y)ă(x¹, y¹)si x ă x¹o x=x¹e y ă¹ y¹.

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1.1. Conjuntos ordenados y teorema de Zermelo

Ejemplos.

1) Dado A un conjunto,(P (A), Ď)resulta un poset.

2) (Rě0, ď)es un orden total.

3) (_{N, ď})es un buen orden.

4) (_{Z, R})con R=t(0, x)|x PZu Y t(x, y)|x ă 0 ă yu Y t(x, y)|xy ą 0 ^ |x| ă |y|u es un buen orden.

5) N0ˆ[0, 1)con el orden lexicogr´afico es un orden total, pero no un buen orden. Podemos compararlo con el caso 2) mediante la siguiente funci ´on:

N0ˆ[0, 1)ÑRě0

(n, x)ÞÑn+x

6) [0, 1)ˆN0con el orden lexicogr´afico es un orden total, pero no es un buen orden. Sin embargo, a diferencia del caso 5), lo elementos tienen sucesor inmediato.

7) Nos preguntamos si es posible que exista un conjunto totalmente ordenado(X, ă)tal que todo x P X tenga sucesor inmediato y tal que exista un x0P X que no sea m´ınimo y que no tenga predecesor inmediato. Un ejemplo posible es X =t1, 2, 3, ..., w+1, w+ 2, w+3, ...u.

Definici ón. Sean (X, ă),(Y, ă) órdenes totales. Un morfismo de orden es una funci ón f : X Ñ Y tal que si x ă x¹, entonces f(x) ă f(x¹). Cuando f es una biyecci ón, decimos que es un isomorfismo de orden. En caso de que exista dicha f , decimos que X e Y tienen el mismo tipo de orden.

Observamos que si f es un isomorfismo de orden, entonces tambi´en lo es f^´1. Pasamos ahora al estudio de conjuntos bien ordenados, definidos al comienzo.

Proposici ´on. Sean(X, ă)bien ordenado y f : X Ñ X un morfismo de orden ñ Ea P X tal que f(a)ăa.

Demostraci ´on. Supongamos que existe dicho a. Consideramos A = tx P X | f(x)ăxu.

Como a P A, A ‰∅. Entonces Da0PA primer elemento. Como a0PA, f(a0)ăa0. Entonces f(f(a0))ă f(a0). Luego f(a0)PA, absurdo.

Corolario. Sea(X, ă)bien ordenado. y f : X Ñ X un isomorfismo de orden ñ f =idX. De esto se deduce que si(X, ă),(Y, ă)son bien ordenados y tienen el mismo tipo de orden ñ D! f : X Ñ Y isomorfismo de orden.

Principio de inducci ´on transfinita. Sea J bien ordenado,∅ ^‰ A Ď J. Si A verifica [a P J ^ SaĎ A]ñ[a P A], entonces A = J (cuando se cumple esta condici ´on, decimos que A es inductivo).

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Mart´ın Blufstein - Gabriel Minian

Demostraci ´on. supongamos A ‰ J, de manera que JzA ‰ ∅. Sea a0 = minJzA. Por definici ´on de a0, Sa₀ ĎA. Como A es inductivo, entonces a0PA, absurdo.

Teorema. Dado un conjunto A, son equivalentes:

(1) D f :N Ñ A inyectiva.

(2) DB Ĺ A y φ : A Ñ B biyectiva.

(3) A es infinito.

Demostraci ´on.

(₁)ñ(₂) _{Sea a}_n = f(n)y sea φ : A Ñ A definida por φ(an) = a_2n o φ(x) = x si x R f(_N)_. Está bien definida pues f es inyectiva. Es claro que φ es inyectiva. Sea B = φ(A), consideramos φ|^B : A Ñ B que es biyectiva. Además B Ĺ A ya que a_2n+1 R B para ning ún n PN.

(2)ñ(3) Es evidente, pues[[n]]no est´a en biyecci ´on con[[m]]si n ‰ m.

(₃)ñ(₁) Debemos hallar f : N Ñ A inyectiva. Definiremos f inductivamente. Como A es infinito, en particular es no vac´ıo. Entonces existe a₁PA. Definimos f(1) =a₁. Aho- ra supongamos definidos f(1), ..., f(n). Como Azt f(1), ..., f(n)uno es vac´ıo, existe a_n+1PAzt f(1), ..., f(n)uy definimos f(n+1) =a_n+1.

En realidad, al probar (3) ñ (1) usamos impl´ıcitamente el axioma de elecci ´on, que enunciamos a continuaci ´on.

Axioma de elecci ´on. SeaAuna familia de conjuntos no vac´ıos disjuntos dos a dos. En- tonces existe C ĎŤ

APAA que tiene exactamente un elemento de cada conjunto deA. Otra forma de equivalente de enunciar el Axioma de elecci ´on es la siguiente: Dado un conjunto no vac´ıo A, existe una funci ´on selectora c : P (A)´ t∅^{u Ñ} A tal que c(B) P B

@B Ď A no vac´ıo.

Ahora reescribimos la implicaci ´on (3) ñ (1) del teorema anterior usando expl´ıcita- mente el axioma de elecci ´on. Como A ‰ ∅ ^{Dc :} P (A)´ t∅^{u Ñ} A tal que c(B) P B

@B Ď A. Definimos f(1) = c(A). Una vez definidos f(1), ..., f(n), tomamos f(n+1) = c(Azt f(1), ..., f(n)u.

A continuaci ´on vamos a dar varias formulaciones equivalentes al axioma de elecci ´on.

Probaremos algunas de ellas, dejando como ejercicio al resto (ver tambi´en la lista de ejercicios al final del cap´ıtulo).

Principio de definici ón recursiva. Sean J bien ordenado y C un conjunto. Llamamos F =th : S Ñ C | S Ď J secci ónu. Entonces, dada cualquier funci ón ρ : F Ñ C D! ˜h : J Ñ C tal que ˜h(α) =ρ(˜h|_S_α)@α P J. Es decir que ˜h se define recursivamente mediante ρ (en este caso, decimo suqe ˜h es compatible con ρ).

Uno de los enunciados equivalentes m´as utilizados es el siguiente.

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1.1. Conjuntos ordenados y teorema de Zermelo

Teorema del buen orden (Zermelo). Todo conjunto admite un buen orden.

Principio del m´aximo. Sea(A, ď)poset. Entonces existe C Ď A cadena maximal.

Demostraci ón. Vamos a construir la funci ón caracter´ıstica χ : A Ñ t0, 1u correspondien- te a C. Indexamos a A con un conjunto bien ordenado J. SeaF = th : S Ñ t0, 1u | S Ď J secci ónu. Consideramos ρ : F Ñ t0, 1u dada por: ρ(h : S_β Ñ t0, 1u) =1 si y s ólo si todo α P S_βtal que h(α) =1 es comparable con β. Por el principio de definici ón recursiva, existe un único χ : A Ñ t0, 1u compatible con ρ, y por construcci ón es claro que χ^´1(1)es una cadena maximal.

Otra de las formulaciones equivalentes que se utiliza a menudo en demostraciones es el lema de Zorn.

Lema de Zorn. Sea X ‰ ∅un poset. Si toda cadena C Ď X tiene cota superior (en X), entonces X tiene elementos maximales.

Veamos ahora la equivalencia entre los dos ´ultimos enunciados.

Teorema. Principio del m´aximo ô lema de Zorn.

Demostraci ´on. ñ) Sea (X, ď) poset en el que toda cadena tiene cota superior. Por el principio del m´aximo DC Ď X cadena maximal. Sea x₀una cota superior de C. Supongamos que y P X verifica y ě x0. Luego C Y tyu es una cadena. Por maximalidad de C, y P C, y en particular y ď x0. Luego y=x0, lo que muestra que x0PX es maximal.

ð)Sea(X, ď)un poset. Consideramos F = tC Ď X | C cadenau. Es claro que F ‰ ∅^. SeaC una cadena de F. Consideramos D=^Ť_CPCC, que es una cadena de X y resulta ser cota superior deCen F. Luego por Zorn F tiene elementos maximales.

Para terminar este cap´ıtulo, veremos un resultado que va a ser muy ´util a la hora de construir ejemplos y contraejemplos m´as adelante.

Teorema. Existe un conjunto S_Ωque cumple:

(1) S_Ωes no numerable.

(2) S_Ωest´a bien ordenado.

(3) @x P S_Ω, Sx =ty P S_Ω|y ă xu es numerable.

Demostraci ´on. Sea X un conjunto no numerable, por Zermelo D ă orden de X tal que (X, ă)es un buen orden. Si(X, ă)cumple(3)ya estamos. Si no, entonces Dx0PX tal que Sx₀ no es numerable. Sea A = tx P X | Sxno numerableu. Como x0 P A y X est´a bien ordenado, DΩ P A primer elemento. Consideramos S_Ω = tx P X | x ă Ωu con el orden heredado de X. Entonces:

(1) S_Ωno numerable porqueΩ P A.

(2) S_Ωest´a bien ordenado porque tiene el orden heredado de X y X est´a bien ordenado.

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(3) Si x P S_Ωñx ăΩ en X ñ x R A ñ S^X_x =S^S_x^Ω es numerable.

Proposici ´on. Si A Ď S_Ωes numerable ñ A tiene cota superior.

Demostraci ´on. Sea B = ^Ť_aPASa. Por hip ´otesis B es numerable ñ B Ĺ S_Ω. Sea b P B^c, veamos que b es cota superior. Supongamos que no ñ Da P A tal que b ă a. Entonces b P SaĎB, absurdo.

1.2. Ejercicios

1. Principio general de definici ´on recursiva

Sean J un conjunto bien ordenado y C un conjunto. SeaF el conjunto de todas las funciones h : S Ñ C cuyo dominio S es una secci ´on¹de J.

Dada una funci ón ρ : F Ñ C, existe una única funci ón h : J Ñ C que es compatible con ρ, es decir,

h(α) =ρ(h|_S_α)para todo α P J Para verlo:

a) Pruebe que si S es una secci ´on de J y h1, h2: S Ñ C son funciones compatibles con ρ, entonces h1=h2.

b) Pruebe que si β P J y si h : S_βÑC una funci ´on compatible con ρ, entonces existe una funci ´on ¯h : S_βY tβu Ñ Cque es compatible con ρ.

c) Pruebe que si K Ă J y si para todo α P K existe una funci ´on hα : Sα Ñ C compatible con ρ, entonces existe una funci ´on

k : ď

αPK

S_αÑC

que es compatible con ρ.

d) Pruebe que para todo β P J existe una funci ´on h_β : S_β ÑC que es compatible con ρ.

Sugerencia: Estudie por separado el caso en que β tiene un predecesor inmediato y el caso en que no.

e) Pruebe el principio general de definici ´on recursiva.

2. a) Sean J y E dos conjuntos bien ordenados y sea h : J Ñ E una funci ´on. Pruebe que las siguientes afirmaciones son equivalentes:

I. h preserva el orden (es decir, α ă β ñ h(α) ă h(β)) y su imagen es una secci ´on de E.

II. h(α) =m´ıntEzh(Sα)upara todo α P J.

III. Para todo α P J es h(S_α) =S_h(α).

1Decimos que un subconjunto Ď J es una sección de J si @ α P S, @ β P J, β ď α ñ β P S. En particular, si β P J, el conjunto Sβ=tα P J : α ă βu es una secci ón de J. Notemos que si S es una secci ón de J y β P S, entonces SβĎS.

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1.2. Ejercicios

b) Pruebe que si E es un conjunto bien ordenado, entonces el tipo de orden de una secci ´on propia de E es distinto del tipo de orden de E, y que dos secciones distintas de E tienen tipos de orden distintos.

Sugerencia: Dado J, existe a lo sumo una aplicaci´on que preserva el orden de J en E cuya imagen es una secci´on de E.

3. Sean J y E dos conjuntos bien ordenados y sea k : J Ñ E una funci ´on que preserva el orden. Pruebe que el tipo de orden de J es el de una secci ´on de E.

Sugerencia: Defina inductivamente h : J Ñ E mediante la recursi´on h(α) =m´ıntEzh(Sα)u, usando la existencia de k para ver la buena definici´on de h.

4. a) Pruebe que si A y B son dos conjuntos bien ordenados, entonces se satisface exactamente una de las siguientes tres condiciones:

A y B tienen el mismo tipo de orden;

A tiene el tipo de orden de una secci ´on propia de B;

B tiene el tipo de orden de una secci ´on propia de A.

Sugerencia: Construya un conjunto bien ordenado que contenga a A y a B y use el ejercicio anterior.

b) Usando el teorema del buen orden pruebe que dados dos conjuntos, uno tiene cardinal mayor o igual que el otro.

5. Sean X un conjunto y seaAla familia de todos los pares(A, ď)con A un subconjunto de X y ă un buen orden en A. Definimos una relaci ´on ĺ enAde manera que(A, ď )ĺ(A¹, ď¹)sii(A, ď)es una secci ´on de(A¹, ď¹).

a) Demuestre que la relaci ´on ĺ es un orden parcial sobreA. b) SeaBuna subfamilia deAtotalmente ordenada por ĺ. Sea

B¹ = ^ď

(B,ď)PB

B

y sea ď¹ la uni ´on de las relaciones ď que aparecen como segunda componente de los elementos deB. Muestre que(B¹, ď¹)es un conjunto bien ordenado.

6. Muestre que el Lema de Zorn es equivalente al teorema del buen orden.

Sugerencia: Use el ejercicio 5 para una implicaci´on y el principio general de definici´on recursiva (ej. 1) para la otra.

7. El objetivo de este ejercicio es demostrar, usando los resultados de los ejercicios 1–5, que el axioma de elecci ´on es equivalente al teorema del buen orden.

Sean X un conjunto yP¹(X)el conjunto de las partes no vac´ıas de X. Sea c :P¹(X)Ñ X una funci ´on de elecci ´on fijada, de manera que para cada T P P¹(X)es c(T) P T.

Si T es un subconjunto de X y ď es una relaci ´on sobre T, decimos que(T, ď)es una torre en X si ď es un buen orden de T y si para cada x P T se tiene que

x=c(XzSx(T, ď)) con Sx(T, ď)la secci ´on de(T, ď)por x.

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a) Pruebe que si (T1, ď1) y (T2, ď2) son dos torres en X, entonces uno de estos conjuntos es una secci ´on del otro.

Sugerencia: Suponiendo que h : T1ÑT2preserva el orden y que h(T1)es igual a una secci´on de T2, pruebe que h(x) =x para todo x P T1.

b) Pruebe que si(T, ď)es una torre en X y T ‰ X, entonces existe una torre en X de la cual(T, ď)es una secci ´on propia.

c) Sea t(T_k, ď_k): k P Ku la familia de todas las torres de X y sean T= ^ď

kPK

T_k y ď= ^ď

kPK

ď_k.

Muestre que(T, ď)es una torre en X. Concluya que es T = X y que en conse- cuencia el axioma de elecci ´on implica el teorema del buen orden.

d) Pruebe que el teorema del buen orden implica el axioma de elecci ´on.

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1.2. Ejercicios

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Espacios topol ´ogicos

2.1. Conceptos b´asicos

Definici ´on. Sea X un conjunto. Una topolog´ıa τ para X es una familia de subconjuntos de X que cumple:

1. ∅, X P τ.

2. Si tU_iu_iPJes una familia de elementos de τ, entoncesŤ

iPJU_iP τ.

3. Si U₁, ..., UnP τ, entoncesŞ_n

i=1U_i P τ.

En este contexto, a los U P τ se los llama abiertos. Un espacio topol ´ogico es un par(X, τ).

Ejemplos.

1. X conjunto, τ=t∅, Xu (topolog´ıa indiscreta).

2. X conjunto, τ= P (X)(topolog´ıa discreta).

3. (X, d)espacio m´etrico, τ=tU Ď X | @x P UDB_e ĎUu (topolog´ıa m´etrica).

4. Para X = ∅se tiene una ´unica τ.

5. X=t˚u(singleton).

6. Sea X = t0, 1u con τ = t∅, X, t0uu. Este es el espacio de Sierpinski, que cobrar´a relevancia cuando estudiemos los espacios T0. Notemos que la sucesi ´on constante 0 tiende tanto a 0 como a 1.

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2.1. Conceptos b´asicos

7. Vamos a definir la topolog´ıa cofinita o de complemento finito. Dados un conjunto A y un subconjunto B Ď A, notamos por B^ca su complemento. Sea X un conjunto, y sea τ = tU Ď X | U = ∅o U^ces finitou. Se chequea f´acilmente que τ es una topolog´ıa para X.

Cuando tengamos un conjunto X, vamos a notar por τ(X) al conjunto de todas las topolog´ıas en X. Notamos que τ(X)resulta un poset con el orden dado por la inclusi ´on. Si tenemos τ ď τ¹, decimos que τ¹es m´as fina que τ.

Definici ´on. Sea(X, τ)un espacio topol ´ogico. Un subconjunto A Ď X se dice cerrado si A^ces abierto.

Observaci ´on. Sea X un espacio topol ´ogico y F la familia de todos los cerrados de X. F cumple:

1. ∅^{, X P F.}

2. Si tAiu_iPJ, es una familia de elementos de F, entoncesŞ

iPJAi PF.

3. Si A₁, ..., AnPF, entoncesŤn i=1PF.

Observaci ´on. La topolog´ıa τ queda determinada por una familia F que cumpla lo ante- rior.

Definici ´on. Sea X un espacio topol ´ogico, A Ď X, A^˝=^Ť_UPτ

UĎAU es el interior de A.

Observaciones.

1. A^˝P τ.

2. A^˝ĎA.

3. A^˝=A ô A P τ.

Definici ´on. Sea X un espacio topol ´ogico y A Ď X. Se define la clausura de A como ¯A= Ş

F^cPτ AĎF

F.

Observaciones.

1. ¯A es cerrado.

2. A Ď ¯A.

3. A=A ô A es cerrado.^¯

Observaci ´on. Sea X un espacio topol ´ogico. Si A Ď F Ď X con F cerrado en X, entonces A Ď F.¯

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Definici ´on. Sea X un espacio topol ´ogico, x0PX. Un entorno de x0en X es un subconjun- to V Ď X tal que DU abierto con x0 PU Ď V Ď X. Un entorno abierto de x0es un abierto de X que contiene a x0.

Proposici ´on. Sea X un espacio topol ´ogico, A Ď X, x P X. Son equivalentes:

(1) x P ¯A.

(2) Todo entorno de x interseca a A.

(3) Todo entorno abierto de x interseca a A.

(1)ñ(3) Sea U abierto tal que x P U, debemos ver que U X A ‰∅. Supongamos que U X A=

∅^ñ^{A Ď U}^c^{ñ ¯}^{A Ď U}^c^ñ^{x P ¯}^{A Ď U}^c^{, absurdo.}

(3)ñ(1) Sea F un cerrado que contiene a A, veamos que x P F. Supongamos que no, entonces x P F^cñF^cXA ‰∅^{, absurdo.}

(2)ñ(3) Un entorno abierto en particular es un entorno.

(₃)ñ(₂) Todo entorno contiene un entorno abierto.

2.2. Bases y sub-bases

Definici ´on. Sea X un conjunto, una base para una topolog´ıa en X es una sub-familia β ĎP (X)que cumple:

1. X=^Ť_BPβB.

2. Si B1, B2P β, x P B1XB2ñ DB3P βtal que x P B3ĎB1XB2. Los B P β se llaman abiertos b´asicos.

Definici ´on. Dada β una base para una topolog´ıa en X, la topolog´ıa generada por β es τ_β = tU Ď X | @x P U, DBx P βtal que x P Bx Ď Uu. Es f´acil verificar que τ_β resulta una topolog´ıa.

Con la siguiente proposici ´on vamos a tener una forma alternativa de interpretar una base.

Proposici ´on. Sea X un conjunto, β una base para una topolog´ıa en X y τ_β la topolog´ıa generada por β. Entonces τ_βconsiste en todas las uniones arbitrarias de elementos de β.

Demostraci ´on. Sea τ¹ la familia de todas la uniones arbitrarias de elementos de β. Que- remos ver que τ¹=τ_β.

Veamos Ď). Sea U P τ_βñ @x P UDBxP βtal que x P BxĎU ñ U=^Ť_xPUBx.

Ahora Ě). Sea U P τ¹ñU=^Ť_iPIBi, BiP β, β Ď τ_βy τ_βes topolog´ıa. Entonces U P τ_β.

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2.3. Topolog´ıa del orden

Observaci ´on. τ_βes la topolog´ıa menos fina que contiene a β.

Proposici ´on. Sea X un conjunto, β y β¹dos bases para la topolog´ıa en X, y sean τ y τ¹las topolog´ıas generadas. Son equivalentes:

1. τ ď τ¹.

2. @B P β, x P B, DB¹P β¹tal que x P B¹ĎB.

Demostraci ón. La primera implicaci ón es obvia. Veamos que 2) ñ 1). Por 2), notamos que dado B P β, B= ^Ť_B1ĎBB¹ con B¹ P β¹. Ahora por la proposici ón anterior es claro que τ ď τ¹.

Ejemplo. La topolog´ıa usual deR tiene como base a β=t(a, b)|a ă bu. Si consideramos β¹ =t[a, b)|a ă bu, resulta τ_βď τ_β¹

Observaci ón. Dado un conjunto X, consideramos el poset τ(X). Dadas τ, τ¹ P τ(X), no- tamos que τ X τ¹ es el ´ınfimo de τ y τ¹. Sin embargo, τ Y τ¹ no es necesariamente una topolog´ıa. Más a ún, puede no ser una base, pero s´ı va a ser una sub-base.

Definici ´on. β ĎP (X)es una sub-base para una topolog´ıa si X=^Ť_BPβB.

Dada una sub-base β podemos tomar la base inducida por β, ˜β = tU1X... X Un |n P N, UiP βu. Resulta que ˜β es una base y definimos τ_β=τ_˜β. Notamos que τ_βconsiste de las uniones arbitrarias de intersecciones finitas de elementos de β.

Ahora s´ı podemos definir el supremo entre dos topolog´ıas τ₁y τ₂por τ_τ₁Yτ₂.

2.3. Topolog´ıa del orden

Sea(X, ă)un conjunto totalmente ordenado (#X ě 2). La topolog´ıa del orden en X es la que tiene como base a:

β=t(a, b)|a ă bu en caso de que X no tenga m´ınimo ni m´aximo.

β=t(a, b)|a ă bu Y t[a₀, b)|a₀ăbu si tiene m´ınimo a₀. β=t(a, b)|a ă bu Y t(b, a₁]|b ă a₁usi tiene m´aximo a₁.

β=t(a, b)|a ă bu Y t[a₀, b)|a₀ăbu Y t(b, a₁]|b ă a₁usi tiene m´ınimo a₀y m´aximo a₁.

Es sencillo ver que esta es una base para una topolog´ıa.

Ejemplos.

1. EnR la topolog´ıa del orden coincide con la m´etrica.

2. Tanto enN como en Z la topolog´ıa del orden es la discreta.

3. Si X es finito, la topolog´ıa del orden es la discreta.

4. Si consideramos(R², ă)con el orden lexicográfico, la topolog´ıa del orden resulta más fina que la métrica.

(17)

2.4. Redes

Definici ón. Sea X un espacio topol ógico, A Ď X, x P X se dice punto de acumulaci ón de A si @V entorno de x, V X(Aztxu)‰∅. Notamos al conjunto de puntos de acumulaci ón de A como A¹.

Observaci ón. Un punto de acumulaci ón x puede o no estar en A. Más a ún, x es punto de acumulaci ón de A si y s ólo si x P Aztxu. Se deduce que ¯A=A Y A¹.

Definici ón. Sea X un espacio topol ógico y sea(xn)_nPNuna sucesi ón en X. Decimos que xn ÝÑ

nÑ8x P X si @V entorno de x, Dn0PN tal que @n ě n0, xn PV.

Notamos que si una sucesi ón convergente está contenida en un cierto subconjunto A, entonces su l´ımite pertenece a ¯A. Además, si X es métrico y x P ¯A, entonces D(xn)_nPN_{, x}_n P A tal que xn ÝÑ

nÑ8x.

Veamos que en espacios topol ´ogicos en general, las sucesiones no alcanzan para definir A. Es decir x P ¯¯ A œ D(xn)_n, xn PA tal que xn Ñx.

Ejemplo. Vamos a trabajar con el conjunto S_Ω antes definido. Notamos que si α P S_Ω ñ Dβ P S_Ωtal que α ă β. Sea X=S_ΩYΩ con el orden usual y α ă Ω @α P S_Ω. Le damos a X la topolog´ıa del orden.

Sea A = S_Ω Ď X. Afirmamos que Ω P ¯A. Sea V un entorno de Ω, entonces existe B = (α,Ω] en la base tal que Ω P B Ď V. Observamos que(α,Ω]XS_Ω ‰ ∅ porque

@α Dγ P S_Ωñ γ P(α,Ω].

Veamos ahora que E(xn)_nPNsucesi ´on en S_Ωque converge aΩ. Supongamos que s´ı existe tal(xn)_nPN. Como txnu_nPN es numerable est´a acotado superiormente. Entonces existe β P S_Ωtal que xn ď β @n PN. Luego(_β,_Ω]es un abierto de la base que contiene aΩ y no interseca a txnu_nPN.

Definici ´on. Un conjunto dirigido(_{Λ, ď})es un poset con la siguiente propiedad: @α, β P Λ Dγ P Λ tal que α, β ď γ.

Ejemplo. Cualquier conjunto totalmente ordenado es dirigido. En particularN es dirigido.

Definici ón. Sea X un espacio topol ógico. Una red es una funci ón φ : Λ Ñ X con(Λ, ď) un conjunto dirigido.

Por el ejemplo mencionado antes, las sucesiones son un caso particular de redes. Vamos a notar a las redes por(x_α)_αPΛ_{con x}_α=φ(α)_.

Definici ´on. Sea (x_α)_αPΛun red en X. Decimos que x_α Ñ x (x P X)si @V entorno de x, Dα PΛ tal que @β ě α, xβ PV.

Observamos que esta nueva definici ´on generaliza el concepto de sucesiones. Veremos que con ella podemos definir ¯A como sol´ıamos hacerlo en espacios m´etricos.

Proposici ´on. Sea X un espacio topol ´ogico, A Ď X, x P X. Entonces x P ¯A ô D(xα)_αPΛ red, xαPA tal que xαÑx.

(18)

2.5. Ejercicios

ð) Sea V un entorno de x, D(xα)_αPΛcon xα Ñx. Luego Dα P Λ tal que x_β PV @β ě α.

Entonces V X A ‰∅.

ñ) Sea x P ¯A, tenemos que construir una red(xα)_αPΛtal que xα Ñ x. SeaΛ el conjunto de entornos de x con el siguiente orden: B1 ď B2 si B2 Ď B1. Dados B1, B2 P Λ, tomamos B3 = B₁XB₂obteniendo B3 ě B₁, B2. Por lo tanto,Λ resulta un conjunto dirigido. Como x P ¯A, @B PΛ elegimos xBP B X A y as´ı construimos(x_B)_BPΛ. Para ver que que x_BÑx, dado ˜B entorno de x, tomamos ˜B PΛ. Si B ě ˜B ñ B Ď ˜B. Luego x_BPB Ď ˜B.

Al igual que con las subsucesiones queremos introducir el concepto de subred. Para eso necesitamos de las funciones cofinales.

Definiciones.

1. Sea(_{Λ, ď})un poset yΛ¹ ĎΛ sub-poset. Se dice que Λ¹ es cofinal (enΛ) si @α P Λ, Dα¹ PΛ¹tal que α ď α¹.

2. Sean(_{Λ, ď})y(_{Γ, ď})dos conjuntos dirigidos. Una funci ´on f : Γ Ñ Λ se dice cofinal si:

(I) f :Γ Ñ Λ es morfismo de poset.

(II) f(Γ)ĎΛ es cofinal.

Si bien el concepto de red generaliza el de sucesi ón, las subredes de una sucesi ón no necesariamente son subsucesiones. Más adelante vamos a ver un ejemplo de esto (a ún nos faltan herramientas para probarlo).

Definici ón. Sea X un espacio topol ógico, φ : Λ Ñ X una red. Dada f : Γ Ñ Λ cofinal, la composici ón φ ˝ f : Γ Ñ X se llama subred. Se denota (x_α_γ)_γPΓ_{, donde α}_γ = f(γ)_, x_α_γ =φ(f(γ))_.

Observaciones.

1. Una subred es una red.

2. Si(x_α)_αPΛes una red en X y x_αÑx ñ @ subred(x_α_γ)_γPΓ, x_α_γ Ñx.

3. Puede pasar que x_αÑx, x_αÑy con x ‰ y.

2.5. Ejercicios

1. Sea(X, τ)un espacio topol ´ogico y sea Y Ď X. Muestre que τ_Y=tU X Y : U P τu

es una topolog´ıa sobre Y. Llamamos a τYla topolog´ıa inducida por τ sobre Y o la topolog´ıa subespacio.

(19)

2. Sean X un conjunto infinito, x0 P X y τ Ď P (X)el conjunto de las partes de X que tienen complemento finito o que no contienen a x0. Muestre que τ es una topolog´ıa y describa sus cerrados.

3. SeaF el conjunto de todos los cerrados acotados deR en su topolog´ıa usual, junto conR. Pruebe que existe una topolog´ıa en R para la cualF es el conjunto de todos los cerrados.

4. Decimos que un subconjunto U de R²es radialmente abierto si su intersecci ón con toda recta que pasa por uno de sus puntos es un abierto de ésta. Muestre que el conjunto de todos los conjuntos radialmente abiertos deR² es una topolog´ıa sobre R²y compárela con la topolog´ıa usual.

Construcci ´on de topolog´ıas

5. Sea X un conjunto. Un sistema de filtros de entornosF en X es una regla que a cada elemento x P X asigna una familiaFxPP (X)de manera que

a) si x P X,F_x‰∅^;

b) si x P X y A PF_x, entonces x P A;

c) si x P X, A PF_xy B PP (X)son tales que A Ď B, entonces B PF_x; d) si x P X y A, B PF_x, entonces A X B PF_x;

e) si x P X y A P Fx, entonces existe B P Fxtal que B Ď A y B P Fy para todo y P B.

Pruebe que:

a) Si(X, τ)es un espacio topol ´ogico y para cada x P X definimos Fx=tA PP (X): existe U P τ tal que x P U Ď Au, entoncesF es un sistema de filtros de entornos en X.

b) SiF es un sistema de filtros de entornos en X y definimos τ=tA PP (X): para todo x P A es A PF_xu Y t∅u, entonces τ es una topolog´ıa sobre X.

c) Las construcciones de los items a) y b) son inversas.

6. Sea X un conjunto. Una funci ´on c :P (X)ÑP (X)es un operador de clausura en X si a) c(∅) = ∅;

b) si A PP (X), entonces A Ď c(A)_; c) si A PP (X), entonces c(c(A)) =c(A);

d) si A, B PP (X), entonces c(A Y B) =c(A)Yc(B); Pruebe que

(20)

2.5. Ejercicios

a) Si(X, τ)es un espacio topol ´ogico, entonces la funci ´on c : A PP (X)ÞÑA PP (X) es un operador de clausura en X.

b) Si c :P (X)ÑP (X)es un operador de clausura en X, entonces el conjunto τ=tU PP (X)_{: c}(XzU) =XzUu

es una topolog´ıa sobre X.

c) Las construcciones de los items a) y b) son inversas.

7. Sea X un conjunto y sea B Ď X. Pruebe que la funci ´on

c : A PP (X)ÞÑ

#A Y B PP (X) si A ‰∅

∅^PP (X) si A= ∅

es un operador de clausura en X. Describa los abiertos de la topolog´ıa correspondien- te.

Clausura, interior, frontera

8. Sea X un espacio topol ´ogico y sean A, B Ď X. Pruebe las siguientes inclusiones y decida cu´ales pueden ser estrictas:

a) A X B Ď A X B;

b) A X B Ď A X B cuando A es abierto;

c) AzB Ď AzB;

d) Ť

αA_αĎŤ

αA_α; e) Ť

APAA^˝Ď(^Ť_APAA)^˝y f ) (^Ş_APAA)^˝ ĎŞ

APAA^˝.

9. Sea X un espacio topol ´ogico y sea A Ď X. Pruebe que:

a) BA=A X XzA=AzA^˝; b) XzBA=A^˝Y(XzA)^˝; c) A=A Y B A;

d) A^˝ =AzBA;

e) A es abierto sii A X BA= ∅y f ) A es cerrado sii BA Ď A.

10. Topolog´ıa del complemento finito. Sea X un conjunto y sea τ=tU PP (X): XzU es finitou Y t∅u. Pruebe que τ es una topolog´ıa sobre X. Describa el interior, la clausura y la frontera de los subconjuntos de X con respecto a esta topolog´ıa.

11. Sean X un conjunto no vac´ıo y x₀PX. Pruebe que:

a) tU PP (X): x0PUu Y t∅^ues una topolog´ıa sobre X.

(21)

b) tU PP (X): x0RUu Y tXu es una topolog´ıa sobre X.

Describa el interior, la clausura y la frontera de los subconjuntos de X con respecto a cada una de estas topolog´ıas.

12. Topolog´ıa del orden. Considere el conjunto X= [0, 1]ˆ[0, 1]con la topolog´ıa del orden lexicogr´afico y determine la clausura y el interior de los siguientes subconjuntos de X.

a) t(1/n, 0): n PNu, b) t(1 ´ 1/n, 1/2): n PNu, c) t(x, 0): 0 ă x ă 1u, d) t(x, 1/2): 0 ă x ă 1u,

e) t(1/2, y): 0 ă y ă 1u.

13. Pruebe que todo cerrado deR²es la frontera de un subconjunto deR². Bases y sub-bases

14. Sea tταu_αPΛuna colecci ´on de topolog´ıas en X. Pruebe queŞ

αPΛτ_αes una topolog´ıa en X. ¿EsŤ

αPΛτ_αuna topolog´ıa en X?

15. Sea X un conjunto yAĎP (X). Pruebe que existe una topolog´ıa σ(A)sobre X que cumple que

todo elemento deAes abierto para σ(A), y

si τ es una topolog´ıa sobre X tal que todo elemento de A es abierto para τ, entonces σ(A)Ď τ.

En otras palabras, σ(A)es la topolog´ıa menos fina que contiene aA(la m´ınima en el orden dado por la inclusi ´on). La topolog´ıa σ(A)es la topolog´ıa generada porA. Describa la topolog´ıa generada por A = ttau, tb, cu, tduu sobre el conjunto X = ta, b, c, du.

16. Sea(X, ă)un conjunto ordenado. ConsideremosS = tSx : x P Xu yR = tRx : x P Xu, donde Rx=ty P Y : x ă yu. Pruebe queSYRes una sub-base para la topolog´ıa del orden.

17. Considere las siguientes colecciones de subconjuntos deR:

B₁=t(a, b): a, b PR, a ă bu, B₂=t[a, b)_{: a, b P}_{R, a ă bu,} B₃=t(a, b]_{: a, b P}_{R, a ă bu,}

B₄= B₁Y tBzK : B PB₁u, donde K=^!¹_n : n PN) B₅=t(a,+8): a PRu,

B₆=t(´8, a): a PRu,

B₇=tB PP (R):RzB es finitou.

a) Muestre que cada uno de B₁, . . . , B₇ es una base para una topolog´ıa enR y compare las topolog´ıas correspondientes.

(22)

2.5. Ejercicios

b) Muestre queB₅YB₆es una sub-base para la topolog´ıa generada porB₁. c) Determine la clausura del conjunto K en cada una de las siete topolog´ıas.

18. SeaB = t(a, b) : a ă bu Y ttnu : n P Zu Ď P (_R). Muestre queB es base de una topolog´ıa sobreR. Describa el interior de los subconjuntos de R con respecto a ella.

19. Topolog´ıa Zariski. Considere k[x] =k[x₁, . . . , xn]el anillo de polinomios en n variables sobre un cuerpo k. Para cada subconjunto S Ď k[x], se define el conjunto algebraico dado por S como

V(S) =t(z₁, . . . , zn)Pkⁿ: p(z₁, . . . , zn) =0, @ p P Su.

Verifique las siguientes propiedades:

a) V(S) =V(IS), donde ISes el ideal generado por S.

b) V(t0u) =kⁿy V(t1u) = ∅. Si S Ď T, entonces V(S)ĚV(T). c) Si I, J Ď k[x]son ideales, entonces V(I X J) =V(I)YV(J).

d) Si tI_αu_αPΛes una familia de ideales, entonces V(^Ť_αPΛI_α) =^Ş_αPΛV(I_α). Los items b), c) y d) muestran que los conjuntos algebraicos verifican los axiomas de los cerrados de una topolog´ıa. Esta es la topolog´ıa Zariski de kⁿ.

e) Los conjuntos Df =kⁿzV(tf u)forman una base de dicha topolog´ıa.

f ) Si f ‰ 0, entonces D_f es denso.

Redes

20. Sea(X, τ)un espacio topol ´ogico. Pruebe que las redes convergentes verifican las siguientes propiedades:

a) Si(x_α)_αPΛes eventualmente constante, entonces(x_α)_αPΛconverge a la constante.

b) Si(x_α)_αPΛconverge a x, entonces toda sub-red de(x_α)_αPΛconverge a x.

c) Si(x_α)_αPΛ verifica que toda sub-red tiene una sub-sub-red que converge a x, entonces(x_α)_αPΛconverge a x.

d) SeanΛ un conjunto dirigido, y para cada α P Λ sea Γα un conjunto dirigido.

Supongamos que para cada α P Λ se tiene una red (x^α_k)_kPΓ

α que converge a x^α P X, y que adem´as(x^α)_αPΛconverge a x P X. ConsidereΦ = _{Λ ˆ ś}_αPΛ_Γ_α ordenado por el orden producto, esto es,

(α,(k_β)_βPΛ)ě(α¹,(k¹_β)_βPΛ) ðñ α ě α¹y k_βěk¹_β@β PΛ.

Entonces la red(α,(k_β)_βPΛ)ÞÑx^α_k

αconverge a x.

21. Sea(X, τ)un espacio topol ´ogico. Pruebe que

A=tx P X : D(xα)_αPΛĂA, y xαÑxu

(23)

22. Si(xα)_αPΛ es una red, decimos que x P X es un punto de acumulaci ón de la red si para todo A P Fx, el conjunto tα P Λ : xα P Au es cofinal enΛ. Pruebe que x es un punto de acumulaci ón de la red si y s ólo si existe una subred de(xα)_αPΛque converge a x.

Sugerencia: para probar ñ), considere como conjunto dirigido el formado por los pares(α, U)con α PΛ y U un entorno (abierto) de x que contiene a x_α.

(24)

2.5. Ejercicios

(25)

3

Funciones continuas, topolog´ıas iniciales y finales

3.1. Introducci ´on

Al igual que ocurre en el caso particular de los espacios métricos, para espacios topol ógicos podemos definir funciones continuas. Vamos a comenzar con una definici ón análoga a la que se da en el caso de espacios métricos, y después veremos algunas equiva- lencias.

Definici ón. Sean X e Y espacios topol ógicos. Una funci ón f : X Ñ Y es continua si

@U Ď Y abierto, f^´1(U)ĎX es abierto.

Observaci ´on. Como f^´1(^Ť_iPJU_i) = ^Ť_iPJ f^´1(U_i) y f^´1(U X V) = f^´1(U)X f^´1(V), entonces para ver que f es continua, basta ver que f^´1(U)es abierto para todo U de una sub-base de Y.

La demostraci ´on del siguiente resultado queda como ejercicio para el lector.

Teorema. Sean X e Y espacios topol ´ogicos, f : X Ñ Y funci ´on. Son equivalentes:

1. f es continua.

2. @A Ď X, f(A^¯)Ď f(A).

3. f^´1(F)es cerrado para todo F Ď Y cerrado.

4. @ red x_αÑx en X, f(x_α)Ñ f(x)en Y.

Observaci ´on. Una composici ´on de funciones continuas es continua.

(26)

3.2. Topolog´ıas iniciales

Definici ón. Sean X e Y espacios topol ógicos, f : X Ñ Y funci ón. Se dice:

1. f abierta si @U Ď X abierto, f(U)ĎY es abierto.

2. f cerrada si @F Ď X cerrado, f(F)ĎY es cerrado.

3. f es homeomorfismo si es continua, biyectiva y f^´1es continua.

Observaci ´on. f es homeomorfismo ðñ es continua, abierta y biyectiva ðñ es continua, cerrada y biyectiva.

Observaci ´on. Sean X un conjunto y τ y τ¹ dos topolog´ıas en X. Consideramos 1X : (X, τ)Ñ(X, τ¹)_{, con 1}_X(x) =x. Notamos que:

a) 1Xes continua ðñ τ ě τ¹. b) 1Xes abierta ðñ τ¹ě τ.

c) 1Xes homeomorfismo ðñ τ=τ¹.

3.2. Topolog´ıas iniciales

Dados X un espacio topol ´ogico y A Ď X un subconjunto, queremos darle a A una topolog´ıa τ_A que herede de X. Esta se llamar´a la topolog´ıa de subespacio y puede ser definida de varias formas equivalentes.

Definici ´on 1. Definimos τ_A =tU X A | U Ď X abiertou.

Decimos que(A, τ_A) es un subespacio de X. Observamos que τ_A hace a la inclusi ´on i : A ãÑ X continua. Sin embargo hay muchas topolog´ıas en A que hacen a la inclusi ´on continua. La diferencia es que τAes la menos fina con dicha propiedad.

Definici ´on 2. τ_Aes la topolog´ıa menos fina que hace a i : A ãÑ X continua.

Proposici ón. Sea X un espacio topol ógico, A Ď X. La topolog´ıa τ_A cumple la siguiente propiedad: para todo espacio topol ógico Z y para toda funci ón f : Z Ñ A, f es continua si y solo si i ˝ f : Z Ñ X es continua.

ñ) Composici ´on de continuas es continua.

ð) Sea V Ď A abierto, debemos ver que f^´1(V)ĎZ es abierto. Como V=i^´1(U)para alg ´un U Ď X abierto, entonces f^´1(V) = f^´1(i^´1(U)) = (f ˝ i)^´1(U), que es abierto.

Proposici ón. Sea X un espacio topol ógico, A Ď X, entonces τAes la única topolog´ıa en A que cumple la propiedad de la proposici ón anterior.

(27)

Demostraci ´on. Para ver que es la ´unica, sea τ una topolog´ıa que cumple la propiedad.

Tenemos:

(A, τ) ¹^A (A, τA) X

i i

.

Como(_{A, τ}_A)cumple la propiedad,(_{A, τ})ÝÑ¹Â (_{A, τ}_A)es continua. Análogamente(_{A, τ}_A)ÝÑ¹Â (A, τ)resulta continua, y por lo tanto homeomorfismo. Luego τ=τ_A.

Conclusi ´on. Dado A Ď X, consideramos i : A ãÑ X. Podemos definir la topolog´ıa subespacio en A de tres formas equivalentes:

1. τA=tU X A | U Ď X abiertou.

2. τAes la topolog´ıa menos fina que hace a i : A ãÑ X continua.

3. τ_A es la única topolog´ıa que cumple la siguiente propiedad: para todo espacio topol ógico Z y para toda funci ón f : Z Ñ A, f es continua si y solo si i ˝ f : Z Ñ X es continua.

Observaciones. Sean X un espacio topol ´ogico, A Ď X subespacio, i : A ãÑ X la inclusi ´on:

1. Sea g : X Ñ Y continua, entonces la restricci ´on g|_A =g ˝ i : A Ñ Y es continua, pues i lo es.

2. Sea h : Y Ñ X continua con h(Y) Ď A, entonces la correstricci ´on h|^A : Y Ñ A es continua por el siguiente diagrama:

Y ^h| A X

A

h i

.

Definici ´on. A Ď X es un subespacio cerrado (abierto) si A tiene la topolog´ıa subespacio y A es cerrado (abierto) de X.

Observaci ´on. A Ď X es subespacio cerrado (abierto) ðñ A es subespacio e i : A ãÑ X es cerrada (abierta).

Ahora vamos a generalizar el concepto de topolog´ıa subespacio. Lo que antes hac´ıamos para la inclusi ón ahora lo vamos a hacer para funciones en general. Dados X un espacio topol ógico y g : A Ñ X una funci ón con A un conjunto, queremos darle a A una topolog´ıa que herede de X v´ıa g. Lo podemos hacer, como antes, de varias formas equivalentes.

Definici ´on 1. τ_A^g =tg^´1(U)|U Ď X abiertou.

Definici ´on 2. τ_A^ges la topolog´ıa menos fina que hace a g continua.

(28)

3.2. Topolog´ıas iniciales

Definici ón 3. τ_A^g es la topolog´ıa que cumple la siguiente propiedad: @Z espacio topol ógi- co, @ f : Z Ñ A funci ón, f es continua ðñ g ˝ f es continua.

Definici ´on. En cualquiera de los tres casos (son equivalentes al igual que antes) decimos que A tiene la topolog´ıa inicial respecto de g (o equivalentemente, g es inicial).

En general vamos a decir que A es subespacio de X si existe j : A Ñ X inyectiva e inicial. Esto es equivalente a decir que j : A Ñ j(A) Ď X es un homeomorfismo, donde j(A)tiene la topolog´ıa de subespacio de X. An´alogamente extendemos las definiciones de subespacio abierto y cerrado (j abierta o cerrada).

Sea X un conjunto, X = ^Ť_iPIA_i, A_i Ď X subconjuntos. Dar una funci ón f : X Ñ Y equivale a dar funciones fi: AiÑY tales que @i P I si AiXAj ‰∅, fi|_A_i_XA_j = fj|_A_i_XA_j. En espacios topol ógicos esto no es cierto. Si f es continua, entonces cada f_ilo es, pero no vale la vuelta. Para eso hay que pedir más condiciones.

Lema de pegado (cerrados). Sean X un espacio topol ´ogico y tF1, ..., Fnuun cubrimiento por subespacios cerrados de X. Si f : X Ñ Y es tal que f |F_i es continua para todo 1 ď i ď n, entonces f es continua.

Demostraci ´on. Sea f : X Ñ Y, llamamos f_i := f |_F_i : F_i ÑY. Por hip ´otesis f_ies continua para todo 1 ď i ď n. Sea A Ď Y cerrado. Tenemos que f^´1(A) = f₁^´1(A)Y... Y f_n^´1(A)_. Cada f_i^´1(A) Ď F_i es cerrado pues fi es continua. Luego como Fi es cerrado, f_i^´1(A)_es cerrado en X para todo i. Entonces f^´1(A)es cerrado en X.

Lema de pegado (abiertos). Sean X un espacio topol ´ogico y tUiu_iPJun cubrimiento por abiertos de X. Si f : X Ñ Y es tal que f |_U_i es continua para todo i P J, entonces f es continua.

Demostraci ón. Es análoga a la demostraci ón para el caso cerrados.

A continuaci ´on vamos a estudiar la topolog´ıa producto para luego generalizar el concepto de funci ´on inicial al de familia inicial.

Sean X e Y espacios topol ´ogicos, X ˆ Y = t(x, y)| x P X, y P Yu. Tenemos las dos proyecciones usuales pX y pY. Podemos definir la topolog´ıa producto de las siguientes maneras equivalentes:

Definici ´on 1. La topolog´ıa producto en X ˆ Y es la menos fina que hace a pXy pYconti- nuas.

Definici ´on 2. La topolog´ıa producto es la topolog´ıa con sub-base B = tU ˆ Y | U Ď X abiertou Y tX ˆ V | V Ď Y abiertou.

Definici ´on 3. Una base de la topolog´ıa producto es ˜B =tU ˆ V | U Ď X, V Ď Y abiertosu

(29)

Definici ón 4. La topolog´ıa producto cumple la siguiente propiedad: para todo Z espacio topol ógico y toda funci ón f : Z Ñ X ˆ Y, f es continua si y s ólo si pX˝f y pY˝f lo son.

M´as en general dada tXiu_iPJuna familia de espacios topol ´ogicos, consideramosś

iPJX_i con las proyecciones piusuales. Al igual que en el caso de dos espacios topol ´ogicos podemos definir la topolog´ıa producto para una familia arbitraria.

Definici ´on 1. La topolog´ıa producto en tX_iu_iPJ es la menos fina que hace a p_i continua

@i P J.

Definici ´on 2. La topolog´ıa producto es la topolog´ıa con sub-base B =tp^´1_i (U_i)|U_iĎX_iabiertouiPJ. Definici ´on 3. Una base de la topolog´ıa producto es

B =˜ tź

iPJ

U_i|U_iĎX_iabierto, U_i‰X_is ´olo para finitos iu.

Definici ón 4. La topolog´ıa producto cumple la siguiente propiedad: para todo Z espacio topol ógico y toda funci ón f : Z Ñś

iPJXi, f es continua si y s ´olo si pi˝f lo es @i P J.

Observaci ´on. Sean X un espacio topol ´ogico y S un conjunto. Tenemosś

sPSX = X^S = tf : S Ñ X funci ´onu con la topolog´ıa producto. All´ı definimos la diagonal∆ : X Ñ X^S con ∆(x) = (x)_sPS. Es f´acil ver que es continua, usando cualquiera de las definiciones anteriores.

Ejemplo. Puede suceder que X sea discreto pero que X^Sno lo sea. Por ejemplo, X=t0, 1u es discreto, pero X^Scon S=N no. Para que fuese discreto, cada punto deber´ıa ser un abier- to, pero sabemos que los abiertos b´asicos de X^Sson de la formaś

nPNUncon Un=X para todos salvo finitos n.

Consideramos ahora otra posible topolog´ıa que se puede dar al producto cartesiano, la topolog´ıa caja, con baseB = tś

iPJU_i |U_i Ď X_iabiertou. En caso de que J sea finito, la topolog´ıa caja y la topolog´ıa producto coinciden; si J es infinito, entonces la topolog´ıa caja, en general, es m´as fina que la topolog´ıa producto. En particular, no es la menos fina que hace a las proyecciones p_icontinuas.

Observaciones.

1. Si Xies discreto para todo i P J, entoncesś

iPJXies discreto con la topolog´ıa caja.

2. Si S es infinito yś

sPSX tiene la topolog´ıa caja, entonces la diagonal∆ : X Ñ X^Spue- de no ser continua. Por ejemplo, si X=R y S=N, consideramos U=^ś_nPN(^´1_n ,¹_n). As´ı∆^´1(U) =t0u, que no es abierto enR.

Generalizando las dos situaciones anteriores, podemos definir una topolog´ıa inicial de un espacio respecto a una familia arbitraria de funciones.

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3.3. Topolog´ıas finales

Definici ´on. Dada tXiu_iPJ una familia de espacio topol ´ogico, sean X un conjunto y fi : X Ñ Xi funciones. La topolog´ıa inicial en X con respecto a la familia t fiu_iPJ es la menos fina que hace que fisea continua para todo i P J. Llamamos a t fiu_iPJfamilia inicial.

Equivalentemente, tenemos las dos siguientes definiciones:

1. Es la topolog´ıa que tiene como sub-base a

tf_i^´1(Ui)|UiĎXiabiertouiPJ.

2. Es la topolog´ıa que cumple la siguiente propiedad: @Z espacio topol ´ogico @ f : Z Ñ X, f es continua si y s ´olo si fi˝f es continua @i P J.

La siguiente proposici ´on resulta de gran utilidad al trabajar con topolog´ıas iniciales.

Proposici ´on. Sean f : X Ñ Y continua y t fs : Y Ñ Ysu_sPScontinuas. Si t fs˝ f : X Ñ Ysu_sPSes una familia inicial, entonces f es inicial.

Demostraci ón. Sean Z un espacio topol ógico y g : Z Ñ X funci ón continua. Como f es continua, f ˝ g lo es. Rec´ıprocamente, supongamos que f ˝ g es continua. Queremos ver que g lo es. Para cada s en S tenemos

Z ^g X ^f Y ^f^s Ys.

Como t fs : Y Ñ Ysu_sPSson continuas por hip ´otesis, la composici ´on fs˝ f ˝ g es continua

@s P S. Ahora al ser t fs˝ f : X Ñ Ysu_sPSinicial, g resulta continua.

3.3. Topolog´ıas finales

Sean X un espacio topol ógico, Y un conjunto y f : X Ñ Y funci ón. Vamos a darle una topolog´ıa a Y para que f sea continua, y lo haremos de manera que sea la más fina con esta propiedad. Es decir, estamos dualizando el concepto anterior.

Definici ´on 1. La topolog´ıa final en Y es la m´as fina que hace a f continua.

Definici ´on 2. La topolog´ıa final es la topolog´ıa

τ=tU Ď Y | f^´1(U)abiertou.

Definici ón 3. La topolog´ıa final es la única topolog´ıa en Y que cumple: @Z espacio topol ógico y @h : Y Ñ Z funci ón, h es continua si y s ólo si h ˝ f es continua.

Dejamos a cargo del lector la comprobaci ´on que las 3 definiciones anteriores son equivalentes.

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Ejemplo. Consideramos la inclusi ´on i :R ãÑ R²con i(x) = (x, 0). La topolog´ıa usual en R es la inicial respecto a i. Sin embargo, la topolog´ıa final en R²dada por i no coincide con la usual deR²; es estrictamente m´as fina.

Al igual que en el caso inicial, podemos generalizar la situaci ´on anterior a una familia de funciones:

Definici ´on 1. Sean tXsu_sPS una familia de espacios topol ´ogicos, Y un conjunto y t fs : Xs ÑYusPSuna familia de funciones. La topolog´ıa final en Y respecto de t fs : XsÑYusPS

es la m´as fina que hace a todas las fscontinuas.

Definici ´on 2. La topolog´ıa final es τ=tU Ď Y | f_s^´1(U)ĎXsabierto @s P Su.

Definici ón 3. La topolog´ıa final es la única topolog´ıa en Y que cumple: @Z espacio topol ógico y @h : Y Ñ Z, h es continua si y s ólo si h ˝ fses continua @s P S.

Veamos ahora unos ejemplos relevantes. Comencemos con el concepto dual a la topolog´ıa producto. Dada una familia tXsu_sPSde espacios topol ´ogicos, consideramos su uni ´on disjunta X=^š_sPSXs; tenemos las inclusiones usuales isy le damos a X la topolog´ıa final respecto a ellas. Es decir, U Ď X es abierto ðñ U X XsĎXses abierto en Xs@s P S.

Observaci ´on. Los lemas de pegado de subespacios vistos anteriormente se pueden refor- mular de la siguiente manera:

1. Versi ´on cerrados: sea X un espacio topol ´ogico, X =^Ťⁿ_i=1Fi, con Fi ĎX subespacios cerrados. Entonces X tiene la topolog´ıa final respecto de la familia de inclusiones tij: FjÑXu1ďjďn.

2. Versi ´on abiertos: sea X un espacio topol ´ogico, X =^Ť_iPJU_i, con U_i ĎX subespacios abiertos. Entonces X tiene la topolog´ıa final respecto de la familia de inclusiones ti_j : U_jÑXu_jPJ.

Ahora pasamos a estudiar el caso m´as importante de topolog´ıa final, la topolog´ıa cociente.

Definici ´on. Una funci ´on continua f : X Ñ Y es cociente si es sobreyectiva y final.

Observaci ´on. Dados una funci ´on f : X Ñ Y y A Ď X vale que A Ď f^´1(f(A)).

Definici ´on. En la situaci ´on anterior, decimos que A es saturado (respecto de f ) si A = f^´1(f(A))_.

Observaci ´on. Dados q : X Ñ Y sobreyectiva y V Ď Y, entonces q^´1(V)es saturado.