F´ ormula de Taylor-Maclaurin.
Expansi´ on de composiciones
Objetivos. Calcular expansiones de composiciones de funciones.
Requisitos. F´ormula de Taylor-Maclaurin para algunas funciones elementales, multipli- caci´on de expansiones asint´oticas, propiedades del s´ımbolo O de Landau.
1. Ejemplo. Expandir la funci´on f en una suma de potencias de x hasta x5. Escribir el residuo como O(x6) cuando x → 0.
f (x) = esen(x).
Soluci´on. Denotamos sen(x) por t y escribimos la expansi´on de Taylor-Maclaurin de sen(x) hasta x5:
t = sen(x) =
| {z }
(rellene bien los espacios)
+O(x6).
Notamos que l´ım
x→0
sen(x)
x =
| {z }
?
, esto es, t = sen(x) ∼ x cuando x → 0.
Por lo tanto t6 ∼ x6 y O(t6) =O(x6) cuando x → 0. Expandimos exp(t) hasta t5:
exp(t) = +O(t6). (1)
Vamos a calcular las expansiones de t2, t3, t4 y t5 hasta x5. t2 = t · t =
=
x2+
x4+O(x6) =
t3 = t2· t =
=
x3 +
x5+O(x6) =
t4 = t3· t =
=
t5 = t4· t =
=
Sustituimos estas expresiones en la f´ormula (1):
f (x) = 1 +
+O(x6)
+ 1
2
+O(x6)
+
+O(x6)
+
+O(x6)
+
+O(x6)
+O(x6).
Calculemos los coeficientes de las potencias de x:
x0: x1: x2:
x3:
Expanda en potencias de x:
2. e2x−x2 hasta x5.
Indicaci´on: t = 2x − x2, O(t6) =O(x6).
Respuesta:
e2x−x2 = 1 + 2x + x2− 2
3x3 −5
6x4− 1
15x5+O(x6).
3. cos(sen(x)) hasta x5.
Indicaci´on: t = sen(x), O(t6) = O(x6).
Respuesta:
cos(sen(x)) = 1 −1
2x2+ 5
24x4+O(x6).
4. ecos(x)−1 hasta x5.
Indicaci´on:
t = cos(x) − 1 = −x2 2 +x4
24+O(x6).
De all´ı sigue que t ∼ −x2
2 cuando x → 0.
Por lo tanto,O(t3) = O(x6), y es suficiente expandir et hasta t2 con el residuo O(t3).
Respuesta:
ecos(x)−1 = 1 − x2 2 +x4
6 +O(x6).
5. Expandir
rsen(x)
x en las potencias de x hasta x5. Soluci´on. Para obtener la expansi´on de sen(x)
x hasta x5, hay que escribir la expansi´on de sen(x) hasta x6. En realidad el coeficiente de x6 es nulo, pero el t´ermino residuo esO(x7):
sen(x) = +O(x7)
De all´ı
sen(x)
x = +O(x6).
Podemos escribir sen(x)
x como 1 + t, donde t = sen(x)
x − 1 = +O(x6).
Es importante que t → 0 cuando x → 0, as´ı que este t podr´a hacer papel de la variable t en la expansi´on de √
1 + t.
Notemos que la expansi´on de t empieza con
| {z }
?x?
, as´ı que t ∼
| {z }
?x?
cuando x → 0.
Por lo tanto,O(t3) = O
| {z }
x?
cuando x → 0,
y es suficiente escribir la expansi´on de √
1 + t hasta t2:
√1 + t = +O(t3). (2)
Calculamos t2:
Sustituimos t y t2 por sus expansiones asint´oticas en la f´ormula (2):
rsen(x)
x =
Calculamos los coeficientes de las potencias de x:
x0:
x2:
x4:
Respuesta:
rsen(x)
x = 1 − x2
12+ x4
1440 +O(x6) cuando x → 0.
Expanda en potencias de x:
6. lnsen(x)
x hasta x5. Respuesta: −x2 6 − x4
180 +O(x6) 7. p
cos(x) hasta x5. Respuesta: 1 − x2 4 − x4
96+O(x6).
8. ln(cos(x)) hasta x7. Respuesta: −x2 2 − x4
12− x6
45+O(x8).
