DERIVADA DIRECCIONAL Y VECTOR GRADIENTE
Libro: Ron Larson & Bruce Edwars Página: 944
Ejercicio: n° 72
72. Investigación: Un equipo de oceanógrafos está elaborando un mapa del fondo del océano para ayudar a recuperar un barco hundido. Utilizando el sonido, desarrollan el modelo
𝐷 = 250 + 30𝑥2+ 50𝑠𝑒𝑛 (𝜋𝑦
2) , 0 ≤ 𝑥 ≤ 2 ; 0 ≤ 𝑦 ≤ 2
Donde D es la profundidad en metros, y x y y son las distancias en kilómetros.
a) ¿Cuál es la profundidad a la que se encuentra el barco si se localiza en las coordenadas 𝑥 = 1 y 𝑦 = 0.5 ?
Tenemos: P(1;0,5)
P(1;0,5) reemplazaremos en la función que nos dan para hallar la profundidad en que se encuentra el barco.
𝐷 = 250 + 30𝑥2+ 50𝑠𝑒𝑛 (𝜋𝑦 2) Para 𝑥 = 1 y 𝑦 = 0.5
𝐷 = 250 + 30(1)2+ 50𝑠𝑒𝑛 (𝜋(0.5) 2 ) 𝐷 = 250 + 30(1)2+ 50𝑠𝑒𝑛 (𝜋
4) 𝐷 = 250 + 30 + 50 (√2
2 ) 𝐷 = 250 + 30 + 35.355
𝐷 = 315.355 𝑚
b) Determinar la pendiente del fondo del océano en la dirección del eje x positivo a partir del punto donde se encuentra el barco.
Para hallar la pendiente en la dirección del eje x positivo a partir del punto donde se encuentra el barco hallaremos la derivada parcial de la profundidad respecto a “x” que es 𝜕𝐷
𝜕𝑥.
𝜕𝐷
𝜕𝑥 = 60𝑥 Remplazando cuando 𝑥 = 1 .
𝜕𝐷
𝜕𝑥 = 60(1)
𝜕𝐷
𝜕𝑥 = 60
Al aplicar la primera derivada parcial obtenemos la pendiente (m) que por resultado nos da 60 con signo positivo y pertenece para todo el eje “x” positivo.
c) Determinar la pendiente del fondo del océano en la dirección del eje y positivo en el punto donde se encuentra el barco.
Para hallar la pendiente en la dirección del eje “y” positivo a partir del punto donde se encuentra el barco hallaremos la derivada parcial de la profundidad respecto a “y” que es 𝜕𝐷
𝜕𝑦.
𝜕𝐷
𝜕𝑦 = 50 cos (𝜋𝑦 2) (𝜋
2) = 25𝜋𝑐𝑜𝑠 (𝜋𝑦 2 )
Reemplazando cuando 𝑦 = 0.5
𝜕𝐷
𝜕𝑦 = 25𝜋𝑐𝑜𝑠 (𝜋(0.5) 2 )
𝜕𝐷
𝜕𝑦 = 25𝜋𝑐𝑜𝑠 (𝜋 4)
𝜕𝐷
𝜕𝑦 = 25𝜋 (√2 2 )
𝜕𝐷
𝜕𝑦 = 55.54
Al aplicar la primera derivada parcial obtenemos la pendiente (m) que por resultado nos da 55.54 con signo positivo y pertenece para todo el eje “y”
positivo.
d) Determinar la dirección de mayor tasa de cambio de la profundidad a partir del punto donde se encuentra el barco.
Nos piden: 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑑𝑒 𝐷𝑢𝑓(𝑃) = |∇𝑓(𝑃)|
Es lo mismo decir: 𝐷𝑢𝑓(𝑃) = |∇𝑓 (𝜕𝑓
𝜕𝑥 ,𝜕𝑓
𝜕𝑦)|
Lo primero que aremos es obtener 𝜕𝑓
𝜕𝑥 y 𝜕𝑓
𝜕𝑦 . De los ítems anteriores tenemos:
𝜕𝑓
𝜕𝑥= 60𝑥 , 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 = 1 ; 𝑦 = 0.5 → 𝜕𝑓
𝜕𝑥= 60(1)
𝜕𝑓
𝜕𝑥= 60
𝜕𝑓
𝜕𝑦 = 25𝜋𝑐𝑜𝑠 (𝜋𝑦
2) , 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 = 1 ; 𝑦 = 0.5 → 𝜕𝑓
𝜕𝑦= 25𝜋𝑐𝑜𝑠 (𝜋(0.5) 2 )
𝜕𝑓
𝜕𝑥= 55.54
Luego hallaremos el valor máximo de taza de cambio con los datos ya obtenidos.
𝐷𝑢𝑓(𝑃) = |∇𝑓 (𝜕𝑓
𝜕𝑥 ,𝜕𝑓
𝜕𝑦)|
|∇𝑓(60 ; 55,54)|
|∇𝑓 (𝜕𝑓
𝜕𝑥 ,𝜕𝑓
𝜕𝑦)| = √(60)2 + (55.54)2
|∇𝑓 (𝜕𝑓
𝜕𝑥 ,𝜕𝑓
𝜕𝑦)| = √3600 + 3084.6916
|∇𝑓 (𝜕𝑓
𝜕𝑥 ,𝜕𝑓
𝜕𝑦)| = √6684.6916
|∇𝑓 (𝜕𝑓
𝜕𝑥 ,𝜕𝑓
𝜕𝑦)| = 81.75996331
