QUÉ ES UN POLÍGONO? LÍNEA ASOCIADA ELEMENTOS NOTACIÓN ÁNGULOS DETERMINADOS

V C



 







  



B C

D

E A

F

Z

 W



x y

B C

A

E

D

A B

C D

E

F

G

A B

C

D

F E

¿QUÉ ES UN POLÍGONO?

Es una figura geométrica cerrada, que se forma al unir consecutivamente tres o más puntos no colineales.

ELEMENTOS

 Vértices: A, B, C, D, E, F

 Lados : AB , BC , CD ,..., FA

NOTACIÓN

Polígono ABCDEF

ÁNGULOS DETERMINADOS

 Ángulos interiores:  ,  ,  ,  , 

 Ángulos exteriores: x, y, z, w, v

LÍNEA ASOCIADA

 Diagonales: AC , CE ,...

CLASIFICACIÓN

 Por la región que limitan

- Polígono Convexo: cuyos ángulos interiores son menores de 180º.

- Polígono No convexo: cuando uno o más ángulos son mayores de 180º.

A

B

ESTUDIO – TRABAJO – DISCIPLINA



x



x

x 

x

x



B

A C

E D

Q S

T P

R

C

B D

A E



 





 O

 Por la medida de sus elementos

- Polígono Equiángulo: Cuando los ángulos interiores y exteriores son de la misma medida.

- Polígono Equilátero: Cuando los lados tienen igual longitud.

Convexo Cóncavo

- Polígono Regular: Cuando los ángulos y lados tienen la misma medida.

Donde: “O” es el centro del polígono.

NOTA:

Solo los polígonos que son regulares tienen ángulo central.

Ángulo central: ∡ AOB OA = OB

NOMENCLATURA POR LA CANTIDAD DE LADOS

- Polígono de 3 lados: ___________________

- Polígono de 4 lados: ___________________

- Polígono de 5 lados: ___________________

- Polígono de 6 lados: ___________________

- Polígono de 7 lados: ___________________

- Polígono de 8 lados: ___________________

- Polígono de 9 lados: ___________________

- Polígono de 10 lados: ___________________

- Polígono de 11 lados: ___________________

- Polígono de 12 lados: ___________________

- Polígono de 15 lados: ___________________

- Polígono de 20 lados: ___________________

PROPIEDADES

 Relación de lados, vértices, ángulo

Nº vértices = Nº lados = Nº ángulos = n

 Suma de medidas de los ángulos interiores (Si)

Si = 180 (n - 2)

n = numero de lados

Ejemplo :

Calcular la suma de ángulos internos de un octógono.

Sol :

Octógono tiene 8 lados  n = 8.

Luego:

Si = 180 (n - 2) = 180 (8 - 2) = 180 x 6 Si = 1080º

Para Convexo y

Cóncavo

∡i + ∡e = 180º

 Suma de medidas de los ángulos exteriores (Se)

Se = 360º

 Medida de un ángulo interior en polígonos equiángulos ( ∡ i)

∡i = 180 (n - 2) n

n = numero de lados

Ejemplo :

Si el polígono es equiángulo, calcular “  ”

Sol :

 = n ) 2 n (

180 

 = 180 (  2 )   

n =

 Medida de un ángulo exterior en polígonos equiángulos ( ∡ e)

∡e = 360 n

NOTA:

Solo en polígono regular

Ángulo central = ángulo exterior

∡c =∡e

Ejemplo :

Si el polígono es regular, calcular “  ”

Sol.:

Como ∡c = ∡e

 = 360 n

 Suma de un ángulo interior y un ángulo exterior

1. La suma de los ángulos interiores de un dodecágono es:

a) 1900 b) 1800 c) 1950

d) 1960 e) 2000

2. La suma de los ángulos exteriores de un dodecágono es:

a) 270 b) 360 c) 230

d) 200 e) 300

3. Si un ángulo interior es 108º ¿Cuánto mide el ángulo exterior del polígono?

a) 72 b) 108 c) 180

d) 36 e) 18

4. ¿Cómo se llama el polígono cuya suma de ángulos interiores es 720?

a) Pentágono b) Hexágono c) Octógono d) Heptágono e) Nanágono Para

Convexo



n =



∡ e

∡ i

ESTUDIO – TRABAJO – DISCIPLINA 3x

2x 2x 2x

x

E x

F x A

x B x

C x

D x 5. Si tiene un hexágono equiángulo, el ángulo

exterior mide:

a) 120 b) 60 c) 90

d) 45 e) 75

6. Calcular el ángulo externo de un polígono regular:

a) 90 b) 120 c) 132

d) 108 e) 135

7. Calcular la suma de ángulos interiores de un polígono de 8 vértices:

a) 1080 b) 900 c) 1260

d) 1440 e) 720

8. Si el ángulo interior es el quíntuple del ángulo exterior de un polígono regular. ¿Cuánto mide la diferencia de los ángulos?

a) 120 b) 30 c) 60

d) 150 e) 90

9. En un polígono regular de 9 vértices. ¿Cuánto mide uno de sus ángulos externos?

a) 50 b) 60 c) 20

d) 40 e) 30

10. Calcular “  ”; si el polígono es equiángulo:

a) 135 b) 45 c) 120 d) 90 e) 108

11. Calcular “x”, si los polígonos son regulares:

a) 90 b) 120 c) 150 d) 130 e) 160

12. Calcular “x”:

a) 27 b) 45 c) 54 d) 36 e) 63

13. Calcular “x”, si el polígono es regular.

a) 10 b) 108 c) 9 d) 12 e) 30

14. Calcular el perímetro del hexágono regular ABCDEF.

a) 6 b) 12 c) 36 d) 18 e) 72

15. Calcular “AE”, si ABCM y CDEM son rombos.

a) 3 b) 1,5 c) 2 3 d) 3 e) 3 2

1. La suma de los ángulos interiores de un icoságono:

a) 3240 b) 3800 c) 4000

d) 3600 e) 1800

2. Si el ángulo interior de un polígono es 132º

¿Cuánto mide su ángulo exterior?

a) 132 b) 58 c) 68

d) 48 e) 122

3. Si el ángulo interior de un polígono equiángulo es 135º ¿Cómo se llama el polígono?

a) Octógono b) Decágono c) Hexágono d) Nanágono e) Heptágono



x

6

x A x

A x

3 C

D E

M

ESTUDIO – TRABAJO – DISCIPLINA 4. Calcular “x”, si el polígono es regular:

a) 36 b) 18 c) 54 d) 75 e) 45

5. Si el ángulo central de un polígono es 18º.

¿Cuánto mide su ángulo interior?

a) 162 b) 36 c) 72

d) 152 e) 18

6. Si el ángulo interior es el triple del ángulo exterior de un polígono regular. ¿Cuántos lados tiene el polígono?

a) 7 b) 9 c) 6

d) 8 e) 10

7. La suma de ángulos interiores y exteriores de un polígono es 1800º. ¿Cuántos lados tiene?

a) 10 b) 12 c) 14

d) 8 e) 6

8. Calcular “”, si el polígono es regular.

a) 30 b) 60 c) 45 d) 90 e) 75

9. Calcular “x”:

a) 40 b) 15 c) 20 d) 25 e) 30

10. Calcular “x”, si los polígonos son regulares:

a) 15 b) 24 c) 30

d) 26 e) 17

11. Calcular “x”, si el polígono es regular.

a) 36 b) 18 c) 54 d) 72 e) 25

12. Calcular “x”, si los polígonos son regulares:

a) 70 b) 75 c) 65 d) 60 e) 80

13. Calcular el número de lados del polígono. Si el

∡AOB es central (Polígono Regular):

a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 19

14. Calcular “x”, si el polígono es regular AB = 16:

a) 16 b) 8 c) 8 3 d) 8 2 e) 4 3

RETO DE LA SEMANA

15. Si ABCDE… es un polígono regular de 12 lados.

Calcular “x”.

a) 60º b) 45 c) 60 d) 90 e) 37 x

36 0



4x 3x

2x

x

x

x

80

0 A B

x

F E

A

B C

o D

0 C B

A E

D

x x

ESTUDIO – TRABAJO – DISCIPLINA

¿QUÉ ES UNA DIAGONAL?

Es el segmento cuyos extremos son dos vértices no consecutivos del polígono.

Ejemplo

Según el gráfico trazar tres diagonales.

Las diagonales son:

_________

_________

_________

Número de diagonales desde un vértice

3 n N _{D 1 v}  

Ejemplo

Para varios vértices consecutivos:

Nº de orden de vértices # diagonales 1er vértice

2do vértice 3er vértice 4to vértice 5to vértice 6to vértice

 K vértice

n  3 n  3 n  4 n  5 n  6 n  7

 n(k + 1)

Ejemplo

De un nonágono, la cantidad de diagonales de 4 vértices consecutivos:

Sol.-

1º vértice :  3 = 2º vértice :  3 = 3º vértice :  4 = 4º º vértice :  5 = Luego la cantidad es:

______ + ______ + ______ + ______ =

NÚMERO TOTAL DE DIAGONALES

En todo polígono el número total de diagonales que se puede trazar es:

2 ) 3 n ( N _D n 

 n: número de lados.

B

C

D

E F

A

C D

B

A

H G F E

Como: n = ………

v  D 1

N ………

= ………

NOTA

ESTUDIO – TRABAJO – DISCIPLINA Ejemplo

El número total de diagonales de un hexágono es:

1. El número de diagonales de un octógono es:

a) 40 b) 20 c) 80

d) 60 e) 30

2. ¿Cuántas diagonales tiene un icoságono?

a) 170 b) 340 c) 85

d) 270 e) 110

3. ¿Cuántas diagonales se puede trazar desde un vértice de un pentadecágono?

a) 18 b) 15 c) 12

d) 6 e) 21

4. Si un polígono tiene un total de 10 diagonales.

¿Cómo se llama?

a) Cuadrilátero d) Heptágono

b) Pentágono e) Octógono

c) Hexágono

5. ¿Cuántas diagonales hay en dos vértices consecutivos de un dodecágono?

a) 18 b) 24 c) 20

d) 16 e) 22

6. Desde un vértice se puede trazar 28 diagonales.

a) 25 b) 30 c) 31

d) 27 e) 29

7. Desde tres vértices consecutivos, se pude trazar 14 diagonales ¿Cuántos lados tiene?

a) 6 b) 7 c) 8

d) 9 e) 10

8. Con una totalidad de 28 diagonales ¿Cuántos lados tiene?

a) 6 b) 7 c) 8

d) 9 e) 10

9. ¿Cómo se llama el polígono, cuyo número de diagonales es igual al doble del número de lados?

a) Pentágono d) Octógono

b) Hexágono e) Cuadrilátero c) Heptágono

10. ¿En qué polígono el número de lados es igual al doble del número total de diagonales?

a) Triángulo d) Hexágono

b) Cuadrilátero e) Heptágono c) Pentágono

11. Calcular el número de diagonales de un polígono cuya suma de ángulos internos es 1620º.

a) 48 b) 55 c) 44

d) 42 e) 46

12. Si A es el número total de diagonales de un endecágono y B es el número de lados de otro polígono que tiene 65 diagonales en total.

Calcular: 3A  2B.

a) 109 b) 49 c) 160

d) 106 e) 166

13. Si el ángulo exterior de un polígono regular mide 40º. ¿Cuántas diagonales se puede trazar?

a) 54 b) 27 c) 18

d) 72 e) 9

14. Si el ángulo interior de un polígono regular mide 135º. ¿Cuántas diagonales tiene?

a) 7 b) 8 c) 9

d) 10 e) 6

15. Determinar el número de diagonales de un polígono, si de 6 vértices se puede trazar 44 diagonales.

a) 68 b) 44 c) 54

B

A

F

C

D

E

Como: n = 9

)

N _D ( 

 D 

N ………

= ………

EL QUE ES PERSEVERANTE, LO

CONSIGUE

ESTUDIO – TRABAJO – DISCIPLINA

d) 45 e) 77

1. ¿Cuál es el polígono donde se pueden trazar 6 diagonales desde un vértice?

a) Hexágono d) Octógono

b) Pentágono e) Heptágono

c) Nonágono

2. De 6 vértices consecutivos de un polígono, se han trazado 20 diagonales. ¿Cuántos lados tiene el polígono?

a) 5 b) 6 c) 8

d) 9 e) 10

3. Calcular el número total de diagonales de un polígono de 18 lados.

a) 145 b) 135 c) 315

d) 189 c) 165

4. ¿De cuántos lados es el polígono de 54 diagonales?

a) 12 b) 14 c) 10

d) 8 e) 13

5. El número de lados de un polígono es igual al número de diagonales. ¿Cuántos lados tiene?

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8

6. Calcular el número de diagonales de un polígono convexo, si la suma de sus ángulos interiores es 900º.

a) 16 b) 14 c) 9

d) 20 e) 15

7. Calcular el número de diagonales de un polígono cuyos ángulos internos suman 1080º.

a) 12 b) 15 c) 16

d) 18 e) 20

8. Si de dos vértices consecutivos se trazaron 30 diagonales. ¿Cuántos lados tiene?

a) 36 b) 15 c) 18

d) 9 e) 30

9. El número de diagonales más el número de vértices es igual a siete veces el número de lados. ¿Cuántos lados tiene?

a) 12 b) 13 c) 14

d) 15 e) 16

10. ¿En qué polígono se cumple que el número de lados más la mitad del número de vértices igual al número de diagonales?

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

11. Calcular el número de vértices de un polígono cuyo número de diagonales es igual al triple del número de lados.

a) 10 b) 11 c) 12

d) 9 e) 7

12. El ángulo exterior de un polígono es 72º. ¿Cuántas diagonales en total se puede trazar?

a) 108 b) 5 c) 10

d) 20 e) 15

13. Un polígono que tiene en total 54 diagonales.

¿Cuántos lados tiene?

a) 9 b) 10 c) 11

d) 12 e) 15

14. Desde 5 vértices consecutivos se pueden trazar 19 diagonales. El ángulo exterior mide:

a) 45 b) 60 c) 30

d) 40 e) 50

RETO DE LA SEMANA

15. Si el número de lados aumenta en 3; el número de diagonales aumenta en 18.

¿Cuántos lados tiene?

a) 6 b) 7 c) 8

d) 9 e) 10