2. Calcula las coordenadas de D para que el cuadrilátero de vértices: A(-1, -2), B(4, -1), C(5, 2) y D; sea un paralelogramo.

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(1)

R E P A S O D E G E O M E TR Í A M É TR I C A P L A N A

1 . H al l ar e l s i m é tr i c o d e l p u n to A ( 3 , - 2 ) r e s p e c to d e M ( - 2 , 5 ) .

2. Calcula las coordenadas de D para que el cuadrilátero de vértices: A(-1, -2), B(4, -1), C(5, 2) y D; sea un paralelogramo.

3. Dados los vectores =(2, k) y = (3, - 2), calcula k para que los vectores y sean:

a. Perpendiculares.

b. Paralelos.

c. 3 Formen un ángulo de 60°.

4. Si M1(2, 1), M2(3, 3) y M3(6, 2) son los puntos medios de los lados de un triángulo, ¿cuáles son las coordenadas de los vértices del triángulo?

x1 = 7 y1 = 4 x2 = 5 y2 = 0 x3 = −1 y3 = 2

A ( 7 , 4 ) B ( 5 , 0 ) C ( − 1 , 2 )

No válida

(2)

5. Probar que los puntos: A(1, 7), B(4,6) y C(1, -3) pertenecen a una circunferencia de centro (1, 2).

S i O e s el c e n tr o d e l a c i r c u n f e r e nc i a l as d i s tan c i as d e O a A , B , C y D d e b e n s e r i g u al e s

6. Clasificar el triángulo determinado por los puntos: A(4, -3), B(3, 0) y C(0, 1).

R e c u e r d a q u e s e c u m p l e :

E n e s te c as o s e c u m p l e :

7. Hallar k si el ángulo que forma = (3, k) con = (2, -1) vale:

a. 90°

b.

c. 45°

L as d o s s o l u c i o n e s s o n v ál i d as

(3)

8. Calcular los ángulos del triángulo de vértices: A(6,0), B(3,5), C(-1,-1).

9. Calcula x para que el vector u =

(

1 2, x

)

sea unitario

2 3 4

1 3 4

1 1 2

1 2 2 2 2

±

=

=

= +

=

 +

 

=  x x x x

u

(las dos soluciones son válidas)

10. ¿Qué ángulo forman los vectores u =

(

−3,1

)

y v=

(

4,−3

)

? ¿Y los vectores

(

3,1

)

=

(

1,5

)

= y w

s 

?

( )

( , ) 360 º 82 º 52 ´ 29 , 94 ´´ 277 º 7 ´ 30 , 06 ´´

´´

94 , 29

´ 52 º 82 65

cos 1

65 1 260

2 26 10

2 5

) 1 ( ) 1 ( 3

5 ) 1 ( ) 1 ( cos 3

2 2 2

2

=

=

=

=

=

⋅ =

= +

− +

− +

= ⋅

= ⋅

w s

w s

w s













β β

β

( )

( ) ( )

(

,

)

180º 18º26´5,82´´ 161º33´54,1´´

´´

82 , 5

´ 26 º 10 18

cos 3

10 3 5

10 15 3

4 1 3

3 1 4 ) 3

, (

cos 2 2 2 2

=

=

=

=

= −

= −

− +

⋅ +

⋅ +

= −

= ⋅

v u

v u

v v u

u











 



α

α

(4)

11. Calcula el producto escalar de u

( )

y v 4 ,

= 3 , sabiendo que

v  = 4

y el ángulo que forman es de 30º

( )

3 2 10

4 3 5 º 30 cos

5 4 3 4

,

3 2 2

=

=

=

= +

=

=

v u v u

u u





 





12. Calcula un vector ortogonal a u =

(

6,8

)

y que sea unitario.

13. Calcula x para que los vectores u =

(

3,4

)

y v =

(

1,x

)

sean:

a. Ortogonales

( ) ( )

4 0 3

4 3 , 1 4 , 3

0→ ⋅ = + = → =−

=

⋅v x x x

u  b. Paralelos

3 4 4

1

3 = → =

→ x

ales x proporcion son

v y u 

c. Formen un ángulo de 60º

( )

( ) ( )

( )

( ) 2

1 34 , 2 1 . 5

36 , 9 34 3

, 2

2 1 12 , 0 1 5

48 , 0 12 3

, 0

0 11 96 39

25 25 64

96 36 1

25 16

24 9 4

1 5 4 3 2 2

1 1

4 3

4 º 3

60 cos

2 2 1 2

2

2 2

2 2

2 2

2 2 2

− +

− −

=

=

− +

− −

=

= + +

+

= +

+

→ +

= +

+

+

= +

= +

⋅ +

= +

válida no

x

válida x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

14. Dados los puntos A (2, 1); B (6,3); C(7,1) y D(3, -1) Demuestra que el polígono ABCD es un rectángulo y calcula su perímetro y su área.

( ) ( ) ( )

 

 

 −

 

 

 −

=

±

=

=

 =

 

 − +

 →

 

= +

→ =



 

= +

= +

= +

=

= +

= +

=

5 , 3 5 4 5

, 3 5 : 4

5 3 5

1 4 16

1 25 4

3 1

4 3 1

0 4 3

1 1

0 4 3 0 8 6 0 8 , 6 ,

: ,

2 2

2

2 2 2

2

2 2

Soluciones

y x

x x

x y

x

x y

y x

y x

y x w

y x y

x y

x u

w cumple que

y x w Buscamos









( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

(

,

)

42 22 12

( )

2 2 20 5 100 10 2

( ) , ( 0 4 4 2 , 1 2 , 4

0 4 4 2 , 4 2 , 1

; 2

, 1

; 2

, 4

;

;

;

u CD

AB D

A d B A d altura base

Área

BC AB

DC AD

BC AD

DC AB

BC AB DC AD BC AD DC AB lares perpendicu es

concurrent lados

los y

dos a dos paralelos ser

deben opuestos lados

los rectángulo un

es Si

=

=

=

− +

⋅ +

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

(5)

15. Los puntos A (-1, -2); B (1,1); C(4,0) son tres coordenadas de un paralelogramo, calcula las coordenadas del cuarto vértice.

Si llamamos D al cuarto vértice hay que considerar tres posibliidades: paralelogramo ABCD;

paralelogramo ABDC; paralelogramo ACBD a) ABCD sea paralelogramo.

D (a, b) AB=DC (2, 3)=(4-a, -b)

a=2; b=-3

b) ABDC sea paralelogramo

D (a, b) AB=CD (2, 3)=(a-4, b)

a=6; b=3

c) ACBD sea paralelogramo

D (a, b) AC=DB (5, 2)=(1-a, 1-b)

a=-4; b=-1

16. Halla las coordenadas de los puntos medios y del baricentro del triángulo de vértices A (0, 0); B (3,1); C(1,5).

( )



 

=



 

 + + + +



 

=



 

 + +

=

 

 + +



 

=



 

 + +

2 3, 4 3

5 1 , 0 3

1 3 0

2 , 5 2 1 2

5 , 0 2

1 0

3 , 2 2

5 ,1 2

1 3

2 , 1 2 3 2

1 ,0 2

3 0

G P N M

17. Escribe de todas las formas posibles la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(-2, 5).

B C A

D

D (2, -3)

D (6, 3) B

D A

C

D (-4, -1) C

B A

D

(6)

18. De un paralelogramo ABCD conocemos A(1, 3), B(5, 1), C(-2, 0). Halla las coordenadas del vértice D.

19. Clasificar el triángulo determinado por los puntos: A(6, 0), B(3, 0) y C(6, 3).

20. Hallar la pendiente y la ordenada en el origen de la recta 3x + 2y - 7 = 0.

21. Hallar la ecuación de la recta r que pasa por A(1,5) y es paralela a la recta s: 2x + y + 2 =0.

22. Los puntos A(-1, 3) y B(3, -3), son vértices de un triángulo isósceles ABC que tiene su vértice C en la recta 2 x - 4 y + 3 = 0 siendo AC y BC los lados iguales. Calcular las coordenadas del vértice C.

23. La recta r ≡ 3x + ny - 7 = 0 pasa por el punto A(3,2) y es paralela a la recta s ≡ mx + 2y - 13 = 0. Calcula m y n.

(7)

24. Dado el triángulo ABC, de coordenadas A(0, 0), B(4, 0) y C(4, 4); calcula la ecuación de la mediana que pasa por el vértice C.

25. Calcular la ecuación de la recta perpendicular a r : 8x - y - 1 = 0 y pasa por el punto P(-3,2).

26. Halla el punto simétrico A', del punto A (3, 2), respecto de la recta r : 2 x + y - 12 =0

27. Una recta de ecuación r : x + 2y - 9 = 0 es mediatriz de un segmento AB cuyo extremo A tiene por coordenadas (2,1). Hallar las coordenadas del otro extremo.

28. Una recta es paralela a la que tiene por ecuación r : 5x + 8y - 12 = 0, y dista 6 unidades del origen. ¿Cuál es su ecuación?

(8)

29. Calcular las bisectrices de los ángulos determinados por la rectas:

30. Hallar el ángulo que forman las rectas que tienen por ecuaciones:

a.

b.

c.

d.

31. Se tiene el paralelogramo ABCD cuyos vértices son A(3, 0), B(1, 4), C(-3, 2) y D(-1, -2).

Calcular su área.

(9)

32. Dadas las rectas r ≡ 3x + y - 1 = 0 y s ≡ 2x + my -8 = 0, determinar m para que formen un ángulo de 45°.

33. Dado el triángulo A(-1, -1), B(7, 5), C(2, 7); calcular las ecuaciones de las alturas y determinar el ortocentro del triángulo.

34. Una recta es perpendicular a la que tiene por ecuación r : 5x - 7y + 12 = 0 y dista 4 unidades del origen. ¿Cuál es su ecuación?

válidas

(10)

35. De la recta r se sabe que pasa por el punto A(2,1) y un vector director es (-2, 4). Determina la ecuación de la recta en todas las formas que conozcas.

36. Dada la recta 2x-3y+1=0 escríbela en forma vectorial, paramétrica, contínua y punto pendiente.

37. Dadas las rectas 2x-3y+1=0 ax+(a-1)y-2(a+2)=0, calcual el valor de a para que sean:

a. paralelas

( ) ( )



 

 +

=

= +

=

− + →

≠−

= −

5 2 2 2

1 5

2 2

5 0 2

3 2 2 3 1 2 2

2 1 1

3

2 a a a a a

a a

a

b. perpendiculares

( ) (

3 1

)

0 2 3 3 0 3 0 3

2 0

´

´+ ⋅ = → ⋅ + − ⋅ − = → − + = →− + = → =

⋅A B B a a a a a a

A

38. Determina el valor de m para que las rectas mx+y=12, 4x-3y=m+1 sean paralelas. Después halla su distancia.

( )

( ) ( )

u s

A d s r d

y x s y

x y

x s

A y

x si y

x y

x r

otra la a cia dis su calcual se

y elas de una de punto un elige se cia dis su Calcular Para

cumple Se

m m m

m

15 107 9

12

1 8 9 3 ) 12

, ( ) , (

0 1 9 3 12

3 1 4 3 1

3 4 4

8 , 3 8

3 0

36 3 4 3 12

4

: tan

tan

3 1 4 12 3

1 3

4 4 1 3

12 3 1 4

2

2 =

+ +

= ⋅

=

= +

=

→ +

=

=

=

=

− +

= +

+

− ≠

=

=

− + →

− ≠

=

( ) ( )

( ) ( )

(

2

)

1 2

(

2

)

2 5

2 1 4

0 10 2 4 2

2 8 4 1 2 2 4 4

1 2

2

4 1 2

2 4

1 2 2

4 , 2 1

, 2

+

=

=

− −

=

=

− +

→ +

=

=

− −

− =

= −

→ −



 +

=

→ =

− +

=

x y Explícita x

y Pendiente Punto

x y

y x General y

x y

y x x

y Vectorial x

t y

t as x

Paramétric

t OX

Vectorial

( )

( )

( ) ( )

( )

3 1 3 2 3

2 3 1 2 3 1

1 2 2

1 3

1

2 1 3

1 2

1 3 1

2 , 3 1 , 1

1 , 1 1

0 1 3 2 1 1 2

, 0 3

1 3 2

+

=

=

=

− →

− =

= −

→ −



 +

= +

→ =

+

=

=

= +

=

→ =

= +

x y Explícita x

y Pendiente Punto

x y y

x

y Vectorial x

t y

t as x

Paramétric

t OX

Vectorial

A y

y x

valor el x a damos le

A Punto

u l direcciona vector

y x



(11)

39. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento determinado por los puntos A(1,-2) y B(3,0).

Hallar también el ángulo que forma esta mediatriz con el eje de abscisas.

40. Halla el área del paralelogramo ABCD sabiendo que la ecuación del lado AB es x-2y=0, la ecuación del lado AD es 3x+y=0 y las coordenadas del punto C son (3,5)

41. Calcula las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto P(2,3) y forman un ángulo de 45º con la recta 3x-4y+7=0

( ) ( )

( )

( )



 

 − =−

=

′≡

=

=

→ +

= + + →

− −

=

=

=

=

= + + →

= −

+ →

± −

= + →

±

=

→ +

±

=



 

⋅ +

=

′ →

⋅ +

− ′

=

′=

= +

=

7 1 7 1 1 7 2 3 1 7

1 1 7

3 4 3

3 4 4

3 1 4

2 7 3 7

7 3

4 3 3 4

4 3 1 4

3 4

3 1 4

4 3 4

4 3 4 1 4 1 3

4 3 1

4 1 3

4 3 1 1

º 45

: º

45

4 0 3

7 4 3

2 . 3 3

, 2

es pendientes sus

de producto el

ares perpendicl son

solución rectas

dos Las

x y

p m

m m

m m m

x y

p m

m m

m m m

m m m

m m

m m

m m

m m tg m

cumplen pendientes

sus de

ángulo un

forman rectas

dos Las

m es y

x t recta la de pendiente La

x m y

p pendiente punto

forma en

escribimos la

p pedida recta

La P

42. Dados los puntos A(4,-2) y B(10,0) hallar el punto de la bisectriz del 2º y 4º cuadrante que equidista de ambos puntos

B

C A

D

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

2 2 2

2

2 14

5 7 5 2 5 20 7 2

1

7 0 2 3 0

5 1 3

, ) , (

3 , 1 3

0 1 7 6

3 0

7 2

0 3

sec

0 7 2 7

0 10

3 0 2

0 , 0 0

0 0

6 2 0

3

0 2

u DC

lado A d C D d altura base

Área

D y

x x x

x y y

x y x

DC y AD lados los de ción irte

la es D punto El

y x DC K

K K

y x DC

C por pasa y AB a paralelo es

DC lado El

A y

x x

x y x y

x y A x

⋅ =

=

=

− +

+

⋅ −

− + +

=

=

=

=

=

 →



= + +

→ =





= +

= +

= +

=

= +

= +

=

=

= +

=

 →



= +

=

≡ −

rectas las

de ón intersecci la

es A punto El

( )

( )

( )

º 45 º

135 1

1 0 1

0 1 0

2 2 2

2 0

1 2 2 2 0 2

2 2

, 2

1 , 2 2

0 , 2 2

3 1

ángulo tg

es y

x de Pendiente La

y x m y

x m

C C

C y x m normal vector

es AB

M m

=

=

=

+

=

+

=

+

=

= +

+

= + +

=

=

+ +

α α

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

(10, 10)

10 80

8 20

100 4

4 8

16

10 2

4

, ,

tan

, º

4 º 2 sec

2 2 2

2

2 2 2

2

=

=

+ +

= +

+ +

+

= +

+

=

P t

t t t t t

t t

t

t t t

t

B P d A P d B y A de equidis que P puntos los Buscamos

t t P forma la de es cuadrante y

del triz bi la de punto Un

(12)

43. Dados los puntos A(2,1), B(-3,5) y C(4,m), calcular el valor de m para que el triángulo ABC tenga de área 6 unidades cuadradas

44. Halla las ecuaciones de las rectas que pasando por el punto A(1,-2) distan dos unidades del punto B(3,1)

( )

( )

0 29 12 5 12 0

29 12

: 5 0 12 2

5 12

: 5

12 12 5

5 9 12 4

4 4

1 3 4 2

1 3 2 2

1 2 1

2 3 2 ) , (

0 2 :

1 2

2 2

2 2

2 2

=

=

=

=

=

→ +

= +

+ →

= −

→ +

= −

→ +

= −

=

=

= +

y x y

x r y

x r

válida solución m

m m

m m

m m m

m m

m r m

B d

m y mx r x

m y

pendiente punto

forma en

recta la Escribemos

45. Halla los puntos de la recta 7x-y-28=0 que distan 5 unidades de la recta 3x-4y-12=0

( )

( )

( ) ( )

(

5,7

)

5 20

5 5

7 , 3 3

20 5 20 5

5 5

20 5 5 5

100 5 25

4 3

12 28 7 4 5 3

5 ) , (

28 7 , 28

7 0

28 7

:

2 2

P x

x

P x

x x

x x x

s x P d

x x P es r de cualquiera punto

un x

y y

x r

=

=

=

→ +

→ = +

±

=

→ +

= + →

= −

→ +

= −

=

=

=

46. Calcula las coordenadas del punto P situado en la recta x+y-15=0 que equidiste de las rectas y-2=0, 3y=4x-6

( )

( )

( )

(

7, 22

)

7 14

2 51 7 5 65

3 ,16 3 29 3

29 12 116 116

12 51 7 5 51 65

7 5 65

51 7 5 5 65

51 13 7

3 4

6 15

3 4 1 0

2 ) 15

, ( ) , (

0 6 3 4 : 0 2 :

15 , 15

0 15 :

2 2 2

2

=

=

→ +

=



 

→ 

=

=

=

=

→ −

±

=

=

− →

=

→ +

= − +

→ −

=

=

=

=

=

− +

P x

x x

x

P x

x x

x x x

x x x

x x x

t x P d s P d

y x t y

s

x x P es r de cualquiera punto

un x y

y x r

B(-3,5) A(2,1)

C(4,m)

( ) ( ) ( )

h

) ,

(

41 1

5 2 3 ,

2 6 1

2 2

AB lado C d h altura

u B

A d base

altura base

Área

=

=

− +

=

=

=

=

( )

( )

(

4, 3

)

3 12

3 5

5 , 9 5 4

12 9 3 12 5

3 5 12 3 5 6 41

3 41 5

2 1

41 3 5 5

4

13 5

4 0 4

13 5 4

13 0

5 2 4 0 5

4 4

, 5 1 , 2

2 2

=

= +



 

→ 

=

=

→ +

±

= +

= +

→ + =

= + +

⋅ +

= ⋅

=

− +

=

= + +

= + +

 →



=

C m

m

C m

m m m m

m h m

y x AB Lado

K K

K y x AB l

direcciona es

AB A AB

(13)

47. Las rectas r:3x+4y-5=0 y s:ax+7y+2=0 forman un ángulo cuyo seno vale 3/5. Calcula a

( ) ( )

( )

VÁLIDA SOLUCIÓN

SÍ a

VÁLIDA SOLUCIÓN

SÍ a

a a

a a

a a

a

a a a

a a a

a a

a sen

→ + =

= +

=

=

=

=

=

→ +

+

= +

+ → +

= +

→ +

= +

→ +

= +

→ +

⋅ +

= ⋅

 =

 

−

=

=

25 4 100 49; 576

28 4 72

24

49 4 28 0 0

24 7

0 168 7

784 168

9 784 16

49 784 168

16 9 49 28 4 3

49 5

28 3 5 4 49 16

9

7 , 4 , 3 5

4

5 4 5 1 3 5 cos

3

2 2

2

2 2

2 2

2

2

α α

48. Calcula el área del triángulo que tiene sus vértices en los puntos A(1,4) B(-3,4) y C(-1,0).

49. Un hexágono regular tiene su centro en el origen de coordenadas y uno de sus lados sobre la recta x+y+5=0. Halla su área.

B(-3,4) A(1,4)

C(-1,0)

h

( ) ( ) ( )

) ,

(

4 4 4 1 3 ,

2 1

2 2

AB lado C d h altura

u B

A d base

altura base

Área

=

=

− +

=

=

=

( )

( )

2

2 2

4 2 2 4 1

2 0 1

1 0 1

1 0

4 4

4 0

4 0 4

0 , 4 4 , 1

u Área

h x

AB lado x

AB Lado

K K

K x AB

l direcciona es

AB A AB

=

=

= +

= −

=

= +

=

= +

= +

 →



≡ =

C(0,0)

a r s: x+y+5=0

( )

( )

2 2

2 2

2 2 2

2

3 3 25

3 75 3 15 25 6 15 50 2

2 5 3 6 50 2

3 50 3

50 3

50 6 100

2 25 4 3 2 25 4 2 2

5 ,

2 5 2

5 0 , 0

0 , 0

apotema u Perímetro

Área

lado r

r

r r r

r r

rectángulo triángulo

un forman apotema

la y radio del mitad la radio el

ta circunscri ncia

circunfere la

de radio al igual es lado el regular hexágono

el En

s d

a apotema

=

=

=

=

⋅ =

=

=

=

=

=

=

=

 →

 

 +



 

=

→ + =

= +

=

(14)

50. Determinar las coordenadas de los vértices B y C de un cuadrado que tiene por diagonal AC donde A(1,2) y C(9,6).

51. Las coordenadas de los vértices del cuadrilátero ABCD son A(0,0), B(7,3), C(8,12) y D(3,16).

a. Averigua de forma razonada y sin recurrir a un dibujo si se trata o no de un paralelogramo.

b. Calcula las coordenadas de los puntos medios de los cuatro lados.

c. Averigua si el cuadrilátero cuyos vértices son los puntos medios anteriores es o no un paralelogramo.

a) Si fuera un paralelogramo, los vectores AB y DC tendrían la misma dirección y el mismo módulo. Por lo tanto, tenemos dos maneras de comprobar si es un paralelogramo: AB = (7,3) – (0,0) = (7,3) y DC = (8,12) – (3,16) = (5,-4). Si tuvieran la misma dirección serían proporcionales, es decir (7,3) = t (5,-4), por lo que t debería valer simultáneamente 7/5 y –3/4.

Como es obvio que estas cantidades no son iguales, estos vectores no son proporcionales (linealmente dependientes) por lo que no son paralelos. La otra forma de comprobarlo es determinando sus módulos. Si fuera un paralelogramo d(A,B) = d(D,C).

(

7 0

) (

3 0

)

58; ( , )

(

8 3

) (

12 16

)

41 )

,

(A B = − 2 + − 2 = d D C = − 2 + − 2 =

d

Como las distancias no coinciden no es un paralelogramo.

b) El punto medio de un segmento se obtiene hallando la media aritmética de las coordenadas de sus extremos:

c) Aplicamos el primer razonamiento empleado en el apartado a):

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

 

=

= +

 =

 

=

= +

=



 

=

= +

 =

 

=

= +

=

8 2, 3 2

0 , 0 16 ,

; 3 14 2 , 11 2

16 , 3 12 , 8

2 ; ,15 2 15 2

12 , 8 3 ,

; 7 2 ,3 2 7 2

3 , 7 0 , 0

DA CD

BC AB

M S M

R

M Q M

P

B C

A

D

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

) 8 , 3 ( 8 3

) 0 , 7 ( 0 0 7

21 10 0

105 50 5

0 21 16 1121 10

4 56 196

0 21 2 14 8 2 14 10

2 14 0

21 8 10

0 14 2

: Re

0 21 8 10

0 42 16 2 20 2

122 16

2 20 2

80

36 12 81

18 4

4 1

2 4

8

) , ( ) , ( ) , (

0 14 2

0 112 8 16

36 12 81

18 4

4 1

2

6 9

2 1

) , ( ) , (

2 2

2 2

2 2 2

2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2

2 2

2 2

2 2

2 2

D y

x

B y

x x x x

x

x x

x x x

x x

x x

x y

y y x x

y x

ecuaciones dos

las forman que

sistema el

solviendo

y y x x y

y x x

y y x x

y y x

x y y x x

B C d B A d C A d

rectángulo triángulo

un de hipotenusa la

es diagonal la

de longitud La

y x y

x

y y x

x y

y x x

y x

y x

B C d B A d cuadrado ser

Por

=

=

=

→ =

= +

= +

= + +

− +

− +

→



= +

− +

→ =



= +

− +

=

− +

= +

− +

= +

− +

→ +

− +

=

+

− + +

− + +

− + +

= +

→ +

=

=

− +

=

− +

+

− + +

= +

− + +

− +

=

− +

=

Resulta que PQ = SR, luego además de ser paralelos son iguales, por lo que QR y PS también deben ser iguales. Es decir, se trata de un paralelogramo.

( ) (

4,6

)

8 2, 14 3 2 , 11

; 6 , 2 4 ,3 2 7 2 ,15 2 15

=

 

−



 

=

=

 

−



 

=

SR PQ

(15)

52. La recta r tiene como ecuación implícita 3x+2y+10=0 y la recta s tiene como ecuaciones paramétricas



+

=

= t y

t x

6 3

5 . Escribe las ecuaciones de r en formas explícita, punto-pendiente,

continua y paramétricas y las ecuaciones de s en forma continua, implícita, explícita y punto- pendiente.

Empecemos con la recta r. Para pasar a forma explícita basta con despejar la y, por lo que queda:

Forma explícita: 5 2 3 −

= x

y

De esta ecuación deducimos que la pendiente m=-3/2. Para hallar la ecuación en la forma punto- pendiente necesitamos las coordenadas de un punto. Si en la ecuación anterior le damos a x el valor 2, resulta y=-8, luego la recta pasa por el punto P(2,-8) y por lo tanto:

Forma punto-pendiente:

(

2

)

2 8=−3 −

+ x

y

El vector director de r se obtiene a partir de los coeficientes de x y de y en la ecuación implícita: u

= (2,-3). Como conocemos las coordenadas de un punto de la recta, tenemos Forma continua:

3 8 2

2

= +

− y

x

Para concluir ponemos la forma paramétrica:



= +

= t y

t x

3 8

2 2

Vamos ahora con la recta s. Si en las ecuaciones paramétricas despejamos el parámetro e igualamos, obtenemos la forma continua:

1 6 3

5 −

− =

= x− y t

Quitando denominadores y pasando todo a un miembro tenemos la ecuación implícita:

0 23 3 18

3

5=− + ⇒ + − =

− y x y

x

Despejando la y obtenemos la forma explícita:

A partir de la forma continua deducimos la forma punto-pendiente:

53. Halla las coordenadas del simétrico del punto P(0,6) respecto de la recta r: y=2x-3.

El proceso que vamos a seguir es el siguiente:

a) Hallamos la perpendicular a r que pasa por P. Como r está en forma explícita tenemos su pendiente m=2. Cualquier recta perpendicular a r tendrá de pendiente –1/2, luego la ecuación del haz de rectas perpendiculares a r es y=− x+n

2

1 . Como queremos que pase por el punto P, la ecuación anterior debe ser cierta para x=0 e y=6, por lo tanto: 6=0+n, n=6 y la recta buscada es

2 6 1 +

= x

y .

b) Ahora hallamos el punto de corte entre esta recta y r:



 

⇒ 





= +

⇒ =

⇒ =

⇒ = +

=

⇒ − +

=

⇒ − +

=

=

5 ,21 5 18 5

6 21 5 9 5

18 18 5 12 6

4 2 6

3 1 6 2

2 1

3 2

Q y

x x

x x

x x x

y x y

c) Ahora calculamos el punto P’, pedido por el problema, teniendo en cuenta que Q debe ser el punto medio del segmento PP’:

P’=(x,y), luego

3 23 3 1 +

= x

y

(

5

)

3 6=−1 −

− x

y

( ) ( )

 

⇒ 





⇒ =

=

⇒ +

= +

⇒ =

= + ⇒

=

 

5 ,12 5 ' 36 5

12 5

6 42 2

6 5 21

5 36 2

5 18 2

, 6 , 0 5 ,21 5

18 P

y y y

x x y

x

(16)

54. Un rombo tiene la diagonal menor de la misma longitud que sus lados y sus extremos son los puntos A(3,1) y C(7,7). Contesta a las siguientes cuestiones razonando las respuestas:

a. ¿Cuánto valen los ángulos del rombo?

b. ¿Cuánto vale el perímetro del rombo?

c. ¿Cuánto mide la diagonal mayor?

d. Calcula las coordenadas de los otros dos vértices.

a) Si la diagonal menor es igual a los lados del rombo, esta diagonal divide al rombo en dos triángulos equiláteros, por lo que el ángulo menor del rombo será de 60º y el mayor de 120º.

b) El perímetro es la suma de las longitudes de los cuatro lados. Si los lados miden lo mismo que la diagonal menor, bastará con hallar la longitud de esta diagonal y multiplicar el resultado por 4:

(

7 3

) (

7 1

)

16 36 52 4 52

) ,

( = − 2+ − 2 = + = =

=d AC perímetro

diagonal

c) La diagonal mayor es el doble de la altura de un triángulo equilátero de lado 52 . Por el teorema de Pitágoras sabemos que la altura de cualquier triángulo equilátero es

2 3

h= l , siendo l el lado del triángulo, así pues como la diagonal mayor es el doble de esa altura, tenemos:

2 156 2 156 2

156 2

3

52 = ⇒ = =

= diagonal mayor

h

d) Hay varias maneras de resolver la última parte. Nosotros vamos a seguir el siguiente procedimiento:

En primer lugar hallamos la ecuación de la diagonal mayor, porque los puntos buscados deben estar en esa recta. Esa diagonal no es otra que la mediatriz del segmento AC. La mediatriz también se puede calcular de varias maneras. Nosotros usaremos la propiedad d(P,A) = d(P,C):

( ) ( ) ( ) ( )

0 22 3 2 0

88 12 8

49 14 49

14 1

2 9

6

7 7

1 3

2 2

2 2

2 2

2 2

=

− +

=

− +

+

− + +

= +

− + +

− +

=

− +

y x y

x

y y

x x

y y x

x

y x

y x

En segundo lugar hallamos las coordenadas del punto medio, M, de AC:

En tercer lugar hallamos la ecuación de la circunferencia de centro M y la altura del triángulo equilátero mitad del rombo:

En cuarto lugar hallamos los puntos de corte de esta circunferencia

con la mediatriz (que es la diagonal mayor). Las soluciones serán las coordenadas de los puntos buscados:

Por lo tanto, las soluciones son:

( ) ( ) ( )





+ + =

= −

− ⇒

− =

= − + ⇒

=

±

=

= ⇒ +

⇒ −

= +

⇒ −

=

− + +

= ⇒

− + +

⇒ −

= +

 +

 

 −





= ⇒

 +

 

 − −

− ⇒

⇒ =

=

− +





=

− +

3 3 2 5

3 6 12 3 22

2 4

3 3 2 5

3 6 12 3 22

2 4 4 16 4

0 4 8 0

52 104 13

0 92 32 4

9 72 144

0 23 4 8

9 72 39 144

16 2 8

3 12

39 4 2 5

3 22 2

3 22 0

22 3 2

2 4 156 5

2 2

2 2

2 2 2

2

2 2

2 2

2

x x y

y y y

y y

y y y

x y y

x y y y

y y x y

y x

y x

(

53 3,4+2 3

)

=

(

5+3 3,42 3

)

= D

B

( ) ( )

2 2

2

2 4 156

5 



=

− +

− y

x

( ) ( ) ( )

5,4 2

7 , 7 1 ,

3 + =

= M

(17)

55. Con los datos del problema 53, halla la ecuación de la circunferencia que pasa por P y es tangente a la recta r, de forma que el segmento que une P con el punto de tangencia es un diámetro. Razona la respuesta.

Podemos aprovechar los datos del problema anterior. El centro de la circunferencia será el punto medio de los puntos P y Q del problema anterior, es decir:

El radio de la circunferencia será la mitad de de la distancia de P a r. Si ponemos r en forma implícita, tenemos: 2x-y-3=0 y por tanto:

5 2

9 1

2 2

3 6 0 2 2

) , (

2

2 =

+

= ⋅

= d P r

rad La ecuación de la circunferencia

56. Calcula el área del triángulo de vértices A(2,-1), B(-5,1) y C(0,3). Calcula también las coordenadas del baricentro del triángulo. Razona las respuestas.

El área de un triángulo es igual a la base por la altura dividido entre 2. Si llamamos r a la recta que pasa por A y B, la base es la distancia entre A y B y la altura es la distancia entre C y r. Así pues:

(

5 2

) (

1 1

)

49 4 53 )

,

( = − − 2 + + 2 = + =

=d A B base

La recta que pasa por A y B tiene como vector director AB = (-5-2,1+1) = (-7,2) y como vector normal n = (2,7). Por lo tanto, el haz de rectas paralelas a r es: 2x + 7y + C = 0. Como queremos que pase por A tenemos 4 – 7 + C = 0 de donde C = 3. Es decir, r tiene como ecuación 2x + 7y + 3 = 0.

2 12 53 53 24

53 24 7

2

3 3 7 0 ) 2 ,

( 2 2 = = =

+ +

⋅ +

= ⋅

=d C r área

altura

Por su parte, el baricentro de un triángulo (punto de corte de las medianas) se obtiene como la media aritmética de las coordenadas de los vértices:

( ) (

1,1

)

3 3 1 , 1 3

0 5

2 = −

 

 + − + − + +

= G

57. Halla las ecuaciones de los lados, las coordenadas de los vértices y las coordenadas del baricentro de un triángulo cuyos lados son paralelos a los lados del triángulo del ejercicio anterior y pasan por sus vértices (ver figura adjunta). Razona las respuestas.

En este ejercicio hemos de calcular las ecuaciones de los lados del triángulo del ejercicio anterior.

La ecuación del lado AB ya la hemos calculado, así que tendremos que calcular las ecuaciones de los lados AC y BC. Después habrá que calcular las ecuaciones de las paralelas a esas tres rectas que pasen por los puntos C, B y A respectivamente. Después habrá que calcular los puntos de corte de estas tres nuevas rectas y tendremos los vértices A’, B’ y C’ del nuevo triángulo. Por último hallaremos las coordenadas del baricentro del nuevo triángulo y comprobaremos que son las mismas que las del baricentro del triángulo ABC.

La ecuación de la recta AB es 2x + 7y + 3 = 0.

20 81 10

51 5

9 2 2

 =

 

 −

 +

 

x− y

( )



 

=



 

 +

= 10

,51 5 9 2

5 ,21 5 6 18 , 0 C

(18)

Calculamos ahora la ecuación de la recta AC:

El vector director de esta recta es AC = (-2,4), por lo que el vector normal es n = (4,2). La ecuación del haz de rectas paralelas a AC es 4x + 2y + C = 0. Imponiendo la condición de que pase por el punto C resulta: 6 + C = 0, de donde C = -6 y la recta buscada es 4x + 2y – 6 = 0, que simplificando queda: 2x + y – 3 = 0.

Hallamos ahora la recta BC:

Vector director: BC = (5,2); vector normal (2,-5). Haz de rectas paralelas a BC: 2x – 5y + C = 0 e imponiendo que pase por C resulta –15 + C = 0, de donde C = 15 y la recta buscada es 2x – 5y + 15 = 0.

Recta paralela a AB que pasa por C: (r) 2x + 7y + C = 0, imponiendo que pase por C tenemos: 21 + C = 0, de donde C = -21 y la recta buscada es 2x + 7y – 21 = 0.

Recta paralela a AC que pasa por B: (s)

2x + y + C = 0, imponiendo que pase por B tenemos: -10 + 1 + C = 0, de donde C = 9 y la recta buscada es 2x + y + 9 = 0.

Recta paralela a BC que pasa por A: (t)

2x – 5y + C =0, imponiendo que pase por A tenemos: 4 + 5 + C = 0, de donde C = -9 y la recta buscada es 2x – 5y – 9 = 0.

Para hallar los vértices del nuevo triángulo tenemos que resolver tres sistemas de ecuaciones eligiendo las ecuaciones anteriores dedos en dos:

Hallamos el vértice A’: para ello usamos las rectas r y s:

7 14

2 5 30

9 6 2

21 7

2 =−



 ⇒ = ⇒ = ⇒ =− ⇒

= +

=

+ y y x x

y x

y

x Así pues: A’ = (-7,5)

Hallamos el vértice B’: para ello usamos las rectas r y t:



 ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

=

=

+ 12 12 1 2 14 7

9 5 2

21 7

2 y y x x

y x

y

x Así pues: B’ = (7,1)

Hallamos el vértice C’: para ello usamos las rectas s y t:



 ⇒ =− ⇒ =− ⇒ =− ⇒ =−

=

=

+ 6 18 3 2 6 3

9 5 2

9

2 y y x x

y x

y

x Así pues: C’ = (-3,-3)

Por último, hallamos el baricentro del triángulo A’B’C’:

(

1,1

)

3 3 1 ,5 3

3 7

' 7 = −

 

− + − + −

= G

que, como podemos ver, coincide con el baricentro del triángulo ABC.

(19)

58. Halla la ecuación de la bisectriz interior correspondiente al vértice A del triángulo del ejercicio 4. Razona la respuesta. Explica a continuación qué cálculos sería necesario hacer para hallar la ecuación de la circunferencia inscrita a ese triángulo.

Tenemos que hallar las bisectrices de los ángulos formados por las rectas AB y AC del ejercicio anterior y elegir la interna. Para saber cuál de las dos es basta con fijarse en el dibujo.

Necesitamos la que tenga pendiente negativa. La bisectriz es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de dos rectas, así pues:

1 4

3 2

49 4

3 7 ) 2

, ( ) ,

( +

= + +

+

⇔ +

= x y x y

t P d s P d

Al quitar los valores absolutos obtendremos las dos bisectrices:

b1:

( ) ( )

(

2 5 2 53

) (

7 5 53

) (

3 5 3 53

)

0

3 2

53 3

7 2 5 5

3 2

53 3 7 2

= +

+

− +

− +

= + +

− ⇔

= + + +

y x

y x y

y x x y

x

b2:

( ) ( )

(

2 5 2 53

) (

7 5 53

) (

3 5 3 53

)

0

3 2

53 3

7 2 5 5

3 2

53 3 7 2

=

− +

+ +

+

− +

= + +

− ⇔

− + + = +

y x

y x y

y x x y

x

El vector director de la primera bisectriz es

(

537 5,2 52 53

)

(

8'37,10'09

)

. La pendiente de una recta se obtiene dividiendo la segunda coordenada del vector director por la primera.

Como en este caso las dos son negativas resulta que la pendiente es positiva, por lo que no es ésta la bisectriz que estamos buscando, sino la segunda cuya ecuación es

(

2 5 +2 53

) (

x+ 7 5+ 53

) (

y+ 3 53 53

)

=0

Para finalizar, explicaremos brevemente qué cálculos serían necesarios para hallar la ecuación de la circunferencia inscrita en el triángulo ABC:

Para hallar la ecuación de una circunferencia se necesitan las coordenadas del centro y el radio.

El centro de la circunferencia inscrita (o incentro) es el punto en el que se cortan las bisectrices. Ya hemos calculado una de ellas, por lo que tendríamos que repetir el proceso anterior en el vértice B o en el C (basta con hacerlo en uno de ellos). Una vez que tengamos dos bisectrices, resolvemos el sistema de ecuaciones que determinan y la solución nos da las coordenadas del incentro.

Para hallar el radio tenemos en cuenta que el incentro equidista de los tres lados del triángulo, luego basta con calcular la distancia del incentro a cualquiera de los tres lados del triángulo.

Con las coordenadas del incentro y el radio podemos escribir ya la ecuación de la circunferencia inscrita en el mismo.

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