Tema 10. Aplicaciones de la derivada. Representaci´on gr´afica de funciones

Tema 10. Aplicaciones de la derivada.

Representaci´ on gr´ afica de funciones

Profesor Andr´es D´ıaz Jim´enez andresscarlatti@gmail.com

IES ALPAJ ´ ES

14 de abril de 2013

Representaci´on gr´afica de la funci´on f (x) = x ² x + 2

Representar gr´aficamente la funci´on f (x) = x ²

x + 2 Dominio D = R − −2 Puntos de corte con los ejes

x = 0 y = 0 ⇒ (0, 0)

y = 0 x ²

x + 2 = 0 ⇒ x = 0 ⇒ (0, 0) Simetr´ıas

f (−x) = −x

(−x) ² + 2 = −x

x ² + 2 ⇔ no es sim´etrica As´ıntotas

As´ıntotas verticales

x + 2 = 0 ⇒ x = −2

l´ım

x →2 ⁺

x ²

x + 2 = +∞ l´ım

x →2 ⁺

x ²

x + 2 = +∞

As´ıntotas horizontales

l´ım

x →+∞

x ²

x + 2 = ∞ l´ım

x →−∞

x ²

x + 2 = −∞

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Representaci´on gr´afica de la funci´on f (x) = x ² x + 2

As´ıntotas oblicuas y = mx + n

m = l´ım

x →∞

f (x)

x = l´ım

x →∞

x ² x + 2

x = l´ım

x →∞

x ²

x ² + 2 = 1 n = l´ım

x →∞ f (x) − mx = l´ım _x

→∞

x ²

x + 2 − x = l´ım _x

→∞

x ² − x ² − 2x

x + 2 = l´ım

x →∞

−2x

x + 2 = −2 y = x − 2

m = l´ım

x →−∞

f (x)

x = l´ım

x →−∞

x ² x + 2

x = l´ım

x →−∞

x ²

x ² + 2 = 1 n = l´ım

x →−∞ f (x) − mx = l´ım _{x →−∞} x ²

x + 2 − x = l´ım _{x →−∞} x ² − x ² − 2x

x + 2 = l´ım

x →−∞

−2x

x + 2 = −2

y = x − 2

Representaci´on gr´afica de la funci´on f (x) = x ² x + 2

Signo de la funci´on

1 2 3

−1

−2

−3

1 2 3

−1

−2

−3

(0, 0)

−

+

b

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Representaci´on gr´afica de la funci´on f (x) = x ² x + 2

f ^′ (x) = 2x(x + 2) − x ²

(x + 2) ² = 2x ² + 4x − x ²

(x + 2) ² = x ² + 4x (x + 2) ² Estudiamos el signo de la f ^′ (x) para ello obtenemos los extremos relativos.

x ² + 4x

(x + 2) ² = 0 ⇒ x ² + 4x = 0 ⇒ x(x + 4) = 0 ⇒ x = 0 x = −4

−4 −2 0

f ^′ (x) + 0 − X − 0 +

ր m´aximo ց as´ıntota vertical ց m´ınimo ր

Representaci´on gr´afica de la funci´on f (x) = x ² x + 2

Curvatura

f ^′′ (x) = (2x + 4)(x + 2) ² − (x ² + 4x)2(x + 2)

(x + 2) ⁴ = (x + 2) (2x + 4)(x + 2) − 2x ² − 8x 

(x + 2) ⁴ =

= 2x ² + 4x + 4x + 8 − 2x ² − 8x

(x + 2) ³ = 8

(x + 2) ³

La funci´on no tiene puntos de inflexi´on pero si que cambia la curvatura en la as´ıntota vertical

2

f ^′′ (x) − X +

T as´ıntota vertical S

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Representaci´on gr´afica de la funci´on f (x) = x ² x + 2

2 4

−2

−4

−6

−8

−10

2 4 6

−2

−4

−6

−8

−10

Representaci´on gr´afica de la funci´on f (x) = e ^x x

Dominio

D = R − 0 Puntos de corte con los ejes

x = 0 ⇒ No existe punto de corte con el eje y y = 0 e ^x

x = 0 ⇒ e ^x = 0 ⇒ esta ecuaci´on no tiene soluci´on por que e ^x > 0 para todo x ∈ D Simetr´ıas

f (−x) = e ^−x

−x = − 1

xe ^x ⇒ no es sim´etrica

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Representaci´on gr´afica de la funci´on f (x) = e ^x x

As´ıntotas

As´ıntotas verticales x = 0

l´ım

x →0 ⁻

e ^x

x = −∞ l´ım

x →0 ⁺

e ^x

x = +∞

As´ıntotas horizontales

l´ım

x →∞

e ^x

x = ∞

∞ = l´ım

x →∞

e ^x

1 = ∞ l´ım

x →−∞

e ^x x = 0

∞ = 0 ⇒ As´ıntota horizontal en y = 0 As´ıntotas oblicuas

m = l´ım

x →∞

f (x)

x = l´ım

x →∞

e ^x x

x = l´ım

x →∞

e ^x

x ² = ∞

∞ = l´ım

x →∞

e ^x

2x = l´ım

x →∞

e ^x

2 = ∞

La funci´on no tiene as´ıntotas oblicuas

Representaci´on gr´afica de la funci´on f (x) = e ^x x

Signo de la funci´on

1 2 3

−1

−2

−3

1 2 3

−1

−2

−3

−

+

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Representaci´on gr´afica de la funci´on f (x) = e ^x x

Monoton´ıa

f ^′ (x) = e ^x x − e ^x

x ² = e ^x (x − 1) x ² f ^′ (x) = 0 ⇒ e ^x (x − 1)

x ² = 0 ⇒ e ^x (x − 1) = 0 ⇒ x = 1 Estudiamos el signo de f ^′ (x)

0 1

f ^′ (x) − X − 0 +

ց as´ıntota vertical ց m´ınimo ր

Representaci´on gr´afica de la funci´on f (x) = e ^x x

Curvatura Calculamos f ^′′ (x)

f ^′′ (x) = [e ^x (x − 1) + e ^x ] x ² − e ^x (x − 1)2x

x ⁴ = xe ^x [(x − 1 + 1)x − 2x + 2]

x ⁴ = e ^x (x ² − 2x + 2) x ³

Igualamos a 0 para obtener los puntos de inflexi´on.

e ^x (x ² − 2x + 2)

x ³ = 0 ⇒ x ² − 2x + 2 = 0 x = 2 ± √

4 − 8

2 = 2 ± √

−4 2 Estudiamos el signo de f ^′′ (x)

0

f ^′′ (x) − X +

T as´ıntota vertical S

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Representaci´on gr´afica de la funci´on f (x) = e ^x x

1 2 3 4 5 6

−1

−2

1 2 3 4 5 6

−1

−2

−3

−4

Representaci´on gr´afica de la funci´on f (x) = x ln x

Dominio

Domf = (0, ∞) Puntos de corte con los ejes

x = 0 No tiene punto de corte con el eje Y

y = 0 ⇒ 0 = x ln x ⇒ ln x = 0 ⇒ x = 1 ⇒ (1, 0) Simetr´ıa:

La funci´on no es sim´etrica por que no est´a definida en los reales negativos.

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Representaci´on gr´afica de la funci´on f (x) = x ln x

As´ıntotas:

As´ıntotas verticales. La funci´on no tiene as´ıntotas v´erticales.

l´ım

x →0 x ln x = 0 · ∞ = l´ım _x

→0

ln x 1 x

l´ım

x →0

1 x

− 1 x ²

= l´ım

x →0 − x ²

x = l´ım

x →0 −x = 0 As´ıntotas horizontales

l´ım

x →∞ x ln x = ∞ As´ıntotas oblicuas y = mx + n

m = l´ım

x →∞

x ln x

x = l´ım

x →∞ ln x = ∞ No tiene as´ıntotas oblicuas

Signo de la funci´on

1 2

−1

1 2

−1

−2 −

+

b

Representaci´on gr´afica de la funci´on f (x) = x ln x Monoton´ıa

f ^′ (x) = ln x + x 1

x = ln x + 1

ln x + 1 = 0 ⇒ ln x = −1 ⇒ x = e ⁻¹ ⇒ 1 e

0 1

f ^′ (x) X − 0 e + ց m´ınimo ր Curvatura

f ^′′ (x) = 1

x > 0 Para todo x ∈ Domf ⇒ [

1 2 3 4

−1

−2

−3

1 2 3 4

−1

−2

−3

−4

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Representaci´on gr´afica de la funci´on f (x) = x ² − 1 x

Dominio

Domf = R − 0 Puntos de corte con los ejes

x = 0 No corta al eje Y y = 0 x ² − 1

x = 0 ⇒ x ² − 1 = 0 ⇒ x = ± √

1 ⇒ x = 1 x = −1 (1, 0) (−1, 0)

Simetr´ıas

f (−x) = (−x) ² − 1

−x = x ² − 1

−x = − x ² − 1

x = −f(x) ⇒ La funci´on es impar

Representaci´on gr´afica de la funci´on f (x) = x ² − 1 x As´ıntotas

As´ıntotas verticales

x = 0 l´ım

x →0 ⁺

x ² − 1

x = −∞ l´ım

x →0 ⁻

x ² − 1

x = +∞

As´ıntotas horizontales

l´ım

x →∞

x ² − 1

x = ∞ l´ım

x →−∞

x ² − 1

x = −∞

As´ıntotas oblicuas. y = mx + n

m = l´ım

x →∞

f (x)

x = l´ım

x →∞

x ² − 1 x

x = l´ım

x →∞

x ² − 1 x ² = 1 n = l´ım

x →∞ f (x) − mx = l´ım _{x →∞} x ² − 1

x − x = l´ım _{x →∞} −1 x = 0 y = x

m = l´ım

x →−∞

f (x)

x = l´ım

x →−∞

x ² − 1 x

x = l´ım

x →−∞

x ² − 1 x ² = 1 n = l´ım

x →−∞ f (x) − mx = l´ım _{x →−∞} x ² − 1

x − x = l´ım _{x →−∞} −1 x = 0

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Representaci´on gr´afica de la funci´on f (x) = x ² − 1 x

Signo de la funci´on

1

−1

1 2

−1

−2 −

+ +

−

b

b

Monoton´ıa

f ^′ (x) = 2x · x − (x ² − 1)

x ² = 2x ² − x ² + 1

x ² = x ² + 1 x ² > 0

f ^′ (x) > 0 ⇒ Para todo x ∈ Domf ⇒ La funci´on siempre es creciente Curvatura

f ^′′ (x) = 2x · x ² − 2x(x ² + 1)

x ⁴ = 2x ³ − 2x ³ + 2x

x ⁴ = −2x

x ⁴ = −2 x ³ 0

f ^′′ (x) + X −

S as´ıntota vertical T

Representaci´on gr´afica de la funci´on f (x) = x ² − 1 x

1 2 3 4

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4

−1

−2

−3

−4

−5

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Representaci´on gr´afica de la funci´on f (x) = x ² x ² + 1

Dominio

Domf = R Puntos de corte con los ejes

x = 0y = 0

0 + 1 = 0 (0, 0) Simetr´ıas

f (−x) = (−x) ²

(−x) ² + 1 = x ²

x ² + 1 = f (x) ⇒ Es una funci´on par As´ıntotas

As´ıntotas verticales. La funci´on no tiene as´ıntotas verticales.

As´ıntotas horizontales

l´ım

x →∞

x ²

x ² + 1 = 1 l´ım

x →∞

x ²

x ² + 1 = 1 y = 1

As´ıntotas oblicuas. La funci´on no tiene as´ıntotas oblicuas porque tiene as´ıntotas horizontales.

Signo de la funci´on. La funci´on es positiva para x ∈ Domf

Representaci´on gr´afica de la funci´on f (x) = x ² x ² + 1

Estudio de la monoton´ıa.

f ^′ (x) = 2x(x ² + 1) − x ² · 2x

(x ² + 1) ² = 2x ³ + 2x − 2x ³

(x ² + 1) ² = 2x (x ² + 1) ² 2x

(x ² + 1) ² = 0 ⇒ x = 0 0

f ^′ (x) − 0 + ց m´ınimo ր Estudio de la curvatura

f ^′′ (x) = 2(x ² + 1) ² − 2x2(x ² + 1)2x

(x ² + 1) ⁴ = (x ² + 1)[2x ² + 2 − 8x ² ]

(x ² + 1) ³ = −6x ² + 2 (x ² + 1) ³ f ^′′ (x) = −6x ² + 2

(x ² + 1) ³ = 0 ⇒ −6x ² + 2 = 0 ⇒ 2 = 6x ² ⇒ x = ± r 2

6 = ± r 1 3

− r 1 3

r 1 3

f ^′′ (x) − 0 + 0 −

T punto de inflexi´on S

punto de inflexi´on T

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Representaci´on gr´afica de la funci´on f (x) = x ² x ² + 1

1 2 3

−1

−2

1 2 3 4

−1

−2

−3

−4

Representaci´on gr´afica de la funci´on f (x) = x ² x ² − 1

Dominio

x ² − 1 = 0 ⇒ x = ± √

1 ⇒ Domf = R − {−1, 1}

Puntos de corte con los ejes

x = 0y = 0

0 + 1 = 0 (0, 0) Simetr´ıas

f (−x) = (−x) ²

(−x) ² − 1 = x ²

x ² − 1 = f (x) ⇒ Es una funci´on par As´ıntotas

As´ıntotas verticales. x = −1, x = 1 l´ım

x →1 ⁺

x ²

x ² − 1 = +∞ l´ım

x →1 ⁻

x ²

x ² − 1 = −∞

l´ım

x →−1 ⁺

x ²

x ² − 1 = −∞ l´ım

x →−1 ⁻

x ²

x ² − 1 = +∞

As´ıntotas horizontales

l´ım

x →∞

x ²

x ² − 1 = 1 l´ım

x →∞

x ²

x ² − 1 = 1 y = 1

As´ıntotas oblicuas. La funci´on no tiene as´ıntotas oblicuas porque tiene as´ıntotas horizontales.

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Representaci´on gr´afica de la funci´on f (x) = x ² x ² − 1

Signo

1 2

−1

1 2

−1

−2 −

+ +

−

Monoton´ıa

f ^′ (x) = 2x(x ² − 1) − x ² · 2x

(x ² − 1) ² = 2x ³ − 2x − 2x ³

(x ² − 1) ² = −2x (x ² − 1) ²

−2x

(x ² − 1) ² = 0 ⇒ x = 0

−1 0 1

f ^′ (x) + X + 0 − X −

ր as´ıntota vertical ր m´aximo ց as´ıntota vertical ց

Representaci´on gr´afica de la funci´on f (x) = x ² x ² − 1

Curvatura

f ^′′ (x) = −2(x ² − 1) ² + 2x2(x ² − 1)2x

(x ² − 1) ⁴ = (x ² − 1)[−2x ² + 2 + 8x ² ]

(x ² − 1) ³ = 6x ² + 2 (x ² − 1) ³ 6x ² + 2

(x ² − 1) ³ = 0 ⇒ 6x ² + 2 = 0 ⇒ x = r

− 1

3 ⇒ No se anula nunca la derivada segunda

−1 1

f ^′′ (x) + X − X +

S as´ıntota vertical T

as´ıntota vertical S

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Representaci´on gr´afica de la funci´on f (x) = x ² x ² − 1

1 2 3 4 5

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4

−1

−2

−3

−4