La función de distribución de nuestra variable aleatoria X, respecto a nuestro rango, es:

Tarea 7 Variables Aleatorias Discretas En los ejercicios del 1 al 7 encontrar:

a) La función de distribución variables, b) La media y varianza de la variable.

1. Considere el experimento de lanzar dos dados balanceados y observar la cara superior de los dados. Sea X la variable aleatoria que consiste en restar el resultado del dado A del resultado del dado B.

 Debido a que lanzamos 2 dados y cada dado tiene 6 lados, en total tenemos 36 caras entre los dos dados. Para definir el rango de nuestra variable solo tenemos que tener claro cuáles podrían ser las restas dependiendo de las caras que salgan, por ejemplo, que el dado A=6 y el dado B=1, la resta entre estos sería -5 o, viceversa, A=1 y B=6, la resta sería 5. Partiendo de esta idea, el rango de nuestra variable aleatoria X es:

𝑅(𝑥) = {−5, −4, −3, −2, −1,0,1,2,3,4,5}

 Para definir la función, checamos cuántas posibilidades de

combinaciones de número nos sirven para llegar a los resultados de nuestro rango. Por ejemplo, para lograr B-A=5 solo hay una

combinación de números posibles, pero para que la resta sea igual a 4, hay dos combinaciones, A=4 y B=6, así como también, A=1 y B=5.

La función de distribución de nuestra variable aleatoria X, respecto a nuestro rango, es:

𝑓(𝑥) = {1 36, 2

36, 3 36, 4

36, 5 36, 6

36, 5 36, 4

36, 3 36, 2

36, 1 36}

 Partiendo de nuestros datos. La media es:

𝜇 = 0

 Partiendo del dato obtenido de la media. La varianza es:

𝜎² =35

6 = 5.8333

2. De un lote que contiene 15 artículos, se sabe que 5 de ellos son defectuosos. Se eligen tres al azar. Sea X el número de artículos defectuosos encontrados.

 Debido a que de 15 artículos solo elegiremos 3 al azar, es lógico pensar que de esos 3 puedes sacar ningún defectuoso, 1

defectuoso, 2 defectuosos o los 3 artículos defectuosos. Partiendo de esta idea, el rango de nuestra variable aleatoria X es:

𝑅(𝑥) = {0,1,2,3}

 Dado que tomarás los 3 artículos al mismo tiempo, utilizamos

combinaciones para determinar las probabilidades de sacar 0, 1, 2 o 3 artículos defectuosos. Por ejemplo, para cuando sacas 0 artículos defectuosos estarías sacando 3 artículos de los no defectuosos y 0 de los defectuosos eso se expresa de la siguiente manera:

𝑃(𝑁𝐷 ∩ 𝑁𝐷 ∩ 𝑁𝐷) = ⁽

10 3)(⁵₀) (¹⁵₃)

La función de distribución de nuestra variable aleatoria X, respecto a nuestro rango, es:

𝑓(𝑥) = {120 455,225

455,100 455, 10

455}

 La media es:

𝜇 = 1

 La varianza es:

𝜎² = 0.5714

3. De un lote que contiene 15 artículos, se sabe que 5 de ellos son defectuosos. Se eligen tres al azar. Sea X el número de artículos defectuosos encontrados. Si los artículos se toman de uno a uno con sustitución.

 Para definir nuestro rango de la variable, es igual al caso anterior. El rango de nuestra variable aleatoria X es:

𝑅(𝑥) = {0,1,2,3}

 Dado que en este problema tomamos los 3 artículos uno por uno con sustitución, las probabilidades se hacen justas y la misma para cada evento. En otras palabras, siempre habrá 15 artículos y siempre tendrás la misma probabilidad de sacar cada artículo. Por esta acción, la probabilidad de sacar 0 defectuosos sería igual a sacar 3 artículos no defectuosos(ND) y :

𝑃(𝑁𝐷) =10 15

Debido a que el evento consiste en sacar 3 veces un artículo no defectuoso, la función para ese evento es igual a:

𝑃(𝑁𝐷 ∩ 𝑁𝐷 ∩ 𝑁𝐷) = (10 15)³

Por lo tanto, la función de distribución de nuestra variable aleatoria X, respecto a nuestro rango, es:

𝑓(𝑥) = {(10 15)

3

, 3 (10 15)

2

(5 15)

1

, 3 (10 15 ) (5

15)

2

, (5 15)

3

}

 La media es:

𝜇 = 1

 La varianza es:

𝜎² = 0.6666

4. Sea X la variable aleatoria que representa el número de águilas menos el número de soles en dos lanzamientos de una moneda ideal.

 Dado que se lanza una moneda justa, es decir, una moneda que no está cargada, se tienen dos posibilidades nada más, que caiga sol o que caiga águila, o sea que la probabilidad de que caiga sol es la misma de que caiga águila:

𝑃(𝑆) = 𝑃(𝐴) = 1 2

El problema es que nuestra variable será la resta del número de águilas menos el número de soles. Dado que nuestro espacio muestra contiene los siguientes casos:

Ω = {𝐴𝐴,𝐴𝑆 𝑆𝐴, 𝑆𝑆}

Para el primer elemento, restaríamos el número de apariciones de los soles al número de apariciones de las águilas, de la cuál el resultado sería 2. Basándonos en esta misma idea, el rango de nuestra variable aleatoria X es:

𝑅(𝑥) = {2,0, −2}

 Para definir la función para cada evento, debemos multiplicar las probabilidades de cada aparición, por ejemplo para el 2 evento en el que puedo tener AS ó SA, la probabilidad de uno de estos es:

𝑃(𝑆 ∩ 𝐴) = 𝑃(𝑆) ∗ 𝑃(𝐴) =1 2×1

2=1 4 Pero, dado que este evento puede ocurrir 2 veces:

𝑃((𝑆 ∩ 𝐴) ∪ (𝐴 ∩ 𝑆) =1 2

2

× 2

Partiendo de esta idea, la función de distribución de nuestra variable aleatoria X, respecto a nuestro rango, es:

𝑓(𝑥) = {1 4,1

2,1 4}

 La media es:

𝜇 = 0

x +2 +3 +5 -1 -4 -6

f(x) 1

6

1 6

1 6

1 6

1 6

1

6 = 6

6

µ = (2) ¹

6 + (3) ¹

6 + (5) ¹

6 + (−1) ¹

6 + (−4) ¹

6 + (−6) ¹

6 = ²

6+ ³

6+⁵

6−¹

6−⁴

6−⁶

6 = −¹

6

σ²= 2^{2 1}

6 + 3^{2 1}₆ + 5^{2 1}₆ + (−1)^{2 1}₆ + (−4)^{2 1}₆ + (−6)^{2 1}₆ − (¹₆)² = ²²

6 + ³²

6 +⁵²

6 +⁽⁻¹⁾²

6 +⁽⁻⁴⁾²

6 +⁽⁻⁶⁾²

6 −(¹

6)² = ⁵⁴⁵

36

 La varianza es:

𝜎² = 2

5. Un jugador lanza un dado corriente. Si sale un número primo gana dicho número de dólares, pero si no sale primo entonces pierde esa cantidad de dólares. (Primos:2, 3 y 5)

6. En una familia de cuatro descendientes la probabilidad de tener una niña es el doble de la probabilidad de tener niño sea X la v.a.d. Que da el número de niñas.

7. x 0 1 2 3 4

f(x)

(1 3)

4

(2 3) (1

3)

3

(1 3)

2

(2 3)

2

(1 3) (2

3)

3

(2 3)

4

2P(Niño)=P(Niña) 𝜇 = 2.66, 𝜎 = 0.9614 P(Niño)+P(Niña)=1

P(Niño)+ 2P(Niño)=1 P(Niño)=1/3

P(Niña))1-1/3=2/3

x 20 25 30 f(x) (²₂)(⁴₁)

(⁶₃)

(²₁)(⁴₂) (⁶₃)

(²₀)(⁴₃)

(⁶₃) =5 5

µ = (20) ¹

5 + (25) ³

5 + (30) ¹

5 = 25

σ²= 20^{2 1}

5 + 25^{2 3}

5 + 30^{2 1}

5 − (25)² = 10

8. De una urna que tiene cuatro monedas de $10 y dos de $5 se toman tres monedas se define la variable X como la suma del dinero tomado.

9. Determine el valor de c de modo que cada una de las funciones siguientes puedan servir como distribución de probabilidad de la variable aleatoria discreta X.

a) f(x)= c(x ^2+4) para x=0, 1, 2, 3; b) 𝑓(𝑥) = 𝑐(²_𝑥)(_3−𝑥³ )para x= 0, 1, 2.

a) cuando x=0 f(x)=c(4) cuando x=1 f(x)=c(5) cuando x=2 f(x)=c(6) cuando x=3 f(x)=c(13)

Si sumamos todos los valores que se multiplican por c da un igual a 30 por lo tanto

c=1/30 para que pueda tomar todos los valores de X

correspondientes y al sumar todos los valores de f(x) sean iguales a 1.

b) c es igual a 1/10

10. Decir si la función 𝑓(𝑥) = (³_𝑥) ¹

4 𝑥 3

4 1−𝑥

es distribución de probabilidad de la variable aleatoria discreta X lm(x)={0,1,2,3}

No es función de probabilidad.

 Sabemos que la moneda está cargada y por el problema tenemos que:

o 𝑝(𝑆) = 3𝑝(𝐴)

 Y por regla de la probabilidad sabemos que:

o 𝑝(𝑆) + 𝑝(𝐴) = 1

 Por lo que resolviendo el sistema de ecuaciones como:

o 𝑝(𝑆) = 3𝑝(𝐴) ; 𝑝(𝑆) + 𝑝(𝐴) = 1

 Sustituyendo la primera ecuación en la segunda:

o 3𝑝(𝐴) + 𝑝(𝐴) = 1 o 4𝑝(𝐴) = 1

o 𝑝(𝐴) = 1 4

 Por lo tanto:

o 𝑝(𝐴) = 1 4 o 𝑝(𝑆) = 3 4

 Sabiendo esto y que la moneda es lanza dos veces podemos decir que el caso externo es:

o 1._ Todas caen águilas.

o 2._ Ninguna cae águila.

 Por lo que nuestra 𝑥 va a ir de 0 a 2:

o Ω = { 𝐴𝐴, 𝐴𝑆 𝑆𝐴, 𝑆𝑆 }

 Al tabular tenemos:

𝐴 0 1 2

𝑓(𝐴) (3 4 )(3 4 ) = 9 16 (2)(3 4 )(1 4 ) = 6 16 (1 4 )(1 4 )

= 1 16

 Obtenemos el valor esperado como:

o 𝜇 = 0(9 16) + 1(6 16) + 2(1 16) = 8 16 = 1 2

 Por lo tanto esperamos un total de ¹

2 Águila.

11. Una moneda está cargada de modo que la probabilidad de ocurrencia de un sol es tres veces mayor que la de un águila. Encuentra el número esperado de águilas cuando esta moneda se lanza dos veces.

12. En un juego de apuestas se le paga a una mujer $3 si se saca una jota o una reina y $5 si se saca un rey o un as de una baraja ordinaria de 52 cartas. Si se saca otra carta, pierde. ¿Cuánto debe pagar si el juego es justo?

 Lo primero es saber que cada baraja contiene 4 figuras diferentes y ya que estamos trabajando con la numeración quiere decir que cada carta tiene la misma posibilidad de aparecer multiplicada por 4:

o 𝑝 = 4 1 52 = 4 52

 Y como la numeración va del 1 al 10 más J, Q y K. Es decir 13 cartas diferentes y ella gana con 4 de esas cartas acomodadas por pares y pierde con las restantes 9 cartas. Podemos agruparlas y suponiendo que la

cantidad que pierde es la misma en todos los casos desfavorables. Se obtiene que:

𝑥 $3.00-k $5.00-k -k

𝑓(𝑥)

2 4 52 = 8 52 2 4 52 = 8 52 9 4 52 = 36 52

 Como nos preguntan en el caso que el juego es justo, entonces esperamos que no haya ni ganancias ni perdidas por lo que el valor esperado seria:

o 𝜇 = 0

 Sabiendo esto podemos calcular el valor esperado como:

o 𝜇 = (3 − 𝑘) 8 52 + (5 − 𝑘) 8 52 − 𝑘 36 52 = 0

 Simplificando, y despejando a 𝑘 tenemos que:

 Lo justo sería pagar $ 1.23 cuando salga una carta que te hace perder.