Aplicaciones de las Derivadas 2

Aplicaciones de las Derivadas

2 ^◦ Bachillerato Ciencias Sociales

Departamento de Matemáticas

I.E.S. Virgen del Puerto - PLASENCIA

Curso 2015/16

J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Aplicaciones Derivadas Curso 2015/16 1 / 32

1

Introducción Introducción

2

Monotonía. Extremos relativos Crecimiento y decrecimiento Máximos y mínimos Problemas de optimización

3

Concavidad y convexidad Concavidad y convexidad

4

Representación de funciones

¿Cómo representamos una función?

Ejemplos I Ejemplos II

5

Problemas Propuestos

6

Personajes en la Historia Agnesi y Noether

7

Bibliografía

8

Créditos

Introducción

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1| Introdu ión

J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Aplicaciones Derivadas Curso 2015/16 3 / 32

El estudio de los dos temas anteriores ( Límite y Derivadas) nos dan las herramientas para resolver ciertos problemas. En concreto para:

Representar gráficamente una función, que nos permite visualizar y comprender los fenómenos que describen las funciones.

Resolver problemas de optimización, que nos permiten mejorar cualquier proceso con el

cálculo de máximos y mínimos. Por ejemplo conseguir que las empresas obtengan beneficios

máximos en sus procesos de fabricación y explotación.

Monotonía. Extremos relativos

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2| Monotonía.

Extremos

relativos

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Monotonía. Extremos relativos Crecimiento y decrecimiento

Si observamos la gráfica anterior vemos que en el tramo donde hemos representado la tangente (en verde), la pendiente de ésta es positiva. Este hecho nos lleva a la siguiente definición de función creciente:

J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Aplicaciones Derivadas Curso 2015/16 6 / 32

Si observamos la gráfica anterior vemos que en el tramo donde hemos representado la tangente (en verde), la pendiente de ésta es positiva. Este hecho nos lleva a la siguiente definición de función creciente:

Función creciente

Decimos que una función f (x) es creciente en un punto de abscisa x 0 cuando la derivada en ese punto es positiva; es decir

f

(x 0 ) > 0 ⇒ f (x) creciente en x = x 0

Para estudiar los intervalos de crecimiento debemos resolver la inecuación

f

(x) > 0

Monotonía. Extremos relativos Crecimiento y decrecimiento

J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Aplicaciones Derivadas Curso 2015/16 7 / 32

De la misma manera que antes, de la gráfica vemos que en el tramo donde hemos representado la

tangente (en marrón), la pendiente de ésta es negativa. Este hecho nos lleva a la siguiente

definición de función decreciente:

Monotonía. Extremos relativos Crecimiento y decrecimiento

De la misma manera que antes, de la gráfica vemos que en el tramo donde hemos representado la tangente (en marrón), la pendiente de ésta es negativa. Este hecho nos lleva a la siguiente definición de función decreciente:

Función decreciente

Decimos que una función f (x) es decreciente en un punto de abscisa x 0 cuando la derivada en ese punto es positiva; es decir

f

(x 0 ) < 0 ⇒ f (x) decreciente en x = x 0

Para estudiar los intervalos de decrecimiento debemos resolver la inecuación f

(x) < 0

J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Aplicaciones Derivadas Curso 2015/16 7 / 32

Ejemplo

Dada la función f (x) = ¹ ₃ x ³ − ³ ₂ x ² − 4x + 1, determina los intervalos de crecimiento y

decrecimiento de la misma .

Monotonía. Extremos relativos Crecimiento y decrecimiento

Ejemplo

Dada la función f (x) = ¹ ₃ x ³ − ³ ₂ x ² − 4x + 1, determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la misma .

Solución.-

Hallamos en primer lugar su derivada

f

(x) = x ² − 3x − 4

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Ejemplo

Dada la función f (x) = ¹ ₃ x ³ − ³ ₂ x ² − 4x + 1, determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la misma .

Solución.-

Hallamos en primer lugar su derivada

f

(x) = x ² − 3x − 4

Para estudiar el crecimiento o decrecimiento resolvemos la inecuación x ² − 3x − 4 > 0

cuya solución gráfica es

bc bc

−1 4

+ − +

Monotonía. Extremos relativos Crecimiento y decrecimiento

Ejemplo

Dada la función f (x) = ¹ ₃ x ³ − ³ ₂ x ² − 4x + 1, determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la misma .

Solución.-

Hallamos en primer lugar su derivada

f

(x) = x ² − 3x − 4

Para estudiar el crecimiento o decrecimiento resolvemos la inecuación x ² − 3x − 4 > 0

cuya solución gráfica es

bc bc

−1 4

+ − +

Así pues, la función es creciente en (−∞, −1) ∪ (4, ∞) y decreciente en (−1, 4).

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Monotonía. Extremos relativos Máximos y mínimos

En la figura tenemos representadas las rectas tangentes a la curva en los puntos máximo y mínimo, y lo que observamos es que estas rectas no tienen inclinación, es decir, su pendiente es cero. Esto nos lleva a las siguientes definiciones:

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En la figura tenemos representadas las rectas tangentes a la curva en los puntos máximo y mínimo, y lo que observamos es que estas rectas no tienen inclinación, es decir, su pendiente es cero. Esto nos lleva a las siguientes definiciones:

Máximos y mínimos

Si una función f (x) presenta un máximo o un mínimo en el punto de abscisas x 0 , se cumple que f

(x 0 ) = 0. Así pues, para determinar los máximos y mínimos de una función debemos resolver la ecuación

f

(x) = 0

Además, si f

(x 0 ) < 0, entonces tenemos un máximo en x 0 , y si f

(x 0 ) > 0 tenemos un mínimo

en x 0 .

Monotonía. Extremos relativos Máximos y mínimos

Ejemplo

Determinar los máximos y mínimos de la función f (x) = x ³ − 6x ² + 9x + 1.

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Ejemplo

Determinar los máximos y mínimos de la función f (x) = x ³ − 6x ² + 9x + 1.

Solución.-

Primero: calculamos la derivada primera y segunda de la función f

(x) = 3x ² − 12x + 9

f

(x) = 6x − 12

Monotonía. Extremos relativos Máximos y mínimos

Ejemplo

Determinar los máximos y mínimos de la función f (x) = x ³ − 6x ² + 9x + 1.

Solución.-

Primero: calculamos la derivada primera y segunda de la función f

(x) = 3x ² − 12x + 9

f

(x) = 6x − 12

Segundo: resolvemos la ecuación f

(x) = 3x ² − 12x + 9 = 0, cuyas soluciones son x = 1 y x = 3. Estos son los posibles máximos y mínimos.

J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Aplicaciones Derivadas Curso 2015/16 10 / 32

Ejemplo

Determinar los máximos y mínimos de la función f (x) = x ³ − 6x ² + 9x + 1.

Solución.-

Primero: calculamos la derivada primera y segunda de la función f

(x) = 3x ² − 12x + 9

f

(x) = 6x − 12

Segundo: resolvemos la ecuación f

(x) = 3x ² − 12x + 9 = 0, cuyas soluciones son x = 1 y x = 3. Estos son los posibles máximos y mínimos.

Tercero: llevamos estos valores a la segunda derivada y vemos el signo f

(1) = 6 · 1 − 12 = −6 < 0 ⇒ x = 1 es un máximo

f

(3) = 6 · 3 − 12 = 6 > 0 ⇒ x = 3 es un mínimo Máximo = (x, f (x)) = (1, 5)

Mínimo = (x, f (x)) = (3, 1)

Monotonía. Extremos relativos Problemas de optimización

Optimización

Optimizar una magnitud (función) es encontrar los valores que hacen que esa magnitud, sujeta a ciertas restricciones, sea máxima o mínima. A las restricciones se las llaman ligaduras.

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Optimización

Optimizar una magnitud (función) es encontrar los valores que hacen que esa magnitud, sujeta a ciertas restricciones, sea máxima o mínima. A las restricciones se las llaman ligaduras.

Para optimizar una función seguimos los siguientes pasos:

Escribir la función a optimizar.

Monotonía. Extremos relativos Problemas de optimización

Optimización

Optimizar una magnitud (función) es encontrar los valores que hacen que esa magnitud, sujeta a ciertas restricciones, sea máxima o mínima. A las restricciones se las llaman ligaduras.

Para optimizar una función seguimos los siguientes pasos:

Escribir la función a optimizar.

Si la función tiene más de una variable, obtener la relación entre éstas mediante las ligaduras.

J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Aplicaciones Derivadas Curso 2015/16 11 / 32

Optimización

Optimizar una magnitud (función) es encontrar los valores que hacen que esa magnitud, sujeta a ciertas restricciones, sea máxima o mínima. A las restricciones se las llaman ligaduras.

Para optimizar una función seguimos los siguientes pasos:

Escribir la función a optimizar.

Si la función tiene más de una variable, obtener la relación entre éstas mediante las ligaduras.

Hallar los máximos y mínimos de la función, y comprobar que cumplen las condiciones del

enunciado del problema.

Monotonía. Extremos relativos Problemas de optimización

Optimización

Optimizar una magnitud (función) es encontrar los valores que hacen que esa magnitud, sujeta a ciertas restricciones, sea máxima o mínima. A las restricciones se las llaman ligaduras.

Para optimizar una función seguimos los siguientes pasos:

Escribir la función a optimizar.

Si la función tiene más de una variable, obtener la relación entre éstas mediante las ligaduras.

Hallar los máximos y mínimos de la función, y comprobar que cumplen las condiciones del enunciado del problema.

J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Aplicaciones Derivadas Curso 2015/16 11 / 32

Optimización

Optimizar una magnitud (función) es encontrar los valores que hacen que esa magnitud, sujeta a ciertas restricciones, sea máxima o mínima. A las restricciones se las llaman ligaduras.

Para optimizar una función seguimos los siguientes pasos:

Escribir la función a optimizar.

Si la función tiene más de una variable, obtener la relación entre éstas mediante las ligaduras.

Hallar los máximos y mínimos de la función, y comprobar que cumplen las condiciones del enunciado del problema.

Veamos un ejemplo: Hallar dos números naturales cuya suma sea 60 y sabiendo que su producto

es un máximo.

Monotonía. Extremos relativos Problemas de optimización

Optimización

Optimizar una magnitud (función) es encontrar los valores que hacen que esa magnitud, sujeta a ciertas restricciones, sea máxima o mínima. A las restricciones se las llaman ligaduras.

Para optimizar una función seguimos los siguientes pasos:

Escribir la función a optimizar.

Si la función tiene más de una variable, obtener la relación entre éstas mediante las ligaduras.

Hallar los máximos y mínimos de la función, y comprobar que cumplen las condiciones del enunciado del problema.

Veamos un ejemplo: Hallar dos números naturales cuya suma sea 60 y sabiendo que su producto es un máximo.

Si x es un número e y el otro, la función a optimizar es f (x, y ) = x · y .

La ligadura es que la suma de los dos es 60, esto es x + y = 60. Si despejamos la y (y = 60 − x) y sustituimos su valor en la función, tenemos f (x) = x · (60 − x) = 60x − x ² . Hallamos la deriva : f

(x) = 60 − 2x e igualamos a cero. f

(x) = 0 ⇒ x = 30, que efectivamente es un máximo (comprobar).

Así, los números pedidos son x = y = 30.

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3| Con avidad y

onvexidad

Concavidad y convexidad Concavidad y convexidad

Figure: Figura 1 Figure: Figura 2

La concavidad y la convexidad son conceptos que nos hablan de como se curva la gráfica. Las funciones cóncavas se "curvan" hacia abajo (figura 1) y las pendientes de sus rectas tangentes van creciendo. Las funciones convexas se "curvan" hacia arriba (figura 2)y las pendientes de sus rectas tangentes van decreciendo. Tenemos por tanto la siguientes definiciones:

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Figure: Figura 1 Figure: Figura 2

La concavidad y la convexidad son conceptos que nos hablan de como se curva la gráfica. Las funciones cóncavas se "curvan" hacia abajo (figura 1) y las pendientes de sus rectas tangentes van creciendo. Las funciones convexas se "curvan" hacia arriba (figura 2)y las pendientes de sus rectas tangentes van decreciendo. Tenemos por tanto la siguientes definiciones:

Concavidad y convexidad

Una función f (x) es cóncava en el punto de abscisas x 0 si se cumple que f

(x 0 ) > 0.

Una función f (x) es convexa en el punto de abscisas x 0 si se cumple que f

(x 0 ) < 0.

Los puntos donde f

(x 0 ) = 0 se llaman puntos de inflexión. La función cambia de cóncava o

convexa o viceversa.

Representación de funciones

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4|

Representa ión

de fun iones

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Para representar gráficamente una función cualquiera y = f (x) estudiaremos sus características

siguientes:

Representación de funciones ¿Cómo representamos una función?

Para representar gráficamente una función cualquiera y = f (x) estudiaremos sus características siguientes:

Dominio y continuidad

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Para representar gráficamente una función cualquiera y = f (x) estudiaremos sus características siguientes:

Dominio y continuidad

Simetría y periodicidad

Representación de funciones ¿Cómo representamos una función?

Para representar gráficamente una función cualquiera y = f (x) estudiaremos sus características siguientes:

Dominio y continuidad Simetría y periodicidad Asíntotas

J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Aplicaciones Derivadas Curso 2015/16 15 / 32

Para representar gráficamente una función cualquiera y = f (x) estudiaremos sus características siguientes:

Dominio y continuidad Simetría y periodicidad Asíntotas

Puntos de corte con los ejes

Representación de funciones ¿Cómo representamos una función?

Para representar gráficamente una función cualquiera y = f (x) estudiaremos sus características siguientes:

Dominio y continuidad Simetría y periodicidad Asíntotas

Puntos de corte con los ejes

Monotonía. Máximos y mínimos

J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Aplicaciones Derivadas Curso 2015/16 15 / 32

Para representar gráficamente una función cualquiera y = f (x) estudiaremos sus características siguientes:

Dominio y continuidad Simetría y periodicidad Asíntotas

Puntos de corte con los ejes

Monotonía. Máximos y mínimos

Concavidad y Convexidad. Pts. inflexión

Representación de funciones ¿Cómo representamos una función?

Para representar gráficamente una función cualquiera y = f (x) estudiaremos sus características siguientes:

Dominio y continuidad Simetría y periodicidad Asíntotas

Puntos de corte con los ejes

Monotonía. Máximos y mínimos Concavidad y Convexidad. Pts. inflexión Tabla de valores

J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Aplicaciones Derivadas Curso 2015/16 15 / 32

Para representar gráficamente una función cualquiera y = f (x) estudiaremos sus características siguientes:

Dominio y continuidad Simetría y periodicidad Asíntotas

Puntos de corte con los ejes

Monotonía. Máximos y mínimos

Concavidad y Convexidad. Pts. inflexión

Tabla de valores

Representación de funciones ¿Cómo representamos una función?

Para representar gráficamente una función cualquiera y = f (x) estudiaremos sus características siguientes:

Dominio y continuidad Simetría y periodicidad Asíntotas

Puntos de corte con los ejes

Monotonía. Máximos y mínimos Concavidad y Convexidad. Pts. inflexión Tabla de valores

Nota: A veces, dependiendo de la función, no es necesario hacer un estudio tan completo. Por ejemplo una función lineal o una parábola. Estas hay que conocerlas bien.

J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Aplicaciones Derivadas Curso 2015/16 15 / 32

Para representar gráficamente una función cualquiera y = f (x) estudiaremos sus características siguientes:

Dominio y continuidad Simetría y periodicidad Asíntotas

Puntos de corte con los ejes

Monotonía. Máximos y mínimos Concavidad y Convexidad. Pts. inflexión Tabla de valores

Nota: A veces, dependiendo de la función, no es necesario hacer un estudio tan completo. Por ejemplo una función lineal o una parábola. Estas hay que conocerlas bien.

Como ejemplos vamos a representar la función polinómica y = x ³ − 3x + 2, y la función racional

y = x ²

x − 2 .

Representación de funciones Ejemplos I

Función y = x ³ − 3x + 2

Las funciones polinómicas son las más sencillas de representar. Antes de empezar conviene tener calculadas las derivadas primera y segunda:

y

= 3x ² − 3 y

= 6x

J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Aplicaciones Derivadas Curso 2015/16 16 / 32

Función y = x ³ − 3x + 2

Las funciones polinómicas son las más sencillas de representar. Antes de empezar conviene tener calculadas las derivadas primera y segunda:

y

= 3x ² − 3 y

= 6x

Dominio y continuidad

Las funciones polinómicas son siempre

continuas y su dominio es IR

Representación de funciones Ejemplos I

Función y = x ³ − 3x + 2

Las funciones polinómicas son las más sencillas de representar. Antes de empezar conviene tener calculadas las derivadas primera y segunda:

y

= 3x ² − 3 y

= 6x

Dominio y continuidad

Las funciones polinómicas son siempre continuas y su dominio es IR

Simetría y periodicidad No par: f (x) 6= f (−x) No impar: f (x) 6= −f (−x) No periódica.

J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Aplicaciones Derivadas Curso 2015/16 16 / 32

Función y = x ³ − 3x + 2

Las funciones polinómicas son las más sencillas de representar. Antes de empezar conviene tener calculadas las derivadas primera y segunda:

y

= 3x ² − 3 y

= 6x

Dominio y continuidad

Las funciones polinómicas son siempre continuas y su dominio es IR

Simetría y periodicidad No par: f (x) 6= f (−x) No impar: f (x) 6= −f (−x) No periódica.

Asíntotas: No tiene. Las funciones

polinómicas no tienen asíntotas.

Representación de funciones Ejemplos I

Función y = x ³ − 3x + 2

Las funciones polinómicas son las más sencillas de representar. Antes de empezar conviene tener calculadas las derivadas primera y segunda:

y

= 3x ² − 3 y

= 6x

Dominio y continuidad

Las funciones polinómicas son siempre continuas y su dominio es IR

Simetría y periodicidad No par: f (x) 6= f (−x) No impar: f (x) 6= −f (−x) No periódica.

Asíntotas: No tiene. Las funciones polinómicas no tienen asíntotas.

Puntos de corte con los ejes

P.C . =

® _{Ejex (y = 0) ⇒ x 1 = 1}

x 2 = −2 Ejey (x = 0) ⇒ y = −8

J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Aplicaciones Derivadas Curso 2015/16 16 / 32

Función y = x ³ − 3x + 2

Las funciones polinómicas son las más sencillas de representar. Antes de empezar conviene tener calculadas las derivadas primera y segunda:

y

= 3x ² − 3 y

= 6x

Dominio y continuidad

Las funciones polinómicas son siempre continuas y su dominio es IR

Simetría y periodicidad No par: f (x) 6= f (−x) No impar: f (x) 6= −f (−x) No periódica.

Asíntotas: No tiene. Las funciones polinómicas no tienen asíntotas.

Puntos de corte con los ejes

P.C . =

® _{Ejex (y = 0) ⇒ x 1 = 1}

x 2 = −2 Ejey (x = 0) ⇒ y = −8 Monotonía. Máximos y mínimos

y

= 3x ² − 3 = 0 ⇒ x 1 = 1 x 2 = −1

y

= 6(1) > 0 Mínimo m = (1, 0)

y

= 6(−1) < 0 Máximo

M = (−1, 4) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento son:

Creciente (−∞, −1) ∪ (1, ∞)

Decreciente (−1, 1)

Continúa

Representación de funciones Ejemplos I

Función y = x ³ − 3x + 2

Concavidad y Convexidad. Puntos de inflexión

y

= 6x = 0 ⇒ x = 0 P.I. = (0, 2)

Los intervalos de concavidad y convexidad son:

Convexa (−∞, 0) Concava (0, ∞)

J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Aplicaciones Derivadas Curso 2015/16 17 / 32

Función y = x ³ − 3x + 2

Concavidad y Convexidad. Puntos de inflexión

y

= 6x = 0 ⇒ x = 0 P.I. = (0, 2)

Los intervalos de concavidad y convexidad son:

Convexa (−∞, 0)

Concava (0, ∞)

Tabla de valores

Representación de funciones Ejemplos I

Función y = x ³ − 3x + 2

Concavidad y Convexidad. Puntos de inflexión

y

= 6x = 0 ⇒ x = 0 P.I. = (0, 2)

Los intervalos de concavidad y convexidad son:

Convexa (−∞, 0) Concava (0, ∞) Tabla de valores

Gráfica:

J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Aplicaciones Derivadas Curso 2015/16 17 / 32

Función y = x ² x − 2

Las funciones racionales son algo más complejas de representar. Como antes conviene tener calculadas las derivadas primera y segunda:

y

= x ² − 4x

(x − 2) ² y

= 8

(x − 2) ³

Representación de funciones Ejemplos II

Función y = x ² x − 2

Las funciones racionales son algo más complejas de representar. Como antes conviene tener calculadas las derivadas primera y segunda:

y

= x ² − 4x

(x − 2) ² y

= 8 (x − 2) ³

Dominio y continuidad

Las funciones racionales son continuas en IR menos en el valor que hace cero el denominador; es decir IR − {2}

J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Aplicaciones Derivadas Curso 2015/16 18 / 32

Función y = x ² x − 2

Las funciones racionales son algo más complejas de representar. Como antes conviene tener calculadas las derivadas primera y segunda:

y

= x ² − 4x

(x − 2) ² y

= 8 (x − 2) ³

Dominio y continuidad

Las funciones racionales son continuas en IR menos en el valor que hace cero el denominador; es decir IR − {2}

Simetría y periodicidad

No par: f (x) 6= f (−x)

No impar: f (x) 6= −f (−x)

No periódica.

Representación de funciones Ejemplos II

Función y = x ² x − 2

Las funciones racionales son algo más complejas de representar. Como antes conviene tener calculadas las derivadas primera y segunda:

y

= x ² − 4x

(x − 2) ² y

= 8 (x − 2) ³

Dominio y continuidad

Las funciones racionales son continuas en IR menos en el valor que hace cero el denominador; es decir IR − {2}

Simetría y periodicidad No par: f (x) 6= f (−x) No impar: f (x) 6= −f (−x) No periódica.

Asíntotas:

Verticales: x = 2 Horizontales: lim

x →∞

x ²

x − 2 = ∞, No tiene

Oblicuas:y = mx + n

( m = lim x →∞ f (x)

x = 1

n = lim x →∞ [f (x) − mx] = 2 y = x + 2

J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Aplicaciones Derivadas Curso 2015/16 18 / 32

Función y = x ² x − 2

Las funciones racionales son algo más complejas de representar. Como antes conviene tener calculadas las derivadas primera y segunda:

y

= x ² − 4x

(x − 2) ² y

= 8 (x − 2) ³

Dominio y continuidad

Las funciones racionales son continuas en IR menos en el valor que hace cero el denominador; es decir IR − {2}

Simetría y periodicidad No par: f (x) 6= f (−x) No impar: f (x) 6= −f (−x) No periódica.

Asíntotas:

Verticales: x = 2 Horizontales: lim

x →∞

x ²

x − 2 = ∞, No tiene

Oblicuas:y = mx + n

( m = lim x →∞ f (x)

x = 1

n = lim x →∞ [f (x) − mx] = 2 y = x + 2

Puntos de corte con los ejes

P.C . =

® _{Ejex (y = 0) ⇒ x = 0}

Ejey (x = 0) ⇒ y = 0

Continúa

Representación de funciones Ejemplos II

Función y = x ² x − 2

Monotonía. Máximos y mínimos

y

= x ² − 4x

(x − 2) ² = 0 ⇒ x 1 = 0 x 3 = 4

y

= 8

(0 − 2) ³ < 0 Máximo M = (0, 0)

y

= 8

(4 − 2) ³ > 0 Mínimo m = (4, 8)

Los intervalos de crecimiento y decrecimiento son:

Creciente (−∞, 0) ∪ (4, ∞)

Decreciente (0, 2) ∪ (2, 4)

J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Aplicaciones Derivadas Curso 2015/16 19 / 32

Función y = x ² x − 2

Monotonía. Máximos y mínimos

y

= x ² − 4x

(x − 2) ² = 0 ⇒ x 1 = 0 x 3 = 4

y

= 8

(0 − 2) ³ < 0 Máximo M = (0, 0)

y

= 8

(4 − 2) ³ > 0 Mínimo m = (4, 8)

Los intervalos de crecimiento y decrecimiento son:

Creciente (−∞, 0) ∪ (4, ∞)

Decreciente (0, 2) ∪ (2, 4) Puntos Inflexión:

No tiene

Representación de funciones Ejemplos II

Función y = x ² x − 2

Monotonía. Máximos y mínimos

y

= x ² − 4x

(x − 2) ² = 0 ⇒ x 1 = 0 x 3 = 4

y

= 8

(0 − 2) ³ < 0 Máximo M = (0, 0)

y

= 8

(4 − 2) ³ > 0 Mínimo m = (4, 8)

Los intervalos de crecimiento y decrecimiento son:

Creciente (−∞, 0) ∪ (4, ∞)

Decreciente (0, 2) ∪ (2, 4) Puntos Inflexión:

No tiene

Tabla de Valores:

J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Aplicaciones Derivadas Curso 2015/16 19 / 32

Función y = x ² x − 2

Monotonía. Máximos y mínimos

y

= x ² − 4x

(x − 2) ² = 0 ⇒ x 1 = 0 x 3 = 4

y

= 8

(0 − 2) ³ < 0 Máximo M = (0, 0)

y

= 8

(4 − 2) ³ > 0 Mínimo m = (4, 8)

Los intervalos de crecimiento y decrecimiento son:

Creciente (−∞, 0) ∪ (4, ∞)

Decreciente (0, 2) ∪ (2, 4) Puntos Inflexión:

No tiene

Tabla de Valores:

Gráfica:

Problemas Propuestos

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5| Problemas

Propuestos

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Monotonía y máximos y mínimos

Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como los máximos y mínimos de las siguientes funciones:

f (x) = 4 − 2x f (x) = 2x

f (x) = x

+ 1 f (x) = 8x − x

− 4

f (x) = x

+ 2x f (x) = 6x

− x

f (x) = x

− 8x

+ 2

f (x) = x x − 1

f (x) = 1 x

+ 1 Problemas de optimización

Entre los rectángulos de 4 m de perímetro, determina el de área máxima. ¿Cuál será el de diagonal mínima?.

Halla un número positivo cuya suma con 4 veces su recíproco sea mínima.

Halla las dimensiones del rectángulo de área máxima inscrito en una circunferencia de 20 cm de radio.

Se ha estimado que el el gasto de electricidad de una empresa, de 8 a 17 horas, sigue la siguiente función:

E(t) = 0, 01t ³ − 0, 36t ² + 4, 05t − 10 donde t pertenece al intervalo (8, 17). Se pide:

¿Cuál es el consumo a las 10 horas?.¿ Y a las 16?.

¿En qué momento del día el consumo es máximo?.¿Y mínimo?.

Problemas Propuestos

Problemas de optimización PAU UEX

Según los datos facilitados por el Instituto Nacional de Estadística, el número de nacimientos en una determinada zona geográfica,durante los últimos 25 años, se ajusta a la función siguiente:

N(t) = t ³ − 36t ² + 240t + 8000, 1 ≤ t ≤ 25

donde N es el número de nacimientos y t es el año objeto de estudio. Se pide , justificando las repuestas:

Determinar los períodos de crecimiento y decrecimiento del número de nacimientos en los últimos 25 años.

¿En qué años se obtienen el número máximo y el número mínimo de nacimientos?.

¿Cuáles son dichos valores máximo y mínimo?.

El número de viajeros al año (en miles) de un determinado aeropuerto durante los últimos 10 años viene dado por la función:

N(t) = 0.1t ³ − 1.5t ² + 2.7t + 25, 1 ≤ t ≤ 10

donde N es el número de viajeros en miles y t es el año. Se pide , justificando las repuestas:

Determinar los años en que el número de viajeros ha alcanzado el valor máximo y el valor mínimo.

¿Cuáles son dichos valores máximo y mínimo?.

Determinar los períodos de crecimiento y decrecimiento del número de viajeros durante estos 10 años.

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Problemas de optimización PAU UEX

En una etapa contrarreloj de 40 Km en el último Tour de Francia la velocidad, en Km/h, de un deterrminado ciclista, en función de la distancia recorrida, viene dada por la expresión;

V (x) = −0.5x ² + 3.2x, 0 ≤ t ≤ 40 donde x es la distancia recorrida en Km. Se pide:

¿Qué distancia ha recorrido el ciclista cuando alcanza la velocidad máxima?

¿Cuál es el valor de dicha velocidad máxima?

Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función V(x).

Justificar las respuestas.

Una empresa que fabrica televisores 3D ha estimado que sus costes de producción en función del número de unidades fabricadas se ajusta a la expresión:

C (x) = 0.01x ² + 1946x + 2300

donde C es el coste en euros y x el número de televisores 3D fabricados. Se pide:

Determinar la función que representa los beneficios obtenidos por la empresa. Dichos beneficios son la diferencia entre los ingresos producidos por la venta de x televisores 3D a 2000 euros la unidad y sus costes de producción.

¿Cuántos televisores 3D han de fabricarse para obtener el máximo beneficio?

¿Cuál será el valor de dicho beneficio máximo?

Problemas Propuestos

Problemas de optimización y representación de funciones PAU UEX

El beneficio mensual de una compañía depende del número de unidades producidas de acuerdo a la función:

P(x) = −A(x − 500) ² + B, x ≥ 0

donde P(x) representa el beneficio en euros y x es el número de unidades producidas.

Sabiendo que el beneficio máximo es 87000 euros (para x = 500) y que si se producen 600 unidades el beneficio es de 86000 euros, se pide:

Determinar las constantes A y B. Justificar la respuesta.

Representar gráficamente el beneficio en función de x.

Un fondo de inversión invierte cierta cantidad en dos valores. Los beneficios dependen del porcentaje invertido en cada valor según la expresión:

F (x) = Ax(B − 1.25x), si 0 ≤ x ≤ 100

donde F es el beneficio en euros y x el porcentaje invertido en uno de los valores. Se sabe que el beneficio máximo se alcanza para x = 40 y es de 8000 euros.

Determinar las constantes A y B. Justificar la respuesta.

Representar gráficamente el beneficio en función de x.

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Problemas de optimización y representación de funciones PAU UEX

La evolución del número de bacterias en un laboratorio como función del tiempo sigue la expresión:

N(t) = −t ² + At − B, 0 ≤ t ≤ 30

donde N(t) denota el número de bacterias y t el tiempo en horas. Se sabe que el número de bacterias se alancanza a las 10 horas y que a las 30 horas no hay ninguna bacteria. Se pide:

Determinar las constantes A y B. Justificar la respuesta.

Representar gráficamente el número de bacterias en función de t.

La concentración de ozono en microgramos por metro cúbico en una ciudad viene dada por la función:

C(t) = 640 + Bt + At ² , si 0 ≤ x ≤ 15

donde C es la concentración y t el tiempo transcurrido, en años, desde el año 2000. Se sabe que la concentración máxima se alcanzó en el año 2010 (t = 10) y alcanzó un valor de 1340 microgramos.

Determinar las constantes A y B. Justificar la respuesta.

Representar gráficamente la concentración de ozono en función de t.

Problemas Propuestos

Problemas de representación de funciones PAU UEX

En una granja dedicada a la cría de pollos, el peso de los mismos en función de la edad viene representado por la siguiente función:

P(x) =

® _−x 2 + ax si 0 ≤ x ≤ 21

b si x > 21

donde x representa la edad en días y P el peso en gramos. Se sabe que la función es continua y a los 14 días un pollo pesa 2198 gramos.

Determinar las constantes a y b. Justificar la respuesta.

Representar gráficamente el peso en función de x.

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6| Historia

Personajes en la Historia Agnesi y Noether

Historia

Maria Gaetana Agnesi ( 1718 − 1799)

Matemática italiana y profesora en la Universidad de Bolonia que en 1748 publicó el tratado Instituciones Analíticas que trataba sobre cálculo diferencial e integral y que sirvió como libro de texto para varias generaciones de matemáticos. Miembro de la Academia de Bolonia, no pudo ser académica de la Academia Francesa por ser mujer.

Emmy Noether ( 1882 − 1935)

Calificada como La más grande de las mujeres matemáticas, esta matemática alemana de origen judio trabajó en la famosa Universidad de Gotinga junto a David Hilbert y Félix Klein hasta 1933, emigrando a los Estados Unidos después de la llegada al poder de los nazis. Como muchas mujeres que se han dedicado a la ciencia no tuvo el reconocimento merecido.

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7| Bibliografía

Bibliografía

Bibliografía

Matemáticas aplicadas a las CC.SS. II, Angélica Escoredo y otros, Proyecto La Casa del Saber, Ediciones Educativas de Santillana Educación S.L.

Matemáticas aplicadas a las CC.SS. II, Carlos González García y otros, Editorial EDITEX S.A.

El pensamiento matemático de la Antigüedad a nuestros días, Morris Kline, Alianza Universidad.

www.amolasmates.es www.vitutor.com

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8| Créditos

Créditos

Acerca del autor

Juan Pedro Expósito Arriba

Profesor del Departamento de Matemáticas del I.E.S. Virgen del Puerto Plasencia (Cáceres)

e-mail: jpexpositoar@eresmas.com

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