Práctica 1. Los tres jinetes
Se inicia con la presentación de un problema basado en el texto del cuento “Los tres jinetes del Apocalipsis” que aparece en el libro de G. K. Chesterton (1874 – 1936) Las Paradojas de Mr. Pond y que proporciona la información necesaria para resolver la práctica 1.
Actividad 1. Lectura
Tres personas están conversando sobre los últimos sucesos en Polonia. Wotton y Mr. Pond, ambos funcionarios y Gahagan, amigo de ambos:
– Supongo que recordará usted haber oído hablar – dijo Mr. Pond, – de toda la excitación que hubo en torno a Paul Petrowski, el poeta de Cracovia, que hizo dos cosas más bien peligrosas en aquellos días: mudarse de Cracovia para irse a vivir a Poznan y tratar de combinar su condición de poeta con la condición de patriota. La ciudad en que vivía era dominada en aquel momento por los prusianos; se hallaba situada exactamente en el extremo oriental de un largo camino; pues el ejército prusiano, naturalmente, había tenido cuidado de apoderarse de aquel camino tan solitario sobre aquel mar de pantanos. Pero su base para aquella operación tan particular se encontraba en el extremo occidental del camino, el famoso mariscal prusiano Von Grock era el comandante en jefe; y, con su regimiento favorito, los húsares blancos, se hallaban apostados muy cerca del gran camino elevado, en el extremo occidental. Petrowski estuvo a punto de ser ejecutado en Poznan.
Las autoridades militares prusianas en esta ciudad vacilaban y ya iban a dejarlo en libertad, a menos que tuviesen órdenes directas de Von Grock o de más alto; pero el mariscal Von Grock estaba muy decidido por la muerte del poeta; y envió órdenes para su ejecución aquella misma tarde, después se envió un perdón para salvarlo; pero como el hombre que llevaba el perdón murió en el camino, el prisionero fue puesto en libertad a fin de cuentas.
– Pero cómo... – repitió mecánicamente Wotton.
– El hombre que llevaba el perdón... – añadió Gahagan con cierto sarcasmo.
– ...murió en el camino – murmuró Wotton.
– Pues claro, el prisionero quedó en libertad – observó Gahagan en voz alta y alegre – . Todo está claro como el agua. Cuéntanos otra de esas historias, abuelo.
– Es claro que todo lucía a la perfección, los húsares blancos usaban todavía este maravilloso uniforme; y esto fue otro elemento para el fiasco. Pero no se trataba solamente de los uniformes sino de la uniformidad. Todo salió mal porque la disciplina era demasiado buena. Los soldados de Grock le obedecieron demasiado bien, de manera que, sencillamente, no pudo hacer algo que quería.
– Supongo que esto es una paradoja, – dijo Wotton – y parece muy aguda, pero no es más que una tontería. Es claro que nunca hay exceso de disciplina en un ejército.
– Es una historia perfectamente cierta – protestó Mr. Pond – y ocurrió exactamente como digo. No es una paradoja ni cosa parecida. Grock fracasó porque sus soldados lo obedecieron. Es claro que si uno de sus soldados lo hubiese obedecido, no hubiese resultado todo tan mal. Pero cuando dos de sus soldados lo obedecieron, entonces el pobre no tuvo remedio.
– Me alegra escuchar su nueva teoría militar. Quiere usted permitir que un soldado obedezca las órdenes, pero cuando dos soldados obedecen las órdenes, esto es, para usted, llevar demasiado lejos la disciplina prusiana – dijo sonriendo Wotton.
– Yo no tengo teoría militar alguna – respondió Mr. Pond – hablo de un hecho militar. Es un hecho militar que Grock fracasó porque dos de sus soldados lo obedecieron. Es un hecho que si uno de ellos lo hubiera desobedecido, podría haber tenido éxito. Ya podrá después forjar las teorías militares que quiera.
– No me entusiasman mucho las teorías – respondió secamente Wotton.
– Yo no hablo en términos generales, – corrigió Mr. Pond, quejoso – lo digo en una forma particular, acerca de este caso particular. Sólo, claro está, que hay que conocer lo ocurrido para ver cuán sencillo es todo.
– Sí – convino Gahagan – creo que tendré que saberlo todo antes de saber cuán sencillo es.
– Mejor que nos lo cuente, para terminar de una vez – dijo Wotton brevemente.
* * * La historia de Pond fue la siguiente:
“El mariscal Von Grock jamás había leído un verso; pero no era un tonto. Sabía que un poeta o un profeta podían ser tan peligrosos como un ejército. Y estaba resuelto a que el poeta muriera. Era su
único cumplimiento con la poesía; y era sincero. Estaba sentado ante una mesa, en su tienda. Se volvió a un teniente de pie a su lado y dijo:
– Teniente Von Hocheimer – preguntó Grock – ¿Volverá Su Alteza al campamento?
– A las 7:45 mariscal.
– Entonces tenemos tiempo para enviarlo a usted con esta orden de ejecución. Debemos servir a Su Alteza en toda forma, pero especialmente para quitarle preocupaciones innecesarias. Esta noche Paul Petrowski habrá muerto y estaremos a salvo. Por esto es por lo que lo envío a usted con esta orden y cuidar que nada lo retrase o impida su misión. Sé que en Poznan van a dejar en libertad a Petrowski si no reciben mensaje alguno.
El teniente saludó y salió a la noche, y después de montar uno de los soberbios corceles blancos, comenzó a correr por el alto y estrecho camino a Poznan. Cuando los últimos ecos de los cascos de su caballo morían por la carretera, Von Grock se puso el casco y los lentes y salió a la puerta de su tienda: Su Alteza el príncipe había llegado.
* * *
Sin pasar revista a las tropas prusianas para no perder el tiempo, el Príncipe, bajando de su corcel blanco, se dirigió al mariscal.
– Petrowski no es un polaco vulgar. Es una institución europea. Si lo ejecutamos, será lamentado y convertido en un dios por nuestros aliados, por nuestros amigos, hasta por nuestros compatriotas.
– Alteza, – dijo el mariscal – . Lo lamentarán; pero ya estará muerto. Lo convertirán en un dios, pero ya estará muerto. Cualquier cosa que pretenda hacer, no la hará ya. Cualquier cosa que esté haciendo, no la hará más. La muerte es el hecho entre todos los hechos, y me agradan los hechos.
– ¿Qué quiere decir?
– Quiero decir que no he vacilado un instante, – anunció Von Grock firmemente –. Ya he enviado órdenes para la ejecución de Petrowski.
El Príncipe se alzó como una gran águila oscura; y todos supieron que una ira que superaba al habla lo había convertido en hombre de acción. No habló a Von Grock, llamó al segundo comandante y preguntó:
– ¿Quién tiene el mejor caballo en su división de caballería, general? ¿Quién es el mejor jinete?
– Arnold Von Schacht tiene un caballo que vencería a los de carrera – respondió el general – y lo conduce tan bien como un jockey. Es de los húsares blancos.
– Muy bien – dijo el Príncipe – .Que salga enseguida tras el hombre que lleva este mensaje de locos y lo detenga. Yo le daré una autorización que creo no discutirá el distinguido mariscal.
Se sentó, escribió y firmó una orden que cancelaba todas las demás órdenes para el perdón y liberación de Petrowski. Luego, ante un silencio de muerte, salió de la estancia y dio a Von Schacht un papel plegado. Este juntó los talones, saltó a su caballo y voló por el alto y estrecho camino como una flecha de plata o una estrella peregrina.
* * *
El viejo mariscal regresó tranquilamente a su tienda. Se quitó el casco y los lentes y los puso sobre la mesa. Luego llamó a un asistente y le ordenó buscar inmediatamente al sargento Schwartz, de los húsares blancos.
– Sargento – dijo, – usted tiene la mejor puntería en todo el ejército. Su Alteza el Príncipe está mal informado y engañado sobre un punto esencial para su propia seguridad y la de la patria. Bajo este error, ha enviado impulsivamente un perdón para el polaco Petrowski, que debe ser ejecutado esta noche. Lo repito: debe ser ejecutado esta noche. Tiene que salir inmediatamente tras Von Schacht, que lleva el perdón y detenerlo.
– No puedo tener esperanzas de alcanzarlo, mariscal, – dijo Schwartz –. Tiene el caballo más veloz del regimiento y es el mejor jinete entre todos.
– No le he dicho que lo alcance. Dije que lo detenga – repitió Von Grock, – la descarga de una carabina podría servir para llamarle la atención.
Y el sargento Schwartz sonrió secamente: y también él después de alzar la lona, salió a la oscuridad y montó su caballo y se marchó.
* * *
Schwartz salió 5 minutos después de Schacht. Iba detrás de este a través del alto camino desolado.
Un sentido realista de las distancias le sugería que pronto tendría que verlo. Pero el camino parecía interminablemente largo. Una hora y cuarto después de salir del campamento y cuando ya empezaba a desesperarse, Schwartz distinguió una mancha blanca a lo lejos y, forzando a su caballo, en 20 minutos más lo tenía a unos 300 metros.
Apuntó su carabina y disparó. El jinete a lo lejos colgaba de su silla como un jorobado y Scwartz quedó seguro de que su víctima había sido herida en el cuerpo. Entonces derribó al caballo con un segundo disparo y el grupo ecuestre cayó y resbaló a los pantanos que rodeaban el camino. Había matado a un oficial que iba a cumplir con su deber, pero había obedecido a un superior. Y si Schacht estuviera agonizante, no llegaría a la ciudad con el caballo muerto para impedir la ejecución. El hombre que llevaba el perdón estaba seguramente muerto y Schwartz emprendió pensativo el regreso para hacer su relación a Von Grock.
* * *
Al día siguiente, Von Grock, Schwartz y un regimiento de caballería, cabalgaron al sitio donde podía estar el jinete muerto. Grock, previamente, había enviado muy temprano en la mañana a un sargento a Poznan para que viera si todo estaba tranquilo en la ciudad después de la ejecución o si persistía algún peligro de resentimiento popular. Un momento más tarde, el sargento llegó al galope de regreso:
– Mariscal, – dijo después de saludar – ¡he visto a Petrowski el polaco!
– ¿No lo han enterrado todavía? – preguntó el mariscal.
– Si lo enterraron – respondió el sargento – se ha levantado de entre los muertos.
– ¿Quiere decir – exclamó Von Grock con un repentino graznido de estridencia en la voz – que se han atrevido a dejarlo en libertad desafiando mi mensaje?
El sargento respondió:
– Ya lo habían liberado anoche y no han recibido mensaje alguno.
– ¿Quiere usted que yo crea que no llegó ningún mensajero desde nuestro campamento?
– Ningún mensajero – insistió el sargento.
– ¿Qué ha ocurrido, en nombre del infierno? ¿no puede decirme nada que lo explique todo?
* * *
– Bien – dijo Gahagan impaciente – , y usted, ¿sabe algo que lo explique todo?
– Pues creo que sí – dijo Mr. Pond tímidamente – yo desentrañé el misterio cuando llegó el informe a mi departamento.
Actividad 2. Modelando el problema
1. Explica en tus propias palabras el problema y la paradoja.
a) Plantea el problema gradualmente. A continuación te ayudaremos con algunas sugerencias. Hocheimer no utilizó un caballo veloz porque había tiempo para llegar a Poznan. El caballo que eligió corría a 25km/h. Construye una tabla en la que describas el recorrido del teniente. ¿Cuál es la ecuación que describe su movimiento?
b) El recorrido de Von Schacht puedes modelarlo si consideras que la rapidez de su caballo era de 35km/h. Pero con la llegada del Príncipe y su diálogo con el mariscal se retardó en salir 10 minutos. ¿Qué distancia aventajaba el primer jinete al segundo? ¿en cuánto tiempo lo alcanzaría?
c) Construye una tabla para describir la distancia recorrida por los dos primeros jinetes. ¿En cuánto tiempo Schacht alcanzaría a Hocheimer?
2. Utiliza las ecuaciones de las distancias recorridas por ambos jinetes y encuentra con ellas la distancia y el tiempo en que el primero sería alcanzado por el segundo.
a) ¿Cuál es la rapidez del caballo de Schwartz?
b) ¿Cuál es la ecuación que describe la distancia recorrida por el tercer jinete?
c) Construye una tabla en la que muestres el recorrido de los tres jinetes. Explica su significado.
d) Puedes explicar la paradoja de Mr. Pond?.
e) ¿Intuyes la solución del problema?
3. Dibuja las tres rectas que representan la trayectoria de cada jinete en el mismo plano cartesiano. Explica los puntos de intersección.
4. ¿Tienes ahora todos los datos para resolver el problema? ¿En qué consistió la paradoja?
Actividad 3
1. Usando GeoGebra
a) Grafíca las funciones que obtuviste, que describen el recorrido de los jinetes.
b) Obtén los puntos de intersección de las tres rectas y explica su significado.
2. ¿Cómo resuelves la paradoja?
