Daniel Slomovitz
Es de fundamental importancia, para la correcta interpretación de los resultados, asignar a cada medida el valor de la incertidumbre que suponemos tiene la misma, Históricamente se difundió el concepto de error como expresión del posible apartamiento entre la medida realizada y su valor real. El gran inconveniente de esa filosofía es que el valor real no se conoce, y hasta en varias aplicaciones es dudoso que exista. Pese a esa objeción, aún actualmente está muy difundido el asociar al resultado de una medida, su error bajo el concepto descripto anteriormente.
Un profundo cambio se produjo al introducir, en este campo, el concepto de incertidumbre. Este concepto es sinónimo de duda y expresa que no sabemos exactamente cuán lejos puede estar el resultado de la medida que realizamos, del valor verdadero. Lo más que podemos informar es una estimación de ese apartamiento, y en este caso en forma probabilística. Por ejemplo, diremos que el resultado de una medida de tensión es 1.752 V con una incertidumbre de 0.013 V y con un factor de cobertura de 2. Este último parámetro expresa, grosso modo, que el valor 0.013 es igual a 2 veces la desviación estándar estimada de la medida. En este caso, el valor real podría estar muy alejado del valor que informamos. No damos ninguna cota. Es sólo un limite probabilístico. Estar apartado más de 0.013 V del valor informado tiene una probabilidad del 5%, lo cual deriva de calcular las colas de la distribución normal que exceden a 2 desviaciones estándar.
Existe amplia bibliografía sobre los métodos de cálculo de incertidumbres, pero para unificar criterios en los últimos años la organización ISO (International Organization for Standardization) publicó una guia: “Guide to the expression of uncertainty in measurements” (versión 1995).
Los siguientes cálculos corresponden a un ejemplo práctico de estimación de incertidumbres, realizado en clase de la asignatura Medidas Eléctricas, donde se trata de estimar el valor de un resistor a partir de una medición de tipo volt-amperimétrica, usando la ecuación R=V/I. Se uso una batería de continua de 9 V como fuente y dos multímetros digitales como instrumentos de medida. Uno de ellos usado en el rango amperimétrico y el otro en el rango voltimétrico. El circuito usado se muestra en la Fig.
1. El resistor R1 tiene por objeto limitar la corriente por la batería, mientras que Rx representa al resistor a calibrar.
Fig. 1 Circuito para la determinación del valor del resistor Rx.
Los instrumentos usados son de tipo digital, con las siguientes características básicas (obtenidas de los manuales de los fabricantes).
Amperímetro: 4 ½ dígitos (19999 cuentas), rango usado 200 mA, exactitud 0.5%+3 dígitos, caída de tensión interna 300 mV a fondo de escala.
Voltímetro: 3 3/4 dígitos (3999 cuentas), rango usado 4 V, exactitud 0.9%+2 dígitos, impedancia de entrada 1MΩ.
Se realizaron 5 medidas simultáneas de la tensión y corriente. Los valores registrados se muestran en la tabla 2 (ordenados cronológicamente).
V A
R
1R
xV
batN° V (V) I (mA)
1 1.795 37.30
2 1.775 36.89
3 1.743 36.22
4 1.750 36.21
5 1.730 35.87
Tabla 2. Valore relevados en el experimento
.
El estimador propuesto por la guía es el valor medio. En este caso el valor medio de la tensión es 1.7586 V y el de la corriente 36.498 mA. De aquí surge un valor estimado para la resistencia de 48.184 Ω.
En cuanto a las incertidumbres, para las de tipo A (calculables a partir de cálculos estadísticos sobre las medidas realizadas), la guía propone dos procedimientos para calcularlas. Uno de ellos consiste en calcular las desviaciones estándar de las variables medidas y calcular su incidencia en el resultado de la medida. Esto implica calcular también la correlación entre variables, si existe sospecha de influencias mutuas. Las fórmulas a utilizar son:
( Vn V )( In I )
I n V s
n
− −
= − ∑
1
1) 1 ,
( (1)
) ( ) (
) , ) (
,
( s V s I
I V I s
V
r = (2)
Para calcular la influencia de cada variable sobre el resultado final se usa como factor de peso, la derivada parcial respecto a dicha variable. En este caso
I
2V I R = −
∂
∂ (3)
I V R 1
∂ =
∂ (4)
La varianza estimada resulta de la siguiente ecuación
) , ( ) ( ) ( 2
) ( )
( )
(
22 2
2
2
s V s I r V I
I R V I R
I s V R
V s R R
s ∂
∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
= ∂ (5)
Finalmente la incertidumbre tipo A del valor medio de la resistencia se calcula dividiendo s(R) entre
n
(en este caso n=5). Esto último corresponde a la incertidumbre que se obtendría repitiendo el experimento múltiples veces, siendo el resultado de cada uno el valor medio de las 5 medidas de la resistencia.
Aplicadas estas ecuaciones al ejemplo, los resultados son (mejor dicho: “creo” que son):
Ω
=
Ω
=
= Ω
=
=
=
042 . 0 ) (
094 . 0 ) (
9945 . 0 ) , (
184 . 48
498 . 36
7586 . 1
R s
R s
I V r R
mA I
V V
Del valor del coeficiente de correlación r se observa que sí existe una muy fuerte correlación entre las medidas de tensión y de corriente. En ambas series de medidas, los valores disminuyen con el avance del tiempo, probablemente por el agotamiento de la batería (la cual no era nueva, por cierto). Es de destacar que si se hubiera supuesto que las variables tensión y corriente son independientes (cosa muy aceptable pues los instrumentos son diferentes y sin relación entre ellos), los resultados hubieran sido muy diferentes. Asignar valor nulo al coeficiente r, derivaría en una incertidumbre tipo A para el valor medio de la resistencia de 0.47 Ω; más de 10 veces el valor anterior! Es obvio en este caso que esta última presunción es incorrecta. Es cierto que la instrumentación usada para medir tensión y corriente es independiente una de la otra, pero ambas medidas dependen de una tercer causa. La variación de la tensión de la batería afecta a ambas en similar forma, haciendo aparecer una correlación inesperada. En este caso es fácil de prever (cuando ya fue alertado), pero en experimentos más complejos no es tan fácil de determinar a priori la independencia de las variables.
El otro método que la guía ISO permite, es calcular el valor de resistencia con cada conjunto experimental y realizar los cálculos estadísticos sobre esos valores. En el ejemplo citado, se calcularía el valor de cada resistencia con cada pareja tensión-corriente, lo cual simplifica los cálculos posteriores. Los valores serían los mostrados en la tabla 3.
N° V (V) I (mA) R=V/I
1 1.795 37.30 48.123
2 1.775 36.89 48.116
3 1.743 36.22 48.123
4 1.750 36.21 48.329
5 1.730 35.87 48.230
Tabla 3. Valores calculados de resistencia para cada conjunto tensión-corriente.
El valor medio de la resistencia sería igual al ya calculado, pero la varianza podría ser diferente. En este caso da s(R)=0.094 Ω y
s ( R ) = 0 . 042
Ω. Si bien son muy parecidos a los valores calculados previamente por el otro método, no son exactamente iguales. Las siguientes cifras, a las expresadas, muestran diferencias.Finalmente tomaríamos como incertidumbre tipo A, al valor 0.042 Ω.
Según la guía, la incertidumbre tipo B abarca todos los factores que no fueron considerados previamente. Dentro de éstos están las exactitudes de los instrumentos, incertidumbres por la resolución de las lecturas (la lectura es digital y por tanto discreta), los problemas que se producen por conectar los instrumentos al circuito (impedancias internas) y muchos más. ¿Cuántos más? Nadie lo sabe! A un técnico con experiencia puede ocurrírsele una lista de decenas de factores; a un principiante sólo los que hemos detallado anteriormente. No hay forma de estar seguro que se contempló todas las causas de incertidumbres relevantes posible. No estamos hablando de pequeñas influencias despreciables. Nos referimos a que pudimos no tomar en cuenta factores muy relevantes. Veamos en detalle el ejemplo de la medida de la resistencia. Según el manual de los instrumentos, el fabricante declara una exactitud para el voltímetro del 0.9% más 2 dígitos. Esto es, 0.9% de la lectura más dos unidades en el dígito menos
significativo. El 0.9% de 1.7586 V es 0.016V y 2 dígitos representan, en la escala usada, 0.002 V. En total 0.018 V. Para el amperímetro daría 0.18 mA más 0.03 mA, sumando un total de 0.21 mA.
Por efecto de mostrar los resultados en forma discreta, se agrega un factor de incertidumbre tipo B de una cuenta en el dígito menos significativo, ya que no hay cambio en el display si el valor está comprendido entre más/menos medio dígito del valor central. Esto representa 1 mV para el voltímetro y 0.01 mA para el amperímetro. Otro elemento a considerar es la influencia de los instrumentos. El amperímetro mide la corriente que pasa por el resistor, pero el voltímetro mide la suma de la tensión sobre el resistor más la pequeña (eso esperamos) caída de tensión en el amperímetro. Podríamos haber elegido medir tensión sobre el resistor. Eso hubiera eliminado el problema del voltímetro, pero ya la corriente por el amperímetro no sería la que pasa por el resistor, sino la suma de esa con la corriente consumida por el voltímetro. En cada caso habrá que decidir cuál es la configuración que causa menor error; o quizás mayor error pero menor incertidumbre. Es que lo que nos interesa reducir es la incertidumbre de nuestras medidas (los errores, los descontamos). Si una configuración nos causa un error de valor -0.87% (el cual conocemos muy exactamente) no nos preocupa demasiado. Simplemente sumamos al resultado obtenido 0.87% y obtenemos el valor final. El problema es cuán seguros estamos de ese valor 0.87. Si pensamos que puede estar entre 0.6 y 1.2 ya la cuestión es diferente. Aun sumando 0.87%, nos queda una duda de 0.3% (en más o en menos) lo cual se traduce en un factor de incertidumbre por ese motivo. Sea como fuere, la decisión de la conexión de los instrumentos ya fue tomada en el ejemplo que estamos analizando (afortunadamante!). El manual establece que la caída de tensión en el amperímetro es de 0.3 V a máxima corriente. La escala usada es de 200 mA, de donde se concluye que la resistencia es de 1.5 Ω. Pero eso es una información general y no sabemos cuál es la incertidumbre de la misma. En base a la experiencia, dicha incertidumbre puede estimarse en un 20% (0.3 Ω). Es que el valor de resistencia externo en los rangos amperimétricos está muy afectado por soldaduras y resistencia de contactos. Eso no influye en la exactitud del amperímetro, dado que dicho resistor shunt es del tipo de 4 terminales. Es cierto que otro técnico podría fijar otro valor, o intentar medirlo (lo cual por un lado parece bueno, pero por otro introduce nuevas fuentes de incertidumbre: cuidado!), o bien estimarlo de otra forma. No hay ningún método normalizado ni seguro. Suponiendo que esté de acuerdo con la estimación realizada (y aunque no lo esté, le rogaría que igual siga leyendo) tendríamos que calcular la incertidumbre tipo B introducida por este efecto. La ecuación que liga la resistencia a medir con la interna del amperímetro es:
R
x=R
medida-R
amperímetro(6)
Esto es, para el cálculo del valor medio, simplemente descontamos la resistencia del amperímetro. Para el cálculo de la incertidumbre, la guía establece que se afecte de un coeficiente de peso igual a la influencia de dicho factor. Este coeficiente es
∂ R / ∂ R
amperimetro= − 1
. Por tanto, el valor total de incertidumbre por este concepto sería 0.3 Ω.El siguiente paso es atribuir un tipo de distribución a cada factor de incertidumbre. En cuanto a la incertidumbre proveniente de la resolución del display, es claro que es de tipo rectangular (igual probabilidad de estar en cualquier lugar entre –0.5 dígitos y +0.5 dígitos). En cuanto al factor relacionado con la exactitud de los instrumentos, generalmente no se conoce que distribución asigna el fabricante a sus datos. En ese caso se recomienda tomar una distribución rectangular. Mucho más difícil es decidir cuál es la distribución de la incertidumbre asociada al valor de la resistencia interna del amperímetro. No tenemos información suficiente para elegir una distribución sobre otra, aunque parece razonable asignar una distribución normal.
Para combinar todas las fuentes de incertidumbre tipo B, la guía recomienda sumar sus varianzas, para lo cual se dividen los valores relacionados con distribuciones rectangulares por √3. La tabla 4 muestra los resultados obtenidos.
FUENTE VALOR DISTRIBUCIÓN INCERTIDUMBRE
u(xi)
δR/δx
iu(x
i)δR/δx
i(Ω)
Voltímetro-
exactitud
0.018 V rectangular 0.010 V 27.4 A
-10.27
Voltímetro-
resolución
0.001 V Rectangular 0.0006 V 27.4 A
-10.02
Amperímetro-
exactitud
0.21 mA Rectangular 0.12 mA -1320 ΩA
-1-0.16
Amperímetro-
resolución
0.01 mA Rectangular 0.006 mA -1320 ΩA
-1-0.01
Amperímetro-
resistencia interna
0.3 Ω normal 0.3 Ω -1 -0.3
Tabla 4. Resultados de cálculos relativos a la determinación de incertidumbres tipo A.
Los valores de incertidumbre detallados se suman cuadráticamente (suponiendo que sean independientes).
Queda entonces
2
1
2
( )
∂
= ∑ ∂
= i
n
i
i
B
x
x R u
u (7)
En este ejemplo el valor de incertidumbre tipo B da uB=0.43 Ω. Finalmente este valor se combina, también cuadráticamente, con la incertidumbre tipo A dando un valor total de incertidumbre combinada (uc)
B
c
u
Au
u =
2+
2(8)
Para el ejemplo, uc=0.43 Ω (es que el valor de uA es muy pequeño comparado con uB). Este valor está asociado a la desviación estándar esperada de una distribución normal asociada a la incertidumbre combinada. La guía recomienda informar la así llamada incertidumbre expandida; la cual se logra multiplicando el valor anterior por una constante k. Eso tiene por objetivo asociar un determinado nivel de confianza a la incertidumbre informada. En casos de curvas normales, k=1 implica informar la incertidumbre como el valor de una desviación estándar, lo cual equivale a un nivel de confianza del 68%
aproximadamente. Esto es, hay una probabilidad del 68% que el valor informado esté dentro del intervalo de incertidumbre combinada declarada. Si se eligiera informar con un nivel de confianza del 95%, el factor de cobertura estaría cercano a k=2; y un 99% requeriría k=3 aproximadamente.
El resultado de las medidas del ejemplo, con un factor de cobertura k=2, sería
R=46.68 Ω, incertidumbre = 0.86 Ω
lo cual da un nivel de confianza cercano al 95%. Obsérvese que hemos corregido el valor medio calculado directamente, por las causas conocidas de efectos sistemáticos (resistencia interna del amperímetro); y hemos calculado la incertidumbre en base a todos los efectos que se nos han ocurrido.
Esto no implica que el análisis sea completo. Pueden haber otros efectos sistemáticos y otras fuentes de incertidumbre que no se han tomado en cuenta. No sabemos cuantas más fuentes de incertidumbre puede haber, ni que relevancia tienen. Lo más que podemos decir es que hicimos todo lo mejor que pudimos.
¿Cual es el apartamiento entre el valor informado y el valor real? No lo sabemos. De todas formas seamos optimistas y pensemos que los grandes efectos sistemáticos fueron los considerados, y no se nos olvidó ninguna fuente de incertidumbre relevante. En general, con cierta experiencia, eso funciona. Y antes que alguien con experiencia en medidas me lo señale, me adelanto a aclarar que fácilmente se podrían proponer otras fuentes de incertidumbre, tales como los efectos de la temperatura sobre el resistor a medir, analizar si los instrumentos usados están realmente dentro de las especificaciones del fabricante (habría que haber tenido un certificado de calibración reciente), o problemas con las resistencias de las conexiones que tuvimos que realizar para armar el circuito. Por claridad del ejemplo no fueron considerados, pero aun tomando en cuenta todo siempre tendremos la duda sobre si siguen habiendo más.
Así es este tema (y me temo que el mundo que habitamos): incierto!
