Matemática. Análisis i. Silvia V. Altman Claudia R. Comparatore Liliana E. Kurzrok H B H H

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Matemática

Análisis i

Silvia V. Altman | Claudia R. Comparatore | Liliana E. Kurzrok

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H B H H

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• • Matemática

• • O #

• • Análisis i

Silvia V. Altman | Claudia R .Comparatore | Liliana E. Kurzrok

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M ATEM ÁTICA | LIBRO 5 Análisis i

Dirección editorial Verónica Parada

Dirección pedagógica Rosa Rottemberg

Dirección de arte Paula Lanzillotti

Coordinación de ediciones Silvana Franzetti

Edición

Mariela Miguiarra

® EDITORIAL LONGSELLER SJK.

C asa m a triz: Av. San Juan 777 (C1147AAF)

C iu d a d de B u en o s A ire s, A rg e n tin a Teléfo no y fa x : (5411) 5 0 3 1-5 4 0 0 E -m a il:e d u c a c ¡on@ longseller.com .ar w w w .lo n g seller.co m .ar

ISBN O bra C o m p le ta : 9 8 7 -9 4 8 1 -6 6 -6 O u e d a hecho el d ep ó sito q u e d isp o n e la ley 11.723.

Coordinación gráfica Darío Contreras Diseño gráfico Gabriela Feldman Natalia Fernández Corrección Inés Gugliotella Diseño de signos tipográficos matemáticos Natalia Fernández Ilustración de tapa e interiores Doma

Gráficos Gabriela Feldman Fotocromía LongsellerS.A.

Libro de edición a rg en tin a.

Está p ro hib ida y p en ad a por la ley la re

pro ducció n to ta l o parcial de e s te libro, en c u a lq u ie r fo rm a, por m e d io s m e c á  nicos, electró n ico s, in fo rm ático s, m ag  n ético s, in clu so fo to co pia y cu a lq u ie r otro sis te m a de a lm a c e n a m ie n t o de in fo rm ació n . C u a lq u ie r repro ducció n sin el previo co n s e n tim ie n to escrito del ed ito r v io la los d e re ch o s reservados, es

515 A ltm a n , Silvia

ALT M a te m á tica 5: A n á lis is 1/ Silvia A lt m a n ,C la u d ia C o m p a ra to re y Liliana K u rzro k .-i a ed. - B u en o s A ires:

Longseller, 2 0 0 1.

112 p.; 2 8 X 2 0 cm .-(L ib ro s T em ático s) ISBN 9 8 7 -5 5 0 -0 4 2 -9

I. C o m p arato re, C la u d ia II. Kurzrok, Liliana 111.T ítu lo - 1. A n á lis is M a te m ático .

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longseller educación

• • Matemática

• •

O #

• • Análisis i

Silvia V.AItman

Profesora de Matemática y Astronomía, INSP"JoaquínV. González”.

Ganadora del Subsidio para profesores de colegios secundarios, Fundación Antorchas (1994).

Docente en escuelas medias.

Claudia R. Comparatore

Licenciada en Matemática, Universidad Nacional de Buenos Aires.

Ganadora del Subsidio para profesores de colegios secundarios, Fundación Antorchas (1994).

Docente en escuelas medias y en la Facultad de Ciencias Exactas, UBA.

Liliana E. Kurzrok

Licenciada en Matemática, Universidad Nacional de Buenos Aires.

Profesora de Matemática, ORT Formación docente para profesionales.

Becaria de Investigación, CONICET, UBA.

Docente en escuelas medias y en la Facultad de Ciencias Exactas, UBA.

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6

Cómo leer este libro

| Problemas

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Posible resolución

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Actividades

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Algo más...

Al comenzar cada capítulo,y para introducir los contenidos, se presentan uno o más pro

blemas para resolver y discutir en grupos, que se identifican con el icono O.

Se presenta un posible camino para resolver cada uno de los problemas propuestos. Permite confrontar diferentes procedi

mientos y verificar las solucio

nes obtenidas. Se identifica con

Se proponen actividades que sirven para verificarla compren

sión de los contenidos abordados y la aplicación de éstos en distin

tas situaciones.

Se presentan comentarios y aclaraciones sobre los temas desarrollados.

Cómo se lee...?

Se ofrece el significado de los símbolos utilizados en la página.

Se presentan biografías, reseñas históricas y datos de interés que enriquecen los contenidos.

Textos recuadrados Aquí se incluyen definiciones para que puedan ser localizadas rápidamente cuando se necesi

ta consultarlas.

Recordemos que.

Se incluye información que permite recuperar conocimien

tos anteriores para facilitar la comprensión de una nueva in

formación.

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7

Guía de ejercitación Incluye actividades orientadas a poner en juego todos los con

ceptos y procedimientos desarro

llados a lo largo del capítulo.

Guía de autoevaluación Contiene actividades que pue

den ser resueltas al finalizar el capítulo para autoevaluar lo aprendido.

Se incluyen las respuestas al final del libro.

G U ÍA DE AUTO EVALUACIÓ N

14. Encuentren, si existe, la fórmula de una función f(x) que verifique que lím f(x) = 3 y limf(x)—-3. Justifiquen su respuesta.

15. Realicen el gráfico de una función f(x) que verifique simultáneamente que

"ú (0; + » ).limf(x) = 1, límf(x¡ = + « y l¡mf(x) =-2.

O

O 1. Observar el gráfico de f(x) y calcular, si existe, lo indicado.

O

b. Calculen los siguientes límites:

i. Iimf(x) = lim f(x) =

il. Ijm f(x) - ¡im f{x).

III. ¡frnf(x) • lim f{x)»

o

a-f(-3) =_________

b.f(0) =_________

imf(x) =_________

W jflx)-_________

límflx)-

lím f(x) =

c-f(5 )._________ hm f(x)»_________ lím f(x) *

lím f(x) = d.f(6) =_________ mf(x)=_________

e.f(7) =_________ m f(x) =_________ lím f(x) -

lim f(x) =

lim f(x) o

lim f(x) =

2. Si lim = 7 y lim f(x) = 5, hallar lim g(x).

3. Si lim [g(x)]« - 256 y lim f(x) - 8, calcular lim g(x).

á

^A ^— ^t

(8)

MATEM ÁTICA | LIBRO 5 Análisis i

índice

11 Capítulo i

El concepto de límite 12 Problemas y resoluciones 73 Límite de una función en un punto 14 Problemas y resoluciones 16 Límites laterales 17 Problemas y resoluciones 18 Límite infinito

20 Problemas y resoluciones 22 Límite de sucesiones 23 Álgebra de límites 25 Problemas y resoluciones 27 Guía de ejercitación 33 Guía de autoevaluación

35 Capítulo 2 Cálculo de límites 36 Para comenzar...

Problemas y resoluciones 43 Límite indeterminado 45 Problemas y resoluciones

53 Guía de ejercitación 59 Guía de autoevaluación

61 Capítulo 3 Asíntotas

62 Problemas y resoluciones 63 Asíntota horizontal 64 Asíntota vertical

65 Problemas y resoluciones 7J Asíntota oblicua

72 Problemas y resoluciones 77 Guía de ejercitación 83 Guía de autoevaluación

(9)

85 Capítulo 4 89

Continuidad 9o

86 Problemas y resoluciones

88 Continuidad de 95

una función en un punto

Algunas funciones 96

discontinuas en la realidad 98 Función taxi

99 101 107

10 9

Función impuesto Tipos de discontinuidad Problemas y resoluciones Continuidad de una función en su dominio

Problemasy resoluciones Teorema de Bolzano

Corolario del Teorema de Bolzano Teorema de la conservación del signo

Problemasy resoluciones Guía de ejercitación Guía de autoevaluación Respuestas

(10)

(11)

1 El concepto de límite

A partir del concepto de límite, podemos analizar el comportamiento de una función tanto en in

tervalos muy pequeños alrededor de un número real (que hasta podría no pertenecer al dominio) como cuando los valores del dominio aumentan indefinidamente. Esto nos permitirá tener una

¡dea más aproximada del gráfico de una función.

2 .5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5

*8888 8 8 8

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12 EL CONCEPTO DE LÍMITE Análisis i

No siempre trabajar en Matemática signi

fica realizar cálculos. Muchas veces es ne

cesario hacer especulaciones con respecto al comportamiento de una función y ju sti

ficar las afirmaciones realizadas, lo cual no se reduce a cuentas, sino a razonamientos lógicos.

¿Sabían que...?

El estudio del límite de una función es uno de los primeros tem as que incluye una ra

ma de la Matemática llamada cálculo.

Ella abarca el cálculo infinitesimal, el diferencial y el integral.

En este libro nos abocaremos al estudio del cálculo infinitesimal.

La palabra cálculo significa piedra pequeña y fue incorporada por los romanos dado que ellos utilizaban piedras pequeñas para hacer sus cuentas. La palabra infinitesimal se utiliza debido a que el estudio del límite se refiere al cálculo de lo infinitamente pequeño, llamado también infinitésimo.

¿Cómo se lee... ?

lím f(x) = L: el límite cuando xtien d e a x 0

X - X 0

de f(x) es L o el límite de f(x) cuando x tiende a x 0es L.

O Problema 1

— 4 Dada la función f(x) = --- :

x + 2 a. Hallen el dominio de f(x).

b. Completen la siguiente tabla:

X -2,01 -2,0001 -2,00001 -1,99 -1,999 -1,9999 f(x)

c. ¿Oué ocurre con los valores de f(x) cuando x toma valores cada vez más cerca de -21

d. Realicen un gráfico aproximado de f(x).

• Problema 1

a. La función f(x) es una función racional1. Para hallar el dominio, debemos tener en cuenta que la división no puede realizarse si el denominador es cero. Entonces, x + 2 * 0.

Luego, x * -2 . Por lo tanto, Dom f = IR - {-2}.

b. Completemos la siguiente tabla:

X -2,01 _-2,0001 _-2,00001 _-1,99 _-1,999 _-1,9999 ffx) ^,01 -4,0001 f o O O O i—1

-3,99 -3,999 -3,9999 c. Observamos que a medida que x toma valores más próxi

mos a -2, f(x) toma valores cada vez más cercanos a -4 . Esto se escribe matemáticamente de la siguiente manera:

lím f(x) = -Ay se lee: el límite def(x) cuando xtiende a -2 es -4.

x — - 2

d. Para graficarf(x), analicemos su expresión:

x = -4_{_ ( x -}2_{) ^} w x + 2 -x~r2T 4.

Si x * - 2

Si consideramos la función g(x) = x - 2, f(x )y g(x) solamente difieren en x = -2, pues f(-2) no existe y g(-2) = - 4 . Observe

mos que en la simplificación, si no consideráramos que x * -2, estaríamos diciendo que f(-2) = - 4 y e s o no es cierto.

El gráfico de f(x) es, entonces, como el gráfico de g(x) excep

to en x = -2, donde para señalar la diferencia utilizamos un

"círculo vacío” :

1 Ver Libro 2, capítulo 2.

(13)

13

Observemos en el gráfico def(x) que a medida que xto m a va

lores próximos a -2, f(x) toma valores cada vez más próximos a -4. Sin embargo, el punto (-2; -4) no pertenece a la gráfica, debido a que -2 no pertenece al dominio de f(x).

Límite de una función en un punto

Llamamos límite de una función f(x) cuando x tiende a un valor x„ al valor, L, al que se acerca f(x) cuando xtom a valores cada vez más cercanos a x 0.

Simbólicamente se escribe: lím f(x) = L.

Continuemos analizando el gráfico de f(x).

Tomemos un intervalo abierto cualquiera en el eje y alrededor d e-4 . A este intervalo se lo llama entorno d e - 4 y, como puede tomarse simétrico respecto de -4 , dicho intervalo puede ser (—4 — e ; —4 + e), donde e es un número real positivo.

Como vemos en el gráfico, en el eje x existe un entorno de -2, que también puede tomarse simétrico respecto de -2; por ejem

plo: (-2 - ó ; -2 + ó), donde ó es un número real positivo, que ve

rifica que para cualquier x en este entorno d e -2, salvo quizás para -2 , sus imágenes se encuentran en el entorno de -4.

¿Sabían que...?

El primero que utilizó la palabra límite fue el matemático y astrónomo escocés James Gregory (1638-1675).

Él solamente utilizó el límite para anali

za r progresiones y series.

Gregory estudió en la Universidad de Padua y fue profesor de Matemática en la Universidad de St. Andrews y en la de Edimburgo. En 1667 escribió La verda

dera área del círculo y de la hipérbola, donde calculaba las áreas por medio de aproximaciones de series convergentes o divergentes (términos que él mismo inventó) que tienden a infinito, método precursor del cálculo infinitesimal.

En 1663, en su obra Avances de la óptica, expuso teóricamente la cons

trucción del telescopio reflector, que luego realizó Newton.

¿Cómo se lee... ?

e: épsilon.

6: delta.

(14)

14 EL CONCEPTO DE LÍMITE Análisis i

M A T E M A T IC A I L IB R O 5

Si bien las variables en Matemática pue

den nombrarse como uno guste, los mate

máticos suelen usar algunas letras para nombrar ciertas cosas. Por ejemplo, para un número natural utilizan la letra n. Para nombrar una cantidad que puede hacerse tan pequeña como se quiera, utilizan la le

tra e (épsilon). El primer matemático en utilizarla fue Agustin Louis Cauchy, que, en 1921, en Cours d'Analyse, escribió:

"Denotemos con e a un número tan pe

queño como querramos... ”.

También allí utilizó la letra ó (delta) para hablar de un intervalo pequeño, pero que depende del anterior.

Agustin Louis Cauchy nació el 21 de agos

to de 1789 en París, Francia. Fue pionero en el estudio del análisis y la teoría de gru

pos. También investigó sobre la conver

gencia y la divergencia de las series infini

tas, la probabilidad y la física matemática.

Trabajó como ingeniero m ilitary en 1810 llegó a Cherbourg para trabajar junto a Napoleón en la invasión a Inglaterra. En 1813, retornó a París por pedido de Laplacey Lagrange. Trabajó en la Facultad de Ciencia de París, el Colegio de Francia y la Escuela Politécnica. Gracias a Cauchy, el análisis infinitesimal adquiere bases sóli

das. Él tomo los conceptos de función, de límite y de continuidad en la forma actual o casi actual, adoptando el concepto de límite como punto de partida del análisis.

Cauchy produjo 789 escritos, pero fue de

saprobado por la mayoría de sus colegas.

Falleció el 23 de mayo de 1857 en Sceaux (cerca de París), Francia.

Notemos, además, que por más pequeño que sea e, siempre será posible encontrar un 6 que verifique la condición que enunciamos en el párrafo anterior.

Conclusión

Decir que lím f(x) = L equivale a decir que

Ve > 0,36 > O/si x e (x„ - 6; x„ + 6) con x * x0 ^ f(x) e (L - e; L + e)

Observemos que la función f(x) no existe en x = -2 y, sin em

bargo, sí existe el límite def(x) cuando x tiende a -2_.

En otras palabras, hablar del límite en x0 no significa calcular la imagen de la función en x 0, sino averiguar qué sucede con las imágenes cuando x toma valores cada vez más cercanos a x 0.

Cuando queremos indicar que x toma valores cada vez más cercanos a x 0, decimos que x tiende a x 0y escribimos x - * x 0.

Cuando queremos indicar que f(x) toma valores cada vez más cercanos a L, decimos que f(x) tiende a Ly escribimos f(x ) -* L.

O Problema 2

Consideren el siguiente gráfico de f(x) y determinen:

a. El dominio de f(x).

b. lím f(x) = lím f(x) = lím f(x) =

• Problema 2

a. Al observar el gráfico, vemos que f(x) está definida para todos los valores de x excepto para x = 2. Por lo tanto, Dom f = IR - {2}.

b. Notemos, analizando el gráfico, que si x tiende a 0, entonces, f(x) tiende a 2, con lo cual lím f(x) = 2_.

(15)

15

Miremos nuevamente el gráfico y analicemos el límite d ef(x) cuando x tiende a 2. Deducimos que f ( x )-*-3 cuando x-> 2; por lo tanto, lím f(x) = -3.

x-*2

Analicemos ahora qué ocurre con la función cerca de x = 8. Si tomamos valores de x próximos a 8, pero todos ellos meno

res que 8, observamos que f(x) tiende a 1. En cambio, si los valo

res cercanos a 8 son todos mayores que 8, f(x) tiende a 4. La pregunta que nos hacemos es, entonces, ¿cuál es el límite de f(x) cuando x tiende a 8,1 ó 4? Para decidirlo utilicemos la defi

nición de límite.

1 Si en el eje y tomamos un entorno de 1 con, por ejemplo, £ = - , vemos que no es posible encontrar un entorno de 8 de tal manera que para cualquier x de este entorno, sus imágenes estén en el entorno de 1. Entonces, 1 no es el límite.

De la misma manera, si tomamos en el eje y un entorno de 4 1

con £ = - , tampoco es posible encontrar un entorno de 8 que verifique la definición de límite. Por lo tanto, 4 no es el límite.

9 10 Q

1. Consideren la función f(x) = —— ^x + ^ x - 3 a. Hallen el dominio d ef(x).

b. Completen la siguiente tabla:

X 3,01 3,0001 2,99 2,99999

f ( x )

c. Simplifiquen, si es posible, la expre

sión d ef(x) para cualquier valor de x. Si no es posible, expliquen por qué.

d. Realicen un gráfico aproximado de f(x).

(16)

16 EL CONCEPTO DE LÍMITE

3. A partir de la observación de los si

guientes gráficos de funciones, calcu

len, si es posible, lím f(x). Si no es posi-

x —-2

ble expliquen porqué.

© t

MATEMÁTICA 1 LIBRO 5

Análisis i

Por lo tanto, no existe el límite de f(x) cuando x tiende a 8. Sin embargo, si sólo tomamos valores de x menores que 8_y muy cercanos a él, el límite (por la izquierda) es 1, y si sólo to

mamos valores de x mayores que 8 y muy cercanos a él, el lími

te (por la derecha) es 4. A estos límites se los llama límites laterales. Se escriben simbólicamente: lím f(x) = 1 y lím f(x) = 4.

x -* 8 " X -.8 +

Límites laterales

Decimos que f(x) tiende a P cuando x tiende a x0_{por la} izquierda si a medida que xtom a valores cada vez más cercanos a x 0, pero menores a él ( x < x 0), entonces, f(x) toma valores cada vez más próximos a P. Simbólicamente escribimos:

lím f(x) = P

x - » x 0-

Decimos que f(x) tiende a S cuando x tiende a x„ por la derecha si a medida que xto m a valores cada vez más cercanos a x 0, pero mayores a él (x > x 0), entonces, f(x) to

ma valores cada vez más próximos a S. Simbólicamente escribimos:

lím f(x) = S

x -» x 0+

Los límites anteriores se llaman límites laterales por izquierda y por derecha, respectivamente.

Los límites laterales no siempre coinciden. En el problema 2, los límites cuando x tiende a 8 por izquierda y por derecha no coin

ciden; entonces, el límite cuando xtiende a 8 no existe. Sin em

bargo, los límites laterales sí coinciden, y son iguales al límite, cuand o xtiend ea 0 o cuando xtiend e a 2. En el primer caso, los límites laterales valen 2 y en el segundo caso valen -3.

Es importante destacar que el hecho de que los límites laterales cuando xtiend e a x0 coincidan no significa que x0 pertenezca al dominio de la función.

Conclusión

Decimos que una función f(x) tiene límite cuando x tiende a x„

si y sólo si los límites por izquierda y por derecha en x0 coinci

den. O sea:

lím f(x) = lím f(x) =L o lím f(x) = L

(17)

17

O Problema 3

Una fábrica de planchas de madera tiene una máquina que cor

ta dichas planchas deforma rectangular, todas del mismo gro- so ry la misma superficie, 1 cm 2, pero de diferentes medidas.

a. Si una de las medidas de las planchas es de 10 cm, ¿cuál será la otra?

b. Si una de las medidas de las planchas es de 2 cm, ¿cuál será la otra?

c. Completen la siguiente tabla donde A es una de las medidas de la plancha y L es la otra.

A (en cm) 1 0,01 0,00001 0,00000001

L (en cm)

d. ¿Qué sucede con L a medida que A es cada vez más chico?

e. Completen la siguiente tabla:

A (en cm) 100 1000 100000 100000000

L (en cm)

f. ¿Qué sucede con L a medida que A es cada vez más grande?

• Problema 3

L Sabemos que las planchas son todas rectangulares y tienen 1 cm2 de superficie, con lo cual

L . A = 1; entonces, L = —.1 A

a. Si A mide 10 cm, la otra medida será de 0,1 cm.

b. Si A es de 2 cm, L mide 0,5 cm.

c. Completemos la siguiente tabla:

A (en cm) 1 0,01 0,00001 0,00000001

L (en cm) 1 100 100000 100000000

4. Observen el gráfico de f(x) y calculen, si existe, lo indicado. Justifiquen sus res

puestas.

0t

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 0

a. lím f(x) =

x-*0+

b. lím f(x) =

x-*0_

c. lím f(x) =

x-*0

d .f(0 ) = e. lím f(x) =

x-*l+

f. lím f(x) =

x-»l"

g. lím f(x) =

X — 1

M U = i. lím f(x) =

x-*4+

j . lím f(x) =

x-*4

k. lím f(x) =

x-*4

l.f(4 ) =

(18)

5. Grafiquen una función f(x) cuyo dominio sea IR y que carezca de límite cuando x tiende a -8.

6

.

Realicen el gráfico de una función f(x) cuyo dominio sea IR y que carezca de límite cuando xtien d e a 8ycuando xtien d e a - 5, pero que tenga límite cuando xtien d e a 3.

Análisis i

d.

Notemos que a medida que Atiende a 0 por la derecha 1 (dado que A > 0), la cuenta que permite calcular L, L = —, da por resultado un número cada vez mayor. En otras palabras,

1

cuando Atiende a cero por la derecha, — es cada vez más grande y, entonces, decimos que tiende a infinito. Esto se escri-

1 be simbólicamente: lím - = OO,

A - 0 * A

Analicémoslo gráficamente:

Cuando tomamos en el eje y cualquier valor M > 0, podemos encontrar un entorno de 0, por la derecha, de tal manera que

1

para todos los A en este entorno, la imagen de A, —, es mayor que M. Esto sucede para cualquier valor que elijamos de M por más grande que sea.

Si en lugar de tomar una función sólo definida para valores 1

positivos tomamos la función f(x) = - con dominio IR- {0 }, al x

considerar en el eje y cualquier valor M > 0 podemos encontrar un entorno de 0 en el eje x tal que |f(x)| > M.

Límite infinito

Decimos que una función f(x) tiende a infinito cuando x tiende a x 0, si a medida q u exto m a valores cada vez más próximos a x 0, |f(x)| toma valores cada vez más grandes.

En este caso, escribimos: lím f(x) = <».

x - x 0

Simbólicamente estamos diciendo que VM > 0, 3 ó > 0/ si x e (x0- 6_{; x}0₊6) => |f(x)| > M

(19)

e. Completemos la siguiente tabla:

A (en cm) 100 1000 100000 100000000

L (en cm) 0,01 0,001 0,00001 0,00000001

f. Observemos en la tabla que a medida que A toma valores cada vez mayores (tiende a más infinito), entonces, Ltiende a 0. Esto se escribe simbólicamente: lím — = 0.

x - + - A Analicémoslo gráficamente:

Al tom aren el eje y un entorno cualquiera de 0, podemos en

contrar en el eje x un N lo suficientemente grande para que las imágenes de todos los x mayores que N se encuentren en el entorno elegido de 0.

Decimos que una función f(x) tiende a un número L cuando xtien d e a infinito si a medida que |x| toma valores cada vez más grandes, f(x) tiende a L. En este caso escribi

mos:

lím f(x) = L

X -»o o

Simbólicamente estamos diciendo que Ve > 0, 3 N > O/si |x| > N =>f(x) e ( L -e; L + e)

Notemos que en algunos casos hablamos de infinitoy no dis

tinguimos entre más y menos infinito.

Cuando ponemos » (sin signo), estamos suponiendo que pue

de ser +oo o -oo. Si en algún caso debe distinguirse, le coloca

remos el signo correspondiente.

7. Determinen si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. Justifiquen sus respuestas utilizando gráficos:

(20)

EL CONCEPTO DE LÍMITE Análisis i

8

.

Para la función f(x) cuyo gráfico es

a. lím f(x) =

X -» 3 ”

b. lím f(x) =

X ~ 3 +

c. lím f(x) =

x-» 5"

d. lím f(x) =

x-»5 +

e. lím f(x) =

x—•—00

f. lím f(x) =

X -» + °°

Expliquen el motivo de sus respuestas.

O Problema 4

Observen los siguientes gráficos y determinen los límites pedidos.

c. lím g(x) = d. lím g(x) =

X— -«*» X— +00

• Problema 4

En estos casos, observamos que no es lo mismo que x tienda a -00 o a +00.

Al analizar los gráficos de f(x) y de g(x), obtenemos:

a. lím f(x) = +00

x —* -00

c. lím g(x) = 0

b. lím f(x) = 0

x— +c*

d. lím g(x) = +00

Analicemos los límites de los ítems a .y d .,ya que estos casos no fueron estudiados hasta este momento.

Para el límite del ítem a., en el gráfico podemos observar lo siguiente:

Si tomamos en el eje y cualquier valor M > 0, podemos encon

trar un N > 0 de tal manera que para cualquierx menorque -N su imagen será mayor que M.

(21)

21

Para el límite del ítem d., en el gráfico podemos ver lo siguiente:

Si tomamos en el eje y cualquier valor M > 0, podemos encon

trar un N > 0 de tal manera que para cualquier x que sea mayor que N su imagen será mayor que M.

Decimos que una función f(x) tiende a infinito cuando x tiende a más infinito, y escribimos lím f(x) = «>, si a

X—• + « »

medida que x toma valores cada vez más grandes, |f(x)|

toma valores cada vez más grandes. Simbólicamente:

VM > 0, 3N > 0/ si x > N => |f(x)| > M

Decimos que una función f(x) tiende a infinito cuando x tiende a menos infinito, y escribimos lím f(x) = «>, si a

x—• -w

medida que x toma valores negativos cada vez más chicos,

|f(x)| toma valores cada vez más grandes. Simbólicamente:

VM > 0, 3N > 0/ si x < -N => |f(x)| > M

Decimos que una función f(x) tiende a infinito cuando x tiende a infinito, y escribimos lím f(x) = oo, si a medida que

X— oa

|x| toma valores cada vez más grandes, |f(x)| toma valores cada vez más grandes. Simbólicamente:

VM > 0, 3N > 0/ si |x| > N => |f(x)| > M

O Problema 5

Consideren las siguientes sucesiones:

a„ = 3n + l bn = ( | ) n cn= (-l)"

Calculen qué ocurre en cada caso cuando n tiende a más infinito.

• Problema 5

Como las sucesiones son funciones cuyo dominio son los números naturales con el cero, podemos considerar al estudio de sus límites como un caso particular de todo lo trabajado con anterioridad.

En el caso de la sucesión an, cuando n tiende a más infinito, 3n tiende a más infinitoy 3n + 1 también tiende a más infinito, o sea, lím an = +<».

n-»+°o

9. Para cada uno de los siguientes gráficos, analicen el límite de la función cuando x tiende a +«> y cuando xtiende a -°o.

c. O

d. O

(22)

10. Determinen cuáles de las siguientes sucesiones convergen, cuáles divergen y cuáles oscilan. Justifiquen sus res

puestas.

a .a n = 5"

b. bn = n2- 2

c.cn = 0 ,5 .(- l)n

Análisis i

1V

La sucesión b„ = - I es una función exponencial'con base mayor que 0 y menor que 1. Su gráfico es el siguiente:

5 10 15 20 25 Q

A partir de la observación del gráfico, podemos determinar que lím bn = 0_.

n-»+oo

Analicemos el caso de cn = ( - l ) n. Esta sucesión también se puede escribir como

c„ = 1 si n es par -1 sin es impar Su gráfico es el siguiente:

5 10 15 20 0

Si tomamos a 1 como límite y consideramos un entorno de 1 con, por ejemplo, e = 1 no podemos encontrar en el eje x un

N > 0 de tal manera que si n es mayor que N, cn esté en el entor

no de 1. Lo mismo ocurre si tomamos a -1 como límite. Por lo tanto, no existe el límite de cn cuando n tiende a más infinito.

Límite de sucesiones

Decimos que una sucesión converge a Le IR si lím an = L.

Una sucesión diverge sí lím an = °°.

n-» +<» "

Una sucesión oscila si no existe el límite cuando n tiende a más infinito.

En el problema 5, an diverge, bn converge a cero y cn oscila.

(23)

Álgebra de límites

a. Si lím f(x) y lím g(x) son números reales, entonces:

x— x0 x— x0

I El límite de la suma de f(x) y g(x) es igual a la suma de los límites de f(x) y de g(x). O sea:

lím [f(x) + g(x)] = lím f(x) + lím g(x)

x -» x 0 *-»*o x - » x 0

Decir que lím f(x) = R significa que a medida que x toma valo-

x-»x0

res cada vez más próximos a x 0, las imágenes porf(x) resultan valores cada vez más cercanos a R.

Si lím g(x) = O, entonces a medida q u exto m a valores cada

x - x 0

vez más próximos a x 0, g(x) toma valores cada vez más cerca

nos a O.

Por lo tanto, sí x toma valores cada vez más próximos a x 0, entonces:

f(x) + g(x) toma valores cada vez más cercanos a R + O.

0 sea: lím [f(x) + g(x)] = R + O = lím f(x) + lím g(x).

X -* Xq X -* X 0 X -» X 0

De igual manera se puede analizar el límite de las demás ope

raciones.

1 El límite de la resta de f(x) y g(x) es igual a la resta de los lím i

tes de f(x) y de g(x). Es decir:

lím[f(x) - g(x)] = lím f(x) - lím g(x)

x - * x 0 x - » x 0 x - » x 0

I El límite del producto de f(x) y g(x) es igual al producto de los límites de f(x) y de g(x). O sea:

lím [f(x ). g(x)] = flím f ( x ) l. [lím g(x)l

x - * x 0 [x - » x 0 J |x - » x 0

I El límite del cociente de f(x) y g(x) es igual al cociente de los límites de f(x) y de g(x), siempre que el límite del denominador sea distinto de cero. Es decir:

lím f(x)

lím , ' si lím g(x) *0 g(x) lim g(x) »—o

Algo más...

Teorema (del sándwich)

Si f(x), g(x) y h(x) son tres funciones tales que g(x) < f(x) < h(x) para todos los x en un entorno alrededor de x„, y si además se verifica

que lím g(x) = lím h(x) = L, entonces,

x-» x0 x - * x 0

lím f(x) = L.

X -» X 0

Este teorema también es válido cuando x tiende a

Consideremos, por ejemplo,

f(x) = 2x ^ 3 y utilicemos el teorema anterior para calcular el límite cuando x tiende a +°°. Para todo x > 0 se cumple que f(x) > Oy, además, si tomamos x > 3, resulta:

Vx + 3 Vx + x V x + x

-<--- < - ^V^{2x _ 1}

~2x~Í2x 2x + 3 2x + 3 _ 2x

pues Vx + 3 < Vx + x y 2x + 3 > 2x,

con lo cual

„ Vx + 3 0 <

* v k ’ pero^ v s r 0:

2x + 3

entonces, por el teorema anterior:

Vx + 3 lim --- = 0. x-+“ 2x + 3

I Si la función g(x) = [f(x)]n, con n e IR, está definida en un en

torno alrededor de x„, entonces:

• si lím f(x) *0 => lím [f(x)]n= [lím f(x)ln

x - * x „ x - » x 0 [x - » x 0

• si lím f(x) = 0_{y n}*0 => lím [f(x)]n = flíi

I Si lím f(x) * 0 o lím g(x) * 0 => lím [f(x)]g(x)= [limf(x)l''"

x - ^ x 0 x - » x 0 x- »x0 [x- »x0

lím g(x)

(24)

11. Demuestren las siguientes propiedades de límites:

a. lím [f(x) - g(x)] = lím f(x) - lím g(x)

b. lím [f(x). g(x)] = [lím f(x)]. [lím g(x)]

c. lim

x -» x 0

fM g(x)

lím f(x)

x -» x 0

lím g(x) si lím g(x) * o

12. Considerando que lím f(x) = a,

x - * x 0

lím g(x) = by lím t(x) = c, donde a, by

x -» x 0 x - * x 0

c son números reales distintos de cero, determinen los siguientes límites:

a J í m ^ M . x^xo t(Xj

h lím fW3 / ■/ \ '

x- xo Vt(x)

c. lím [f(x) + g(x) - 2_{t(x)] :}

b. Si lím f(x) = oo y lím g(x) = O, con O e IR, entonces:

X-»Xp x ■“

I lím [f(x) + g(x)] = ■

x - » x 0

: O O

Si lím f(x) = +oo, entonces, cuando x toma valores cada vez más

x - x 0

cercanos a x 0, f(x) toma valores cada vez más grandes. Además, lím g(x) = O, entonces, g(x) se acerca cada vez más a O cuando

x - x 0

x tiende a x 0. Luego, cuando x tiende a x 0, f(x) + g(x) tiende a la suma entre un número cada vez más grande y un número cada vez más cercano a O, lo cual da por resultado un número cada vez más grande. Es decir: lím[f(x) + g(x)] = +oo. (i)

x - x 0

Si lím f(x) = -oo, entonces, cuando x tiende a x 0, f(x) toma

x - * x 0

valores negativos cada vez más chicos, y al sumarle un número cada vez más cercano a O, el resultado es un número negativo y cada vez más chico. O sea: lím [f(x) + g(x)] = -oo. (2₎

x-» x0

Por lo tanto, de (i) y (2) deducimos que cuando x tiende a x 0, f(x) + g(x) es un número cada vez mayor en módulo, o sea, lím [f(x) + g(x)] = oo.

x - * x 0

I lím[f(x) - g(x)] = oo

x-» x „

Esta propiedad se puede razonar de la misma manera que en el caso anterior.

I Si lím g(x) * 0, entonces, lím [f(x ). g(x)] = OO,

x - » x 0 x - » x 0

Si lím f(x) = +oo, al multiplicar un número que es cada vez más

X -* X 0

grande por un número cada vez más cercano a O, el resultado será cada vez mayor en módulo, con lo cual lím [f(x ). g(x)] = oo.

X -» Xq

Si lím f(x) = -oo, al multiplicar un número negativo cada vez más chico por un número cada vez más cercano a O, el resulta

do será cada vez mayor en módulo.

El signo que corresponde al resultado del límite cumple la regla de los signos respecto de los signos de los límites de f(x) y de g(x).

. f(x) I lim -7-7₌00

g(x)

(25)

fix) 1 1 1 Si lím g(x) * O, entonces, como -V 4 = f ( x ). —— y lím —— = —,

g(x) g(x) — o g(x ) O por la propiedad anterior deducimos que

lím = lím

X- XQ g(X) x-*0 f ( x ) . - P r

g(x)

: ©o. Si lím g(x) = 0, entonces, f(x) = g(x)

13. Demuestren la siguiente propiedad de límites:

Si lím f(x) = + o o , entonces, para n 6 IR+

X -» Xq

es lím [f(x)]n = +oo y para n eIR" es

x-»x0

lím [f(x)]n = 0.

= f( x ). — — corresponde a la multiplicación de dos números

g(x)

que son cada vez mayores en módulo, con lo cual lím -Vf(x)4_{= <».}

x - x . g ( x )

c. Si lím f(x) = +oo, entonces: para n e IR+ es lím [f(x)]n = +«> y

x-» x 0 x - » x 0

para n e IR' es lím [f(x)]n = 0.

x - * x 0

d. Si lím f(x) = R, con R e IR, y (a„)n6lN es una sucesión cualquiera tal que lím an = x 0, entonces, lím f(an) = R._n-»+oo _n-»+«a

Para demostrar esta propiedad, se requiere un análisis más exhaustivo de la definición de “ límite”, que excede lo necesario para este curso.

Observemos que en todas las propiedades del álgebra de lími

tes si x, en lugar de tender a x 0, tiende a infinito, el razona

miento es análogo al que hemos realizado. Por lo tanto:

Todas las propiedades del álgebra de límites son válidas aun si x tiende a infinito.

14. Sabiendo que lím f(x) =

x - * x „

lím g(x) = b y lím t(x) = c, con b y c

X -» X p x - * x 0

números reales distintos de cero, determinen los siguientes límites:

, l í m Í W # =

»-*« [t(x)]

b. lím [f(x) + g(x) - 2t(x)] :

O Problema 6

Encuentren, si existen, los siguientes límites:

a. lím sen x b. lím - sen x

x— x

• Problema 6

a. Analicemos el gráfico de la función f(x) = sen x.

La función toma los valores que van desde -1 a 1 infinitas veces.

Supongamos que lím f(x) = R, con R e IR; entonces, por la propie

dad d. del álgebra de límites, es lím f(a n)= R para toda sucesión

n-»+°o

(a„ L N que verifique lím an = oo.

Algo más...

Si P(x) es un polinomio, entonces, P(x) = anx n + an_! x" 1 +... + ajX + a0.

Luego: lím P(x) = lím (a„xn + an_! xn_1 +

x - x 0 x - x 0

+ ... + axx + a0) = lím a „xn + lím an_! xn_1

x - x 0 X—*Xg

+ ... + lím ajX + lím a0 = anx 0n + an. ! x 0n_1

x -» x0 X -» X 0

+ ... + a^o + a0 = P(x0) Por lo tanto, lím P(x) = P(x0).

X -* X 0

De igual manera podemos demostrar que si P (x)y O(x) son dos polinomios, entonces:

l i m M . f W i o ( x J , o Q M O(x0) "

(26)

15. Demuestren que si P(x) y 0(x) son dos polinomios y O(x0) * 0, entonces:

lím P(x) _ P (xJ

■ Q M O(x0)

16. Analicen la existencia de los siguien

tes límites:

a. lím - j co sx =

x— x

Consideremos, por ejemplo, las sucesiones bn = 2nTi y cn = (4n + 1) Ambas sucesiones tienden a infinito cuando n tiende a más infinito. Con lo cual debería ser lím f(bn) = R y

n-*+oo

lím f(c„) = R.

= 1. Entonces, Perof(bn) = sen(2nn) = 0 y f ( c J = sen

lím f(bn) = 0 y lím f(cn) = 1, con lo cual debería ser R = 1 y R = 0,

n-»+«> n - + ~

y esto es absurdo. Por lo tanto, no se cumple la propiedad d. del álgebra de límites. Esto quiere decir que no existe el límite de senx cuando x tiende a infinito.

Conclusión

Las funciones periódicas (no constantes) no tienen límite cuando x tiende a infinito.

b. lím t g x =

c. Iim eos x =

d. lím x - [ x ]

b. Observemos la gráfica de la función f(x) = - sen x:

x

A medida que x tiende a infinito, f(x) tiende a cero. Pero

¿cómo podemos deducir esto de la fórmula de la función?

Si x tiende a infinito, - tiende a 0. Además, las imágenes de 1

x

la función sen x son los valores entre-1 y 1. Luego, si a esos valores los multiplicamos por un valor cada vez más cercano a cero, el resultado se aproximará cada vez más a cero. O sea:

lím - sen x = 1 0.

x— x

Conclusión

Si lím f(x) = 0 y el conjunto imagen de g(x) está incluido en el

X -»o o

intervalo (a, b), entonces, lím [f(x). g(x)] = 0.

(27)

GE 1 G U ÍA DE EJERCITACIÓN

O

1. Observen el gráfico def(x). Si es posible, completen en los lugares indicados; si no es posi

ble, expliquen porqué.

a. f(—6_): lím f ( x ) :

O

o

b. f(0) = lím f(x) = lím f(x) = lím f(x) =

x-»0 _x-»0₊ x-*0

c .f(4 ) = lím f(x) = lím f(x) = lím f(x) =

X—»4 x-4' 'r X—»4

d .f(6_{) =} _{lím f(x) =} _{lím f(x) =} _{lím f(x) =}

X-& x-»6+ x—6

e. f(10_{) =} _{lím f(x) =} _{lím f(x) =} _{lím f(x) =}

x-»10 x-* 1 0 ' x-»10

2. Grafiquen dos funciones distintas que verifiquen que lím f(x) * lím f(x), 2 e Dom f y

x - 2 + x -* 2 -

f(2) = lím f(x).

x-» 2"

F | |

A L U M N O 1

(28)

GE 1

G U IA DE EJERCITACION ^, ^BI ^{Análisis i}El concepto de límite

4. Realicen el gráfico de una función f(x) que verifique que lím f(x) = 5, lím f(x) = +<*> y que

x-»2+ x-» 2"

2 i Dom f.

O

5. Dibujen el gráfico de dos funciones distintas en las cuales se cumpla que el límite cuando x tiende a +°° sea distinto del límite cuando x tiende a -«>.

O

6. Grafiquen una función f(x) que simultáneamente verifique lo siguiente:

lím f(x) = 2, lím f(x) = 4, f(3) = 6_,

v _ 3 +< v _ 3 -

lím f(x) = 8, lím f(x) = 2 y f(4) = 3.

O

7. Sabiendo que lím f(x) = m, lím g(x) = n y lím h(x) = p, donde m, n y p son números natu-

X —•<*> X -* o o X — oo

rales distintos de cero, determinen los siguientes límites justificando los pasos realizados:

a . l l m S M .

«— h(x)

O

b. lím f(x)

Vg(x)

c. lím [5f(x) + 4g(x) - 2h(x)] =

O

(29)

Análisis i

El concepto de límite 29

O

J [h(x)]5g(x) d. Iim °

f(x)

O

e. lím [f(x)]^h(x)

8. Indiquen si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. Para las que sean verda

deras, analicen por qué, y para las que sean falsas, den un ejemplo donde no se cumpla la afirmación.

O

a. Si lím [f(x) + g(x)] es un número real, entonces, lím f(x) y lím g(x) son números reales.

O

b. Si lím [f(x) + g(x)j y lím f(x) son números reales, entonces, lím g(x) es un número real.

O

c. Si lím [f(x ). g(x)] y lím f(x) son números reales, entonces, lím g(x) es un número real.

d. Si lím [f(x ). g(x)] es un número real y lím f(x) * 0, entonces, lím g(x) es un número real.

(30)

GE 1

G U IA DE EJERCITACION ^, ^BI ^{Análisis i}El concepto de límite

9. Grafiquen la función f(x) = [x] (parte entera de x). Observando el gráfico calculen, si es posible, los siguientes límites. Si no es posible, expliquen por qué.

a. Iím f(x )= ___________ b. lím f(x) = ___________ c. lím f(x) :

d. Iím f(x)= e. Iím f(x)= n e Z f. Iím f(x)= x„il

x-» -5 x —n x - * x 0

10. Determinen cuáles de las siguientes sucesiones convergen y cuáles no. Justifiquen sus respuestas.

a. a„ = —_n _{2 n}1

b. b = Bn2₊1

c-cn = ( - l)21

11. Calculen los valores de a y b, con b * 0, si se verifica que lím f(x) = a, lím g(x) = b,

x-* 5 x-* 5

f(x )

lím [f(x) - 3g(x)l = 5 y lím = 7. Justifiquen los pasos realizados.

~5 g(x)

O

o

(31)

12. Determinen los siguientes límites considerando que lím f(x) = a y lím g(x) = b, con a y b

X -» K > X -» W

números reales,a >0_{, a *}1 y b >0_. a. lím [ f ( x ) . g (x)] =

b. lím [f(x)]8W =X—oa

0

c. lím

X-ID O

f(x) _

g(x)

d. lím [8 f(x) + B(g(x))2]=

X —00

0

e. lím [f(x)]x =

x - * + ~

f. lím [g(x)]1₌ x—00

0

g. lím

X-»oo

f(x) + g(x)

3 =

h. lím

X-»oo

f(x )- g (x )

g(x) ⁼

13. Hallen los valores de a y b, con b * 0, si se verifica que lím f(x) = a, lím g(x) = b,

x -* 4 x-* 4

lím -f(x)7-^=0 y lím [(g(x))2 - f(x)] = 4. Justifiquen los pasos realizados.

x - 4 g ( X ) x - 4

O

F

A L U M N O 1

(32)

GE 1

G U IA DE EJERCITACION ^, ^BI ^{Análisis i}El concepto de límite

14. Encuentren, si existe, la fórmula de una función f(x) que verifique que lím f(x) = 3

X—+ o o

y lím f(x) = -3 . Justifiquen su respuesta.

O

15. Realicen el gráfico de una función f(x) que verifique simultáneamente que D = í-oo; I u (0; +oo), lím f(x) = 1, lím f(x) = +oo y lím f(x) = -2.

\ 2 / x— x-* 0 + x-»+oo

O

16. Consideren la siguiente función:

f(x) ■

si x< 0

X

o

si 0 < x < 1 x- 1

3 x - 1 si x> 1 a. Grafiquen f(x).

O

b. Calculen los siguientes límites:

i. lím f(x) =

x-»0+

¡i.

^{lím f(x) =}

x - » l+

iii.

^{lím f(x) =}

lím f(x) =

x - 0 "

lím f(x) ■

x - * l "

lím f(x) =

O

(33)

G A 1 G U ÍA DE AUTOEVALUACIÓN

O

1. Observar el gráfico de f(x) y calcular, si existe, lo indicado.

O

o

a. f(-3) =

b .f(0_{) = _} c.f(5 ) = _

d .f(6) = _

e. f(7) = _

lím f(x) =

x - - 3 ~

lím f(x) =

x - 0 "

lím f(x) =

x - 5 "

lím f(x) =

x - 6 "

lím f(x) = _

lím f(x) =

x -» -3 +

lím f(x) =

x - 0 +

lím f(x) =

x-*5 +

lím f(x) =

lím f ( x ) :

x - 7 +

2. Si lím 3fW „ = 7 y lím f(x) = 5, hallar lím g(x).

x-*xo f(x) *-*o x-»xo

lím f ( x ) :

x-» -3

lím f ( x ) :

x - 0

lím f ( x ) :

x - 5

lím f ( x ) :

x - 6

lím f ( x ) :

O

3. Si lím [g(x)]fM = 256 y lím f(x) = 8, calcular lím g(x).

(34)

G A 1 G U ÍA DE AUTOEVALUACIÓN

Análisis i

El concepto de límite

4. Graficar una función que carezca de límite cuando x tiende a +«>, pero que tenga límite

cuando x tiende a —OO.

O

5. Realizar el gráfico de una función para la cual no existe el límite cuando xtiend e a 3, pero que posea límite cuando xtiend e a 2.

O

6. Considerar la siguiente función:

7x + 2

--- si x <0

f(X) :

a. Grafica rf(x).

4x + 1 si 0 < x < 1

x2_{+ 4} si x > 1

O

b. Observando el gráfico, completar:

I. f(0) =___________ lím f(x) = ____

M .f(l)

lím f(x) =

lím f(x) ^

x - l +

lím f(x) =

x - 0

lím f(x) =

O

(35)

MATEMÁTICA | LIBRO 5 Análisis i

2 Cálculo de límites

Muchas veces el cálculo de los límites de las dis

tintas funciones se facilita si se conocen las dife

rentes estrategias algebraicas que existen para realizar este cálculo. A partir de estas estrate

gias, se pueden calcular límites sin necesidad de confeccionar tablas ni realizar gráficos.

(36)

36 CÁLCULO DE LÍMITES Análisis i

Una vez que construyeron herramientas que les permiten resolver los ejercicios de manera más económica, no olviden, al aplicarlos, verificar en cada paso que lo que están haciendo sea válido.

Para comenzar...

En el capítulo anterior, nos propusimos entender qué significa calcular el límite de una función en un va lo rx0y en infinito.

Nuestra tarea, ahora, es encontrar formas de calcular límites sin necesidad deconfeccionartablas ni realizar gráficos.

El matemático que utilizó por primera vez el símbolo « fue John Wallis en su obra Arithmetica Infmitorum, publicada en

1656.

John Wallis nació en Ashford, Inglaterra, en 1616. De niño era muy buen alumno y a los trece años se lo consideraba en con

diciones de ir a la universidad. Sin embar

go, en 1631 y 1632, concurrió a una escue

la en Essex, donde se perfeccionó en grie

go, latín y hebreo. Allí también estudió ló

gica. No tuvo contacto con la Matemática, porque en esa época esta materia no era considerada importante en las escuelas prestigiosas. Su primer contacto con esta ciencia fue a través de su hermano, quien durante unas vacaciones le enseñó las re

glas de la aritmética.

En 1632, ingresó en el Emmanual College de Cambridge y obtuvo el bachillerato en arte. Como por ese entonces no había en Cambridge ninguna persona que pudiera dirigir sus estudios de Matemática, tomó cursos de ética, metafísica, geografía, as

tronomía y medicina, entre otros. Wallis contribuyó a los orígenes del cálculoy fue el matemático inglés con más influencia antes de Newton.

También fue un importante historiador de la M atem ática,ya que su obra Treatise on Algebra incluye importante material histórico.

Falleció en Oxford, Inglaterra, en 1703.

O Problema 1

Calculen los siguientes límites:

a. lím 1

c. lím i x- 1

5x + 3

b. lím

d. lím

3 X - 1 5x + 3

x- 1

• Problema 1

a. Para calcular el límite pedido, utilizaremos uno de los límites que hemos calculado en el capítulo 1: lím - = oo.1

x-0 x

Observemos que en — - a medida q u e xtie n d e a 1, x - 11 1

tiende a cero y, entonces,--- es la división entre 1_{y un nú-} x — 1

mero cada vez más próximo a cero. Es decir, debemos dividir el entero en partes cada vez más pequeñas, o sea que tendremos cada vez más partes. Entonces: l í m --- = oo.1

*-i x- 1

Si el numerador, en lugar de ser 1, es cualquier otro número real distinto de cero, y el denominador es cualquier función que tiende a 0, el razonamiento es análogo al que hemos realizado.

Conclusión 1

Si lím f(x) = 0, entonces, para cualquier número real k distinto

x-»x_

de cero se verifica que lím k f(x)

Esta conclusión también se cumple cuando x tiende a infinito.

(37)

37

b. Para calcular l ím --- , observemos que si xtiende a 3, al

*-3 x - 1

restarle 1, x - 1 tiende a 2 . Utilizando la propiedad del álgebra de límites que dice que el límite de la división entre dos funcio

nes es la división de los limites de cada una de ellas (siempre que el limíte del denominador no sea 0), obtenemos:

i lím 1 , -i

,, 1 x-3 1 1

l im --- = -- --- = — => lim ---

*-3 x — 1 l i m x - 1 2 «-3 x — 1

¿Cómo se lee... ? x - * x 0: xtiende a x 0.

1. Hallen los límites indicados:

a. lím (3x - 2)3

x - 0

c. Con un razonamiento similar al que utilizamos en el ítem b., i i r 5x + 3

calculamos l im --- .

*-3 _{x - 1}

b. lím -3_{2 x -6}

Si x - 3

Por lo tanto:

=>5x—>15 => 5x + 3 — 18.

= > x - l — 2 .

lím 5 x+ 3

*-3 X - 1

lím 5x + 3 x-»3

l ím x - 1 x—3

18 _ .. 5x + 3 _

— = 9 => lim --- = 9 2 x-*3 x 1

5x + 3

d. Para calcular l ím --- — , observemos que

si x-

X-1 _x- 1

=> 5x + 3 - 8

= > x - l —0

En este caso, cuando xtiende a 1, el numeradortiende a 8 y el denominador tiende a 0. Entonces, no podemos utilizar la propiedad del álgebra de límites que usamos en los ítem b.y c. Sin embargo, podemos realizar un razonamiento similar al empleado en el ítem a.

5x + 3

En x - 1 .cuando xtiend e a 1, el numeradortiende a un nú

mero distinto de 0, en este caso 8, y el denominador tiende a 0.

Entonces, tenemos números cada vez más próximos a 8 que se dividen por números cada vez más pequeños. Por lo tanto, obtenemos por resultado números cada vez mayores en mó-

5x + 3 dulo. Podemos decir, entonces, que l ím --- =

x - 1

c. lim 5x + 8 -9 x - 8 1

d. lím 6x + 9 i» 7x + 3

e. lím Vx2 + 9 = x-*3

x - a f. Iim ---- X-a x + a (con a^ O )

x + a g- llm ^X-a x — a2 - ^ 2

(con a * 0)

(38)

38 CÁLCULO DE LÍMITES Análisis i

2. Obtengan el valor de los siguientes límites:

a. lím - x + 3

b. lím —f=

*-+“ v x

c. lím

V j? + 9

d. lím x2 + 9x + 3 =

e. lím — =

Este razonamiento lo podemos utilizar para cualquier cociente donde el numerador es una función que tiende a un número distinto de 0 y el denominador es una función que tiende a 0_.

Conclusión 2

Si lím f(x) = k, donde k es un número real distinto de cero, y

x - . x „

f(x) _ lím g(x) = 0, entonces, lím

g(x)

Esta conclusión también es válida cuando x tiende a infinito.

O Problema 2

Hallen los siguientes límites:

i

a. lím x- 1 b. I í m ^ ± l

x - 1

• Problema 2

a. En el capítulo 1, dedujimos que lím — = 0. Utilizando estei

»— x

1

límite, calculemos lím --- .

x— x - 1

SÍ X - * ° ° = > x - l- * o o .

Por lo tanto, si a 1 lo dividimos cada vez en más partes, el resultado es cada vez más chico. O sea: lím

x- 1 ^{0 .}

f. lím Vx =

Si el numerador en lugar de ser 1 es otro número y el denomi

nadores cualquier función que tiende a infinito, el razona

miento es análogo al que hemos hecho.

Conclusión 3

Si lím f(x) = oo, entonces, para cualquier número real k se

x-»«®

verifica que lím = 0.

*— f(x)

Esta afirmación también se cumple si x tiende a x0.