Facultad de Ciencias Químicas Departamento de Matemáticas Álgebra
Capítulo 1: Espacios vectoriales.
1. Determina si cada uno de los siguientes subconjuntos deR3es subespacio vectorial:
(a) S1= f(x;y; z) 2 R3: x = 0g; (b) S2= f(x; y;z) 2 R3: x ¡ 3y + 2z = 0g (c) S3 = f(x; y; z) 2 R3: x = 3y = ¡zg; (d) S4= f(x; y; z) 2 R3: x = y ó y = zg (e) S5= f(x; y; z) 2 R3: y + 2x = 0; z = 5xg; (f ) S6= f(x; y; z) 2 R3 : x2¡ y2= 0g (g) S7 = f(x; y; z) 2 R3: x ¡ y = 1g; (h) S8= f(x; y;z) 2 R3 : xy = 0g:
2. Estudia la independencia lineal de los vectores deR3: (a) u1= (1; ¡1; 0); u2= (1; 3; ¡1); u3= (5; 3; ¡2):
(b) v1= (2; 2; ¡1); v2= (4; 4; 1); v3= (1; 0; ¡1):
(c) w1 = (3; ¡1; 2); w2= (2; 1; 3); w3= (0; 1; 1)
En cada caso, determina las ecuaciones paramétricas y cartesianas del subespacio que engendran. Busca además una base de dichos subespacios y, cuando proceda, completalas a una base deR3.
3. Determina una baseB y las ecuaciones paramétricas del subespacio S de R4dado por las ecuaciones:
8>
><
>>
:
x ¡y +z ¡t = 0
2x +2y ¡z ¡t = 0
4x +z = 0
3x +y +t = 0
Determina una base deR4que contenga aB.
4. SeaP2(x) el espacio de los polinomios de grado menor o igual que dos con coeficientes reales. Comprueba que p1(x) = x; p2(x) = x ¡ 1; p3(x) = (x ¡ 1)2forman una base deP2(x) y determina las coordenadas de p(x) = 2x2¡ 5x + 6 respecto de esa base.
5. SeaF (R; R) el espacio de todas las funciones de R en R. Estudia si W es un subespacio de F (R; R) donde:
(a)W = ff 2 F (R; R) : f (1) = 0g; (b)W = ff 2 F (R; R) : 2f (0) = f (1)g; (c) W = ff 2 F (R; R) : f (¡x) = ¡f (x)g 6. En el espacio vectorialE = C2(R; R) de todas las funciones continuas con segunda derivada continua se considera para a; b 2 R;
el subconjuntoF = ff 2 E : f00+ af0+ bf = 0g: Prueba que F es un subespacio de E:
7. Estudia si las siguientes familias de vectores son linealmente dependientes o independientes:
(a) fe2x; x2; xg ½ F (R; R):
(b) fsen ¼t;sen 2¼tg ½ C[0; 1] donde C[0; 1] denota las funciones continuas definidas en [0;1] con valores en R.
8. Encuentra una base deR4que contenga a los vectores(0; 1; 1; 1) y (1; 1; 0; 1).
9. Demuestra que Bn = f1; (x ¡ 2); (x ¡ 2)2; :::; (x ¡ 2)ng es una base de Pn(x). Si n = 4, halla las coordenadas del vector p(x) = 5x4+ 6x3¡ 4x + 2 respecto de la base B4:
10. Estudia si los siguientes subconjuntos deM2£2(R) son subespacios vectoriales de M2£2(R):
(a) S = fA 2 M2£2 (R) : r(A) = 1g; donde r (A) designa el rango de A:
(b) T = fA 2 M2£2(R) : traza(A) = 0g; donde traza(A) denota la suma de los elementos de la diagonal principal.
11. Se considera el subconjuntoP deRnformado por todas las n-uplas de números reales, tales que los elementos de cada n-upla forman una progresión aritmética. Prueba queP es un subespacio vectorial deRny determinar una base del mismo. Calcula respecto de la base hallada las coordenadas del vector(4; 7; 10; ::::; 3n + 1).
12. Determina una base para la suma y la intersección de los espaciosF y G engendrados por f(1; ¡1; 1; 2); (0; 1; 3; 1)g; f(1; 0; 4; 3); (1; 1; 0; ¡1)g:
13. SeaP = f1; sen2x; cos2x; sen 2x; cos 2xg.
(a) Estudia la dependencia e independencia lineal deP:
(b) Da una base del subespacioL(P ).
(c) Calcula, respecto de la base encontrada en(b), las coordenadas de:
f (x) = cos 2x + sen 2x; g(x) = cos x:
14. Demuestra queR3es suma directa de los siguientes subespacios vectoriales:
(a) W1= f(x; y; z) 2 R3: x + y + z = 0g; W2= f(t; 2t; 3t) 2 R3: t 2 Rg:
(b) U1= f(x;y; z) 2 R3: x = y = zg; U2 = f(0; y; z) 2 R3: y; z 2 Rg:
(c) V1= f(x; x; 0) 2 R3 : x 2 Rg; V2= f(0; y; y) 2 R3: y 2 Rg V3= f(z; z; z) 2 R3: z 2 Rg:
15. Se considera enR3el subespacioW = f(x; y; z) : x + y ¡ z = 0; x + y + z = 0g.
(a) Halla la ecuación de un suplementario deW .
(b) Descompón segúnW y el suplementario hallado en (a); el vector (¡1; 3; 4) de R3. 16. Consideramos enR3los subespaciosV1= f(0; x; y) : x; y 2 Rg; V2 = Lf(1; 1; 1); (1; 2; 3)g.
17. Determina una base deV1+ V2; V1\ V2y obten las ecuaciones paramétricas e implícitas deV1+ V2yV1\ V2. 18. Consideramos los subespaciosV y W contenidos enR3:
V = 8<
:
x1=¸ + ° x2=¹ + ° x3=¸ + ¹ + 2°
; W ´ x1¡ x2+ 2x3 = 0
(a) Determina una base deV; V + W; V \ W . (b) Encuentra unas ecuaciones implícitas paraV \ W . (c) Determina una base de un suplementario deV \ W .
19. Los siguientes subconjuntos y familias de vectores de algunos espacios vectoriales son subespacios y bases de éstos. Verifica la verdad o falsedad de esta afirmación en los ejemplos siguientes:
(a) f(a; b) 2 R2: a = ¡1g ; base f(¡1; 3)g :
(b) fp(x) 2 P3: (x ¡ 1) divide a p(x)g ; base fx ¡ 1; x2¡ 1g:
(c) com(B) = fA 2 M2£2=BA = ABg con B =
µ 2 1 0 2
¶
; base
½µ 2 1 0 2
¶
; µ 0 1
1 0
¶¾ :
20. Halla en cada uno de los ejemplos siguientes la suma y la intersección del par de subespacios dados y comprueba que se verifica la ecuación
dim(V1) + dim(V2) = dim(V1+ V2) + dim(V1\ V2):
(a) V1= com
µ 2 1 0 2
¶
; V2 = com
µ 2 0 0 2
¶
: (Ver el ejercicio anterior).
(b) V1= fp(x) 2 P3=(x + 1) divide a p(x)gV2= fp(x) 2 P3=(x ¡ 1) divide a p(x)g:
21. Demuestra que el subespacio vectorial de las funciones pares y el de las impares son subespacios suplementarios del espacio vectorial de las funcionesf : R ¡! R.
22. SeaP2(x) el espacio de los polinomios de grado menor o igual que dos con coeficientes reales. Se consideran dos subconjuntos suyos,F = fp (x) 2 P2(x) : p (x) = ax2¡ ax + 2a; a 2 Rg y G = fp (x) 2 P2(x) : p (x) = (2® ¡ ¯) x2+ ®x ¡ 2¯; ®; ¯ 2 Rg:
Se pide
(a) Probar queF y G son subespacios vectoriales de P2(x). Halla sus dimensiones.
(b) DeterminaF \ G y F + G.
23. Halla la matriz de paso de la baseB = f(1; 0); (0; 1)g a la base B0 = f(2; 3); (¡3; ¡4)g y la matriz de paso de B0aB. Si el vector
~
x tiene por coordenadas (1; 1)B en la baseB, ¿Qué coordenadas tiene en la base B0? Si el vector~y tiene por coordenadas (5; 0)B0, en la baseB0, ¿qué coordenadas tiene en la baseB?.
24. Halla la matriz de paso de la baseB = f1; xg de P1(R) a la base B0 = f2 + 3x; ¡4 + 5xg. El polinomio p(x) = 2 ¡ x, ¿qué coordenadas tiene en la baseB0?. El polinomio de coordenadas(5; 5)B0en la baseB0, ¿qué coordenadas tiene en la baseB?.
25. En el espacio vectorial de matrices2 £ 2 con coeficientes reales, M2£2(R), halla las coordenadas de la matriz A en la base B siendo A =
µ 2 ¡1
4 6
¶ y B =
½µ 1 1
¡1 0
¶
; µ 2 0
3 1
¶
;
µ 0 1
¡1 0
¶
;
µ 0 ¡2
0 4
¶¾
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Capítulo 2: Espacios vectoriales euclideos.
1. Determina una base ortonormal para el subespacio deR3generado por:
(a) u1= (1; ¡1; 0); u2= (5; 3; ¡2); u3= (1; ¡1; 0):
(b) v1= (1; 1; 1); v2= (1; 0; 1); v3= (3; 2; 3):
(c) w1 = (3; ¡1; 2); w2= (1; 0; 2); w3= (¡2; 1; 0):
Encuentra además las ecuaciones cartesianas de cada subespacio y halla su suplementario ortogonal.
2. EnR4con su producto escalar usual se pide
(a) Determina un vector unitario que sea ortogonal a los vectores(1; 2; 1; 0) ; (0; ¡1; 1; 0) y (1; 1; ¡2; 1) : (b) Obtén por el método de Gram-Schmidt una base de vectores ortonormales para
V = L f(1; 2; ¡1; 0) ;(0; 1; 1; 0) ; (1; 0;¡2; 1)g : 3. En el espacio vectorialE = C[¡1; 1], con el producto escalar
< f; g >C = Z 1
¡1
f (x)g(x)dx;
se consideran los vectoresu1(x) = 1; u2(x) = x; u3(x) = 1 + x: Calcula el ángulo que forman entre sí.
4. Se considera en el espacioP3(x) el subconjunto de los cuatro primeros polinomios de Chebychev, T = f1; x; 2x2¡ 1; 4x3¡ 3xg:
Demuestra:
(a) Los polinomios son son linealmente independientes.
(b) Los polinomios son ortogonales con el polinomio1 respecto al producto escalar ponderado
< f; g >T = Z 1
¡1
f (x)g(x) p1 ¡ x2dx:
5. Demuestra que si2 vectores son ortogonales, son linealmente independientes.
6. Aplica el método de ortogonalización de Gram-Schmidt a las funcionesun = xndel espacio vectorialE = P (x), con el producto escalar< f; g >C, y normaliza los polinomios obtenidos. (Paran = 0; 1; 2; 3 y x 2 (¡1; 1)).
7. Demuestra que las funcionesfukg son ortonormales dos a dos con el producto escalar < f; g >Cen[0; 1] siendo uk=p
2 sin (k¼t) : 8. SeaH el subespacio deR4definido por las ecuaciones:
8<
:
x + 2y ¡ z ¡ 2t = 0 2x + y ¡ 2z ¡ t = 0 2x + 7y ¡ 2z ¡ 7t = 0 (a) Determina las ecuaciones paramétricas deH, y una base ortonormal suya.
(b) Calcula la proyección ortogonal sobreH del vector u = (2; ¡2; 3; ¡3).
(c) Determina una base ortonormal deR4que contenga a la base deH hallada anteriormente.
(d) Repite lo mismo enR3con el sistema ½
2x + y = 0
z = 0 yu = (1; 1; 1):
9. Dado el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 1 y el producto escalar< f; g >Cen[¡1; 1] ; se pide:
(a) Proyección ortogonal del polinomiop(x) = x + 3 sobre el subespacio engendrado por x + 2.
(b) Calcula una base ortonormal a partir de la basef1; xg.
10. SeaS2el subespacio vectorial de las matrices simétricas de orden dos con la base" y la matriz A; donde
" =
½µ 1 0 0 0
¶
; µ 0 1
1 0
¶
; µ 0 0
0 1
¶¾
; A = 0
@ 1 0 1
0 2 1
1 1 2
1 A :
Definimos el producto escalarhu; vi como hu; vi = utAv para todo u; v 2 S2: Se pide (a) Determina el módulo de la matriz
µ 1 ¡1
¡1 2
¶
: Determina el ángulo que forman las matrices
µ 1 0
0 ¡1
¶ y
µ 0 1 1 0
¶ : (b) Halla el subespacio suplementario ortogonal del subespacioS2generado por
µ 1 0 0 0
¶ y
µ 0 1 1 0
¶ :
11. Utilizando el producto escalar usual deR3yR4, encuentra el complemento ortogonal deW , siendo:
a) W = L(u; v) con u = (1; 0; 1); v = (2; ¡1; 1); b) W ´
½ x1¡ x2+ x3+ x4= 0 2x1¡ x2= 0
12. En el espacio vectorialE = C[¡1; 1], con el producto escalar < f; g >C , se considera la funciónf (x) = ex. Busca el polinomio p(x) de grado menor o igual que dos más próximo a f y Calcula kf (x) ¡ p (x)kC.
13. SeaH el subespacio deR3definido por la ecuación cartesianax + 2y ¡ z = 0:
(a) Determina las ecuaciones paramétricas deH y una base ortonormal suya.
(b) Calcula el vector deH más próximo a u = (1; 1; 1) y la distancia de u a H.
(c) Encuentra una base ortonormal deR3que contenga a la base hallada anteriormente.
14. Aplica el método de ortogonalización de Gram-Schmidt a las funcionesf1 = x; f2 = x2y f3 = x3del espacio vectorialE = fv : [0; 1] ! R; v es derivable; v(0) = 0g con el producto escalar < f; g >=
Z 1 0
f0(x)g0(x)dx.
15. Calcula los coeficientes de Fourier1de la funciónf (x) = e¡xy la norma de la mejor aproximación def (x)como combinación lineal de las funciones obtenidas anteriormente.
16. Prueba que para todo número realµ, la transformación T :R3¡! R3definida por T (x) = A
0
@ x y z
1
A ; donde A = 0
@ sen µ cos µ 0
¡ cos µ sen µ 0
0 0 1
1 A
es una isometría.
17. ¤ Dado el subespacio S, generado por los vectores: f(1;0; 0); (¡1; 1; 0); (2; 1; 0)g, calcula la proyección ortogonal del vector v = (1; 1; 1) sobre S.
18. Seana y b dos vectores ortogonales del plano distintos de cero. Entonces para todo vector c del plano existen ® y ¯ tal que c = ®a+¯ b:
Usa el producto interno para encontrar® y ¯ en función de a y b.
19. DadoP2(R) el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 2 y el producto escalar < f; g >Cen[¡1; 1] ; se pide:
(a) Comprueba que se cumple la desigualdad de Cauchy-Schwarz para dos polinomios arbitrarios de orden dos. (Toma dos cua- lesquiera y haz las cuentas).
(b) Demuestra que
Z 1
¡1p (x) dx · 2 µZ 1
¡1
(p (x))2dx
¶12
para todo polinomiop (x) 2 P2(R) :
20. SeaR2+¡el espacio formado por los vectores deR2con la métrica (no es un producto escalar)hu; vi = ut¢ A ¢ v siendo A la matriz A =
µ 1 0
0 ¡1
¶ : Comprueba, encontrando un ejemplo, que se verifican las siguientes propiedades.
(I) Existen vectores conhu; ui < 0 (Vectores temporales).
(II) Existen vectores conhu; ui = 0 (Vectores luz).
(III) Existen vectores conhu; ui > 0 (Vectores espaciales).
(IV) Comprueba con un ejemplo que para vectores de los apartadosa y b la desigualdad de Cauchy-Schwartz toma la otra dirección, es decir que
kuk ¢ kvk · jhu ¢ vij
Nota: Este espacio es una versión dos-dimensional del espacio cuatridimensional de Minkowski, que es donde trabaja la teoría de la relatividad especial de Einstein. Este es el ejemplo más sencillo de espacio vectorial no euclídeo.
1 Los coeficientes de Fourier son las coordenadas de la proyección de la función sobre el subespacio considerado
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Capítulo 3: Aplicaciones lineales y matrices.
1. ¤ Dada la aplicación lineal:
T :R4! R2 T (x; y; z; w) = (x ¡ 2z; 2y + 3w) (a) Encuentra su representación matricial respecto a las bases canónicas.
(b) Halla su núcleo y su imagen.
(c) Calcula la imagen porT de un vector ortogonal a v = (1; 1; 1; 1).
(d) Halla la matriz de la aplicación con respecto a la base canónica enR4y la baseB = f(1; 3); (2; 1)g en R2. 2. Estudia si la aplicación linealf :R2¡! R2definida por
f (x; y) = µ3
5x +4 5y;4
5x ¡3 5y
¶
es una transformación ortogonal.
3. SeaP2(R) el espacio vectorial de los polinomios reales de grado menor o igual que dos y f : R3 ! P2la aplicación lineal que cumple:
f (1; 1; 1) = 2¯ + ®x; f (0; ¡1; 1) = ®x + ¯x2; f (0; 0; 1) = ¯ + (® ¡ 1)x donde® y ¯ son números reales. Se pide:
(a) Halla® y ¯ para que f no sea inyectiva.
(b) Hallaker f e Im f en función de ® y ¯.
(c) Sea el subespacioU = f(a; b;c) 2 R3: a = bg. Halla el subespacio f (U ) y su dimensión dependiendo de los valores de ® y ¯ . 4. Estudia cuáles de las siguientes aplicaciones son lineales entre los espacios vectoriales dados:
(a) MB: M2£2(R) ¡! M2£1(R) dada por MB(A) = AB con B = µ ¡1
1
¶ : (b) MB: M2£2(R) ¡! M2£2(R) dada por SB(A) = A + B con B 2 M2£2(R) fija:
(c) A : Pn(x) ¡! Pn(x) dada por A(p(x)) = p(x + 1):
(d) A : Pn(x) ¡! Pn(x) dada por A(p(x)) = p(x) + 1:
5. Seaf :R3¡! R3dada porf (x1; x2; x3) = (x1¡ x2; x1; x1¡ x3). Encuentra la matriz de f respecto a la base canónica. Halla la imagen mediantef de los siguientes subespacios vectoriales deR3:
(a) V1= f(x1; x2; x3) 2 R3: x1¡ x2+ x3 = 0g:
(b) V2= f(0; x2; x3) 2 R3: x2; x3 2 Rg:
(c) V3= f(x1; x2; x3) = t(¡1; 1; 1) : t 2 R3g:
6. Sabiendo que la aplicaciónf transforma los vectores u1 = (1; 0; 0), u2 = (1; 1; 0), u3 = (1; 1; 1) deR3en los vectoresw1 = (2; 1; 2), w2= (3; 1; 2), w3= (6; 2; 3) respectivamente, encuentra la matriz de f en las siguientes bases:
(a) La base canónica deR3. (b) La basefu1; u2; u3g.
7. Halla las ecuaciones del núcleo y de la imagen de las siguientes aplicaciones lineales, indicando si son inyectivas, suprayectivas o biyectivas:
(a) MB: M2£2(R) ¡! M2£1(R) dada por MB(A) = AB con B = µ ¡1
1
¶ :
(b) f : P3(x) ¡! P3(x) tal que; f (1) = x2+ 1; f (x) = x + 2; f (x2) = x3¡ x; f (x3) = 1:
(c) La aplicación derivación dePn(x) en Pn¡1(x):
8. SeaV un espacio vectorial real y W1yW2dos subespacios vectoriales deV y f una aplicación de W1 £ W2enV definida por:
f (x; y) = x + y.
(a) Demuestra quef es una aplicación lineal.
(b) Demuestra queker f = f(x; ¡x)=x 2 W1\ W2g:
(c) Demuestra queker f es isomorfo a W1\ W2.
9. Demuestra que sif es una aplicación lineal de V en V0, yg es una aplicación lineal de V0enV00, entoncesker(g ± f ) = f¡1(ker g) 10. SeaV un espacio vectorial sobre un cuerpo K, f y g endomorfismos de V . Demuestra que:
ker(g ± f ) = f¡1(ker g \ Im f ):
11. Demuestra que sif es un endomorfismo de un espacio vectorial V , entonces f2= 0 si, y sólo si, f (V ) ½ ker f.
12. Seaf : V ¡! V un endomorfismo. Demuestra que si f2= f entonces se verifica que V = ker f © Im f:
13. Demuestra que si un endomorfismo deV es idempotente, es decir, f2= f , entonces se verifica:
(a) x 2 Im f , x = f (x):
(b) 1 ¡ f es idempotente.
(c) ker(1 ¡ f ) = Im f:
(d) ker f = Im (1 ¡ f ):
14. Seaf un endomorfismo del espacio vectorial V . Demuestra que:
(a) Sidim V = 2n + 1; entonces ker f 6= Im f:
(b) Sidim V = 2n; entonces ker f = Im f , si, y solo si, f2= f y dim Im f = n.
15. EnR3se considera la baseB = fu1; u2; u3g. Clasifica el endomorfismo f dado por f (u1) = au1+ u2+ u3; f (u2) = u1+ u2+ u3; f (u3) = u1+ bu2+ u3:
16. Se consideran 3 espacios vectorialesA; B; C; cuyas bases respectivas son
BA= fu1; u2; u3g; BB= fb1; b2g; BC = fv1; v2; v3g y dos homomorfismos dados respectivamente por
f : A ¡! B y g : B ¡! C
u1 ¡! b1¡ b2 b1 ¡! v1¡ v2+ v3
u2 ¡! b2 b2 ¡! v1¡ v2
u3 ¡! 2b2
Se pide:
(a) Matriz del homomorfismoh = g ± f : A ¡! C.
(b) Encontrar el conjuntoh¡1(1; 1; 1), donde (1; 1; 1) 2 C.
(c) Núcleo deh.
(d) Imagen del subespacio intersección de los subespacios siguientes:
V1´ 8<
:
x1= 2® + ¯ x2= ® ¡ ¯ x3= ¡®
; V2´ x1¡ x2+ 2x3= 0
17. Determina en la base canónica deR3la matriz del endomorfismof definido por las siguientes condiciones:
(a) La aplicaciónf, restringida al plano que tiene por ecuación x + y + z = 0, es una homotecia de razón 3.
(b) La aplicaciónf transforma en sí misma la recta de ecuaciones
f 2 x + 4y + 3z = 0x + 2y + z = 0:
18. Demuestra que sif es una aplicacion ortogonal, entonces es un isomorfismo.
19. EnR3se considera la baseB = fu1; u2; u3g y el endomorfismo f definido respecto a la base B por:
f (x1u1+ x2u2+ x3u3) = (x2+ x3)u1+ (x1¡ x2)u2+ (x2+ x1)u3: Se pide:
(a) Expresión analítica def respecto a la base B.
(b) Ecuaciones deker f y de Im f:
(c) Determina una base deker f y ampliarla a una base B1deR3. (d) Halla la expresión analítica def respecto de la base B1:
20. SeaV un espacio vectorial sobreR de dimensión 3. Para cada a 2 R, se considera el endomorfismo fa : V ¡! V cuya matriz respecto a una base fija B deV es,
A = 0
@
a 0 ¡1
0 1 1
a 1 a
1 A Estudia los endomorfismosfa según los valores dea:
21. Consideremos la base deR3,B = fu1 = (1; 0; 0); u2 = (¡1; 3; 5); u3 = (¡2; 1; 2)g y sea T : R3¡! R3la aplicación lineal tal que
T (u1) = 2u1+ u2; T (u2) = u1¡ u2+ u3; T (u3) = 4u1¡ u2+ 2u3:
(a) Determina la matriz de la transformación respecto de la base canónica y las ecuaciones cartesianas delker T referida a la base canónica y a la baseB = fu1; u2; u3g:
(b) Las ecuaciones cartesianas del subespacioL engendrado por u1yu2y la proyección ortogonal deu3sobreL.
22. Hallar una aplicación linealf :R3 ¡! R3tal que:
(a) f (1; 0; 0) sea proporcional a (0; 0; 1).
(b) f2= f
(c) La ecuación deker f es x + z = 0
23. Seaf :R4¡! R4el homomorfismo definido por
f (1; 1; 1; 1) = (0; 0; 1); f (1; 0; 1; 0) = (1; 1; ¡1);
f (1; 1; 1; 0) = (0; 0; ¡1); f (¡1; ¡2; 0; 0) = (1; 1;1):
(a) La matriz def respecto de las bases canónicas.
(b) Dimensión y ecuaciones cartesianas deker f e Im f :
24. Se considera el homorfismof :R3! R2que hace corresponder a los vectores (1,0,1), (0,1,0), (,1,1,0) los vectroes(1; 0); (0; 2); (1; 1) respectivamente. Se pide:
(a) Matriz asociada af en las bases canónicas deR3yR2. (b) Subespacio transformado deV ´ 5x1¡ 3x2¡ x3. (c) Ecuación def (V ) en la base B ´ f(1; 1); (2; 0)g:
25. En un espacio vectorialV de dimensión n se considera un endomorfismo f tal que fn = 0 y fn¡16= 0: Sea v tal que fn¡1(v) 6= 0 (a) Demuestra que v,f (v) ; f2(v) ; :::; fn¡1(v) es una base de V .
(b) Halla la matriz def respecto dicha base.
26. SeaP el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que n con coeficientes reales . Se considera la aplicación u : Pn¡1! Pntal queu (P ) = Q con Q definido por
Q (x) = ex2 d dx
³
e¡x2P (x)´
; x 2 R:
(a) Demuestra que la aplicación es lineal.
(b) Halla el núcleo deu:
(c) Halla la dimesión de la imagen deu.
(d) Determina la matriz deu en las bases canónicas.
27. Sea la aplicación linealf :R3 ! R3definida por
f (x; y; z) = (x + z; y + z) :
Determina las bases B1yB2deR3yR2respectivamente, tales que la matriz def respecto a B1yB2sea
µ 1 0 0
0 1 0
¶ : 28. Sea la matriz de ordenn con coeficientes enR;
A = 0 BB BB B@
0 0 ¢ ¢ ¢ 0 1 0 0 ¢ ¢ ¢ 1 0
. .. 0 1 ¢ ¢ ¢ 0 0 1 0 ¢ ¢ ¢ 0 0
1 CC CC CA :
HallaAppasando a endomorfismos deRn; (p 2 Z) :
29. Se considera el homorfismof : P3! M2£2(R) definido por f¡
ax3+ bx2+ cx + d¢
=
µ a b + d
c + d 0
¶ : (a) Halla la matriz del homorfismo en las bases canónicas.
(b) Da las ecuaciones implícitas del subespacio imagen.
(c) Calcula una base del núcleo.
30. SeaV el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que uno, con las operaciones usuales, y f el endomorfismo de V que verifica las condiciones siguientes:
–f (1 + x) = 2 ¡ x.
– El núcleo def coincide con la imagen.
Se pide:
(a) Matriz del endomorfismof en la base B = f1; xg.
(b) Calcula una base def (W ), siendo W el subespacio de ecuación x1+ 2x2 = 0:
(c) Imagen inversa del conjuntof(1; 1); (0; 0)g.
31. Halla una aplicación linealf :R3¡! R3tal que:
(a) f (1; 0; 0) sea proporcional a (0; 0; 1).
(b) f2= f:
(c) La ecuación deker f es x + z = 0:
32. Seanf; g :R3¡! R3tales que
f (e1¡p
3e3) = ¡e3; g(e1) = e1; f (e2) = e2; g(e2) = ¡e2; f (p
3e1+ e3) = 2e1; g(e3) = e3: (a) Estudia sif y g son ortogonales.
(b) Hallah = f ± g:
33. Seaf :R ! R la aplicación lineal cuya matriz respecto a la base canónica viene dada por
A =
à p
2
2 ¡a
a p22
!
cona 2 R . Determina para que valores de a la matriz A es ortogonal.
Facultad de Ciencias Químicas Departamento de Matemáticas Álgebra
Capítulo 4: Valores y vectores propios.
1. Halla los valores propios y los vectores propios de las aplicaciones lineales deRnenRnque están dadas por las siguientes matrices:
a =
µ 4 6
¡3 ¡5
¶
; b =
µ5 ¡1
4 1
¶
; c=
µ2 ¡1
3 1
¶
; d=
µ¡1 0
0 ¡1
¶
e =
0
@ 0 0 ¡1
1 ¡2 ¡1
¡2 3 1
1 A ; f =
0
@ 2 2 ¡1
0 ¡2 1
¡1 0 0
1 A ; g =
0
@ 2 ¡1 1
0 1 0
¡1 1 0
1 A ; h =
0
@ 0 ¡1 2
0 ¡1 0
¡1 1 ¡3
1 A :
En los casos que sea posible halla una base deRnformada por vectores propios, y la matriz en esa base, de las aplicaciones dadas en el ejercicio anterior.
2. Señala cuáles de las siguientes matrices pueden reducirse a una matriz diagonal y encuenta una matriz de cambio de baseP :
a= 0
@¡1 3 ¡1
¡3 5 ¡1
¡3 3 1
1 A ; b =
0
@4 ¡1 ¡1
1 2 ¡1
1 ¡1 2
1 A ; c =
0 BB
@
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
1 CC A:
3. Busca los valores y vectores propios de la aplicación derivaciónD, en P3(x).
4. Determina para que valoresa; b 2 R la matriz A es diagonalizable en R siendo A A =
0
@
a b 0
0 ¡1 0
0 0 1
1 A :
5. Estudia para que valores reales de® la matriz A es diagonalizable y en los casos en que lo sea, encuentra su forma diagonal , J; y una matrizP tal que P¡1AP = J; siendo
A = 0
@
1 ¡2 ¡2 ¡ ®
0 1 ®
0 0 1
1 A :
6. Demuestra que six es vector propio de f para el valor propio ¸, entonces x es vector propio de fnpara el valor propio¸n; n 2 N .
¿Qué ocurre si ademásf es invertible?.
7. EnR3, consideramos el endomorfismof dado por
f (x; y; z) = (2x + y + z; 2x + 3y + 2z; x + y + 2z)
y seaA la matriz de f respecto de la base canónica. Determina: vectores propios, valores propios, diagonalización y matriz de paso.
8. EnR3, consideramos la aplicaciónf (x; y; z) = (3x + y; ¡x + y; 0). Halla los valores y vectores propios. ¿Es diagonalizable?.
9. SeaE un espacio vectorial sobreR y f un endomorfismo de E tal que f2 = f . Demuestra que:
(a) E = Im f © ker f:
(b) f es diagonalizable.
10. Sidim(E ) = 3 y B = fu; v; wg es una base de E tal que
f (u) = u ¡ w; f (v) = v ¡ 2w; f (w) = 0 determinar una baseB0deE respecto de la cual la matriz de f sea diagonal.
11. Estudia si es diagonalizable el endomorfismo deR2definido porf (a; b) = (a + b; b):
12. Seaf :R3¡! R3el endomorfismo cuya expresión analítica respecto de la baseB = fe1; e2; e3g es 0
@y1
y2
y3
1 A =
0
@1 1 ¡1
0 2 ¡1
0 1 0
1 A
0
@x1
x2
x3
1 A : (a) Calcula los valores propios y sus subespacios propios asociados.
(b) ¿Se puede encontrar otra baseB0, tal que respecto a ella seaf diagonalizable?.
13. Seaf :R3¡! R3el endomorfismo definido por:
f (x; y; z) = (x + 2y ¡ z; 2y + z; 2y + 3z):
(a) Halla la matriz def respecto de la base B = fe1; e2; e3g.
(b) Calcula los valores propios, los subespacios propios y comprueba que el subespacio suma de estos subespacios es suma directa.
14. Seaf :R3¡! R3el endomorfismo cuya expresión analítica respecto de la baseB = fe1; e2; e3g es 0
@y1
y2
y3
1 A =
0
@ 1 2 2
1 2 ¡1
¡1 1 4
1 A
0
@x1
x2
x3
1 A
Encuentra una nueva baseB0tal que respecto de ella la expresión analítica def venga dada por una matriz diagonal.
15. ElevaA a la potencia enesima siendo
A = 0
@
a b b
b a b
b b a
1 A :
16. Demuestra que una matrizA y su traspuesta Attienen el mismo polinomio característico.
17. SeaA una matriz cuadrada de orden 2 con coeficientes en el cuerpoC de los números complejos. Halla la condición necesaria y suficiente para que los valores propios sean iguales.
18. Halla todas las matrices cuadradas de orden 2 con coeficientes reales que tengan por valores propios1 y ¡1.
19. SeaV un espacio vectorial de dimensión n y sea V = W1© W2dondedim(W1) = m. Encuentra el polinomio característico de la proyección¼1deV sobre W1.
20. En el espacio vectorial de los polinomios reales de grado menor o igual que tres se define la aplicaciónf dada por f (p(x)) = p(x) + p0(x):
(a) Demuestra quef es un endomorfismo.
(b) Halla la matrizA asociada al endomorfismo f respecto de la base canónica.
(c) Sea la matrizJ = 0 BB
@
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
1 CC
A y la matriz B = A + J: Prueba que las matrices I; B;B2; B3yB4son linealmente independientes.
(d) Halla la matriz inversa deB.
21. Se considera la matriz
J = 0 BB
@
1 1 1 1
1 1 ¡1 ¡1
1 ¡1 1 ¡1
1 ¡1 ¡1 1
1 CC A :
Prueba que es diagonalizable y determinar una matrizP que permita la diagonalización.
22. Encuentra una matrizC tal que C2= A, siendo
A =
µ 26 ¡10
¡10 26
¶ : 23. Calcula, aplicando el teorema de Cayley-Hamilton, la inversa de la matriz
A = 0
@ 1 2 0
¡1 3 1
0 1 1
1 A :
24. Sea B = fe1; e2; e3g una base de IR3 yA la matriz de un endomorfismo referido a dicha base. En dicho endomorfismo, los subespacios
V1´ x + y + z = 0; V2=nx ¡ y = 0 x ¡ z = 0 están asociados respectivamente a los vectores propios¸ = 1 y ¸ = 1=2. Se pide:
(a) Diagonaliza la matrizA.
(b) Calcula la matrizM = 2A4¡ 7A3+ 9A2¡ 5A + I.
(c) Calcula la matrizN = A¡3¡ 4A¡2+ 5A¡1+ 4I.
25. Estudia para que valores reales det, la matriz A es diagonalizable en el campo real siendo A =
µcos t sent sent cos t
¶ :
26. Encuentra una forma canónica de Jordan y el cambio de base correspondiente de las siguientes matrices:
D= 0
@3 2 ¡2
0 4 ¡1
0 1 2
1 A ; E =
0
@0 ¡1 ¡2
1 3 1
1 0 3
1 A ; F =
0
@ ¡2 0 ¡1
¡1 ¡1 ¡1
1 0 1
1 A ; G =
0
@3 2 ¡3
4 10 ¡12
3 6 ¡7
1 A :
27. Diagonaliza las siguientes matrices simétricas A =
0
@
3 ¡1 0
¡1 3 0
0 0 2
1 A ; B =
0
@ 102 0 ¡ 10
201 1 A ; C =
0
@
0 1 1
1 0 1
1 1 0
1 A ;
calculando una matriz de pasoP ortogonal que permita escribir su forma diagonal A0comoA0= PtAP:
28. SeaB = fe1; e2; e3; e4; e5g una base del espacio vectorial R5. Seaf un endomorfismo deR5del que se conoce –f (e2) = ¡e2:
–f (e3+ e4) = e3+ e4: –f (e5) = 2e5+ e1¡ e2:
– El polinomio característico def tiene la raíz triple 2.
– Las ecuaciones implícitas, respecto de la baseB, del núcleo del endomorfismo f ¡ 2I son 8>
<
>:
x1+ x2+ x3= 0 x3+ x4= 0 x5 = 0 : Se pide
(a) Matriz def respecto de la base B.
(b) La forma canónica de Jordan def y una matriz de paso P . 29. Dada la matriz A:
A = 0
@ ¡1 ® 0
0 ¡1 ¯
0 0 2
1 A donde® y ¯ son dos números reales. Se pide
(a) Estudia para que valores de® y ¯ la matriz A es diagonalizable.
(b) Para aquellos valores para los que no sea diagonalizable hallar la forma canónica de Jordan y la matriz de paso correspondiente en función de® y ¯.
30. Estudia para qué valores de los parámetrosa y b, reales, la matriz A =
0
@
5 0 0
0 ¡1 b
3 0 a
1 A
es diagonalizable, calculando:
(a) Forma canónica de Jordan y la matriz de paso para los valoresa = ¡1 y b = ¡1.
(b) Forma canónica de Jordan y matriz de paso paraa = 1 y b = 10. Calcular en este caso A129.
31. Seaf un endomorfismo deR3. Se sabe que una base del núcleo del endomorfismo está constituida por los vectores(1; 1; 0) y (1; 0; 1) y que la imagen del vector(0; 2; 1) es el vector (1; 1; 0). Se pide
(a) Valores propios y subespacios invariantes def . (b) Diagonaliza el endomorfismof .
(c) Clasifica dicho endomorfismo.
(d) Obten los subespacios invariantes defn.
