EXAMEN DE MATEMÁTICAS APLICADAS I
Temas 6. 7, 8 y 9 (Recuperación)
1. Para las funciones representadas en las siguientes figuras, determina: a) (0,9 puntos) Su dominio y recorrido.
b) (0,6 puntos) Sus simetrías y/o periodicidad, si las tienen. c) (0,6 puntos) La ecuación de sus asíntotas, si las tienen. d) (0,6 puntos) Sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.
e) (0,3 puntos) En qué puntos corta al eje OX la función h x( )4cosx.
2. (1 punto) De una función se sabe que f(100)20 y que f(200)35. Aplicando la interpolación lineal determina los valores correspondientes a f(140) y f(205).
3. (1,5 puntos) Las cantidades de oferta y demanda de un determinado producto son: ( ) 50 1,5
o
f p p, fd( )p 600 p (p en euros) Calcula:
a) El precio y la cantidad de equilibrio.
b) A qué precio se produciría una escasez de 100 unidades.
4. a) (1,5 puntos) Dada la función f x( ) 2x 8 x
, halla en qué puntos corta a los ejes de
coordenadas y determina sus asíntotas. Con esos datos haz un esbozo de su gráfica, indicando la posición de la curva con respecto a sus asíntotas.
b) (0,5 puntos) A partir de la gráfica anterior, representa h x( ) 2x 8 x
.
5. (1,5 puntos) Indica las características fundamentales (crecimiento y decrecimiento; signo; asíntotas…) de la función ( ) x
f x a dependiendo de los valores de a: considera las posibilidades a < 0, 0 < a < 1 y a > 1. Haz las gráficas que consideres necesarias.
6. (1 punto) Sabiendo que el eje de rotación de la Tierra tiene una inclinación de 23,5º, ¿qué adelanto lleva el Polo Norte con respecto al Polo Sur en otoño? (Dato: diámetro de la Tierra = 12740 km.)
Soluciones:
1. Para las funciones representadas en las siguientes figuras, determina: a) (0,9 puntos) Su dominio y recorrido.
b) (0,6 puntos) Sus simetrías y/o periodicidad, si las tienen. c) (0,6 puntos) La ecuación de sus asíntotas, si las tienen. d) (0,6 puntos) Sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.
e) (0,3 puntos) En qué puntos corta al eje OX la función h x( )4cosx. Solución:
Se denotan por (1), (2) y (3) las gráficas dadas.
a) Para (1): Dom: R – {–2, 2}; Recorrido: R. Para (2): Dom: R; Recorrido: [–3, 3].
Para (3): Dom: R. Recorrido: [–4, 4].
b) Las gráficas (1) y (2) son simétricas respecto del origen (funciones impares). Puede verse que:
3 3
2 2
( )
( ) ( )
2 ( ) 4 2 4
x x
f x f x
x x
; 2 2
6·( ) 6
( ) ( )
( ) 1 1
x x
g x g x
x x
La gráfica dada en (3) es simétrica respecto del eje OY (función par). Puede verse que: ( ) 4cos( ) 4cos
h x x x
Esta última función es periódica de período 2.
c) La gráfica de (1) tiene dos asíntotas verticales, de ecuaciones x = –2 y x = 2. También tiene una
asíntota oblicua, la recta 1 2 y x.
La función representada en (2) tiene una asíntota horizontal, la recta y = 0 (el eje OX).
d) Gráfica (1): crecimiento, (–∞, –3,5) (3,5, +∞); decrecimiento, (–3,5, –2) (–2, 2) (2, 3,5). los valores ±3,5 son aproximados.
Gráfica (2): crecimiento, (–1, 1); decrecimiento, (–∞, –1) (1, +∞).
Gráfica (3): decrece en el intervalo (0, ); crece en el intervalo (, 2). Como es periódica el proceso se repite cada 2.
e) h x( )4cosx corta al eje OX en las soluciones de 4cosx0, que son 2 x k .
2. (1 punto) De una función se sabe que f(100)20 y que f(200)35. Aplicando la interpolación lineal determina los valores correspondientes a f(140) y f(205).
Solución:
La función de interpolación es la recta f x( )mx n . De f(100)20 20 100 m n [1];
de f(200)35 35200m n [2].
Restando ambas ecuaciones, [2] – [1] 15 100 m m 0,15; y sustituyendo: n = 5.
La función es: f x( )0,15x5. En consecuencia:
(140) 0,15·140 5 26
f y f(205)0,15·205 5 35,75 . En el gráfico adjunto puede verse una explicación geométrica.
3. (1,5 puntos) Las cantidades de oferta y demanda de un determinado producto son: ( ) 50 1,5
o
f p p, fd( )p 600 p (p en euros) Calcula:
a) El precio y la cantidad de equilibrio.
b) A qué precio se produciría una escasez de 100 unidades. Solución:
a) Para que exista equilibrio: fo( )p fd( )p . O sea,
50 1,5p 600 p
2,5p = 650 p = 260 euros. La demanda para ese precio es
(240) 600 240 340
d
f unidades.
Gráficamente, el punto E = (260, 340) es la intersección de las rectas ( ) 50 1,5
o
f p p, fd( )p 600 p
b) Se produce escasez cuando la demanda supera a la oferta: fo( )p fd( )p . Como esa escasez es
de 100 unidades: fo( )p fd( ) 100p . Luego 50 1,5p 600 p 100
2,5p = 550 p = 220 euros.
4. a) (1,5 puntos) Dada la función f x( ) 2x 8 x
, halla en qué puntos corta a los ejes de
coordenadas y determina sus asíntotas. Con esos datos haz un esbozo de su gráfica, indicando la posición de la curva con respecto a sus asíntotas.
b) (0,5 puntos) A partir de la gráfica anterior, representa h x( ) 2x 8 x
.
Solución:
a) Dom(f) = R – {0}.
Corta al eje OX cuando y = 0 2x – 8 = 0 x = 4. Punto (4, 0) No corta al eje OY, pues no está definida para x = 0.
En x = 0 tiene una asíntota vertical.
Por la izquierda de x = 0 la rama de curva se va hacia +. Por la derecha de x = 0 la rama de la curva se va hacia –. También tiene una asíntota horizontal, la recta y = 2.
Hacia – la función toma valores mayores que 2. Hacía + toma valores menores que 2.
Algunos de sus puntos son:
(–6, 10/3); (–4, 4); (–2, 6); (–1, 10); (1, –6); (2, –2); (4, 0); (8, 1)
b) h x( ) 2x 8
x
cambia los resultados negativos de f x( ) 2x 8 x
a positivos.
El cambio se produce en el intervalo (0, 4). Así, por ejemplo, los puntos (1, –6) y (2, –2) se transforman en (1, 6) y (2, 2).
Las figuras son las que se indican a continuación.
5. (1,5 puntos) Indica las características fundamentales (crecimiento y decrecimiento; signo; asíntotas…) de la función ( ) x
f x a dependiendo de los valores de a: considera las posibilidades a < 0, 0 < a < 1 y a > 1. Haz las gráficas que consideres necesarias.
Solución:
La función exponencial ( ) x
f x a está definida si la base a es positiva y distinta de 1: a > 0 y a 1. Dominio y recorrido
x
a x
f( ) , (a > 0) está definida siempre: Dom(f) = R
Su valor siempre es positivo, pues una potencia de base positiva siempre toma valores positivos. Esto es, f(x)ax 0, para todo x. Luego, su recorrido es Rec(f) = R+. (Esto significa que su gráfica está siempre por encima del eje horizontal).
Corta al eje OY en el punto y = 1, pues f(0)a0 1.
Crecimiento y decrecimiento
Si la base a > 1, la función siempre es creciente.
Si la base 0 < a < 1, la función siempre es decreciente.
Asíntota
El eje OX, la recta y = 0, es una asíntota horizontal de la función: hacia si a > 1, o hacia + si 0 < a < 1.
6. (1 punto) Sabiendo que el eje de rotación de la Tierra tiene una inclinación de 23,5º, ¿qué adelanto lleva el Polo Norte con respecto al Polo Sur en otoño? (Dato: diámetro de la Tierra = 12740 km.)
Solución:
Como se observa en el triángulo rectángulo marcado,
sin 23,5º Adelanto Adelanto 12740·sin 23,5º 5080
diámetro
km.
