Taller Estabilidad de Sistemas Realimentados
Señales y Sistemas II
Grupos 3 y 4
Segundo Semestre de 2018
1. Sea el siguiente sistema realimentado simple:con ganancia de lazo abierto:
𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) = 10
(𝑠 + 2)(𝑠2+ 8𝑠 + 25)
a. Determine los valores de K para los que el sistema es estable usando el método de Routh-Hurwitz.
b. Lugar de las raíces:
• Usando Matlab, grafique el lugar de las raíces y el lugar de las raíces complementario para G(s)H(s). Entregar 2 gráficos, uno con el lugar de las raíces y otro con el lugar de las raíces complementario.
• Use la función rlocus y los valores límite de K calculados en la parte (a) para hallar los valores de los cortes del diagrama con el eje imaginario (estos valores son los polos puramente imaginarios del sistema para ese valor de K).
• ¿Cuáles son los valores de frecuencia correspondientes a cada corte con el eje imaginario del lugar de las raíces y el lugar de las raíces complementario? • Repita el gráfico del lugar de las raíces usando valores de K alrededor de los
límites calculados en (a). Utilice el cursor de Matlab (data cursor) para verificar los valores de K (Gain) y los valores de frecuencia para los puntos de corte con el eje imaginario. Entregar por lo menos un gráfico como ejemplo.
c. Diagramas de Bode:
• Usando Matlab, grafique los diagramas de Bode de la ganancia de lazo abierto. Entregar gráfico
• Usando la función bode con los valores de frecuencia calculados en (b), calcule los valores de la magnitud del sistema en los puntos donde se cumple la condición de fase.
• Verifique que estos valores de magnitud corresponden a los valores límite de K encontrados en (a)
d. Diagramas de Nyquist:
• Usando Matlab, grafique el diagrama de Nyquist de la ganancia de lazo abierto. Entregar gráfico.
• Repita el gráfico usando valores de frecuencia cercanos a los valores calculados en el punto (b) y verifique que se encuentra en el vecindario de los puntos de corte con el eje real. Entregar por lo menos un gráfico como ejemplo.
• Usando la función nyquist con los valores de frecuencia calculados en (b), calcule los valores de la parte real y la parte imaginaria de G(s)H(s) en los puntos de corte del diagrama con el eje real.
• Verifique que estos puntos corresponden a los valores límite de K calculados en (a).
2. Para el sistema de la figura:
Con ganancia de lazo abierto:
𝐺(𝑧)𝐻(𝑧) = 𝑧
−3
1 + 0.5𝑧−1+ 0.75𝑧−2+ 0.13𝑧−3
a. Determine los valores de K para los que el sistema es estable usando el método de Jury.
b. Lugar de las raíces:
• Usando Matlab, grafique el lugar de las raíces y el lugar de las raíces complementario para G(z)H(z).
• Use la función rlocus y los valores límite de K calculados en la parte (a) para hallar los valores de los cortes con el círculo unitario (estos valores son los polos de magnitud 1 del sistema para ese valor de K).
• Repita el gráfico del lugar de las raíces usando valores de K alrededor de los límites calculados en (a). Utilice el cursor de Matlab para verificar los valores de K (Gain) y los valores de frecuencia para los puntos de corte con el círculo unitario.
c. Diagramas de Bode:
• Usando Matlab, grafique los diagramas de Bode de la ganancia de lazo abierto. • Repita el gráfico usando valores de frecuencia cercanos a los valores calculados en el punto (b) y verifique que se encuentra en el vecindario de los puntos donde se cumple la condición de fase para estabilidad.
• Usando la función bode con los valores de frecuencia encontrados en (b), calcule los valores de la magnitud del sistema en los puntos donde se cumple la condición de fase.
• Verifique que estos valores de magnitud corresponden a los valores límite de K encontrados en (a)
d. Diagramas de Nyquist:
• Usando Matlab, grafique el diagrama de Nyquist de la ganancia de lazo abierto. • Usando la función nyquist con los valores de frecuencia calculados en (b), calcule los valores de la parte real y la parte imaginaria de G(z)H(z) en los puntos de corte del diagrama con el eje real.
• Verifique que estos puntos corresponden a los valores límite de K calculados en (a).
ENTREGA:
El taller se puede desarrollar en grupos de máximo 3 personas y se entregará por correo electrónico el jueves 14 de marzo. Enviar el informe en un archivo pdf y los archivos *.m de Matlab utilizados para resolver el taller.Los cálculos solicitados se pueden entregar a mano escaneados como parte del archivo pdf del informe.
Ayuda de Matlab:
Para poder utilizar las funciones de Matlab que implementan los criterios de estabilidad vistos en clase, la ganancia de lazo abierto se debe almacenar en un objeto del tipo ‘Función de Transferencia’. Para ello utilizamos las siguientes funciones:
sys = tf (Num, Den, TS): Crea el objeto tipo ‘Función de Transferencia’ a partir de los coeficientes del numerador y denominador de la función de transferencia. Num y Den son los vectores de coeficientes de los polinomios en el numerador y denominador empezando por la potencia más alta de s o z (potencias positivas) y llegando hasta los términos independientes. TS no se usa para sistemas de tiempo continuo. En tiempo discreto TS es el período de muestreo de la señal discreta. Si este valor no está especificado se usa TS = -1.
sys = zpk(Z, P, K, TS): Crea el objeto tipo ‘Función de Transferencia’ a partir de los polos (P), ceros (Z) y ganancia (K) del sistema. P y Z son vectores, que pueden tomar valores complejos. K es una constante real, TS se usa igual que en la función tf.
sys = ss(A,B,C,D,Ts): Crea el objeto tipo ‘Función de Transferencia’ a partir del modelo en variables de estado del sistema. A, B, C y D son las matrices que conforman el modelo en variables de estado. TS se usa igual que en la función tf.
Una vez tenemos el objeto tipo ‘Función de Transferencia’, utilizamos las siguientes funciones para generar los gráficos o diagramas requeridos por cada criterio de estabilidad:
Lugar de las raíces:
rlocus(sys): Grafica el diagrama del lugar de las raíces de la ganancia de lazo abierto almacenada en sys. Para obtener el lugar de las raíces complementario, usar rlocus(-sys).
rlocus(sys,K): Grafica el diagrama del lugar de las raíces de sys para los valores especificados de K. K puede ser un vector de valores.
Diagramas de Bode:
bode(sys,W): Grafica el diagrama de Bode de la ganancia de lazo abierto almacenada en sys, para las frecuencias almacenadas en W(opcional).
[Mag,Phase] = bode(sys,W) o [Mag,Phase,W] = bode(sys): Calcula los valores del diagrama de Bode de sys. Las salidas Mag y Phase son la magnitud y fase de los puntos calculado para los valores de frecuencia almacenados en el vector W (opcional). Los diagramas de Bode de un sistema también se pueden obtener usando las funciones freqs (tiempo continuo) y freqz (tiempo discreto).
Diagramas de Nyquist:
Nyquist(sys,W): Grafica el diagrama de Nyquist de la ganancia de lazo abierto almacenada en sys, para las frecuencias almacenadas en W (opcional).
