Instructivo del laboratorio de vibraciones mecánicas I

Texto completo

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U N I V E R S I D A D A U T O N O M A D E N U E V O L E O N

F A C U L T A D D E I N G E N I E R I A M E C A N I C A Y E L E C T R I C A

DEPARTAMENTO DE DINAMICA

I N S T R U C T I V O DEL

LABORATORIO DE

V I B R A C I O N E S MECANICAS I

ING. FERNANDO J. ELIZONDO GARZA

ING. MIGUEL CUPICH RODRIGUEZ

• ¿ 4 7 UM 2 7 . « 31.1?

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TÍA 1 W6-77 131 M 132.25

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COMHUESIA SUMA DE SINUSOIDES

i n / v m M + l + i

III

(2)
(3)

U N I V E R S I D A D A U T O N O M A D E N U E V O L E O N

F A C U L T A D D E I N G E N I E R I A M E C A N I C A Y E L E C T R I C A

DEPARTAMENTO DE DINAMICA

I N S T R U C T I V O DEL

LABORATORIO DE

V I B R A C I O N E S M E C A N I C A S I

¡

3a. EDICION / AGOSTO 1995

ING. FERNANDO J. EUZONDO GARZA

ING. MIGUEL CUPICH RODRIGUEZ

COLABORADOR :

ING. ADRIAN GARCIA MEDEREZ

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F O N D O U N I V E R S I T A R I O

Mor. t-or

INDICE

PRACTICA

Pag-I.- D E T E R M I N A C I O N D E P A R A M E T R O S B A S I C O S

D E SISTEMAS V I B R A T O R I O S 1-1

II.- M O M E N T O S D E INERCIA H-l

III.- D E T E R M I N A C I O N D E F R E C U E N C I A S N A T U R A L E S III-l

IV.- V E L O C I D A D E S CRITICAS IV-1

V.- R A S T R E O D E R E S O N A N C I A V - l

VI - M O D O S D E V I B R A C I O N E N P L A C A S VI-1

V I I - A M O R T I G U A M I E N T O VII-1

VIII - I N S T R U M E N T A C I O N D E V I B R A C I O N E S VIII-1

IX.- T E O R E M A D E F O U R I E R IX-1

X.- EL A N A L I Z A D O R D E V I B R A C I O N E S

Y EL R E P O R T E D E V I B R A C I O N E S X - l

(5)

P R A C T I C A I

D E T E R M I N A C I O N DE P A R A M E T R O S B A S I C O S

DE S I S T E M A S V I B R A T O R I O S

O B J E T I V O S .

L o s o b j e t i v o s de e s t a p r á c t i c a v a n e n c a m i n a d o s a:

1.- E n t e n d e r el s i s t e m a de u n i d a d e s a u t i l i z a r s e en la c l a s e y el l a b o r a t o r i o de V i b r a c i o n e s M e c á n i c a s I ( S i s t e m a I n t e r n a c i o n a l de U n i d a d e s ) .

2 . - R e a l i z a r m e d i c i o n e s p r á c t i c a s de l o s p a r á m e t r o s b á s i c o s u t i l i z a d o s e n el á r e a de v i b r a c i o n e s m e c á n i c a s c o m o s o n :

a) C u a n t i f i c a r la masa de a l g u n o s cuerpos y obtener el peso de cada uno de ellos. b ) Constante de elasticidad de elementos elásticos

c) Constante elástica en sistemas torsionales.

I N T R O D U C C I O N .

E n n u e s t r o t i e m p o , p o r c o n v e n c i ó n i n t e r n a c i o n a l , se ha d e c i d i d o u t i l i z a r m u n d i a l m e n t e u n s o l o s i s t e m a de «nidades el c u a l se c o n o c e c o m o " S i s t e m a I n t e r n a c i o n a l de U n i d a d e s " ( S . I . ) y q u e c o r r e s p o n d e al S i s t e m a M é t r i c o D e c i m a l ( M K S ) .

E l a l u m n o d e la c l a s e de V i b r a c i o n e s M e c á n i c a s I d e b e c o n o c e r y a p l i c a r el S i s t e m a I n t e r n a c i o n a l de U n i d a d e s en l o s a n á l i s i s t e ó r i c o s p o r lo q u e d e b e p o d e r r e a l i z a r m e d i c i o n e s p r á c t i c a s de l o s p a r á m e t r o s b á s i c o s u t i l i z a d o s e n v i b r a c i o n e s m e c á n i c a s c o m o s o n : m a s a , p e s o , c o n s t a n t e e l á s t i c a , d e s p l a z a m i e n t o s , e t c .

S I S T E M A I N T E R N A C I O N A L DE U N I D A D E S .

E n el S i s t e m a I n t e r n a c i o n a l de U n i d a d e s las c a n t i d a d e s f í s i c a s se d i v i d e n e n c a n t i d a d e s f u n d a m e n t a l e s y c a n t i d a d e s d e r i v a d a s . L a s c a n t i d a d e s f u n d a m e n t a l e s s o n a q u e l l a s q u e no se d e f i n e n e n t é r m i n o s de o t r a s c a n t i d a d e s f í s i c a s . L a s c a n t i d a d e s d e r i v a d a s s o n a q u e l l a s q u e se d e f i n e n e n b a s e a o t r a s c a n t i d a d e s f í s i c a s .

El n ú m e r o de c a n t i d a d e s t o m a d a s c o m o f u n d a m e n t a l e s es el n ú m e r o m í n i m o q u e se n e c e s i t a p a r a d e s c r i b i r c o n c o r d a n t e e i n e q u í v o c a m e n t e t o d a s las c a n t i d a d e s de la f í s i c a .

E n el S i s t e m a I n t e r n a c i o n a l de U n i d a d e s , p a r a el t e m a q u e n o s c o n c i e r n e , s o n c a n t i d a d e s f í s i c a s f u n d a m e n t a l e s :

L O N G I T U D = M e t r o = m. M A S A = K i l o g r a m o = K g .

T I E M P O = S e g u n d o = s.

A l g u n a s c a n t i d a d e s f í s i c a s d e r i v a d a s , d e i n t e r é s en v i b r a c i o n e s , s o n : F U E R Z A = N e w t o n = N = k g - m / s2.

C O N S T A N T E E L A S T I C A =K = N / m .

C O N S T A N T E E L A S T I C A T O R S I O N A L =KT = N - m / R a d . F R E C U E N C I A = C i c l o s / s = H e r t z = H z .

F R E C U E N C I A A N G U L A R = R a d / s . V E L O C I D A D = D e s p l a z a m i e n t o / T i e m p o = m / s . A C E L E R A C I O N = D e s p l a z a m i e n t o / T i e m p o2 = m / s2.

(6)

E Q U I P O A U T I L I Z A R .

1.- R o t a f o l i o d e l s i s t e m a m é t r i c o d e c i m a l a b s o l u t o ( M K S ) .

2 . - B a l a n z a de p r e c i s i ó n p a r a c u a n t i f i c a r la m a s a de d i f e r e n t e s o b j e t o s . 3 . - A l g u n o s r e s o r t e s p a r a m e d i r p r á c t i c a m e n t e su c o n s t a n t e e l á s t i c a . 4 . - R e g l a s p a r a m e d i c i ó n de l o n g i t u d e s .

5 . - P é n d u l o t o r s i o n a l d o n d e se c a l c u l a r á la c o n s t a n t e e l á s t i c a t o r s i o n a l d e l s i s t e m a .

P R O C E D I M I E N T O .

A ) O b t e n c i ó n de la m a s a de d i f e r e n t e s c u e r p o s .

U t i l i z a n d o u n a b a l a n z a de p r e c i s i ó n el a l u m n o c o l o c a r á c a d a e l e m e n t o p o r s e p a r a d o y o b t e n d r á la m a s a d i r e c t a m e n t e al h a c e r la m e d i c i ó n e n la b a l a n z a .

B ) O b t e n c i ó n del p e s o de d i f e r e n t e s c u e r p o s .

P a r a o b t e n e r el p e s o ( F u e r z a de a t r a c c i ó n g r a v i t a c i o n a l ) de c a d a e l e m e n t o , d e b i d o a q u e la f u e r z a es u n a u n i d a d d e r i v a d a se u t i l i z a r á la f ó r m u l a :

F = m a

C o m o la a c e l e r a c i ó n (a) e n e s t e c a s o es i g u a l a la g r a v e d a d ( g ) e n t o n c e s : P e s o = W = m g

Se u t i l i z a r á la m a s a d e c a d a e l e m e n t o , y la a c e l e r a c i ó n de la g r a v e d a d e n S . I . ( g = 9 . 8 1 m / s2) .

C ) C á l c u l o de la c o n s t a n t e e l á s t i c a de d i f e r e n t e s r e s o r t e s .

P a r t i e n d o de la ley de H o o k e , t o d o e l e m e n t o e l á s t i c o c u a n d o es d e f o r m a d o r e a c c i o n a c o n u n a f u e r z a q u e es d i r e c t a m e n t e p r o p o r c i o n a l a la d e f o r m a c i ó n s u f r i d a

F = - K x

C o n s i d e r a n d o las F i g u r a s 1-1 e 1-2 t e n e m o s : W = - K A

D o n d e :

W = p e s o a p l i c a d o al r e s o r t e p a r a d e f o r m a r l o en N. K = c o n s t a n t e e l á s t i c a d e l r e s o r t e en —.

m

A = d e f o r m a c i ó n e s t á t i c a en el r e s o r t e d e b i d a a u n p e s o e n m.

y

->

S y Y

A

F i g u r a 1-1.- El a l u m n o m e d i r á la l o n g i t u d original del

r e s o r t e X\ .

F i g u r a 1-2.- El a l u m n o m e d i r á la longitud Xz del r e s o r t e d e f o r m a d o por la a c c i ó n d e l p e s o a p l i c a d o q u e e s c o n o c i d o .

A = X 2 - X i = D e f o r m a c i ó n estática del resorte. W = K A

K _ W PESO CONOCIDO

A DEFORMACION DEL RESORTE D ) O b t e n c i ó n de la c o n s t a n t e e l á s t i c a t o r s i o n a l .

El s i s t e m a t o r s i o n a l a a n a l i z a r e s t á f o r m a d o p o r u n d i s c o s u s p e n d i d o p o r u n a l a m b r e f i j o al c e n t r o de m a s a de d i c h o d i s c o .

El a l a m b r e se a s e g u r a f i r m e m e n t e a un s o p o r t e r í g i d o y al d i s c o c o m o se m u e s t r a e n la F i g u r a 1-3.

P a r a o b t e n e r la KT ( c o n s t a n t e e l á s t i c a de t o r s i ó n ) del a l a m b r e s e u t i l i z a la r e l a c i ó n :

T = - Kt

e

D o n d e :

KT = C o n s t a n t e elástica torsional en „ -T .

T = Par aplicado al sistema en N - m .

0 = D e f o r m a c i ó n angular del disco en R a d .

P a r a h a c e r el c á l c u l o se r e q u i e r e

(7)

3 . - M e d i r c o n un t r a n s p o r t a d o r la d e f o r m a c i ó n en g r a d o s y t r a n s f o r m a r l a a R a d i a n e s ( 1 R a d = 5 7 . 3 ° ).

C o n e s t o se c o n o c e r í a n :

F = Fuerza aplicada para la torsión ( N ). R = Radio de aplicación de la f u e r z a ( m ). T = Par aplicado al sistema ( N-m ).

X = F R

0 = D e f o r m a c i ó n angular ( Rad ).

P u d i é n d o s e d e t e r m i n a r KT c o m o :

R E P O R T E .

1.- R e s u m e n h i s t ó r i c o de l o s s i s t e m a s de u n i d a d e s .

2 . - E l a b o r a r c o n s u s r e s p e c t i v o s d i a g r a m a s o d i b u j o s , t a b u l a c i ó n de las d i f e r e n t e s m e d i d a s o b t e n i d a s en el d e s a r r o l l o de la p r á c t i c a .

B I B L I O G R A F I A .

* FUNDAMENTOS DE FISICA Halliday - Resnick

C.E.C.S.A.

• MECANICA DE LAS VIBRACIONES J. P. Den Hartog

C.E.C.S.A.

/

P R A C T I C A II

M O M E N T O S DE I N E R C I A

O B J E T I V O .

El a l u m n o d e t e r m i n a r á los c e n t r o s d e g r a v e d a d , l o s m o m e n t o s de i n e r c i a de á r e a y los m o m e n t o s de i n e r c i a de m a s a d e d i f e r e n t e s c u e r p o s u s a n d o m é t o d o s a n a l í t i c o s y e x p e r i m e n t a l e s .

I N T R O D U C C I O N .

T a n t o e n el d i s e ñ o c o m o e n el e s t u d i o de las v i b r a c i o n e s de u n a m á q u i n a o e s t r u c t u r a se r e q u i e r e c o n o c e r la u b i c a c i ó n del c e n t r o de g r a v e d a d , a s í c o m o , los m o m e n t o s de i n e r c i a de á r e a y de m a s a de l o s e l e m e n t o s q u e la f o r m a n .

P o r lo a n t e r i o r el c o n o c e r l o s m é t o d o s p a r a u b i c a r el c e n t r o de g r a v e d a d y d e t e r m i n a r los m o m e n t o s d e i n e r c i a de á r e a y de m a s a es d e g r a n i m p o r t a n c i a p a r a el i n g e n i e r o .

A c o n t i n u a c i ó n se d e s c r i b i r á n a l g u n o s de l o s m é t o d o s m á s u t i l i z a d o s .

F i g u r a 11-1 c. Figura ll-1b

C E N T R O DE G R A V E D A D .

El c e n t r o de g r a v e d a d se d e f i n e c o m o Nel p u n t o en q u e p u e d e c o n s i d e r a r s e q u e a c t ú a el p e s o

t o t a l de un o b j e t o " . La l o c a l i z a c i ó n del c e n t r o de g r a v e d a d de un o b j e t o d e p e n d e r á de la f o r m a de é s t e y de c o m o e s t é d i s t r i b u i d a su m a s a .

Si el o b j e t o es s i m é t r i c o e n c u a n t o a su d i s t r i b u c i ó n de m a s a y h o m o g é n e o , el c e n t r o de g r a v e d a d e s t a r á s o b r e el e j e de s i m e t r í a . Si e s s i m é t r i c o e n m á s de u n a c o o r d e n a d a , el c e n t r o de g r a v e d a d se e n c o n t r a r á en la i n t e r s e c c i ó n d e l o s e j e s de s i m e t r í a .

F i g u r a 11-1 a .

El c e n t r o de g r a v e d a d de un c u e r p o p u e d e e s t a r d e n t r o o f u e r a de el.

(8)

3 . - M e d i r c o n un t r a n s p o r t a d o r ia d e f o r m a c i ó n en g r a d o s y t r a n s f o r m a r l a a R a d i a n e s ( 1 R a d = 5 7 . 3 ° ).

C o n e s t o se c o n o c e r í a n :

F = Fuerza aplicada para la torsión ( N ). R = Radio de aplicación de la f u e r z a ( m ). T = Par aplicado al sistema ( N-m ).

X = F R

0 = D e f o r m a c i ó n angular ( Rad ).

P u d i é n d o s e d e t e r m i n a r KT c o m o :

R E P O R T E .

1.- R e s u m e n h i s t ó r i c o de l o s s i s t e m a s de u n i d a d e s .

2 . - E l a b o r a r c o n s u s r e s p e c t i v o s d i a g r a m a s o d i b u j o s , t a b u l a c i ó n de las d i f e r e n t e s m e d i d a s o b t e n i d a s en el d e s a r r o l l o de la p r á c t i c a .

B I B L I O G R A F I A .

* FUNDAMENTOS DE FISICA Halliday - Resnick

C.E.C.S.A.

• MECANICA DE LAS VIBRACIONES J. P. Den Hartog

C.E.C.S.A.

/

P R A C T I C A II

M O M E N T O S DE I N E R C I A

O B J E T I V O .

El a l u m n o d e t e r m i n a r á los c e n t r o s d e g r a v e d a d , l o s m o m e n t o s de i n e r c i a de á r e a y los m o m e n t o s de i n e r c i a de m a s a d e d i f e r e n t e s c u e r p o s u s a n d o m é t o d o s a n a l í t i c o s y e x p e r i m e n t a l e s .

I N T R O D U C C I O N .

T a n t o e n el d i s e ñ o c o m o e n el e s t u d i o de las v i b r a c i o n e s de u n a m á q u i n a o e s t r u c t u r a se r e q u i e r e c o n o c e r la u b i c a c i ó n del c e n t r o de g r a v e d a d , a s í c o m o , los m o m e n t o s de i n e r c i a de á r e a y de m a s a de l o s e l e m e n t o s q u e la f o r m a n .

P o r lo a n t e r i o r el c o n o c e r l o s m é t o d o s p a r a u b i c a r el c e n t r o de g r a v e d a d y d e t e r m i n a r los m o m e n t o s d e i n e r c i a de á r e a y de m a s a es d e g r a n i m p o r t a n c i a p a r a el i n g e n i e r o .

A c o n t i n u a c i ó n se d e s c r i b i r á n a l g u n o s de l o s m é t o d o s m á s u t i l i z a d o s .

F i g u r a 11-1 c. Figura ll-1b

C E N T R O DE G R A V E D A D .

El c e n t r o de g r a v e d a d se d e f i n e c o m o Nel p u n t o en q u e p u e d e c o n s i d e r a r s e q u e a c t ú a el p e s o

t o t a l de un o b j e t o " . La l o c a l i z a c i ó n del c e n t r o de g r a v e d a d de un o b j e t o d e p e n d e r á de la f o r m a de é s t e y de c o m o e s t é d i s t r i b u i d a su m a s a .

Si el o b j e t o es s i m é t r i c o e n c u a n t o a su d i s t r i b u c i ó n de m a s a y h o m o g é n e o , el c e n t r o de g r a v e d a d e s t a r á s o b r e el e j e de s i m e t r í a . Si e s s i m é t r i c o e n m á s de u n a c o o r d e n a d a , el c e n t r o de g r a v e d a d se e n c o n t r a r á en la i n t e r s e c c i ó n d e l o s e j e s de s i m e t r í a .

F i g u r a 11-1 a .

El c e n t r o de g r a v e d a d de un c u e r p o p u e d e e s t a r d e n t r o o f u e r a de el.

(9)

M é t o d o s p a r a d e t e r m i n a r el c e n t r o de g r a v e d a d .

a ) . - D e t e r m i n a c i ó n del C . G . de c u e r p o s c o n f o r m a s s i m p l e s p o r t a b l a .

Si l o s c u e r p o s a a n a l i z a r t i e n e n f o r m a s s i m p l e s , la p o s i c i ó n d e l c e n t r o de g r a v e d a d p u e d e d e t e r m i n a r s e c o n la a y u d a de t a b l a s c o m o las s i g u i e n t e s .

b ) . - D e t e r m i n a c i ó n del C . G . de c u e r p o s c o n f o r m a s c o m p u e s t a s d i v i d i b l e s e n s i m p l e s p o r m é t o d o a n a l í t i c o .

F . I . M . E . / U . A . N . L . 11-3 L A B O R A T O R I O DE V I B R A C I O N E S I

L* A2 H

1 xa2h

1 x a2 A

3

1 abh

3 F o r m o

S e m ¡ e 8 f e r a

S e m i e l i p s o i d e d e revolución

P a r a b o l o i d e d e revolución

Cono

(10)

El c a s o de p l a c a s p l a n a s :

C o n s i d e r e m o s un c u e r p o s u b d i v i d i d o e n á r e a s p a r c i a l e s d e tal f o r m a q u e el á r e a t o t a l A = A l + A 2 + . . . + A n . L a u b i c a c i ó n d e l c e n t r o d e g r a v e d a d se d e t e r m i n a c o n l a s s i g u i e n t e s e c u a c i o n e s .

20

60

< r JT

20

"'MÍ?

¿ "t ir , : < -w • > *

A

4 0 20

F i g u r a 11-5.

X = 1 A l X i Y = ZA¡Y¡

I A l

E J E M P L O : L o c a l i z a r el c e n t r o i d e C del á r e a A m o s t r a d a en la F i g u r a I I - 5 .

Si s e l e c c i o n a m o s los e j e s c o o r d e n a d o s m o s t r a d o s en la F i g u r a I I - 6 . , e s e v i d e n t e q u e el c e n t r o i d e d e b e e s t a r l o c a l i z a d o e n el e j e Y, p u e s t o q u e es u n e j e de s i m e t r í a ; e n t o n c e s , X=0.

A r e a m m2 V m m A ¡ Y ¡ m m3

A1 2 0 x 8 0 = 1 6 0 0 7 0 1 1 2 x 1 03

A 2 6 0 x 4 0 = 2 4 0 0 3 0 7 2 x 1 03

I At = 4 0 0 0 Z AiY¡ = 1 8 4 x 1 03

F i g u r a 11-7. F i g u r a 11-6.

C o n s i d e r e m o s t a m b i é n q u e el á r e a A = A l + A 2 y u s a n d o l a s e c u a c i o n e s p a r a d e t e r m i n a r la u b i c a c i ó n d e l c e n t r o i d e :

y = S A j Yj = 1 8 4 x 1 0 3 mm 3

ZAi 4 x 1 0 3 mm 2

Y = 4 6 m m

El c e n t r o i d e ( X , Y ) e s t á en ( 0 , 4 6 )

E s t o s c o n c e p t o s s e p u e d e n g e n e r a l i z a r p a r a v o l ú m e n e s .

c ) . - D e t e r m i n a c i ó n d e l C . G . de c u e r p o s c o n f o r m a s c o m p l i c a d a s , e x p e r i m e n t a l i n e n t e .

El c e n t r o de g r a v e d a d d e u n c u e r p o r í g i d o p u e d e d e t e r m i n a r s e e x p e r i m e n t a l m e n t e s u s p e n d i e n d o el c u e r p o d e d o s o m á s p u n t o s c o m o s e m u e s t r a e n la F i g u r a 11-7.

C u a n d o el c u e r p o s e s u s p e n d e d e u n h i l o p o r el p u n t o P, l a s c o n d i c i o n e s d e e q u i l i b r i o e s t á t i c o r e q u i e r e n q u e F t = F s y q u e l a s d o s f u e r z a s t e n g a n la m i s m a l í n e a de a c c i ó n , d e f o r m a q u e el c e n t r o d e g r a v e d a d e s t a r á s i t u a d o j u s t o d e b a j o d e l p u n t o P. C u a n d o s u s p e n d e m o s el o b j e t o d e l p u n t o Q , el c e n t r o de g r a v e d a d t a m b i é n e s t a r á d e b a j o d e é s t e , d e f o r m a q u e la p o s i c i ó n d e l c e n t r o d e

g r a v e d a d q u e d a r á d e t e r m i n a d a p o r la i n t e r s e c c i ó n d e l a s d o s l i n e a s d e a c c i ó n .

M O M E N T O D E I N E R C I A D E A R E A

En m u c h a s d e l a s f ó r m u l a s e m p l e a d a s en i n g e n i e r í a , c o m o r e s i s t e n c i a d e v i g a s , d e f o r m a c i ó n d e v i g a s , e t c . , a p a r e c e n e x p r e s i o n e s a n a l í t i c a s d e la f o r m a J p2 dA , s i e n d o p la d i s t a n c i a d e

u n e l e m e n t o d i f e r e n c i a l d e l á r e a d A a u n e j e . L a s i n t e g r a l e s d e e s t e t i p o r e c i b e n el n o m b r e g e n é r i c o de M O M E N T O S D E I N E R C I A D E A R E A .

U n m o m e n t o de i n e r c i a d e u n a á r e a n o t i e n e p o r sí m i s m o s i g n i f i c a d o f í s i c o r e a l a l g u n o ; e s u n a m e r a e x p r e s i ó n m a t e m á t i c a q u e s e r e p r e s e n t a en g e n e r a l p o r la l e t r a I.

Sin e m b a r g o , j u n t o c o n o t r a s m a g n i t u d e s , c o m o en la f ó r m u l a d e la f l e x i ó n

a = M C

I

o e n la d e la c o n s t a n t e d e e l a s t i c i d a d d e u n a v i g a en c a n t i l e v e r

K = 3 El

a d q u i e r e y a u n a c i e r t a s i g n i f i c a c i ó n . P a r a la F i g u r a I I - 8 :

.-J

y2 dA

x2 dA

(11)

R e c t á n g u l o

Triángulo

Círculo

Semicírculo

Cuarto d e círculo

Elipse

M' ' »

O

L L

c

r—Á

y

É L

i

-% J

lx' 12

¡y' . 1 bZh

12

íx 3

iy - 13 b2h

f * ' - hb h

< * - HT H '

fxÍy

I X H

f x ly

-IX - ^ A B iy - 1 Tcazb

Figura 11-9.

2 0 i

260 rom

2 0 i

F i g u r a 11-10.

R e c t á n g u l o de 2 0 0 mm x 3 0 0 m m :

E J E M P L O :

D e t e r m i n a r el m o m e n t o d e i n e r c i a de á r e a c o n r e s p e c t o a l o s e j e s X o y Yo d e la s e c c i ó n I de ala a n c h a r e p r e s e n t a d a e n la F i g u r a 11-10.

S o l u c i ó n : c o m o se ha d i c h o , el m o m e n t o de i n e r c i a de u n a á r e a e s la s u m a a l g e b r a i c a de l o s m o m e n t o s de i n e r c i a de s u s p a r t e s c o m p o n e n t e s ( a d i t i v a s o s u s t r a c t i v a s ) , c o n r e s p e c t o al m i s m o e j e d e i n e r c i a t o d o s e l l o s .

C o n r e s p e c t o a X o la d e s c o m p o s i c i ó n m á s s e n c i l l a del á r e a d a d a es un r e c t á n g u l o g r a n d e de 2 0 0 m m x 3 0 0 m m . , d e l c u a l se r e s t a n d o s r e c t á n g u l o s p e q u e ñ o s de 90 m m x 2 6 0 m m . El e j e Xo es c e n t r o i d a l p a r a e s t o s r e c t á n g u l o s , a s í q u e no h a c e f a l t a a c u d i r al t e o r e m a de S t e i n e r . C o n l o s v a l o r e s d a d o s en la F i g u r a I I - 9 . se t i e n e :

lx BHL] .

= 12 J ' lx = 2 0 0 ( 3 0 0 ) * = 4 5 0 . 0 x 1 06 m m4

D o s r e c t á n g u l o s de 90 mm x 2 6 0 m m :

»3

/* = 2 90 ( 2 6 0 ) '

12

= 2 6 3 . 6 x 1 06 m m4

M o m e n t o d e i n e r c i a t o t a l r e s p e c t o a X o :

7X = ( 4 5 0 . 0 - 2 6 3 . 6 ) x 1 06 = 1 8 6 . 4 x 1 06 m m4

C o n r e s p e c t o al e j e Yo i m a g i n e m o s la s e c c i ó n d e s c o m p u e s t a en un r e c t á n g u l o de 2 6 0 m m x 20 m m , m á s d o s d e 20 m m x 2 0 0 m m . E l e j e Yo t a m b i é n e s c e n t r o i d a l p a r a e s t o s t r e s r e c t á n g u l o s . P o r t a n t o , d e a c u e r d o c o n la t a b l a A - l , se t i e n e :

£ Iy = J R e c t á n g u l o de 2 6 0 mm x 2 0 mm:

2 6 0 ( 2 0 ) % q > 1 7 3 x 1 06 m m4

y " 1 2

D o s r e c t á n g u l o s de 20 mm x 2 0 0 m m :

v3

lv = 2

2 0 ( 2 0 0 r

12

= 2 6 . 6 7 x 1 06 m m4 M o m e n t o de i n e r c i a t o t a l r e s p e c t o a Y o :

(12)

M O M E N T O D E I N E R C I A DE M A S A

C u a n d o g i r a u n a r u e d a e x i s t e u n a e n e r g í a c i n é t i c a a s o c i a d a c o n su r o t a c i ó n . L a r u e d a e s t á f o r m a d a p o r un g r a n n ú m e r o de p e q u e ñ a s p a r t í c u l a s y c a d a u n a d e e l l a s t e n d r á jUna e n e r g í a c i n é t i c a , p o r e j e m p l o , la p a r t í c u l a i de m a s a mi p o s e e u n a e n e r g í a c i n é t i c a ^ m i v2 . L a

e n e r g í a c i n é t i c a K de t o d a la r u e d a es la s u m a de las e n e r g í a s c i n é t i c a s de t o d a s l a s p a r t í c u l a s q u e la c o m p o n e n :

K = Z LM'V L'

L a s p a r t í c u l a s s i t u a d a s a d i f e r e n t e s d i s t a n c i a s del e j e de r o t a c i ó n p o s e e n v e l o c i d a d e s l i n e a l e s

d i f e r e n t e s , a u n q u e d e b i d o a q u e la r u e d a es r í g i d a t o d a s l a s p a r t í c u l a s t i e n e n el m i s m o m ó d u l o de v e l o c i d a d a n g u l a r , o>.

Si Vi = RI Cü e n t o n c e s K = £ ^ MIR¡2(£>2

K = £ C D2Í £

La e x p r e s i ó n Y m¡R2 es e q u i v a l e n t e a j R2 dm y y a a n t e s m e n c i o n a m o s q u e a e s t e t i p o de

i n t e g r a l se le l t a m a m o m e n t o de i n e r c i a .

E n e s t e c a s o se d e n o m i n a M o m e n t o de I n e r c i a de M a s a

J = ¡R2DM

P o r lo t a n t o K = ^J CD 2 q u e es la e n e r g í a

c i n é t i c a r o t a c i o n a r .

Al c o m p a r a r la e x p r e s i ó n de la e n e r g í a c i n é t i c a r o t a c i o n a l c o n la e x p r e s i ó n de la e n e r g í a c i n é t i c a de t r a s l a c i ó n y / n v2, el

m o m e n t o de i n e r c i a J e n la r o t a c i ó n es a n á l o g o a la m a s a en la t r a s l a c i ó n y la v e l o c i d a d a n g u l a r (0 e s a n á l o g a a la v e l o c i d a d v.

P o r lo t a n t o , J es u n a m e d i d a de la d i f i c u l t a d p a r a p o n e r a g i r a r o d e t e n e r el g i r o de un c u e r p o , c o m o la m a s a lo e s p a r a m o v e r l o o d e t e n e r l o e n t r a s l a c i ó n .

El m o m e n t o de i n e r c i a J, d e p e n d e r á p o r lo t a n t o de la m a s a d e l c u e r p o y de su f o r m a . E n la F i g u r a 11-12. Se m u e s t r a u n a t a b l a de l o s M o m e n t o s de I n e r c i a de M a s a d e f o r m a s g e o m é t r i c a s c o m u n e s .

E J E M P L O :

U n a p i e z a de a c e r o f o r j a d o c o n s i s t e en un p r i s m a r e c t a n g u l a r de 1 5. 0 0 c m x 5 . 0 0 c m x 5 . 0 0

cm y e n 2 c i l i n d r o s i g u a l e s de d i á m e t r o 5 . 0 0 c m y l o n g i t u d 7 . 6 2 c m , c o m o se i n d i c a en la F i g u r a 11-11. E n c u é n t r e s e l o s m o m e n t o s de i n é r c i a de la m a s a c o n r e s p e c t o a l o s e j e s c o o r d e n a d o s . ( D e n s i d a d del a c e r o = 7 8 5 0 k g / m3 ).

C á l c u l o de las m a s a s Prisma:

V = ( 5 . 0 c m ) ( 5 . 0 c m ) ( 1 5 . 0 c m ) = 3 7 5 c m3

m =( 3 7 5 c m3K 7 8 5 0 ^ /m 3) = 2 9 43

1 x 1 C f c r r f / m * c a d a c i l i n d r o :

V = TI ( 2 . 5 c m )2( 7 . 5 c m ) = 1 4 7 . 2 6 2 ^

m = ( 1 4 7 . 2 6 2 c ^ ) ( 7 8 5 0 ^ / m3) = , 1 x 1 (rcirr /m

M o m e n t o s d e i n e r c i a d e la m a s a . L o s m o m e n t o s d e i n e r c i a de la m a s a d e c a d a c o m p o n e n t e se c a l c u l a n p a r a la F i g u r a 11-11. u t i l i z a n d o el t e o r e m a de i o s e j e s p a r a l e l o s c u a n d o se r e q u i e r a . N ó t e s e q u e t o d a s l a s l o n g i t u d e s d e b e n e s t a r e x p r e s a d a s e n m e t r o s .

P r i s m a :

J x = J z = ^ ( 2 . 9 4 3 k g ) [ ( ^ m )2+ ( ^ m )2] = 6 . 1 3 1 2 5 x 1 0 *3k g - m2

Jy = ^ ( 2 . 9 4 3 k g ) [ (T|b m )2+ ( ^ m )2] = 1 . 2 2 6 2 5 x 1 0 "3 k g - m2

C a d a c i l i n d r o :

Jx m a2 + my 2 =

( 1 . 1 5 6 k g ) ( | ¿ | m )2+ ( 1 . 1 5 6 k g ) (T| Q m )2 = 3 . 2 5 1 2 5 x 1 0 "3 k g - m:

Jy =

m ( 3 a 2 + l 2

)

+ m

*

2 =

( 1 . 1 5 6 k g ) [ 3 ( f ¿ | | m )2] + ( 1 . 1 5 6 k g ) ( ^5m ) 2 =

= 5 . 2 3 8 1 x 1 0 "3k g - m2

Jz = 1 / 1 2 m ( 3 a2 + L2) + m ( x2 + y2) =

( 1 . 1 5 6 k g ) ) [ 3 ( | ¿ | m )2 m )2] + ( 1 . 1 5 6 3 k g )

(13)

Varilla

P l a c a rectangular d e l g a d a

Prisma Rectangular

Disco d e l g a d o

Cilindro circular

Cono circular

Esfera

IFLT 12

I X - L M I *2* '2)

Ä - 4 « *1

1 -/ x - T/ n r

4

¡X- L m a2

Ix-Iy-n- \ma*

F i g u r a 11-12.- M o m e n t o s de i n e r c i a d e la m a s a d e f o r m a s g e o m é t r i c a s c o m u n e s .

C u e r p o c o m p l e t o : S u m a n d o los v a l o r e s o b t e n i d o s ,

J x = 6 . 1 3 1 2 x 1 0 "3k g - m2 + 2 ( 3 . 2 5 1 2 x 1 0 '3k g - m2) = 0 . 0 1 2 6 3 3 6 k g - m2

J y = 1 . 2 2 6 2 x 1 0 "3k g - m2 + 2 ( 5 . 2 3 8 1 x 1 0 '3k g - m2) = 0 . 0 1 1 7 0 2 4 k g - m2

J z = 6 . 1 3 1 2 x 1 0 "3k g - m2 + 2 ( 8 . 1 2 8 1 x 1 0 "3k g - m2) = 0 . 0 2 2 3 8 7 4 k g - m2

T E O R E M A D E L O S E J E S P A R A L E L O S

El c á l c u l o d e l m o m e n t o de i n e r c i a de u n a á r e a o de u n a m a s a r e s p e c t o a un e j e q u e no s e a u n e j e d e s i m e t r í a p u e d e s e r muy c o m p l i c a d o , p e r o a f o r t u n a d a m e n t e e x i s t e un t e o r e m a de f á c i l a p l i c a c i ó n q u e a y u d a a e n c o n t r a r l o y e s l l a m a d o T E O R E M A D E L O S E J E S P A R A L E L O S . E s t e t e o r e m a p r o p o r c i o n a u n a r e l a c i ó n e n t r e el m o m e n t o de i n e r c i a , Ip ó Jp

r e s p e c t o a un e j e q u e p a s e p o r un p u n t o a r b i t r a r i o P y el m o m e n t o d e i n e r c i a r e s p e c t o a o t r o e j e p a r a l e l o q u e p a s e p o r el c e n t r o de g r a v e d a d del á r e a o d e la m a s a .

T e o r e m a de l o s E j e s P a r a l e l o s p a r a M o m e n t o s de I n e r c i a de A r e a :

IP = Ic.g. + Ad 2

T e o r e m a de l o s E j e s P a r a l e l o s p a r a M o m e n t o s de I n e r c i a d e M a s a :

J

p

= J

c.g. + m

d

2

P a r a l a s d o s e x p r e s i o n e s a n t e r i o r e s d es la d i s t a n c i a e n t r e el e j e r e s p e c t o a el c u a l se d e s e a c a l c u l a r el m o m e n t o de i n e r c i a y un e j e p a r a l e l o q u e p a s a p o r el c e n t r o de g r a v e d a d .

E Q U I P O A U T I L I Z A R .

1.- S i s t e m a de p e d e s t a l y p l a c a s de d i f e r e n t e s f o r m a s . 2 . - F l e c h a de r o t o r .

3 . - R e g l a p a r a m e d i c i ó n de l o n g i t u d e s . 4 . - B a l a n z a .

P R O C E D I M I E N T O .

A) O b t e n c i ó n d e l C e n t r o de G r a v e d a d .

El a l u m n o e n c o n t r a r á el c e n t r o de g r a v e d a d de las p l a c a s p r o p o r c i o n a d a s p o r su i n s t r u c t o r , u t i l i z a n d o el c o n c e p t o de i n t e r s e c c i ó n de e j e s de s i m e t r í a e n f i g u r a s s i m p l e s s i m é t r i c a s y el m é t o d o p r á c t i c o e n l a s f i g u r a s c o m p u e s t a s .

B ) O b t e n c i ó n d e l M o m e n t o de I n e r c i a de A r e a .

(14)

C ) O b t e n c i ó n del M o m e n t o de I n e r c i a de M a s a .

El a l u m n o d e t e r m i n a r á el m o m e n t o de i n e r c i a de m a s a de las p l a c a s p r o p o r c i o n a d a s p o r su i n s t r u c t o r , r e s p e c t o al e j e q u e é s t e le i n d i q u e u t i l i z a n d o la t a b l a de m o m e n t o s de i n e r c i a d e m a s a de f o r m a s g e o m é t r i c a s c o m u n e s , el t e o r e m a de l o s e j e s p a r a l e l o s y el m é t o d o p a r a f i g u r a s c o m p u e s t a s .

R E P O R T E

1.- E l a b o r e t a b u l a c i ó n en la c u a l m u e s t r e las f i g u r a s p a r a las c u a l e s d e t e r m i n ó el c e n t r o d e g r a v e d a d y las c o o r d e n a d a s o b t e n i d a s p a r a é s t e , i n d i c a n d o el m é t o d o u t i l i z a d o p a r a su c á l c u l o .

D e t e r m i n e a n a l í t i c a m e n t e l a s c o o r d e n a d a s d e l c e n t r o de g r a v e d a d de la p l a c a e n f o r m a de T

2 . - E l a b o r e t a b u l a c i ó n en la c u a l m u e s t r e las f i g u r a s p a r a las c u a l e s d e t e r m i n ó el m o m e n t o d e i n e r c i a d e á r e a y los v a l o r e s o b t e n i d o s p a r a é s t e , i n d i c a n d o el m é t o d o u t i l i z a d o p a r a su c á l c u l o .

3 . - E l a b o r e t a b u l a c i ó n en la cual m u e s t r e las f i g u r a s p a r a l a s c u a l e s d e t e r m i n ó el m o m e n t o de i n e r c i a de m a s a y los v a l o r e s o b t e n i d o s , i n d i c a n d o el m é t o d o u t i l i z a d o p a r a su c á l c u l o .

B I B L I O G R A F I A

• MECANICA VECTORIAL PARA INGENIEROS, DINAMICA. Ferdinand P. Becr y E. Russcll Johnston J.

Me. Graw Hill.

• MECANICA VECTORIAL PARA INGENIEROS, ESTATICA. Ferdinand P. Beer y E. Russcll Johnston J.

Me. Graw Hill.

• FISICA CLASICA Y MODERNA

W. Edward Gcttys, Fredcrick J. Keller y Malcolm J. Skove. Me. Graw Hill.

P R A C T I C A III

D E T E R M I N A C I O N DE F R E C U E N C I A S N A T U R A L E S

y O B J E T I V O .

D e t e r m i n a r e x p e r i m e n t a l i n e n t e la f r e c u e n c i a n a t u r a l de d i f e r e n t e s m o d e l o s de s i s t e m a s v i b r a t o r i o s , y a p a r t i r de é s t a d e t e r m i n a r los m o m e n t o s de i n e r c i a de m a s a r e s p e c t o a s u s c e n t r o s de g i r o y g r a v e d a d , y l a s c o n s t a n t e s de e l a s t i c i d a d .

I N T R O D U C C I O N .

E x i s t e n s i s t e m a s v i b r a t o r i o s en los c u a l e s se d i f i c u l t a el c á l c u l o t e ó r i c o de a l g u n o de los p a r á m e t r o s i n v o l u c r a d o s e n la o b t e n c i ó n de su f r e c u e n c i a n a t u r a l , p o r lo c u a l e s t a ú l t i m a se t i e n e q u e d e t e r m i n a r m e d i a n t e a l g ú n p r o c e d i m i e n t o e x p e r i m e n t a l .

Si p o r el c o n t r a r i o , lo q u e r e q u e r i m o s es el v a l o r de a l g u n o d e l o s p a r á m e t r o s i n v o l u c r a d o s , t a l e s c o m o , la c o n s t a n t e de e l a s t i c i d a d de un r e s o r t e t o r s i o n a l o el m o m e n t o de i n e r c i a r e s p e c t o al c e n t r o de g r a v e d a d en un p é n d u l o c o m p u e s t o , é s t o s s o n f á c i l m e n t e c a l c u l a b l e s si u t i l i z a m o s la f r e c u e n c i a n a t u r a l d e l s i s t e m a d e t e r m i n a d a p r á c t i c a m e n t e .

Es c o n v e n i e n t e p o r lo t a n t o q u e el a l u m n o se f a m i l i a r i c e c o n l o s m é t o d o s u t i l i z a d o s p a r a o b t e n e r d i c h o s p a r á m e t r o s e x p e r i m e n t a l m e n t e .

E Q U I P O A U T I L I Z A R .

1.-Modelos de sistemas vibratorios: * M a s a - resorte.

* Péndulo simple. * Péndulo compuesto. * Sistema aro-rodillo. * Péndulo torsional. 2.-Cronómetro.

3.-Balanza de precisión. 4.-Escalímetro.

P R O C E D I M I E N T O .

A) M e d i c i ó n de F r e c u e n c i a s N a t u r a l e s .

O b t e n g a p r á c t i c a m e n t e las f r e c u e n c i a s n a t u r a l e s de l o s m o d e l o s p r o p o r c i o n a d o s p o r su i n s t r u c t o r . P a r a lo a n t e r i o r d e b e r á s a c a r al s i s t e m a de e q u i l i b r i o , d e j a r l o en l i b e r t a d y m e d i r c o n la a y u d a de un c r o n ó m e t r o el t i e m p o u t i l i z a d o e n d e s a r r o l l a r un c i e r t o n ú m e r o de o s c i l a c i o n e s ( c i c l o s ) c o m p l e t a s . D i v i d i e n d o el n ú m e r o de c i c l o s e n t r e el t i e m p o c o n s u m i d o en é s t o s , o b t e n d r á la f r e c u e n c i a n a t u r a l d e l s i s t e m a .

r ciclos ... . .

tn = — — = ( H e r t z )

(15)

C ) O b t e n c i ó n del M o m e n t o de I n e r c i a de M a s a .

El a l u m n o d e t e r m i n a r á el m o m e n t o de i n e r c i a de m a s a de las p l a c a s p r o p o r c i o n a d a s p o r su i n s t r u c t o r , r e s p e c t o al e j e q u e é s t e le i n d i q u e u t i l i z a n d o la t a b l a de m o m e n t o s de i n e r c i a d e m a s a de f o r m a s g e o m é t r i c a s c o m u n e s , el t e o r e m a de l o s e j e s p a r a l e l o s y el m é t o d o p a r a f i g u r a s c o m p u e s t a s .

R E P O R T E

1.- E l a b o r e t a b u l a c i ó n en la c u a l m u e s t r e las f i g u r a s p a r a las c u a l e s d e t e r m i n ó el c e n t r o d e g r a v e d a d y las c o o r d e n a d a s o b t e n i d a s p a r a é s t e , i n d i c a n d o el m é t o d o u t i l i z a d o p a r a su c á l c u l o .

D e t e r m i n e a n a l í t i c a m e n t e l a s c o o r d e n a d a s d e l c e n t r o de g r a v e d a d de la p l a c a e n f o r m a de T

2 . - E l a b o r e t a b u l a c i ó n en la c u a l m u e s t r e las f i g u r a s p a r a las c u a l e s d e t e r m i n ó el m o m e n t o d e i n e r c i a d e á r e a y los v a l o r e s o b t e n i d o s p a r a é s t e , i n d i c a n d o el m é t o d o u t i l i z a d o p a r a su c á l c u l o .

3 . - E l a b o r e t a b u l a c i ó n en la cual m u e s t r e las f i g u r a s p a r a l a s c u a l e s d e t e r m i n ó el m o m e n t o de i n e r c i a de m a s a y los v a l o r e s o b t e n i d o s , i n d i c a n d o el m é t o d o u t i l i z a d o p a r a su c á l c u l o .

B I B L I O G R A F I A

• MECANICA VECTORIAL PARA INGENIEROS, DINAMICA. Ferdinand P. Becr y E. Russell Johnston J.

Me. Graw Hill.

• MECANICA VECTORIAL PARA INGENIEROS, ESTATICA. Ferdinand P. Beer y E. Russell Johnston J.

Me. Graw Hill.

• FISICA CLASICA Y MODERNA

W. Edward Gcttys, Fredcrick J. Keller y Malcolm J. Skove. Me. Graw Hill.

P R A C T I C A III

D E T E R M I N A C I O N DE F R E C U E N C I A S N A T U R A L E S

y O B J E T I V O .

D e t e r m i n a r e x p e r i m e n t a l i n e n t e la f r e c u e n c i a n a t u r a l de d i f e r e n t e s m o d e l o s de s i s t e m a s v i b r a t o r i o s , y a p a r t i r de é s t a d e t e r m i n a r los m o m e n t o s de i n e r c i a de m a s a r e s p e c t o a s u s c e n t r o s de g i r o y g r a v e d a d , y l a s c o n s t a n t e s de e l a s t i c i d a d .

I N T R O D U C C I O N .

E x i s t e n s i s t e m a s v i b r a t o r i o s en los c u a l e s se d i f i c u l t a el c á l c u l o t e ó r i c o de a l g u n o de los p a r á m e t r o s i n v o l u c r a d o s e n la o b t e n c i ó n de su f r e c u e n c i a n a t u r a l , p o r lo c u a l e s t a ú l t i m a se t i e n e q u e d e t e r m i n a r m e d i a n t e a l g ú n p r o c e d i m i e n t o e x p e r i m e n t a l .

Si p o r el c o n t r a r i o , lo q u e r e q u e r i m o s es el v a l o r de a l g u n o d e l o s p a r á m e t r o s i n v o l u c r a d o s , t a l e s c o m o , la c o n s t a n t e de e l a s t i c i d a d de un r e s o r t e t o r s i o n a l o el m o m e n t o de i n e r c i a r e s p e c t o al c e n t r o de g r a v e d a d en un p é n d u l o c o m p u e s t o , é s t o s s o n f á c i l m e n t e c a l c u l a b l e s si u t i l i z a m o s la f r e c u e n c i a n a t u r a l d e l s i s t e m a d e t e r m i n a d a p r á c t i c a m e n t e .

Es c o n v e n i e n t e p o r lo t a n t o q u e el a l u m n o se f a m i l i a r i c e c o n l o s m é t o d o s u t i l i z a d o s p a r a o b t e n e r d i c h o s p a r á m e t r o s e x p e r i m e n t a l m e n t e .

E Q U I P O A U T I L I Z A R .

1.-Modelos de sistemas vibratorios: * M a s a - resorte.

* Péndulo simple. * Péndulo compuesto. * Sistema aro-rodillo. * Péndulo torsional. 2.-Cronómetro.

3.-Balanza de precisión. 4.-Escalímetro.

P R O C E D I M I E N T O .

A) M e d i c i ó n de F r e c u e n c i a s N a t u r a l e s .

O b t e n g a p r á c t i c a m e n t e las f r e c u e n c i a s n a t u r a l e s de l o s m o d e l o s p r o p o r c i o n a d o s p o r su i n s t r u c t o r . P a r a lo a n t e r i o r d e b e r á s a c a r al s i s t e m a de e q u i l i b r i o , d e j a r l o en l i b e r t a d y m e d i r c o n la a y u d a de un c r o n ó m e t r o el t i e m p o u t i l i z a d o e n d e s a r r o l l a r un c i e r t o n ú m e r o de o s c i l a c i o n e s ( c i c l o s ) c o m p l e t a s . D i v i d i e n d o el n ú m e r o de c i c l o s e n t r e el t i e m p o c o n s u m i d o en é s t o s , o b t e n d r á la f r e c u e n c i a n a t u r a l d e l s i s t e m a .

r ciclos ... . .

tn = — — = ( H e r t z )

(16)

C o m p r u e b e t e ó r i c a m e n t e c o n a y u d a de f ó r m u l a s p a r a f r e c u e n c i a s n a t u r a l e s y t a b l a de m o m e n t o s d e i n e r c i a de m a s a , las f r e c u e n c i a s o b t e n i d a s en c a d a c a s o .

B) C á l c u l o de M o m e n t o s de I n e r c i a de M a s a .

O b t e n g a p r á c t i c a m e n t e la f r e c u e n c i a n a t u r a l de l o s m o d e l o s p r o p o r c i o n a d o s p o r su i n s t r u c t o r . D e t e r m i n e la l o c a l i z a c i ó n del c e n t r o de g r a v e d a d de c a d a u n o de l o s m o d e l o s y m i d a la d i s t a n c i a " r " e n t r e el c e n t r o de g r a v e d a d ( c . g . ) y el p i v o t e . M i d a la m a s a del s i s t e m a . M e d i a n t e la e c u a c i ó n p a r a el c á l c u l o de la f r e c u e n c i a n a t u r a l de un p é n d u l o c o m p u e s t o , o b t e n g a c o n la a y u d a de la f r e c u e n c i a m e d i d a p r á c t i c a m e n t e , el m o m e n t o de i n e r c i a de m a s a c o n r e s p e c t o al p i v o t e ( J p )

/„ _ J L y T j K a i

Tn ' 2 * V JP

U t i l i z a n d o el t e o r e m a de l o s e j e s p a r a l e l o s , c a l c u l e el m o m e n t o de i n e r c i a r e s p e c t o al c e n t r o de g r a v e d a d p a r a c a d a u n o de los s i s t e m a s .

JP = JC.G. + MR2

C) C á l c u l o de C o n s t a n t e E l á s t i c a de T o r s i ó n (KT) en un p é n d u l o t o r s i o n a l .

O b t e n g a p r á c t i c a m e n t e la f r e c u e n c i a n a t u r a l del p é n d u l o t o r s i o n a l . M i d a la m a s a del p é n d u l o y c a l c u l e su m o m e n t o de i n e r c i a de m a s a . M e d i a n t e la e c u a c i ó n p a r a c a l c u l a r la f r e c u e n c i a n a t u r a l del p é n d u l o t o r s i o n a l , d e t e r m i n e la c o n s t a n t e e l á s t i c a t o r s i o n a l del r e s o r t e

D ) C á l c u l o de C o n s t a n t e E l á s t i c a (K) en un S i s t e m a M a s a - R e s o r t e .

O b t e n g a p r á c t i c a m e n t e la f r e c u e n c i a n a t u r a l del s i s t e m a m - k p r o p o r c i o n a d o p o r su i n s t r u c t o r . M i d a la m a s a d e l s i s t e m a . C o n la e c u a c i ó n c o r r e s p o n d i e n t e a la f r e c u e n c i a n a t u r a l , o b t e n g a la c o n s t a n t e de e l a s t i c i d a d del s i s t e m a .

f n - f t - f

2 x m

R E P O R T E .

1.- E l a b o r e u n a t a b l a en la cual m u e s t r e en u n a c o l u m n a un d i b u j o ó d i a g r a m a de c a d a u n o de l o s m o d e l o s a n a l i z a d o s , c o n s u s d i m e n s i o n e s y d a t o s u t i l i z a d o s ; e n u n a s e g u n d a c o l u m n a la f r e c u e n c i a n a t u r a l o b t e n i d a p r á c t i c a m e n t e y en u n a t e r c e r a c o l u m n a la f r e c u e n c i a n a t u r a l c a l c u l a d a t e ó r i c a m e n t e .

F o r m a t o p a r a la e l a b o r a c i ó n d e la t a b l a :

M O D E L O fn P R A C T I C A fn T E O R I C A

2 . - E l a b o r e u n a t a b l a en la c u a l m u e s t r e en u n a c o l u m n a un d i b u j o o d i a g r a m a de c a d a u n o de l o s m o d e l o s a n a l i z a d o s c o n s u s r e s p e c t i v o s d a t o s ; en u n a s e g u n d a c o l u m n a la f r e c u e n c i a n a t u r a l m e d i d a p r á c t i c a m e n t e ; en u n a t e r c e r a c o l u m n a el m o m e n t o de i n e r c i a de m a s a r e s p e c t o al p i v o t e Jp o b t e n i d o e x p e r i m e n t a l m e n t e y en u n a c u a r t a c o l u m n a el m o m e n t o de i n e r c i a de m a s a r e s p e c t o al c e n t r o de g r a v e d a d c a l c u l a d o c o n el t e o r e m a de l o s e j e s p a r a l e l o s . F o r m a t o p a r a la e l a b o r a c i ó n de la t a b l a :

M O D E L O fn P R A C T I C A Jp Je. G.

3 . - E l a b o r e un d i b u j o del p é n d u l o t o r s i o n a l q u e i n c l u y a d a t o s i n v o l u c r a d o s en los c á l c u l o s . I n d i q u e la f r e c u e n c i a n a t u r a l o b t e n i d a p r á c t i c a m e n t e y la c o n s t a n t e e l á s t i c a t o r s i o n a l c a l c u l a d a .

4 . - E l a b o r e un d i b u j o del s i s t e m a m a s a - r e s o r t e i n c l u y e n d o los d a t o s p e r t i n e n t e s . I n d i q u e la e c u a c i ó n u t i l i z a d a y el r e s u l t a d o o b t e n i d o al c a l c u l a r la c o n s t a n t e de e l a s t i c i d a d del r e s o r t e .

B I B L I O G R A F I A .

* FISICA R. A. Serway Interamericana.

* INTRODUCCION AL ESTUDIO DE LAS VIBRACIONES MECANICAS Robert F. Steidel Jr.

CECSA.

* VIBRACIONES MECANICAS. W. W. Seto.

(17)

P R A C T I C A IV

V E L O C I D A D E S C R I T I C A S

O B J E T I V O .

D e t e r m i n a r t e ó r i c a y e x p e r i m e n t a l m e n t e las v e l o c i d a d e s c r í t i c a s o de r e s o n a n c i a de un s i s t e m a r o t a t o r i o f o r m a d o p o r u n a f l e c h a c o n 2 d i s c o s .

I N T R O D U C C I O N .

El m o v i m i e n t o más c o m ú n en m a q u i n a r i a es el m o v i m i e n t o r o t a t i v o , y t o d o s i s t e m a en r o t a c i ó n c o n t i e n e m a s a y e l a s t i c i d a d ( r o t o r - f l e c h a ) . E s t a c o m b i n a c i ó n o r i g i n a q u e el s i s t e m a t e n g a u n a o v a r i a s f r e c u e n c i a s n a t u r a l e s , p o r lo q u e e x i s t e la p o s i b i l i d a d de q u e la v e l o c i d a d de t r a b a j o c o i n c i d a c o n u n a de e s t a s f r e c u e n c i a s y se p r e s e n t e el f e n ó m e n o d e la r e s o n a n c i a .

La r e s o n a n c i a e n s i s t e m a s r o t a t i v o s se c o n o c e c o m o " V e l o c i d a d C r í t i c a " y se d e f i n e c o m o la c o n d i c i ó n e n q u e la v e l o c i d a d de g i r o del s i s t e m a se i g u a l a a la f r e c u e n c i a n a t u r a l del m i s m o .

L a s c o n s e c u e n c i a s del f e n ó m e n o de la r e s o n a n c i a s o n la g e n e r a c i ó n de s e v e r a s v i b r a c i o n e s m e c á n i c a s , c o n la c o n s e c u e n t e p r o b a b i l i d a d d e f a l l a en b a l e r o s , c h u m a c e r a s , a n c l a j e , f l e c h a s ( f a t i g a ) , e t c .

P o r lo a n t e s m e n c i o n a d o la d e t e r m i n a c i ó n de las v e l o c i d a d e s c r í t i c a s t i e n e g r a n i m p o r t a n c i a en el d i s e ñ o de t u r b i n a s , e j e s c o n e n g r a n e s o r o t o r e s de m o t o r .

V E L O C I D A D E S C R I T I C A S .

C o n s i d e r e un d i s c o de m a s a m s o b r e u n a f l e c h a q u e g i r a s o b r e 2 a p o y o s , c o n v e l o c i d a d c o n s t a n t e CD, c o m o se ve e n la F i g u r a I V - 1 . S u p o n g a q u e el c e n t r o de g r a v e d a d ( C . G . ) del d i s c o , se e n c u e n t r a a la d i s t a n c i a r a d i a l "e" ( e x c e n t r i c i d a d ) del c e n t r o de la f l e c h a .

Si el d i s c o g i r a s e en t o r n o al e j e c e n t r a l de la f l e c h a , se p r o d u c i r í a s o b r e él u n a f u e r z a c e n t r í f u g a ( F e ) c o n m a g n i t u d meco2. E s t a f u e r z a r o t a t i v a p r e s e n t a c o m p o n e n t e s h o r i z o n t a l y

v e r t i c a l c o n a m p l i t u d e s i g u a l e s a mea)2. E s , p u e s , de e s p e r a r s e q u e el d i s c o v i b r e en las

d i r e c c i o n e s h o r i z o n t a l y v e r t i c a l s i m u l t á n e a m e n t e y , e n p a r t i c u l a r , e s p e r a m o s q u e el d i s c o v i b r e v i o l e n t a m e n t e , c u a n d o e s t a s f u e r z a s e n t r a n e n r e s o n a n c i a c o n la f r e c u e n c i a n a t u r a l del c o n j u n t o , es d e c i r , c u a n d o la v e l o c i d a d a n g u l a r © de la f l e c h a c o i n c i d e c o n la f r e c u e n c i a

C O ^ ^ //¿Y// C . G . > •

F e A

f e

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"¡T'

0 0

C R )

y j

/ / f a / / r ^ " " Z j T * / / / / / / / / \

0 0

C R )

y j

(18)

n a t u r a l de v i b r a c i ó n con del s i s t e m a f l e c h a - d i s c o , la cual es f u n c i ó n de la e l a s t i c i d a d de su f l e c h a y las m a s a s en e l l a .

E s t a c o n c l u s i ó n no se r e s t r i n g e al c a s o de un s o l o d i s c o m o n t a d o s i m é t r i c a m e n t e s o b r e 2 a p o y o s r í g i d o s ; es v á l i d a t a m b i é n p a r a s i s t e m a s m á s c o m p l i c a d o s .

U n o de los m é t o d o s m á s s o b r e s a l i e n t e s p a r a la s o l u c i ó n de e s t e t i p o de p r o b l e m a s es el m é t o d o d e R a y l e i g h .

El m é t o d o de R a y l e i g h e s t á b a s a d o en el c o n t i n u o i n t e r c a m b i o de e n e r g í a c i n é t i c a y p o t e n c i a l q u e e x i s t e en el s i s t e m a . Si el s i s t e m a es c o n s e r v a t i v o y no hay p é r d i d a de e n e r g í a , e n t o n c e s la s u m a d e la e n e r g í a c i n é t i c a y p o t e n c i a l es u n a c o n s t a n t e . L a e n e r g í a c i n é t i c a r e s u l t a de la v e l o c i d a d de las m a s a s , m i e n t r a s q u e la e n e r g í a p o t e n c i a l e s t á a c u m u l a d a c o m o un t r a b a j o c o n t r a la g r a v e d a d ó p o r u n a d e f o r m a c i ó n e l á s t i c a en la f l e c h a .

C á l c u l o de la 1a V e l o c i d a d C r í t i c a p o r el M é t o d o de R a y l e i g h .

C o n s i d e r a n d o u n a f l e c h a c o n d o s m a s a s c o n c e n t r a d a s mi y m2 c o m o se m u e s t r a e n la F i g u r a I V - 2 .

La f l e c h a e s e s e n c i a l m e n t e u n a v i g a f l e x i o n a d a p o r los p e s o s de l a s m a s a s m i y mz. El c á l c u l o de las e n e r g í a s c i n é t i c a y p o t e n c i a l r e q u i e r e un c o n o c i m i e n t o de l a s d e f l e x i o n e s v e r t i c a l e s d e b i d a s a l o s d i s c o s .

S e a n l a s d e f l e x i o n e s e s t á t i c a s Yi e Y2 en l o s p u n t o s d o n d e se e n c u e n t r a n l a s m a s a s 1111 y

1112.

T R e p r e s e n t a la e n e r g í a c i n é t i c a U R e p r e s e n t a la e n e r g í a p o t e n c i a l .

D e b i d o a q u e la f l e c h a m o s t r a d a e n la F i g u r a I V - 2 se o p o n e a la d e f o r m a c i ó n o c a s i o n a d a p o r l o s p e s o s de l o s d i s c o s , la a n a l i z a r e m o s c o m o un r e s o r t e .

En un s i s t e m a c o n s e r v a t i v o : U i + T i = U 2 + T 2 ; y si é s t e e s t a v i b r a n d o , c u a n d o T i = 0 ,

e n t o n c e s U i = Uma x ; y c u a n d o T 2 = T m a x , e n t o n c e s U 2 = 0 , de d o n d e se t i e n e e n t o n c e s : U m a x

= Tmax q u e es la e c u a c i ó n f u n d a m e n t a l d e l m é t o d o de R a y l e i g h .

A h o r a , ya q u e la v i g a se c o m p o r t a c o m o un s i s t e m a i d e a l c o n s e r v a t i v o , la s u m a de t o d a s s u s e n e r g í a s c i n é t i c a s m á x i m a s es igual a la s u m a de t o d a s s u s e n e r g í a s p o t e n c i a l e s m á x i m a s .

Y, umax= £ TMAX

1 K\ Y12 + 1 K2 Y22 = j mi V * + l f f l 2 l / |

L u e g o c o m o :

k= F / x , en este caso, K = - y

V = (úY = (ún Y

D o n d e : CD = f r e c u e n c i a c a r a c t e r í s t i c a de oscilación del sistema = 0 ) S u s t i t u y e n d o t e n e m o s :

2 T Í Y'2 + \ T i y*2 f i m « + 5 m* ® «2 y c o m o W = m g

"71 g Y^ + m2 g Y2 = m y ( 0 „2 Y12 + m 2 CD„2 Y2 2

g ( m i Y1 + m2 Y2) = Cl>„2 (m^ Y12 + m 2 Y2 2)

2 = g(m 1 Y1 + m2 Y2)

(m 1 Y12 + m2 Y2 2)

_ ^ f g ( m ^ Y1 + m2 Y2)

{ m , Y12 + m2 Y2 2)

= J _ "sf9(m 1 yi + m2 Y2)

2 * ( m 1 Y12 + m2 Y2 2)

_ 6 0 T f g C m ^ " m T Y T )

2" (mi V12 + m2 Y2)

la f r e c u e n c i a a n g u l a r de r e s o n a n c i a e n r a d / s . m a s a de c a d a d i s c o en K g .

d e f o r m a c i ó n e s t á t i c a de la f l e c h a e n la p o s i c i ó n de c a d a d i s c o en m. a c e l e r a c i ó n de la g r a v e d a d e n 111/s2.

R a d / s e g .

H z .

R . P . M .

D o n d e :

CO „ = m = Y = g

E x i s t e n v a r i o s m é t o d o s p a r a c a l c u l a r la d e f o r m a c i ó n en la f l e c h a ( Y ) d e b i d o al p e s o , c o m o s o n : el m é t o d o de d o b l e i n t e g r a c i ó n , el m é t o d o de m o m e n t o s , el m é t o d o de s u p e r p o s i c i ó n , e t c .

El m é t o d o de s u p e r p o s i c i ó n es el q u e r e s u l t a más s e n c i l l o p a r a e f e c t u a r el c á l c u l o , r a z ó n p o r la cual se va a u t i l i z a r e n e s t a p r á c t i c a .

El p r i n c i p i o de la s u p e r p o s i c i ó n u s a d o p a r a e n c o n t r a r la d e f o r m a c i ó n p r o d u c i d a p a r a c a r g a s s o b r e u n a v i g a o f l e c h a , e s t a b l e c e q u e la d e f o r m a c i ó n t o t a l en c a d a p u n t o es i g u a l a la s u m a de la d e f o r m a c i ó n d e b i d a al p e s o q u e a c t ú a en e s e p u n t o m á s la d e f o r m a c i ó n d e b i d a a o t r o s p e s o s .

P r o c e d i m i e n t o p a r a c a l c u l a r la d e f o r m a c i ó n en u n a f l e c h a c o n d o s d i s c o s .

(19)

Al c a l c u l a r la d e f l e x i ó n e n el p u n t o 1, e s n e c e s a r i o c a l c u l a r por s e p a r a d o , p r i m e r o la d e f l e x i ó n p r o d u c i d a en e s e p u n t o p o r el d i s c o 1 y d e s p u é s la d e f l e x i ó n p r o d u c i d a en e s e p u n t o p o r el d i s c o 2 y la s u m a s e r á la d e f l e x i ó n t o t a l d e e s e p u n t o .

La f ó r m u l a p a r a d e t e r m i n a r la d e f l e x i ó n en c a d a c a s o es :

v _ m g b x (

y " 6 LEI 1

D o n d e :

L' - b x2)

x = D i s t a n c i a e n t r e el p u n t o d o n d e se r e q u i e r e c o n o c e r la d e f o r m a c i ó n y el a p o y o m a s c e r c a n o e n m.

b = D i s t a n c i a e n t r e el p e s o q u e p r o d u c e la d e f o r m a c i ó n y el o t r o a p o y o e n m.

L = L o n g i t u d total o d i s t a n c i a e n t r e l o s a p o y o s en m. E = M ó d u l o d e e l a s t i c i d a d de la f l e c h a e n N / m2.

I = M o m e n t o de i n e r c i a de á r e a de la f l e c h a e n m4.

m = M a s a del d i s c o en K g .

g = A c e l e r a c i ó n de la g r a v e d a d en m / s2

L l a m a r e m o s a Y n d e f o r m a c i ó n en el p u n t o ( 1 ) d e b i d a al d i s c o ( 1 )

m y g b x 2 h 2 „ 2

V 1 1" 6 LEI ( L ~ B " X }

V. 7

< b

/

/

l ® ® i W M. i

/

/

L

i

/

F i g u r a IV-4.

Y12 = d e f o r m a c i ó n e n el p u n t o ( 1 ) d e b i d a al d i s c o ( 2 )

m¿gbx . 2 h2 „2^

V 1 2 = 6 L

ÉT

(L

~

b

~

X )

La d e f o r m a c i ó n t o t a l e n 1 s e r á : Yi = Y n + Y12

P a r a c a l c u l a r la d e f l e x i ó n en el p u n t o 2 se h a c e n las m i s m a s c o n s i d e r a c i o n e s o s e a , c a l c u l a r p r i m e r o la d e f l e x i ó n p r o d u c i d a en e s e p u n t o por el d i s c o 2, y d e s p u é s la d e f l e x i ó n p r o d u c i d a en ese p u n t o p o r el d i s c o 1 y la s u m a s e r á la d e f l e x i ó n t o t a l en e s e p u n t o .

Y22 = d e f o r m a c i ó n en el p u n t o ( 2 ) d e b i d a al d i s c o ( 2 )

W2 gbx . 2 h2 v 2 x

V 2 2 = 6 LEI ( L ~ B ~ X }

V

,

b

/ i

/

/ k x

/ > 1 / i / / ? / /

\ ® © i

/ í / / /

L

í /

F i g u r a IV-6.

Y21 = d e f o r m a c i ó n e n el p u n t o ( 2 ) d e b i d a al d i s c o ( 1 )

m i g b x 2 h2 v 2 x V 2 1 = 6 L E I ( L " b ~ X ) La d e f o r m a c i ó n t o t a l en 2 s e r á : Y2 = Y 2 2 + Y 2 1

A P A R A T O S U T I L I Z A D O S .

1.- S i s t e m a m o t o r - r o t o r c o n d i s c o s . 2 . - C o n t r o l de v e l o c i d a d .

3 . - T a c ó m e t r o .

DISCO 2

c

r - S

T

7

POLEA

DISCO 1

F i g u r a IV-7.

(20)

P R O C E D I M I E N T O .

1 - M i d a l a s d i m e n s i o n e s del s i s t e m a m o t o r - r o t o r c o n d i s c o s . 2 . - C o n e c t e el s i s t e m a a la l i n e a de 110 V o l t s .

3 . - E n c i e n d a el s i s t e m a y u t i l i z a n d o el c o n t r o l de v e l o c i d a d e m p i e c e a a u m e n t a r p o c o a p o c o la v e l o c i d a d de g i r o d e l r o t o r .

U n a v e z q u e e s t á g i r a n d o el s i s t e m a , se n o t a r á q u e l o s d i s c o s j u n t o c o n la f l e c h a e m p e z a r á n a v i b r a r l e v e m e n t e , p e r o al s e g u i r a u m e n t a n d o la v e l o c i d a d de g i r o se l l e g a r á a c o n d i c i o n e s en las q u e la v i b r a c i ó n se h a c e v i o l e n t a . En e s t a c o n d i c i ó n el s i s t e m a se e n c u e n t r a en r e s o n a n c i a y la v e l o c i d a d a la cual g i r a se l l a m a v e l o c i d a d c r i t i c a .

4 - M i d a c o n un t a c ó m e t r o la v e l o c i d a d de g i r o de la f l e c h a en las c o n d i c i o n e s de v e l o c i d a d c r í t i c a .

5 - D e t e r m i n e a n a l í t i c a m e n t e la l a . v e l o c i d a d c r í t i c a d e l s i s t e m a e s t u d i a d o .

R E P O R T E .

1.- I n d i q u e las v e l o c i d a d e s c r í t i c a s e n c o n t r a d a s t a n t o a n a l í t i c a c o m o e x p e r i m e n t a l m e n t e .

2 . - C o m p a r e y c o m e n t e l o s r e s u l t a d o s . 3 . - A n e x e m e m o r i a de c á l c u l o .

B I B L I O G R A F I A .

• TEORIA DE VIBRACIONES, APLICACIONES. William T. Thomson.

Prentice Hall.

I V - 6 F . I . M . E . / U . A . N . L .

P R A C T I C A V

R A S T R E O DE R E S O N A N C I A S

O B J E T I V O .

D e t e r m i n a r las f r e c u e n c i a s n a t u r a l e s y o b s e r v a r l o s m o d o s d e v i b r a c i ó n d e u n a v i g a c o n m a s a u n i f o r m e m e n t e d i s t r i b u i d a y s i m p l e m e n t e a p o y a d a .

I N T R O D U C C I O N .

L a s v i g a s , e l e m e n t o s e s t r u c t u r a l e s c o n m a s a u n i f o r m e m e n t e d i s t r i b u i d a , f o r m a n el e s q u e l e t o d e e s t r u c t u r a s , t a l e s c o m o , p u e n t e s , e d i f i c i o s , a v i o n e s , c o h e t e s , e t c .

Al i n s t a l a r e n d i c h a e s t r u c t u r a u n a o v a r i a s f u e n t e s de v i b r a c i ó n ( m o t o r e s , c o m p r e s o r e s , t u r b i n a s , e t c . ) e x i s t e la p o s i b i l i d a d d e q u e las f u e r z a s p r o d u c i d a s e n d i c h a s m á q u i n a s p r e s e n t e n a l g u n a s f r e c u e n c i a s de e x c i t a c i ó n q u e c o i n c i d a n c o n a l g u n a de l a s f r e c u e n c i a s n a t u r a l e s de l o s e l e m e n t o s e s t r u c t u r a l e s , r e s u l t a n d o c o n é s t o u n a r e s o n a n c i a m e c á n i c a e n la e s t r u c t u r a , c a r a c t e r i z a d a p o r u n a a l t a v i b r a c i ó n . L a s c o n d i c i o n e s de r e s o n a n c i a e n v i g a s se d e n o m i n a n M o d o s , d e b i d o a q u e la f o r m a e n q u e v i b r a la v i g a en c a d a r e s o n a n c i a t i e n e u n a f o r m a d i f e r e n t e .

P o r lo t a n t o , e s de g r a n i m p o r t a n c i a e v i t a r las c o n d i c i o n e s de r e s o n a n c i a p a r a p r e v e n i r c a t á s t r o f e s q u e p u e d e n c o s t a r v i d a s h u m a n a s o d a ñ a r e s t r u c t u r a s y e q u i p o s .

D e a c u e r d o c o n lo a n t e r i o r se h a c e n e c e s a r i o c o n o c e r las d i f e r e n t e s f r e c u e n c i a s n a t u r a l e s de l o s e l e m e n t o s e s t r u c t u r a l e s ; p o r lo q u e e s t a p r á c t i c a d e s c r i b e u n o d e l o s m é t o d o s p a r a d e t e r m i n a r l a s .

C u a n d o se r e q u i e r e a n a l i z a r e s t r u c t u r a s c o m p l e j a s , c o m o p o r e j e m p l o , e n la i n d u s t r i a a e r o n á u t i c a , se d i s e ñ a h a c i e n d o u n a p r i m e r a a p r o x i m a c i ó n t e ó r i c a y r e v i s a n d o p o r e n s a y o y e r r o r , s o m e t i é n d o l a s a v i b r a c i ó n e n u n a a m p l i a g a m a de f r e c u e n c i a s , l o c a l i z a n d o c o n é s t o l o s e l e m e n t o s e s t r u c t u r a l e s q u e r e q u i e r e n c o r r e c c i ó n .

V I B R A C I O N T R A N S V E R S A L D E V I G A S .

E n un s i s t e m a d i s c r e t o , la e l a s t i c i d a d , la m a s a y el a m o r t i g u a m i e n t o s o n c o n s i d e r a d a s c o m o p r o p i e d a d e s c o n c e n t r a d a s e n a l g ú n p u n t o . A q u e l l o s s i s t e m a s e n l o s c u a l e s l a s p r o p i e d a d e s a n t e s m e n c i o n a d a s e s t á n d i s t r i b u i d a s a lo l a r g o y a n c h o d e é s t o s , s o n l l a m a d o s s i s t e m a s d i s t r i b u i d o s (o s i s t e m a s c o n t i n u o s ) .

L a s v i g a s , b a r r a s , f l e c h a s , c a b l e s y c u e r d a s s e p u e d e n a n a l i z a r c o n p r e c i s i ó n c o m o s i s t e m a s d i s t r i b u i d o s . P a r a f o r m a r un m o d e l o m a t e m á t i c o d e un s i s t e m a d i s t r i b u i d o , p a r a su a n á l i s i s , se r e q u i e r e s u p o n e r : q u e el m a t e r i a l es h o m o g é n e o ; q u e d e b e s e r e l á s t i c o , lo q u e s i g n i f i c a q u e c u m p l e c o n la ley de H o o k e ; y q u e es i s o t r ó p i c o .

E n las v i g a s p o d e m o s c o n s i d e r a r q u e la v i b r a c i ó n p u e d e o c u r r i r ( s e g ú n c o m o se a p l i q u e la f u e r z a ) e n f o r m a t r a n s v e r s a l , l o n g i t u d i n a l o t o r s i o n a l .

E n e s t a p r á c t i c a c o n s i d e r a r e m o s la v i b r a c i ó n t r a n s v e r s a l p o r s e r la m á s c o m u n m e n t e e n c o n t r a d a en las v i g a s (o e s t r u c t u r a s ) s o b r e l a s c u a l e s se i n s t a l a n f u e n t e s d e v i b r a c i ó n ( m o t o r e s , c o m p r e s o r e s , t u r b i n a s , e t c . ) .

Figure

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