integrales 2

4. Integrales impropias: definición y propiedades.

Hasta este momento hemos calculado integrales definidas de funciones con rango finito en interva-los finitos. En la práctica nos encontramos, a veces, con situaciones donde estas dos circunstancias

no se dan. La integral para el área que encierra la curva y log₂x x

= en el intervalo desde

[

1,∞

)

es un ejemplo donde el dominio de la función es infinito. La integral para el área que encierra la curva

1 y

x

= en el intervalo desde

(

0,1

]

es un ejemplo donde el rango de la función es infinito. En estos

casos decimos que la integral es impropia y su significado preciso se definirá mediante límites.

La primera de estas integrales (cuando el intervalo de integración es infinito) se dice que es de pri-mera especie y la segunda (cuando el intervalo de integración es finito pero la función no está aco-tada) se dice que es de segunda especie. Comenzaremos con las integrales de primera especie.

EJEMPLO. Consideremos la función continua ( )f x =e−x en el intervalo

[

0,∞

)

. Para cada r>0 po-demos considerar la integral definida

0

.

r x

e dx−

∫

De hecho, podemos calcular esta integral en función de r>0. En efecto,

(

0 0

1 .

r _r

x x r

e dx− = −e− ⎤_⎦ = −e−

∫

Este valor puede ser interpretado como el área que encierra la curva y=e−x y el eje OX en el intervalo

[ ]

0,r . Ahora tomamos límite cuando r→ ∞ y

observamos que

(

)

0

lim lim 1 1.

r

x r

r e dx r e

− −

→∞

∫

= →∞ − = A este valor se le llama integral impropia de

x

e− en

el intervalo

[

0,∞

)

y se denota por

0

1.

x

e dx

∞

− ₌

∫

Puede ser interpretado como el área que encierra la curva y=e−x y el eje OX en el intervalo

[

0,∞

)

.

EJEMPLO. Consideremos la función continua f x( ) 1₂

x

= en el intervalo

[

1,∞

)

. Para cada r >1

po-demos considerar la integral definida ₂

1

1 .

r

dx x

∫

De hecho, podemos calcular esta integral en función de r>1. En efecto, 1 1 1 1.

r r

dx= −⎛_⎜ ⎤_⎥ = − ⎝ ⎦

encierra la curva y 1₂ x

= y el eje OX en el intervalo

[ ]

1,r . Ahora tomamos límite cuando r→ ∞ y

observamos que ₂

1

1 1

lim lim 1 1.

r

r→∞ _x dx r→∞ _r

⎛ ⎞

= _⎜ − _⎟=

⎝ ⎠

∫

En este caso, la integral impropia de f x( ) 1₂ x

= en

el intervalo

[

1,∞

)

es ₂

1

1

1.

dx x

∞

=

∫

Esta valor puede ser interpretado como el área que encierra la curva y 1₂

x

= y el eje OX en el intervalo

[

1,∞

)

.

EJEMPLO. Finalmente, consideremos la función continua f x( ) 1

x

= en el intervalo

[

1,∞

)

. Para cada

1

r> podemos considerar la integral definida

1

1 .

r

dx x

∫

De hecho, podemos calcular esta integral en función de r>1. En efecto,

(

]

₁

1

1

log log .

r

r

dx r r

x = =

∫

Este valor puede ser interpretado como el área que encierra la curva y 1

x

= y el eje OX en el intervalo

[ ]

1,r . Sin embargo, si ahora tomamos

límite, cuando r→ ∞, observamos que

1

1

lim lim log

r

r→∞

∫

_xdx=r→∞ r= ∞ y el área que encierra la curva

1 y

x

= y el eje OX en el intervalo

[

1,∞

)

es infinita. En este caso decimos que la integral

1

1

dx x

∞

∫

es divergente y no le asignamos ningún valor.

DEFINICIÓN. (1) Sea a un número cualquiera y sea f x: ∈

[

a,∞ ⊆ →

)

\ f x( )∈\ una función

con-tinua. Se dice que f es integrable en el intervalo

[

a,∞

)

si el siguiente límite es finito

lim ( ) .

r

r→∞

∫

_a f x dx

En este caso, ponemos ( ) : lim ( )

r

r

a a

f x dx f x dx

∞

→∞

=

∫

∫

y decimos que la integral impropia de primera especie es convergente. En caso contrario decimos que la integral es divergente.

(2) Análogamente, si a es un número cualquiera y f x: ∈ −∞

(

,a

]

⊆ →\ f x( )∈\ es una función continua, se dice que f es integrable en el intervalo

(

−∞,a

]

si el siguiente límite es finito

lim ( ) .

a

r→−∞

∫

_r f x dx

En este caso, ponemos ( ) : lim ( )

a a

r _r

f x dx f x dx

→−∞

−∞ =

(3) Finalmente, si f x: ∈ −∞ ∞ ⊆ →

(

,

)

\ f x( )∈\ es una función continua, se dice que f es

inte-grable en el intervalo

(

−∞ ∞,

)

si para algún número a (no importa cual) las integrales impropias

( )

a

f x dx

∞

∫

y ( )

a

f x dx

−∞

∫

son ambas convergentes. En este caso, ponemos

( ) : ( ) ( )

a

a

f x dx f x dx f x dx

∞ ∞

−∞ = −∞ +

∫

∫

∫

y decimos que la integral impropia de primera especie es convergente.

EJEMPLO. La integral impropia ₂

1

logx dx x

∞

∫

es convergente. En efecto, si r>1, tenemos integrando por partes que ₂

1 ₁ 1 ₁

log 1 1 1 log 1 log 1

log 1.

r r

r r

x r r

dx x dx

x x x x r x r r

⎛ ⎤ ⎛ ⎤

= −_{⎜ ⎥} − − = − −_{⎜ ⎥} = − − +

⎝ ⎦ ⎝ ⎦

∫

∫

Finalmente,

tomando límites cuando r→ ∞, obtenemos

2 2

1 1

1

log log log 1 log

lim lim 1 1 lim 1 lim 1.

1

r

r r r r

x x r r _r

dx dx

x x r r r

∞

→∞ →∞ →∞ →∞

⎛ ⎞

= = _⎜− − + = −_⎟ = − =

⎝ ⎠

∫

∫

EJEMPLO. La integral impropia 1 ₂

1 x dx

∞

−∞ +

∫

es convergente. Para estudiar la convergencia dividi-mos la integral en la suma

0

2 2 2

0

1 1 1

. 1 x dx 1 x dx 1 x dx

∞ ∞

−∞ + = −∞ + + +

∫

∫

∫

Ahora analizamos la

conver-gencia de cada una de estas dos integrales. Para la primera tenemos que

(

]

2 2 0

0 0

1 1

lim lim arctan lim arctan .

1 1 2

r

r

r r r

dx dx x r

x x

π

∞

→∞ →∞ →∞

= = = =

+ +

∫

∫

Análogamente, para la segunda

(

]

(

)

0 0

0

2 2

1 1

lim lim arctan lim arctan .

1 _r 1 _r r _r 2

r

dx dx x r

x x

π

→−∞ →−∞ →−∞

−∞ + = + = = − =

∫

∫

Por tanto, la integral 1 ₂

1 x dx

∞

−∞ +

∫

es convergente y 1 ₂ .

1 x dx π

∞

−∞ + =

∫

EJEMPLO. Ahora vamos a analizar la convergencia de la integral

1

1

p dx

x

∞

∫

dependiendo de los valo-res de p∈\. Sabemos que para p=1, la integral es divergente, mientras que la integral es conver-gente para p=2. En el razonamiento que sigue excluiremos el caso p=1. Si p≠1, entonces

1 1

1 1

1

1 1 1

lim lim lim .

1 1 1

r

p p

r

p _r p _{r r}

x r

dx dx

x x p p p

− + − +

∞

→∞ →∞ →∞

⎛ ⎤

= = _{⎜ ⎥} = −

− + − + − +

⎝ ⎦

La integral impropia será convergente si y sólo si el límite

1

lim 1

p

r

r p

− +

→∞− + existe y es finito, lo que

equi-vale a que exista el límite lim 1_{p 1}

r→∞_r − y sea finito. Esto ocurre exactamente si p− >1 0 (recuerda que

el caso p=1 está excluido del estudio) y, en este caso, lim 1_{p 1} 0.

r→∞_r − = Entonces, la integral impropia

1

1

p dx

x

∞

∫

es convergente si y sólo si p>1 y, en este caso,

1

1 1

. 1

p dx

x p

∞

= −

∫

Continuamos con las integrales impropias de segunda especie. Primero veremos algunos ejemplos.

EJEMPLO. Consideremos la función continua logx en el intervalo

(

0,1 .

]

Como

0

lim log ,

x→ x= −∞ la

función logx no está acotada en el intervalo

(

0,1 .

]

Sin embargo, para cada 0< <r 1 podemos con-siderar la integral definida

1

log .

r

x dx

∫

De hecho, podemos calcular esta integral, en función de r, integrando por partes. En efecto,

(

]

1

1

log log 1 log .

r r

x dx= x x−x = − −r r+r

∫

Este valor puede ser

in-terpretado como el área (negativa en este caso) que encierra la curva y=logx y el eje OX en el intervalo

[ ]

r,1 . Si ahora tomamos límite, cuando r→0, observamos que

(

)

1

0 0

lim log lim 1 log 1.

r→

∫

_r x dx=r→ − −r r+r = −

Este valor, que se denota por

1

0

logx dx= −1,

∫

se llama integral impropia de f x( )=logx en el in-tervalo

(

0,1

]

y puede ser interpretado como el área (negativa negativa en este caso) que encierra la

curva logy= x y el eje OX en el intervalo

(

0,1 .

]

EJEMPLO. Consideremos la función continua f x( ) 1 x

= en el intervalo

(

0,1 .

]

Observa otra vez que

0

1 lim

x→ _x = ∞ y, por tanto, la función

1 ( ) f x

x

= no está acotada en el intervalo

(

0,1 .

]

Para cada

0< <r 1 podemos considerar la integral definida

1

1 .

r

dx x

∫

De hecho, podemos calcular esta inte-gral en función de r. En efecto,

(

1 ₁

1

2 2 2 .

r r

dx x r

x

⎤

= _⎦ = −

∫

Este valor puede ser interpretado co-mo el área que encierra la curva y 1

x

= y el eje OX en el intervalo

[ ]

r,1 . Si ahora tomamos

lími-te, cuando r→0, observamos que

(

)

1

0 0

1

lim lim 2 2 2.

im-propia de f x( ) 1 x

= en el intervalo

(

0,1

]

es

1

0

1

2. dx

x =

∫

Este valor puede ser interpretado como el área que encierra la curva y 1

x

= y el eje OX en el intervalo

(

0,1 .

]

EJEMPLO. Finalmente, consideremos la función continua f x( ) 1

x

= en el intervalo

(

0,1 .

]

Observa

una vez más que

0

1 lim

x→ _x= ∞ y, por tanto, la función

1 ( ) f x

x

= no está acotada en el intervalo

(

0,1 .

]

No obstante, para cada 0< <r 1 podemos considerar la integral definida

1

1 .

r

dx x

∫

De hecho, pode-mos calcular esta integral en función de r. En efecto,

(

]

1

1

1

log log .

r r

dx r r

x = = −

∫

Este valor puede

ser interpretado como el área que encierra la curva y 1 x

= y el eje OX en el intervalo

[ ]

1,r . Sin

embargo, si ahora tomamos límite, cuando r→0, observamos que

1

0 0

1

lim lim log

r→

∫

_{r x}dx= −r→ r= ∞ y el

área que encierra la curva y 1 x

= y el eje OX en el intervalo

(

0,1

]

es infinita. En este caso decimos

que la integral

1

0

1

dx x

∫

es divergente y no le asignamos ningún valor.

DEFINICIÓN. (1) Sea f x: ∈

(

a b,

]

⊆ →\ f x( )∈\ una función continua tal que lim ( ) . x a

f x

+

→ = ∞ Se

dice que f es integrable en el intervalo

(

a b,

]

si el siguiente límite es finito

lim ( ) .

b

r→a+

∫

_r f x dx

En este caso, ponemos ( ) : lim ( )

b b

r a

a r

f x dx ₊ f x dx

→

=

∫

∫

y decimos que la integral impropia de segunda especie es convergente. En caso contrario decimos que la integral es divergente.

(2) Análogamente, si f x: ∈

[

a b,

)

⊆ →\ f x( )∈\ es una función continua tal que lim ( ) ,

x b

f x

−

→ = ∞

se dice que f es integrable en el intervalo

[

a b,

)

si el siguiente límite es finito

lim ( ) .

r

r→b−

∫

_a f x dx

En este caso, ponemos ( ) : lim ( )

b r

r b

a a

f x dx ₋ f x dx

→

=

(3) Finalmente, si f x: ∈

[ ]

a b, ⊆ →\ f x( )∈\ es una función continua, salvo que para un valor

a< <c b tenemos que lim ( ) ,

x→c f x = ∞ se dice que f es integrable en el intervalo

[ ]

a b, si las

inte-grales impropias ( )

c

a

f x dx

∫

y ( )

a

c

f x dx

∫

son ambas convergentes. En este caso, ponemos

( ) : ( ) ( )

b c b

a a c

f x dx = f x dx+ f x dx

∫

∫

∫

y decimos que la integral impropia de segunda especie es convergente.

EJEMPLO. Ahora vamos a analizar la convergencia de la integral

1

0

1

p dx

x

∫

dependiendo de los valo-res de p∈\. Sabemos que para p=1, la integral es divergente, mientras que la integral es

conver-gente para 1. 2

p= En el razonamiento que sigue excluiremos el caso p=1. Si p≠1, entonces

1

1 1

1 1

0 0 0

0

1 1 1

lim lim lim .

1 1 1

p p

p _r p _{r r}

r

r

x r

dx dx

x x p p p

− + − +

→ → →

⎛ ⎤ ⎛ ⎞

= = _{⎜ ⎥} = _⎜ − _⎟

− + − + − +

⎝ ⎦ ⎝ ⎠

∫

∫

La integral impropia será convergente si y sólo si el límite

1

0

lim 1

p

r

r p

− +

→ − + existe y es finito, lo que

equi-vale a que exista el límite ₁

0

1 lim _p

r→ _r − y sea finito. Esto ocurre exactamente si p− <1 0 (recuerda que

el caso p=1 está excluido del estudio) y, en este caso, ₁

0

1 lim _p 0.

r→ _r − = Entonces, la integral impropia

1

0

1

p dx

x

∫

es convergente si y sólo si p<1 y, en este caso,

1

1 1

. 1

p dx

x p

∞

= −

∫

Las propiedades de linealidad, monotonía, regla de Barrow, integración por partes y cambio de va-riable se pueden trasladar a las integrales impropias en el caso en que las integrales sean convergen-tes. Vamos a enunciar, a modo de ejemplo, la regla de Barrow para integrales impropias de primera especie.

PROPOSICIÓN. Sea f x: ∈[ ,a +∞ →) f x( )∈\ una función continua y consideremos una primitiva

: [ , ) ( )

G x∈ a +∞ →G x ∈\ de la función .f Entonces la integral impropia ( )

a

f x dx

∞

∫

converge si, y sólo si, existe el límite lim ( ),

x→∞G x en cuyo caso _a f x dx( ) lim ( )x G x G a( ).

∞

→∞

= −

∫

DEM. Es suficiente observar que

[

]

(

]

x

∞ _∞

= = − = − ≡

EJEMPLO. Vamos a determinar la convergencia de la integral impropia 1 3 0 (1 )

dx

x x

∞

+

∫

y, en caso de ser convergente vamos a calcular su valor. Puesto que el intervalo de integración es infinito y la

función 1

3

1 ( )

(1 )

f x

x x

=

+ no está acotada en x=0, esta integral es de primera y de segunda especie.

Para estudiar su convergencia dividimos la integral en dos

1 1 1

3 3 3

1 2

1

0 0 1

,

(1 ) (1 ) (1 )

I I

dx dx dx

x x x x x x

∞ ∞

= +

+ + +

∫

∫

∫

de forma que la integral I₁ es de segunda especie y la integral I₂ es de primera especie. Comenza-mos estudiando la convergencia de la integral I₁. Para ello usaremos el teorema del cambio de va-riable y tenemos

1 3 1

3

3 2

1 1

1 3

0 0

3

, ; 3

. 1

0, 0; 1, 1

(1 )

dx u x x u dx u du u

I du

u

x u x u

x x

⎡ _{= = =} ⎤

= =_{⎢ ⎥}=

+

= = = =

+ ⎢_⎣ ⎥_⎦

∫

∫

Ahora usamos

des-composición en fracciones simples para calcular esta integral. Puesto que las raíces del

denomina-dor son u= −1 y 1 3 ,

2 2

u= ± i tenemos la siguiente factorización para el denominador

2

3 2 1 3

1 ( 1)( 1) ( 1) .

2 4

u + = u+ u − + =u u+ ⎡⎢⎛_⎜u− ⎞_⎟ + ⎤⎥

⎝ ⎠

⎢ ⎥

⎣ ⎦ Entonces, podemos descomponer

2 3

3

1 1 _{1 3}

2 4

u A Bu C

u u

u +

= +

+ + _{⎛ ⎞}

− +

⎜ ⎟

⎝ ⎠

para ciertas constantes A, B y C que calcularemos a continuación. Igualando numeradores tene-mos que

2

1 3

3 ( )( 1)

2 4

u= A⎡⎢_⎜⎛u− ⎞_⎟ + ⎤⎥+ Bu+C u+

⎝ ⎠

⎢ ⎥

⎣ ⎦ para todo u. En particular, para u= −1, obtenemos 9 3

3 3 ,

4 4

A⎛ ⎞ A

− = _⎜ + _⎟=

⎝ ⎠ luego A= −1. Si ponemos u=0, obtenemos 0= − +1 C, luego C=1. Final-mente si u=1, obtenemos 3= − +1 2(B+1), luego B=1. Entonces, teniendo esto en cuenta, obte-nemos la siguiente descomposición

2 3

3 1 1

.

1 1 _{1 3}

2 4

u u

u u

u +

= − +

+ + _{⎛ ⎞}

− +

⎜ ⎟

⎝ ⎠

2 2 2 3

2 2

2 2

1 3

3 1 1 1 _{2 2}

1 1 _{1 3} 1 _{1 3 1 3}

2 4 2 4 2 4

1 2

1 1 2 3 4 1

1 2 _{1 3} 2 3 _{2 1}

1

2 4 3 2

1 2

2

1 1 2 ₃ 3 _.

1 2 _{1 3 2 1}

1

2 4 3 2

u

u u

u u u

u u u

u

u

u u

u

u

u u

− +

= − + = − + +

+ + _{⎛ ⎞} + _{⎛ ⎞ ⎛ ⎞}

− + − + − +

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ₋ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

= − + +

+ _{⎛ ⎞ ⎡ ⎛ ⎞⎤}

− + − +

⎜ ⎟ ⎢ ⎜ ⎟⎥

⎝ ⎠ ⎣ ⎝ ⎠⎦

⎛ ₋ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

= − + +

+ _{⎛ ⎞ ⎡ ⎛ ⎞⎤}

− + − +

⎜ ⎟ ⎢ ⎜ ⎟⎥

⎝ ⎠ ⎣ ⎝ ⎠⎦

Entonces podemos calcular la integral, usando la descomposición anterior, de la siguiente forma

(

]

1 ₁

2 1

1

1 3 0

0

0 0

3 1 1 3 2 1

log( 1) log 3 arctan

1 2 2 4 3 2

1

log 2 2 3 arctan log 2 2 3 log 2 . 6

3 3

u

I du u u u

u

π π

⎛ ⎛_{⎛ ⎞} ⎞⎤ _{⎛ ⎛ ⎞⎤}

= = − + + ⎜_⎜ ⎜_⎜⎜ − _⎟ + ⎟_⎟⎥ + _{⎜ ⎜} − _⎟⎥

+ _{⎝ ⎝}⎝ ⎠ _⎠⎥_⎦ ⎝ ⎝ ⎠⎦

= − + = − + = − +

∫

Esto nos dice que la integral I₁ es convergente. Ahora estudiaremos la convergencia de la integral

2.

I Usando el mismo cambio de variable y la misma descomposición en fracciones simples obte-nemos que

2

2 1 3

1 1

1 3

2

3 2 1

log( 1) log 1 3 arctan

1 3 2

( 1)

1 2 1 1

lim log 3 lim arctan log 2 3 arctan

1 3 2 3

3 log 2 3 log 2.

2 6 3

u u

dx udu

I u u u u

u

x x

u u

u u

π π π

∞

∞ ∞

→∞ →∞

⎛ ⎛ ⎞⎤

= = = −_⎜ + + − + + _⎜ − _⎟⎥

+ ⎝ ⎝ ⎠⎦

+

⎛ _{− +} ⎞ _{⎛ ⎛ ⎞⎞}

= ⎜_⎜ ⎟_⎟+ _{⎜ ⎜} − _⎟⎟+ −

+ _{⎝ ⎝ ⎠⎠}

⎝ ⎠

= + − = +

∫

∫

Esto nos dice que la integral I₂ es convergente. Por tanto, la integral inicial es convergente y

(

)

(

)

(

)

1 1 1

3 3 3

1 2

1

0 0 1

2

log 2 log 2 .

3 3 3

1 1 1

I I

dx dx dx

x x x x x x

π π π

∞ ∞

= + = − + + + =

+ + +

∫

∫

∫