aylfm161p07

Autómatas y Lenguajes Formales 2016-1

de Myhill-Nerode

Dr. Favio Ezequiel Miranda Perea

[email protected]

Facultad de Ciencias UNAM

¿ Cuántos lenguajes regulares hay?

Dado que un lenguajeLes un subconjunto deΣ?, existen tantos

lenguajes como elementos enP(Σ?).

Puesto queΣ? es infinito numerable, es decir, es del tamaño del

conjuntoNde los números naturales, entoncesP(Σ?)es del

tamaño del conjunto de los números realesR.

Por otra parte, existen sólo tantos lenguajes regulares como números naturales,|REG|=|_N|.

De manera que el conjuntoP(Σ?)−REG no puede ser

numerable, pues unión de numerables sigue siendo numerable.

Es decir, hay tantos lenguajes no regulares como números reales.

¿ Cuántos lenguajes regulares hay?

Dado que un lenguajeLes un subconjunto deΣ?, existen tantos

lenguajes como elementos enP(Σ?).

Puesto queΣ? es infinito numerable, es decir, es del tamaño del

conjuntoNde los números naturales, entoncesP(Σ?)es del

tamaño del conjunto de los números realesR.

Por otra parte, existen sólo tantos lenguajes regulares como números naturales,|REG|=|_N|.

De manera que el conjuntoP(Σ?)−REG no puede ser

numerable, pues unión de numerables sigue siendo numerable.

¿ Cuántos lenguajes regulares hay?

Dado que un lenguajeLes un subconjunto deΣ?, existen tantos

lenguajes como elementos enP(Σ?).

Puesto queΣ? es infinito numerable, es decir, es del tamaño del

conjuntoNde los números naturales, entoncesP(Σ?)es del

tamaño del conjunto de los números realesR.

Por otra parte, existen sólo tantos lenguajes regulares como números naturales,|REG|=|N|.

De manera que el conjuntoP(Σ?)−REG no puede ser

numerable, pues unión de numerables sigue siendo numerable.

Es decir, hay tantos lenguajes no regulares como números reales.

¿ Cuántos lenguajes regulares hay?

Dado que un lenguajeLes un subconjunto deΣ?, existen tantos

lenguajes como elementos enP(Σ?).

Puesto queΣ? es infinito numerable, es decir, es del tamaño del

conjuntoNde los números naturales, entoncesP(Σ?)es del

tamaño del conjunto de los números realesR.

Por otra parte, existen sólo tantos lenguajes regulares como números naturales,|REG|=|N|.

De manera que el conjuntoP(Σ?)−REG no puede ser

numerable, pues unión de numerables sigue siendo numerable.

¿ Cuántos lenguajes regulares hay?

Dado que un lenguajeLes un subconjunto deΣ?, existen tantos

lenguajes como elementos enP(Σ?).

Puesto queΣ? es infinito numerable, es decir, es del tamaño del

conjuntoNde los números naturales, entoncesP(Σ?)es del

tamaño del conjunto de los números realesR.

Por otra parte, existen sólo tantos lenguajes regulares como números naturales,|REG|=|N|.

De manera que el conjuntoP(Σ?)−REG no puede ser

numerable, pues unión de numerables sigue siendo numerable.

Es decir, hay tantos lenguajes no regulares como números reales.

¿ Cúantos lenguajes regulares hay?

Existen sólo tantos lenguajes regulares como números naturales:

I _{La idea de la prueba es enumerar lexicográficamente todos los}

AFD posibles con alfabeto de entradaΣ, es decir, primero los autómatas con un sólo estado, luego los de dos estados, etc,etc..

I _{Esto implica que el número de lenguajes regulares es a lo más}

numerable.

I _{Además claramente es numerable pues hay una infinidad}

numerable de lenguajes regulares, por ejemplo

¿ Cúantos lenguajes regulares hay?

Existen sólo tantos lenguajes regulares como números naturales:

I _{La idea de la prueba es enumerar lexicográficamente todos los}

AFD posibles con alfabeto de entradaΣ, es decir, primero los autómatas con un sólo estado, luego los de dos estados, etc,etc..

I _{Esto implica que el número de lenguajes regulares es a lo más}

numerable.

I _{Además claramente es numerable pues hay una infinidad}

numerable de lenguajes regulares, por ejemplo

{a},{aa},{aaa}, . . .

¿ Cúantos lenguajes regulares hay?

Existen sólo tantos lenguajes regulares como números naturales:

I _{La idea de la prueba es enumerar lexicográficamente todos los}

AFD posibles con alfabeto de entradaΣ, es decir, primero los autómatas con un sólo estado, luego los de dos estados, etc,etc..

I _{Esto implica que el número de lenguajes regulares es a lo más}

numerable.

I _{Además claramente es numerable pues hay una infinidad}

numerable de lenguajes regulares, por ejemplo

¿ Cúantos lenguajes regulares hay?

Existen sólo tantos lenguajes regulares como números naturales:

I _{La idea de la prueba es enumerar lexicográficamente todos los}

AFD posibles con alfabeto de entradaΣ, es decir, primero los autómatas con un sólo estado, luego los de dos estados, etc,etc..

I _{Esto implica que el número de lenguajes regulares es a lo más}

numerable.

I _{Además claramente es numerable pues hay una infinidad}

numerable de lenguajes regulares, por ejemplo

{a},{aa},{aaa}, . . .

El lema del bombeo

Lema (Lema del Bombeo)

Si L es un lenguaje regular infinito entonces existe un número n∈_N, llamado constante de bombeo para L, tal que para cualquier cadena w de L con|w| ≥n existen cadenas u,v,x tales que:

1 _{w =uvx} 2 _v 6=_ε 3 |_uv| ≤_n

4 ∀i ≥0_, uvix ∈L.

Demostración.

El lema del bombeo

Lema (Lema del Bombeo)

Si L es un lenguaje regular infinito entonces existe un número n∈_N, llamado constante de bombeo para L, tal que para cualquier cadena w de L con|w| ≥n existen cadenas u,v,x tales que:

1 _{w =uvx}

2 _v 6=_ε 3 |_uv| ≤_n

4 ∀i ≥0_, uvix ∈L.

Demostración.

En clase.

El lema del bombeo

Lema (Lema del Bombeo)

Si L es un lenguaje regular infinito entonces existe un número n∈_N, llamado constante de bombeo para L, tal que para cualquier cadena w de L con|w| ≥n existen cadenas u,v,x tales que:

1 _{w =uvx} 2 _v 6=_ε

3 |_uv| ≤_n

4 ∀i ≥0_, uvix ∈L.

Demostración.

El lema del bombeo

Lema (Lema del Bombeo)

Si L es un lenguaje regular infinito entonces existe un número n∈_N, llamado constante de bombeo para L, tal que para cualquier cadena w de L con|w| ≥n existen cadenas u,v,x tales que:

1 _{w =uvx} 2 _v 6=_ε 3 |_uv| ≤_n

4 ∀i ≥0_, uvix ∈L.

Demostración.

En clase.

El lema del bombeo

Lema (Lema del Bombeo)

Si L es un lenguaje regular infinito entonces existe un número n∈_N, llamado constante de bombeo para L, tal que para cualquier cadena w de L con|w| ≥n existen cadenas u,v,x tales que:

1 _{w =uvx} 2 _v 6=_ε 3 |_uv| ≤_n

4 ∀i ≥0_, uvix ∈L.

Demostración.

El lema del bombeo

Lema (Lema del Bombeo)

Si L es un lenguaje regular infinito entonces existe un número n∈_N, llamado constante de bombeo para L, tal que para cualquier cadena w de L con|w| ≥n existen cadenas u,v,x tales que:

1 _{w =uvx} 2 _v 6=_ε 3 |_uv| ≤_n

4 ∀i ≥0_, uvix ∈L.

Demostración.

En clase.

Pruebas de no regularidad

Para probar que un lenguajeLno es regular se procede por

contradicción usando del lema del bombeo como sigue:

I _{SiLfuera regular existiría una constante de bombeon.}

I _{Cualquier palabraw}∈_{Lse descompone como}

w=uvx, v 6=ε, |uv| ≤n.

I _{Se llega a una contradicción como sigue:}

F Por el lema del bombeouvix∈Lpara todai≥0.

F Por la definición particular deL, existe algunaital queuvix∈/L.

Debemos observar que encontrar laiadecuada depende del

problema particular y no hay un método general, pero

Pruebas de no regularidad

Para probar que un lenguajeLno es regular se procede por

contradicción usando del lema del bombeo como sigue:

I _{SiLfuera regular existiría una constante de bombeon.}

I _{Cualquier palabraw}∈_{Lse descompone como}

w=uvx, v 6=ε, |uv| ≤n.

I _{Se llega a una contradicción como sigue:}

F Por el lema del bombeouvix∈Lpara todai≥0.

F Por la definición particular deL, existe algunaital queuvix∈/L.

Debemos observar que encontrar laiadecuada depende del

problema particular y no hay un método general, pero

generalmente basta con valores pequeños dei.

Pruebas de no regularidad

Para probar que un lenguajeLno es regular se procede por

contradicción usando del lema del bombeo como sigue:

I _{SiLfuera regular existiría una constante de bombeon.}

I _{Cualquier palabraw}∈_{Lse descompone como}

w=uvx, v 6=ε, |uv| ≤n.

I _{Se llega a una contradicción como sigue:}

F Por el lema del bombeouvix∈Lpara todai≥0.

F Por la definición particular deL, existe algunaital queuvix∈/L.

Debemos observar que encontrar laiadecuada depende del

problema particular y no hay un método general, pero

Pruebas de no regularidad

Para probar que un lenguajeLno es regular se procede por

contradicción usando del lema del bombeo como sigue:

I _{SiLfuera regular existiría una constante de bombeon.}

I _{Cualquier palabraw}∈_{Lse descompone como}

w=uvx, v 6=ε, |uv| ≤n.

I _{Se llega a una contradicción como sigue:}

F Por el lema del bombeouvix∈Lpara todai≥0.

F Por la definición particular deL, existe algunaital queuvix∈/L.

Debemos observar que encontrar laiadecuada depende del

problema particular y no hay un método general, pero

generalmente basta con valores pequeños dei.

Pruebas de no regularidad

Para probar que un lenguajeLno es regular se procede por

contradicción usando del lema del bombeo como sigue:

I _{SiLfuera regular existiría una constante de bombeon.}

I _{Cualquier palabraw}∈_{Lse descompone como}

w=uvx, v 6=ε, |uv| ≤n.

I _{Se llega a una contradicción como sigue:}

F Por el lema del bombeouvix∈Lpara todai≥0.

F Por la definición particular deL, existe algunaital queuvix∈/L.

Debemos observar que encontrar laiadecuada depende del

problema particular y no hay un método general, pero

Pruebas de no regularidad

Para probar que un lenguajeLno es regular se procede por

contradicción usando del lema del bombeo como sigue:

I _{SiLfuera regular existiría una constante de bombeon.}

I _{Cualquier palabraw}∈_{Lse descompone como}

w=uvx, v 6=ε, |uv| ≤n.

I _{Se llega a una contradicción como sigue:}

F Por el lema del bombeouvix∈Lpara todai≥0.

F Por la definición particular deL, existe algunaital queuvix∈/L.

Debemos observar que encontrar laiadecuada depende del

problema particular y no hay un método general, pero

generalmente basta con valores pequeños dei.

Pruebas de no regularidad

Para probar que un lenguajeLno es regular se procede por

contradicción usando del lema del bombeo como sigue:

I _{SiLfuera regular existiría una constante de bombeon.}

I _{Cualquier palabraw}∈_{Lse descompone como}

w=uvx, v 6=ε, |uv| ≤n.

I _{Se llega a una contradicción como sigue:}

F Por el lema del bombeouvix∈Lpara todai≥0.

F Por la definición particular deL, existe algunaital queuvix∈/L.

Debemos observar que encontrar laiadecuada depende del

problema particular y no hay un método general, pero

L

=

{

a

b

|

i

∈

_N

}

no es regular

Supóngase queLes regular y seanuna constante de bombeo.

Considérese la palabraw =anbny su descomposiciónw =uvx

conv 6=ε, |uv| ≤n.

Entoncesu,v constan de puras aes, digamos

u =ak, v =a`, k ≥0, `≥1.

De manera quex =an−k−`_bn_.

Si hacemosi =2 tenemos queuv2x ∈Lpor el lema del bombeo.

Pero, por otra parte

uv2x =aka`a`an−k−`bn=an+`bn∈/ L

L

=

{

a

b

|

i

∈

_N

}

no es regular

Supóngase queLes regular y seanuna constante de bombeo.

Considérese la palabraw =anbny su descomposiciónw =uvx

conv 6=ε, |uv| ≤n.

Entoncesu,v constan de puras aes, digamos

u =ak, v =a`, k ≥0, `≥1.

De manera quex =an−k−`_bn_.

Si hacemosi =2 tenemos queuv2x ∈Lpor el lema del bombeo.

Pero, por otra parte

L

=

{

a

b

|

i

∈

_N

}

no es regular

Supóngase queLes regular y seanuna constante de bombeo.

Considérese la palabraw =anbny su descomposiciónw =uvx

conv 6=ε, |uv| ≤n.

Entoncesu,v constan de puras aes, digamos

u=ak, v =a`, k ≥0, `≥1.

De manera quex =an−k−`_bn_.

Si hacemosi =2 tenemos queuv2x ∈Lpor el lema del bombeo.

Pero, por otra parte

uv2x =aka`a`an−k−`bn=an+`bn∈/ L

L

=

{

a

b

|

i

∈

_N

}

no es regular

Supóngase queLes regular y seanuna constante de bombeo.

Considérese la palabraw =anbny su descomposiciónw =uvx

conv 6=ε, |uv| ≤n.

Entoncesu,v constan de puras aes, digamos

u=ak, v =a`, k ≥0, `≥1.

De manera quex =an−k−`_bn_.

Si hacemosi =2 tenemos queuv2x ∈Lpor el lema del bombeo.

Pero, por otra parte

L

=

{

a

b

|

i

∈

_N

}

no es regular

Supóngase queLes regular y seanuna constante de bombeo.

Considérese la palabraw =anbny su descomposiciónw =uvx

conv 6=ε, |uv| ≤n.

Entoncesu,v constan de puras aes, digamos

u=ak, v =a`, k ≥0, `≥1.

De manera quex =an−k−`_bn_.

Si hacemosi =2 tenemos queuv2x ∈Lpor el lema del bombeo.

Pero, por otra parte

uv2x =aka`a`an−k−`bn=an+`bn∈/ L

L

=

{

a

b

|

i

∈

_N

}

no es regular

Supóngase queLes regular y seanuna constante de bombeo.

Considérese la palabraw =anbny su descomposiciónw =uvx

conv 6=ε, |uv| ≤n.

Entoncesu,v constan de puras aes, digamos

u=ak, v =a`, k ≥0, `≥1.

De manera quex =an−k−`_bn_.

Si hacemosi =2 tenemos queuv2x ∈Lpor el lema del bombeo.

Pero, por otra parte

L

=

{

a

|

i

∈

_N

}

no es regular

Supongase queLes regular y seanuna constante de bombeo.

Considérese la palabraw =an2 y su descomposiciónw =uvx

conv 6=ε, |uv| ≤n.

Digamos queu=ak, v =a`, 1≤`≤n.

De manera quex =an2−k−`.

L

=

{

a

|

i

∈

_N

}

no es regular

Supongase queLes regular y seanuna constante de bombeo.

Considérese la palabraw =an2 y su descomposiciónw =uvx

conv 6=ε, |uv| ≤n.

Digamos queu=ak, v =a`, 1≤`≤n.

L

=

{

a

|

i

∈

_N

}

no es regular

Supongase queLes regular y seanuna constante de bombeo.

Considérese la palabraw =an2 y su descomposiciónw =uvx

conv 6=ε, |uv| ≤n.

Digamos queu=ak, v =a`, 1≤`≤n.

De manera quex =an2−k−`.

L

=

{

a

|

i

∈

_N

}

no es regular

Supongase queLes regular y seanuna constante de bombeo.

Considérese la palabraw =an2 y su descomposiciónw =uvx

conv 6=ε, |uv| ≤n.

Digamos queu=ak, v =a`, 1≤`≤n.

L

=

{

a

|

i

∈

_N

}

no es regular

Si hacemosi =2 tenemos queuv2_{x ∈Lpor el lema del bombeo.}

Pero, por otra parte

uv2x =aka`a`an2−k−`=an2+`

Y observemos quen2<n2+` <(n+1)2pues 1≤`y

`≤n<2n+1= (n+1)2−n2

De manera quen2+`no es de la formam2, por lo quean2+`∈/ L

L

=

{

a

|

i

∈

_N

}

no es regular

Si hacemosi =2 tenemos queuv2_{x ∈Lpor el lema del bombeo.}

Pero, por otra parte

uv2x =aka`a`an2−k−`=an2+`

Y observemos quen2<n2+` <(n+1)2pues 1≤`y

`≤n<2n+1= (n+1)2−n2

L

=

{

a

|

i

∈

_N

}

no es regular

Si hacemosi =2 tenemos queuv2_{x ∈Lpor el lema del bombeo.}

Pero, por otra parte

uv2x =aka`a`an2−k−`=an2+`

Y observemos quen2<n2+` <(n+1)2pues 1≤`y

`≤n<2n+1= (n+1)2−n2

De manera quen2+`no es de la formam2, por lo quean2+`∈/ L

L

=

{

a

|

i

∈

_N

}

no es regular

Si hacemosi =2 tenemos queuv2_{x ∈Lpor el lema del bombeo.}

Pero, por otra parte

uv2x =aka`a`an2−k−`=an2+`

Y observemos quen2<n2+` <(n+1)2pues 1≤`y

`≤n<2n+1= (n+1)2−n2

L

=

{

w

∈ {

a

,

b

}

_|

_w

₌

_w

_}

_{no es regular}

Lema del bombeo

Supongase queLes regular y seanuna constante de bombeo.

Considérese la palabraw =anbnany su descomposición

w =uvx conv 6=ε, |uv| ≤n.

Entoncesu,v constan de puras aes, digamos

u =ak, v =a`<sub>, `≥1.</sub>

De manera quex =an−k−`bnan.

Si hacemosi =2 tenemos queuv2x ∈Lpor el lema del bombeo.

Pero, por otra parte

uv2x =aka`a`an−k−`bnan=an+`bnan∈/ L

L

=

{

w

∈ {

a

,

b

}

_|

_w

₌

_w

_}

_{no es regular}

Lema del bombeo

Supongase queLes regular y seanuna constante de bombeo.

Considérese la palabraw =anbnany su descomposición

w =uvx conv 6=ε, |uv| ≤n.

Entoncesu,v constan de puras aes, digamos

u =ak, v =a`<sub>, `≥1.</sub>

De manera quex =an−k−`bnan.

Si hacemosi =2 tenemos queuv2x ∈Lpor el lema del bombeo.

Pero, por otra parte

L

=

{

w

∈ {

a

,

b

}

_|

_w

₌

_w

_}

_{no es regular}

Lema del bombeo

Supongase queLes regular y seanuna constante de bombeo.

Considérese la palabraw =anbnany su descomposición

w =uvx conv 6=ε, |uv| ≤n.

Entoncesu,v constan de puras aes, digamos

u=ak, v =a`<sub>, `≥1.</sub>

De manera quex =an−k−`bnan.

Si hacemosi =2 tenemos queuv2x ∈Lpor el lema del bombeo.

Pero, por otra parte

uv2x =aka`a`an−k−`bnan=an+`bnan∈/ L

L

=

{

w

∈ {

a

,

b

}

_|

_w

₌

_w

_}

_{no es regular}

Lema del bombeo

Supongase queLes regular y seanuna constante de bombeo.

Considérese la palabraw =anbnany su descomposición

w =uvx conv 6=ε, |uv| ≤n.

Entoncesu,v constan de puras aes, digamos

u=ak, v =a`<sub>, `≥1.</sub>

De manera quex =an−k−`bnan.

Si hacemosi =2 tenemos queuv2x ∈Lpor el lema del bombeo.

Pero, por otra parte

L

=

{

w

∈ {

a

,

b

}

_|

_w

₌

_w

_}

_{no es regular}

Lema del bombeo

Supongase queLes regular y seanuna constante de bombeo.

Considérese la palabraw =anbnany su descomposición

w =uvx conv 6=ε, |uv| ≤n.

Entoncesu,v constan de puras aes, digamos

u=ak, v =a`<sub>, `≥1.</sub>

De manera quex =an−k−`bnan.

Si hacemosi =2 tenemos queuv2x ∈Lpor el lema del bombeo.

Pero, por otra parte

uv2x =aka`a`an−k−`bnan=an+`bnan∈/ L

L

=

{

w

∈ {

a

,

b

}

_|

_w

₌

_w

_}

_{no es regular}

Lema del bombeo

Supongase queLes regular y seanuna constante de bombeo.

Considérese la palabraw =anbnany su descomposición

w =uvx conv 6=ε, |uv| ≤n.

Entoncesu,v constan de puras aes, digamos

u=ak, v =a`<sub>, `≥1.</sub>

De manera quex =an−k−`bnan.

Si hacemosi =2 tenemos queuv2x ∈Lpor el lema del bombeo.

Pero, por otra parte

Relaciones de indistinguibilidad entre cadenas

Considerense las siguientes relaciones de equivalencia sobreΣ?

relacionadas a un lenguaje dadoLy a un autómata finito

determinista dadoM.

I _x ≡_{Ly si y sólo si}

∀z∈Σ?(xz∈L⇔yz∈L)

I x ≡_My si y sólo si

δ?(q0,x) =δ?(q0,y)

Six ≡_M y entonces se dice quex,y son cadenas indistinguibles

segúnM.

Six ≡Ly entonces se dice quex,y son cadenas

indistinguibles paraL.

Relaciones de indistinguibilidad entre cadenas

Considerense las siguientes relaciones de equivalencia sobreΣ?

relacionadas a un lenguaje dadoLy a un autómata finito

determinista dadoM.

I _x ≡_{Ly si y sólo si}

∀z∈Σ?(xz∈L⇔yz∈L)

I x ≡_My si y sólo si

δ?(q0,x) =δ?(q0,y)

Six ≡_M y entonces se dice quex,y son cadenas indistinguibles

segúnM.

Six ≡Ly entonces se dice quex,y son cadenas

Relaciones de indistinguibilidad entre cadenas

Considerense las siguientes relaciones de equivalencia sobreΣ?

relacionadas a un lenguaje dadoLy a un autómata finito

determinista dadoM.

I _x ≡_{Ly si y sólo si}

∀z∈Σ?(xz∈L⇔yz∈L)

I x ≡_M y si y sólo si

δ?(q0,x) =δ?(q0,y)

Six ≡_M y entonces se dice quex,y son cadenas indistinguibles

segúnM.

Six ≡Ly entonces se dice quex,y son cadenas

indistinguibles paraL.

Relaciones de indistinguibilidad entre cadenas

Considerense las siguientes relaciones de equivalencia sobreΣ?

relacionadas a un lenguaje dadoLy a un autómata finito

determinista dadoM.

I _x ≡_{Ly si y sólo si}

∀z∈Σ?(xz∈L⇔yz∈L)

I x ≡_M y si y sólo si

δ?(q0,x) =δ?(q0,y)

Six ≡_M y entonces se dice quex,y son cadenas indistinguibles

segúnM.

Six ≡Ly entonces se dice quex,y son cadenas

Relaciones de indistinguibilidad entre cadenas

Considerense las siguientes relaciones de equivalencia sobreΣ?

relacionadas a un lenguaje dadoLy a un autómata finito

determinista dadoM.

I _x ≡_{Ly si y sólo si}

∀z∈Σ?(xz∈L⇔yz∈L)

I x ≡_M y si y sólo si

δ?(q0,x) =δ?(q0,y)

Six ≡_M y entonces se dice quex,y son cadenas indistinguibles

segúnM.

Six ≡Ly entonces se dice quex,y son cadenas

indistinguibles paraL.

Relación

≡

Ejemplos paraL={an

bn|n∈N}

x ≡Ly si y sólo si∀z ∈Σ?(xz ∈L⇔yz ∈L)

a4_b3_≡

La3b2pues

∀z ∈Σ?(a4b3z ∈L⇔z =b⇔a3b2z ∈L)

a2b26≡_La3b2pues paraz =εse tiene

a2b2z ∈Lya3b2z ∈/ L

a4b26≡_La3b2pues paraz =b, se tiene

a4b2z ∈/ Lya3b2z ∈L

Relación

≡

Ejemplos paraL={an

bn|n∈N}

x ≡Ly si y sólo si∀z ∈Σ?(xz ∈L⇔yz ∈L)

a4_b3_≡

La3b2pues

∀z ∈Σ?(a4b3z ∈L⇔z =b⇔a3b2z ∈L)

a2b26≡_La3b2pues paraz =εse tiene

a2b2z ∈Lya3b2z ∈/ L

a4b26≡_La3b2pues paraz =b, se tiene

a4b2z ∈/ Lya3b2z ∈L

abb≡Lbaba

Relación

≡

Ejemplos paraL={an

bn|n∈N}

x ≡Ly si y sólo si∀z ∈Σ?(xz ∈L⇔yz ∈L)

a4_b3_≡

La3b2pues

∀z ∈Σ?(a4b3z ∈L⇔z =b⇔a3b2z ∈L)

a2b26≡_La3b2pues paraz =εse tiene

a2b2z ∈Lya3b2z ∈/ L

a4b26≡_La3b2pues paraz =b, se tiene

a4b2z ∈/ Lya3b2z ∈L

Relación

≡

Ejemplos paraL={an

bn|n∈N}

x ≡Ly si y sólo si∀z ∈Σ?(xz ∈L⇔yz ∈L)

a4_b3_≡

La3b2pues

∀z ∈Σ?(a4b3z ∈L⇔z =b⇔a3b2z ∈L)

a2b26≡_La3b2pues paraz =εse tiene

a2b2z ∈Lya3b2z ∈/ L

a4b26≡_La3b2pues paraz =b, se tiene

a4b2z ∈/ Lya3b2z ∈L

abb≡Lbaba

Relación

≡

Ejemplos

SeaL={w ∈ {a,b}?_{|w tiene un número par de aes}}

I x ≡_Ly si y sólo six yy tienen la misma paridad.

I Por lo tanto existen dos clases de equivalencia:[ε] =Ly

[a] ={a,b}?_−L

Sea

L={w ∈ {0,1}? _{|w empieza y termina con el mismo símbolo}}

I _{x ≡Ly si y sólo six yy comienzan con un mismo símbolo y}

terminan con un mismo símbolo

I _x ≡_{Ly si y sólo six} =awbyy =avbcona,b∈ {0,1} I _{Se sigue que≡Ltiene 5 clases de equivalencia:}

[ε] =ε [0] =0+0(0+1)?0 [1] =1+1(0+1)?1

Relación

≡

Ejemplos

SeaL={w ∈ {a,b}?_{|w tiene un número par de aes}}

I x ≡_Ly si y sólo six yy tienen la misma paridad.

I Por lo tanto existen dos clases de equivalencia:[ε] =Ly

[a] ={a,b}?_−L

Sea

L={w ∈ {0,1}? _{|w empieza y termina con el mismo símbolo}}

I _{x ≡Ly si y sólo six yy comienzan con un mismo símbolo y}

terminan con un mismo símbolo

I _x ≡_{Ly si y sólo six} =awbyy =avbcona,b∈ {0,1} I _{Se sigue que≡Ltiene 5 clases de equivalencia:}

[ε] =ε [0] =0+0(0+1)?0 [1] =1+1(0+1)?1

[01] =0(0+1)?1 [10] =1(0+1)?0

Relación

≡

Ejemplos

SeaL={w ∈ {a,b}?_{|w tiene un número par de aes}}

I x ≡_Ly si y sólo six yy tienen la misma paridad.

I Por lo tanto existen dos clases de equivalencia:[ε] =Ly

[a] ={a,b}?_−L

Sea

L={w ∈ {0,1}? _{|w empieza y termina con el mismo símbolo}}

I _{x ≡Ly si y sólo six yy comienzan con un mismo símbolo y}

terminan con un mismo símbolo

I _x ≡_{Ly si y sólo six} =awbyy =avbcona,b∈ {0,1} I _{Se sigue que≡Ltiene 5 clases de equivalencia:}

[ε] =ε [0] =0+0(0+1)?0 [1] =1+1(0+1)?1

Relación

≡

Ejemplos

SeaL={w ∈ {a,b}?_{|w tiene un número par de aes}}

I x ≡_Ly si y sólo six yy tienen la misma paridad.

I Por lo tanto existen dos clases de equivalencia:[ε] =Ly

[a] ={a,b}?_−L

Sea

L={w ∈ {0,1}? _{|w empieza y termina con el mismo símbolo}}

I _{x ≡Ly si y sólo six yy comienzan con un mismo símbolo y}

terminan con un mismo símbolo

I _{x ≡Ly si y sólo six} =awbyy =avbcona,b∈ {0,1} I _{Se sigue que≡Ltiene 5 clases de equivalencia:}

[ε] =ε [0] =0+0(0+1)?0 [1] =1+1(0+1)?1

[01] =0(0+1)?1 [10] =1(0+1)?0

Relación

≡

Ejemplos

SeaL={w ∈ {a,b}?_{|w tiene un número par de aes}}

I x ≡_Ly si y sólo six yy tienen la misma paridad.

I Por lo tanto existen dos clases de equivalencia:[ε] =Ly

[a] ={a,b}?_−L

Sea

L={w ∈ {0,1}? _{|w empieza y termina con el mismo símbolo}}

I _{x ≡Ly si y sólo six yy comienzan con un mismo símbolo y}

terminan con un mismo símbolo

I _{x ≡Ly si y sólo six} =awbyy =avbcona,b∈ {0,1} I _{Se sigue que≡Ltiene 5 clases de equivalencia:}

[ε] =ε [0] =0+0(0+1)?0 [1] =1+1(0+1)?1

Relación

≡

Ejemplos

SeaL={w ∈ {a,b}?_{|w tiene un número par de aes}}

I x ≡_Ly si y sólo six yy tienen la misma paridad.

I Por lo tanto existen dos clases de equivalencia:[ε] =Ly

[a] ={a,b}?_−L

Sea

L={w ∈ {0,1}? _{|w empieza y termina con el mismo símbolo}}

I _{x ≡Ly si y sólo six yy comienzan con un mismo símbolo y}

terminan con un mismo símbolo

I _{x ≡Ly si y sólo six} =awbyy =avbcona,b∈ {0,1}

I _{Se sigue que≡Ltiene 5 clases de equivalencia:}

[ε] =ε [0] =0+0(0+1)?0 [1] =1+1(0+1)?1

[01] =0(0+1)?1 [10] =1(0+1)?0

Relación

≡

Ejemplos

SeaL={w ∈ {a,b}?_{|w tiene un número par de aes}}

I x ≡_Ly si y sólo six yy tienen la misma paridad.

I Por lo tanto existen dos clases de equivalencia:[ε] =Ly

[a] ={a,b}?_−L

Sea

L={w ∈ {0,1}? _{|w empieza y termina con el mismo símbolo}}

I _{x ≡Ly si y sólo six yy comienzan con un mismo símbolo y}

terminan con un mismo símbolo

I _{x ≡Ly si y sólo six} =awbyy =avbcona,b∈ {0,1} I _{Se sigue que≡Ltiene 5 clases de equivalencia:}

[ε] =ε [0] =0+0(0+1)?0 [1] =1+1(0+1)?1

Relación

≡

Ejemplos

SeaL={anbn|n∈_N}

La relación≡_Ltiene una infinidad de clases de equivalencia, por ejemplo:

[ε],[a],[a2], . . . ,[an], . . .

Todas estas clases son diferentes pues sii 6=jentoncesai6≡_l aj

Esto es claro pues siz =bi entoncesaiz ∈Lperoajz ∈/ L.

Relación

≡

Ejemplos

SeaL={anbn|n∈_N}

La relación≡_Ltiene una infinidad de clases de equivalencia, por ejemplo:

[ε],[a],[a2], . . . ,[an], . . .

Todas estas clases son diferentes pues sii 6=jentoncesai6≡_l aj

Relación

≡

Ejemplos

SeaL={anbn|n∈_N}

La relación≡_Ltiene una infinidad de clases de equivalencia, por ejemplo:

[ε],[a],[a2], . . . ,[an], . . .

Todas estas clases son diferentes pues sii 6=jentoncesai 6≡_l aj

Esto es claro pues siz =bi entoncesaiz ∈Lperoajz ∈/ L.

Relación

≡

Ejemplos

SeaL={anbn|n∈_N}

La relación≡_Ltiene una infinidad de clases de equivalencia, por ejemplo:

[ε],[a],[a2], . . . ,[an], . . .

Todas estas clases son diferentes pues sii 6=jentoncesai 6≡_l aj

Relaciones de indistinguibilidad entre cadenas

Por lo general no hay relación alguna entreLyM. La relación≡_L

puede definirse para cualquier lenguajeLaún cuando este no sea

regular.

Sin embargo, en el caso particular en queL=L(M)se cumple

que≡_M es un refinamiento de≡_L, es decir

∀x,y ∈Σ?(x ≡M y →x ≡Ly).

Esta proposición nos deja ver la más importante limitación de los autómatas finitos, el hecho de que carecen de memoria más allá de lo que recuerde el estado actual.

Six ≡_M y entonces por la proposición anteriorx ≡_L(M)y, por lo

que ninguna cadenaw procesada después dex oy permitirá

queMdetermine cúal dex oy se procesó anteriormente.

Relaciones de indistinguibilidad entre cadenas

Por lo general no hay relación alguna entreLyM. La relación≡_L

puede definirse para cualquier lenguajeLaún cuando este no sea

regular.

Sin embargo, en el caso particular en queL=L(M)se cumple

que≡_M es un refinamiento de≡_L, es decir

∀x,y ∈Σ?(x ≡M y →x ≡Ly).

Esta proposición nos deja ver la más importante limitación de los autómatas finitos, el hecho de que carecen de memoria más allá de lo que recuerde el estado actual.

Six ≡_M y entonces por la proposición anteriorx ≡_L(M)y, por lo

que ninguna cadenaw procesada después dex oy permitirá

Relaciones de indistinguibilidad entre cadenas

Por lo general no hay relación alguna entreLyM. La relación≡_L

puede definirse para cualquier lenguajeLaún cuando este no sea

regular.

Sin embargo, en el caso particular en queL=L(M)se cumple

que≡_M es un refinamiento de≡_L, es decir

∀x,y ∈Σ?(x ≡M y →x ≡Ly).

Esta proposición nos deja ver la más importante limitación de los autómatas finitos, el hecho de que carecen de memoria más allá de lo que recuerde el estado actual.

Six ≡_M y entonces por la proposición anteriorx ≡_L(M)y, por lo

que ninguna cadenaw procesada después dex oy permitirá

queMdetermine cúal dex oy se procesó anteriormente.

Relaciones de indistinguibilidad entre cadenas

Por lo general no hay relación alguna entreLyM. La relación≡_L

puede definirse para cualquier lenguajeLaún cuando este no sea

regular.

Sin embargo, en el caso particular en queL=L(M)se cumple

que≡_M es un refinamiento de≡_L, es decir

∀x,y ∈Σ?(x ≡M y →x ≡Ly).

Esta proposición nos deja ver la más importante limitación de los autómatas finitos, el hecho de que carecen de memoria más allá de lo que recuerde el estado actual.

Six ≡_M y entonces por la proposición anteriorx ≡_L(M)y, por lo

Invariancia de las relaciones

≡

,

≡

Teorema de Myhill-Nerode

Una relación de equivalencia≡sobreΣ? es invariante por la

derecha si y sólo si

∀x,y,w ∈Σ?(x ≡y →xw ≡yw).

La relación≡_Les invariante por la derecha.

Lema de continuación: Seanx,y ∈Σ?. Siδ?(q0,x) =δ?(q0,y)

entonces para cualquierz ∈Σ?_{, se cumple que}

δ?(q0,xz) =δ?(q0,yz)

Del lema anterior se sigue que la relación≡_M es invariante por la derecha.

Invariancia de las relaciones

≡

,

≡

Teorema de Myhill-Nerode

Una relación de equivalencia≡sobreΣ? es invariante por la

derecha si y sólo si

∀x,y,w ∈Σ?(x ≡y →xw ≡yw).

La relación≡_Les invariante por la derecha.

Lema de continuación: Seanx,y ∈Σ?. Siδ?(q0,x) =δ?(q0,y)

entonces para cualquierz ∈Σ?_{, se cumple que}

δ?(q0,xz) =δ?(q0,yz)

Invariancia de las relaciones

≡

,

≡

Teorema de Myhill-Nerode

Una relación de equivalencia≡sobreΣ? es invariante por la

derecha si y sólo si

∀x,y,w ∈Σ?(x ≡y →xw ≡yw).

La relación≡_Les invariante por la derecha.

Lema de continuación: Seanx,y ∈Σ?. Siδ?(q0,x) =δ?(q0,y)

entonces para cualquierz ∈Σ?_{, se cumple que}

δ?(q0,xz) =δ?(q0,yz)

Del lema anterior se sigue que la relación≡_M es invariante por la derecha.

Invariancia de las relaciones

≡

,

≡

Teorema de Myhill-Nerode

Una relación de equivalencia≡sobreΣ? es invariante por la

derecha si y sólo si

∀x,y,w ∈Σ?(x ≡y →xw ≡yw).

La relación≡_Les invariante por la derecha.

Lema de continuación: Seanx,y ∈Σ?. Siδ?(q0,x) =δ?(q0,y)

entonces para cualquierz ∈Σ?_{, se cumple que}

δ?(q0,xz) =δ?(q0,yz)

Propiedades de la relación

≡

Recordemos que el índice de una relación de equivalencia≡es el

número de clases de equivalencia generadas por≡.

Dado un AFDM=hQ,Σ,q0, δ,Fise cumple lo siguiente:

I _{La relación}≡_{Mes invariante por la derecha.}

I _{La relación}≡_{Mes de índice finito.}

I L(M)es la unión de algunas de las clases de equivalencia de la relación≡M.

Propiedades de la relación

≡

Recordemos que el índice de una relación de equivalencia≡es el

número de clases de equivalencia generadas por≡.

Dado un AFDM=hQ,Σ,q0, δ,Fise cumple lo siguiente:

I _{La relación}≡_{Mes invariante por la derecha.}

I _{La relación}≡_{Mes de índice finito.}

Propiedades de la relación

≡

Recordemos que el índice de una relación de equivalencia≡es el

número de clases de equivalencia generadas por≡.

Dado un AFDM=hQ,Σ,q0, δ,Fise cumple lo siguiente:

I _{La relación}≡_{Mes invariante por la derecha.}

I _{La relación}≡_{Mes de índice finito.}

I _L(M)es la unión de algunas de las clases de equivalencia de la relación≡M.

Propiedades de la relación

≡

Recordemos que el índice de una relación de equivalencia≡es el

número de clases de equivalencia generadas por≡.

Dado un AFDM=hQ,Σ,q0, δ,Fise cumple lo siguiente:

I _{La relación}≡_{Mes invariante por la derecha.}

I _{La relación}≡_{Mes de índice finito.}

Propiedades de la relación

≡

Recordemos que el índice de una relación de equivalencia≡es el

número de clases de equivalencia generadas por≡.

Dado un AFDM=hQ,Σ,q0, δ,Fise cumple lo siguiente:

I _{La relación}≡_{Mes invariante por la derecha.}

I _{La relación}≡_{Mes de índice finito.}

I _L(M)es la unión de algunas de las clases de equivalencia de la relación≡M.

El Teorema de Myhill-Nerode

Teorema (Myhill-Nerode)

Sea L⊆Σ?_{. Las siguientes condiciones son equivalentes:}

1 _{L es regular.}

2 _{Existe una relación de equivalencia}≡_sobreΣ?_{, invariante por la}

derecha y de índice finito, tal que L es la unión de algunas de las clases de equivalencia de≡.

3 _{La relación de equivalencia}≡

El Teorema de Myhill-Nerode

Teorema (Myhill-Nerode)

Sea L⊆Σ?_{. Las siguientes condiciones son equivalentes:}

1 _{L es regular.}

2 _{Existe una relación de equivalencia}≡_sobreΣ?_{, invariante por la}

derecha y de índice finito, tal que L es la unión de algunas de las clases de equivalencia de≡.

3 _{La relación de equivalencia}≡

Ltiene índice finito.

El Teorema de Myhill-Nerode

Teorema (Myhill-Nerode)

Sea L⊆Σ?_{. Las siguientes condiciones son equivalentes:}

1 _{L es regular.}

2 _{Existe una relación de equivalencia}≡_sobreΣ?_{, invariante por la}

derecha y de índice finito, tal que L es la unión de algunas de las clases de equivalencia de≡.

3 _{La relación de equivalencia}≡

El Teorema de Myhill-Nerode

Teorema (Myhill-Nerode)

Sea L⊆Σ?_{. Las siguientes condiciones son equivalentes:}

1 _{L es regular.}

2 _{Existe una relación de equivalencia}≡_sobreΣ?_{, invariante por la}

derecha y de índice finito, tal que L es la unión de algunas de las clases de equivalencia de≡.

3 _{La relación de equivalencia}≡

Ltiene índice finito.

Lema del índice finito

Por el teorema de Myhill-Nerode para mostrar que un lenguajeL

no es regular basta mostrar queLno es de índice finito.

Es decir, basta con ver que≡_Ltiene una infinidad de clases de equivalencia.

Esto se hace explícito mediante el siguiente lema que es una consecuencia directa del teorema de Myhill-Nerode.

Lema del índice finito: SeaL⊆Σ? un lenguaje regular infinito.

Cualquier conjuntoS⊆Σ? suficientemente grande contiene al

Lema del índice finito

Por el teorema de Myhill-Nerode para mostrar que un lenguajeL

no es regular basta mostrar queLno es de índice finito.

Es decir, basta con ver que≡_Ltiene una infinidad de clases de equivalencia.

Esto se hace explícito mediante el siguiente lema que es una consecuencia directa del teorema de Myhill-Nerode.

Lema del índice finito: SeaL⊆Σ? un lenguaje regular infinito.

Cualquier conjuntoS⊆Σ? suficientemente grande contiene al

menos dos cadenas distintas,x,y ∈Stales quex ≡Ly.

Lema del índice finito

Por el teorema de Myhill-Nerode para mostrar que un lenguajeL

no es regular basta mostrar queLno es de índice finito.

Es decir, basta con ver que≡_Ltiene una infinidad de clases de equivalencia.

Esto se hace explícito mediante el siguiente lema que es una consecuencia directa del teorema de Myhill-Nerode.

Lema del índice finito: SeaL⊆Σ? un lenguaje regular infinito.

Cualquier conjuntoS⊆Σ? suficientemente grande contiene al

Lema del índice finito

Por el teorema de Myhill-Nerode para mostrar que un lenguajeL

no es regular basta mostrar queLno es de índice finito.

Es decir, basta con ver que≡_Ltiene una infinidad de clases de equivalencia.

Esto se hace explícito mediante el siguiente lema que es una consecuencia directa del teorema de Myhill-Nerode.

Lema del índice finito: SeaL⊆Σ? un lenguaje regular infinito.

Cualquier conjuntoS⊆Σ? _{suficientemente grande contiene al}

menos dos cadenas distintas,x,y ∈Stales quex ≡Ly.

Conjuntos estafadores

Las pruebas de no regularidad se sirven de la contrapositiva del lema del índice finito.

Hallando un conjuntoS que no cumpla la propiedad del lema,

habremos probado queLno es regular.

Un conjunto infinitoS⊆Σ? es un conjunto estafador paraLsi y sólo si para cualesquierax,y ∈Sexiste una cadenaz ∈Σ? tal

que una y sólo una dexz yyz pertenecen aL.

Es decir,Ses un conjunto estafador paraLsi y sólo si

∀x,y ∈S(x 6≡Ly).

Para mostrar que un lenguajeLno es regular basta construir un

Conjuntos estafadores

Las pruebas de no regularidad se sirven de la contrapositiva del lema del índice finito.

Hallando un conjuntoS que no cumpla la propiedad del lema,

habremos probado queLno es regular.

Un conjunto infinitoS⊆Σ? es un conjunto estafador paraLsi y sólo si para cualesquierax,y ∈Sexiste una cadenaz ∈Σ? tal

que una y sólo una dexz yyz pertenecen aL.

Es decir,Ses un conjunto estafador paraLsi y sólo si

∀x,y ∈S(x 6≡Ly).

Para mostrar que un lenguajeLno es regular basta construir un

conjunto estafador paraL.

1_{En inglésfooling set}

Conjuntos estafadores

Las pruebas de no regularidad se sirven de la contrapositiva del lema del índice finito.

Hallando un conjuntoS que no cumpla la propiedad del lema,

habremos probado queLno es regular.

Un conjunto infinitoS⊆Σ? es un conjunto estafador paraLsi y sólo si para cualesquierax,y ∈Sexiste una cadenaz ∈Σ? tal

que una y sólo una dexz yyz pertenecen aL.

Es decir,Ses un conjunto estafador paraLsi y sólo si

∀x,y ∈S(x 6≡Ly).

Para mostrar que un lenguajeLno es regular basta construir un

Conjuntos estafadores

Las pruebas de no regularidad se sirven de la contrapositiva del lema del índice finito.

Hallando un conjuntoS que no cumpla la propiedad del lema,

habremos probado queLno es regular.

Un conjunto infinitoS⊆Σ? es un conjunto estafador paraLsi y sólo si para cualesquierax,y ∈Sexiste una cadenaz ∈Σ? tal

que una y sólo una dexz yyz pertenecen aL.

Es decir,S es un conjunto estafador paraLsi y sólo si

∀x,y ∈S(x 6≡Ly).

Para mostrar que un lenguajeLno es regular basta construir un

conjunto estafador paraL.

1_{En inglésfooling set}

Conjuntos estafadores

Las pruebas de no regularidad se sirven de la contrapositiva del lema del índice finito.

Hallando un conjuntoS que no cumpla la propiedad del lema,

habremos probado queLno es regular.

Un conjunto infinitoS⊆Σ? es un conjunto estafador paraLsi y sólo si para cualesquierax,y ∈Sexiste una cadenaz ∈Σ? tal

que una y sólo una dexz yyz pertenecen aL.

Es decir,S es un conjunto estafador paraLsi y sólo si

∀x,y ∈S(x 6≡Ly).

Para mostrar que un lenguajeLno es regular basta construir un

L

=

{

a

b

|

i

∈

_N

}

no es regular

Basta hallar un conjunto estafador paraL={anbn|n∈N}.

SeaS={ak |k ∈_N}, veamos queS es un conjunto estafador.

Siai,aj ∈Sconi6=jentonces claramente

aibi ∈Lyaibj ∈/L.

Por lo tanto

ai 6≡Laj

y asíSes un conjunto estafador paraL.

L

=

{

a

b

|

i

∈

_N

}

no es regular

Basta hallar un conjunto estafador paraL={anbn|n∈N}.

SeaS={ak |k ∈_N}, veamos queS es un conjunto estafador.

Siai,aj ∈Sconi6=jentonces claramente

aibi ∈Lyaibj ∈/L.

Por lo tanto

ai 6≡Laj

L

=

{

a

b

|

i

∈

_N

}

no es regular

Basta hallar un conjunto estafador paraL={anbn|n∈N}.

SeaS={ak |k ∈_N}, veamos queS es un conjunto estafador.

Siai,aj ∈Sconi6=jentonces claramente

aibi ∈Lyaibj ∈/L.

Por lo tanto

ai 6≡Laj

y asíSes un conjunto estafador paraL.

L

=

{

a

b

|

i

∈

_N

}

no es regular

Basta hallar un conjunto estafador paraL={anbn|n∈N}.

SeaS={ak |k ∈_N}, veamos queS es un conjunto estafador.

Siai,aj ∈Sconi6=jentonces claramente

aibi ∈Lyaibj ∈/L.

Por lo tanto

ai 6≡Laj

L

=

{

a

|

i

∈

_N

}

no es regular

Basta hallar un conjunto estafador paraL={ai2 |i∈_N}

SeaS=L, veamos queSes un conjunto estafador.

Seanai2,aj2 ∈Sconj>i.

I _{Por un lado tenemos quea}i2_a2i+1=ai2+2i+1_=a(i+1)2 _∈L

I _{Por otra parte,a}j2_a2i+1=aj2+2i+1_{∈/Lpuesto que}

j2<j2+2i+1<j2+2j+1= (j+1)2.

Por lo tanto

ai2 6≡_Laj2

ySes un conjunto estafador paraL.

L

=

{

a

|

i

∈

_N

}

no es regular

Basta hallar un conjunto estafador paraL={ai2 |i∈_N}

SeaS=L, veamos queSes un conjunto estafador.

Seanai2,aj2 ∈Sconj>i.

I _{Por un lado tenemos quea}i2_a2i+1=ai2+2i+1_=a(i+1)2 _∈L

I _{Por otra parte,a}j2_a2i+1=aj2+2i+1_{∈/Lpuesto que}

j2<j2+2i+1<j2+2j+1= (j+1)2.

Por lo tanto

ai2 6≡_Laj2

L

=

{

a

|

i

∈

_N

}

no es regular

Basta hallar un conjunto estafador paraL={ai2 |i∈_N}

SeaS=L, veamos queSes un conjunto estafador.

Seanai2,aj2 ∈Sconj>i.

I _{Por un lado tenemos quea}i2_a2i+1=ai2+2i+1_=a(i+1)2 _∈L

I _{Por otra parte,a}j2_a2i+1=aj2+2i+1_{∈/Lpuesto que}

j2<j2+2i+1<j2+2j+1= (j+1)2.

Por lo tanto

ai2 6≡_Laj2

ySes un conjunto estafador paraL.

L

=

{

a

|

i

∈

_N

}

no es regular

Basta hallar un conjunto estafador paraL={ai2 |i∈_N}

SeaS=L, veamos queSes un conjunto estafador.

Seanai2,aj2 ∈Sconj>i.

I _{Por un lado tenemos quea}i2_a2i+1=ai2+2i+1_=a(i+1)2 _∈L

I _{Por otra parte,a}j2_a2i+1=aj2+2i+1_{∈/Lpuesto que}

j2<j2+2i+1<j2+2j+1= (j+1)2.

Por lo tanto

ai2 6≡_Laj2

L

=

{

a

|

i

∈

_N

}

no es regular

Basta hallar un conjunto estafador paraL={ai2 |i∈_N}

SeaS=L, veamos queSes un conjunto estafador.

Seanai2,aj2 ∈Sconj>i.

I _{Por un lado tenemos quea}i2_a2i+1=ai2+2i+1_=a(i+1)2 _∈L

I _{Por otra parte,a}j2_a2i+1=aj2+2i+1_{∈/Lpuesto que}

j2<j2+2i+1<j2+2j+1= (j+1)2.

Por lo tanto

ai2 6≡_Laj2

ySes un conjunto estafador paraL.

L

=

{

a

|

i

∈

_N

}

no es regular

Basta hallar un conjunto estafador paraL={ai2 |i∈_N}

SeaS=L, veamos queSes un conjunto estafador.

Seanai2,aj2 ∈Sconj>i.

I _{Por un lado tenemos quea}i2_a2i+1=ai2+2i+1_=a(i+1)2 _∈L

I _{Por otra parte,a}j2_a2i+1=aj2+2i+1_{∈/Lpuesto que}

j2<j2+2i+1<j2+2j+1= (j+1)2.

Por lo tanto

ai2 6≡_Laj2