Ejercicios parte 1 - con soluciones

CHICLANA

MAT I

Matem´aticas de Ciencias y tecnolog´ıa

Primero de Bachillerato CCTT

Soluciones a los ejercicios del tema 1.

1.1.

Ejercicios de Trigonometr´ıa - Parte 1

1.1.1. Relacionados con el manejo y conversi´on de ´angulos.

1. Dibujar en un sistema de referencia angular:

a) Dos ´angulos opuestos

b) Dos ´angulos suplementarios

c) Dos ´angulos complementarios

d) Dos ´angulos que difieran en un llano

2. Hallar las cordenadas de los puntos asociados, en un sistema de referencia, del ´angulo nu-lo(Sol:_(1,0)), el ´angulo recto(Sol:_(0,1)), el ´angulo llano(Sol:_(−1,0))y el ´angulotres cuartos₍Sol:_(0,−1)).

3. Si decimos que un ´angulo (o un arco) mide 1’5 radianes ¿dicho ´angulo es mayor, menor o igual que un recto? (Sol:_{menor, 1}0_5rad= 105π

π rad'004774π rad < π

2)

4. Calcular el valor de 3 radianes expresados en grados, minutos y segundos (sexagesimales)(Sol:₁₇₁o₅₃0_14,400_).

5. Expresar en radianes el ´angulo que forman la manecilla de las horas y de los minutos cuando un reloj se˜nala las 4(Sol:2π

3 ).

6. Un reloj se˜nala las 12 en punto. Despu´es de 30 minutos ¿qu´e ´angulo, medido en radianes, forman las agujas de las horas y de los minutos?(Sol:11

12π)

7. Dados los ´angulos α= 30o₅₆0₅₀00 _{y β = 60}o₅₈0₅₅00_{, se pide calcular sin usar la calculadora:} a) α+β =91,93o

b) α₋β =30,03o

c) 3α=92,85o

d) α/3 =10,317o

8. ¿Cu´antos segundos tiene un radi´an?(Sol:_206264,8062)

9. Pasar 821537 segundos a su equivalente en grados minutos y segundos(Sol:₂₂₈o₁₂0₁₇00_).

10. ¿Cu´antos segundos suman los ´angulos de un tri´angulo is´osceles?(Sol:_{648 000)}

11. En una circunferencia de 32m de radio, un arco mide 4m. Hallar su ´angulo central medido en radianes y en grados sexagesimales(Sol:₀0_{125rad= 0}0_{03978π rad'7}0₁₆₀₄o_).

12. Expresar en grados sexagesimales los siguientes ´angulos dados en radianes:

a) 3₄π =135o

b) 2π

5 =72

o

c) 5π

2 =450o= 90o

d) 4π

3 =240o

e) 6π

5 =216

o

f) π

3 =60

o

g) π

4 =45

o

h) π

5 =36

o

i) π

8 =2205

o

j) π

2 =90

o

k) 3₅π =108o

l) 7π

3 =420

o_{= 60}o

m) 5π

4 =225o

n) 2π

3 =120o

˜ n) 3π

2 =270

o

o) 7π

6 =210o

p) 5π

6 =150

o

q) 2π

7 =51,42857o

r) 602π

2 =558

o

s) 305π

3 =210o

t) 0015π

2 =1305o

u) 0001π

3 =006o

v) 40_56π

3 =27306o

w) 00_62π

2 =5508o

x) 30_26π

5 =117036

o

y) 50_78π

2 =52002

o

z) 70_26π

13. Expresar en radianes los siguientes ´angulos dados en grados sexagesimales:

a) 45o ₌ π

4

b) 270o ₌ 3π

2

c) 90o ₌ π

2

d) 0o _=0π

e) 135o ₌ 3π

4

f) 180o _=π

g) 225o ₌ 5π

4

h) 315o ₌ 7π

4

i) 240o ₌ 4π

3

j) 28o ₌ 28π

180 = 7π

45

k) 113o ₌ 113π

180

l) 276o ₌ 276π

180 = 23π

15

m) 141o ₌ 141π

180 = 47π

60

n) 16o ₌ 16π

180 = 4π

45

˜

n) 7o ₌ 7π

180

o) 88o ₌ 88π

180 = 22

π

45

p) 224o ₌ 224π

180 = 56π

45

q) 150o ₌ 150π

180 = 5π

6

r) 132o ₌ 132π

180 = 11π

15

s) 175o ₌ 175π

180 = 35π

36

t) 14o ₌ 14π

180 = 7π

90

u) 42o ₌ 42π

180 = 7π

30

v) 100o ₌ 100π

180 = 5π

9

w) 253o ₌ 253π

180

x) 341o ₌ 341π

180

y) 294o ₌ 294π

180 = 49π

30

z) 128o ₌ 128π

180 = 32π

45

14. Expresar en grados sexagesimales los siguientes ´angulos dados en radianes:

a) 2π

3 =120o

b) 6π

7 =

1080

7 '154,28 o

c) 3π

14 =

270

7 '38,57 o

d) 2π

9 =40

o

e) 3π

8 =6705o

f) 2π

4 =90o

g) 9π

4 =405o= 45o

h) 5π

12 =75o

i) 1π

27 =

20

3 '6,67 o

j) 7π

2 =630o= 270o

k) 11π

2 =990

o_{= 270}o

l) 8π

3 =480o= 120o

m) 3π

11 =

540

11 '49,09 o

n) π

16 =11025

o

˜ n) 3π

25 =2106o

o) 25π

4 =1125o= 45o

p) 7π

4 =315o

q) 9π

13 =

1620

13 '124,61o

r) 30_1π

2 =279

o

s) 40_27π

3 =256,2o

t) 20_51π

2 =225,9

o

u) 1+π π =

360(1+π)

2π2 '75,536

o

v) π−2 3+π =

360(π−2)

(3+π)2π '10,6501

o

w) 2π2

5 = 2

π

5 ·π'226,1946 o

x) 3π2

4 =

3π

4 ·π'424,1150o

y) 2π3

8 =

2π2

8 ·π'444,1322o

z) 5π4

3 =

5π3

3 ·π'9301,8830 o

15. Expresar en radianes los siguientes ´angulos dados en grados sexagesimales:

a) 250₆₅₂o _=0,1425b1π

b) 1070₃₂o _=0,596b2π

c) 900₇₈₂o _=0,5043b4π

d) 1080₇₄o _=0,604b1π

e) 1250₁₆o _=0,695b3π

f) 1900₃₇o _=1,0576b1π

g) 2050₈₉o _=1,1438b3π

h) 2180₂₃o _=1,2123b8π

i) 3170₀₃o _=1,7612b7π

j) 320₆₀₅o _=0,18113b8π

k) 2750₂₆o _=1,529b2π

l) 3140₀₃o _=1,7446b1π

m) 120₀₀₇o _=0,0670b5π

n) 2210₁₇o _=1,2287b2π

˜

n) 3120₇₀o _=1,737b2π

o) 640₂₇₂o _=0,3570b6π

p) 2140₅₃o _=1,1918b3π

q) 6730₃₀o _{=3,740b5π= 1}0₇₄₀b_5π

r) 320₆₀₅o _=0,18113b8π

s) 1750₂₆o _=0,973b6π

t) 140₀₀₃o _=0,07779b4π

u) 420₀₀₇o _=0,23337b2π

v) 3210₇₃o _=1,7873b8π

w) 2190₀₄o _=1,216b8π

x) 730₂₃₇o _=0,40687b2π

y) 540₂₄₂o _=0,3013b4π

z) 2210₂₃o _=1,2290b5π

16. En una circunferencia de 10 metros de radio, hallar los arcos cuya medida en radianes son:

a) π;(Sol:_10π)

b) 3π/2;(Sol:_15π)

c) 1;(Sol:_10m)

d) π/3;(Sol:10π 3 )

e) 3;(Sol:_30m)

f) 2π/5;(Sol:_4π)

17. ¿Qu´e ´angulo es mayor; 3π

4 o 150

g_{?son iguales a 135◦ ¿Puede tener un tri´angulo rect´angulo un}

´angulo as´ı?no ¿Y un tri´angulo no rect´angulo?si

18. Un tri´angulo tiene un primer ´angulo de 30◦ _{sexagesimales, un segundo ´angulo de π/6 radianes.}

19. Se trata de pasar los siguientes ´angulos a sus formas sexagesimales, radianes y centesimales tal como indica el primer ejemplo. Todos los ´angulos deben ser positivos, y ojo a la presencia o no del π de los ´angulos expresados en radianes. Quitar el ´angulo giro:

317,3123◦ ₃₁₇◦₁₈0_{44,2” 1}0_{7628π rad 352}g₅₆m_92,22s

8,2123rad 110◦₃₁0_{48,4” 0,614056π rad 122}g₈₁m_12,55s

−2345,4◦ ₁₇₄0₆◦_{= 174}◦₃₆0 ₀0_{98b1π rad 194}g

235,1234g _{211◦36039,8” 10175617π rad 235}g₁₂m₃₄s

6,5123rad 13◦₇0_{38,3” 0,072929472π rad 14}g₅₈m_58,94s

−1206,71◦ ₂₃₃0₂₉◦_{= 233}◦₁₇0_{24” 1,29605π rad 259,2111}g

723,15021g ₂₉₀◦₅₀0_{6,68” 1}0_{61575105π rad 323}g₁₅m_2,1s

24,3142rad 266◦₁₂0_{7,5” 0,73945π rad 295}g₇₈m₀s

5210,7◦ ₁₇₀0₇◦_{= 170}◦₄₂0 _{0,47417π rad 189}g₆₆m₆₆s

214,3214g _{192◦53021,3” 1,8663π rad 214}g₃₂m₁₄s

20. Calcular los ´angulos interiores de los siguientes pol´ıgonos regulares y expresarlos en grados sexagesimales y en radianes:

a) Tri´angulo;(Sol:₁₂₀o₎

b) Cuadrado;(Sol:₉₀o₎

c) Pent´agono;(Sol:₇₂o₎

d) Hex´agono;(Sol:₆₀o₎

e) Hept´agono;(Sol:_51,428751o₎

f) Oct´ogono;(Sol:₄₈o₎

g) Ene´agono;(Sol:₄₀o₎

h) Dec´agono; (Sol:₃₆o₎

i) Endec´agono;(Sol:_32,c₇₂o₎

j) Dodec´agono; (Sol:₃₀o₎

21. Reducir a la primera circunferencia (quitar ´angulo giro), es decir, expresar los siguientes ´angulos como suma de un n´umero de vueltas y un ´angulo menor que 360o _{(dar todos los resultados en}

grados sexagesimales):

a) 542o _{=360 + 182}o

b) 625o _{=360 + 265}o

c) 740o ₌₂

·360 + 20o d) 1020o _{=2·360 + 300}o

e) 2868o _{=7·360 + 348}o

f) ₋700o ₌

−2·360 + 20o

g) ₋1245o _{=−4·360 +195}o

h) 100000o _{=277·360+280}o

i) 2595o _{=7·360 + 75}o

j) 10π =1800o= 5·360 + 0o

k) 20π =3600o= 10·360 + 0o

l) 35π =6300o= 17·360 + 180o

m) 101π =18180o_{= 50·360 + 180}o

n) 10rads _=572,957o

= 360 + 212,957o

˜

n) 120rads _=6875,49o

= 19·360+35,49o

o) 3030g ₌

2727o

= 7·360 + 207o

p) 6344g ₌

5709,6o

= 15·360 + 3090₆o

q) 10000g ₌

9000o

= 25·360 + 0o

r) 15π

2 =1350o= 3·360 + 270o

s) 9π

2 =810

o_{= 2·360 + 90}o

t) ₋13π

4 = −585o=−2·360 + 135o

u) 3π

00₀₁ =54000

o_{= 156·360 + 0}o

v) 2π2

0,1 =11309,734 o

= 31·360 + 149,73o

w) 17π

3 =1020

o_{= 2·360 + 300}o

x) 9π

4 =405o= 360 + 45o

y) ₋53π

6 = −1590

o_{=−5·360 + 210}o

22. Pasa a grados, minutos y segundos los siguientes ´angulos. Hazlo primero sin calculadora.

a) 620₂₇₆₁o ₌₆₂o₁₆0 _33,9600

b) 980₈₃₆₂o ₌₉₈o₅₀0 _10,3200

c) 1700₂₆₃o ₌₁₇₀o₁₅0_46,800

d) 10₉₃₇₁₂o ₌₁o₅₆0_13,6300

e) 280₂₇₆₇o ₌₂₈o₁₆0 _36,1200

f) 260₈₈₈₈o ₌₂₆o₅₃0 _19,6800

g) 80₂₇₁₆₂o ₌₈o₁₆0_17,8300

h) 680₈₈₂o ₌₆₈o₅₂0_55,200

i) 1980₆₂₇o ₌₁₉₈o₃₇0_37,200

j) 00₂₉₁₈₉o ₌₀o₁₇0_30,800

k) 40₇₃₅₆₂o ₌₄o₄₄0_8,2300

l) 120₃₆₅₆o ₌₁₂o₂₁0_56,1600

m) 1360₂₇₉o ₌₁₃₆o₁₆0_44,400

n) 2370₈₀₂o ₌₂₃₇o₄₈0_7,200

˜

n) 120₃₇₁₆o ₌₁₂o₂₂0_17,7600

o) 30₂₇₃₆₁o ₌₃o₁₆0₂₅00

p) 70₂₇₆₈o ₌₇o₁₆0_36,4800

q) 890₂₇₆₇o ₌₈₉o₁₆0_36,1200

r) 20₉₉₉₉o ₌₂o₅₉0_59,6400

s) 270₂₅₅₇o ₌₂₇o₁₅0_20,5200

t) 70₇₇₃o ₌₇o₄₆0_22,800

u) 1380₂₇₅o ₌₁₃₈o₁₆0₃₀00

v) 720₆₇₃₂o ₌₇₂o₄₀0_23,5200

1.1.2. Ejercicios relacionados con las razones trigonom´etricas

23. Si un tri´angulo rect´angulo posee su base la mitad de grande que su hipotenusa ¿de cu´anto es el ´angulo comprendido?60◦

24. Si un tri´angulo rect´angulo posee su altura la mitad de grande que su hipotenusa ¿de cu´anto es el ´angulo comprendido?60◦

25. Si un tri´angulo rect´angulo posee su altura igual que su base ¿de cu´anto es el ´angulo comprendido entre la base y la hipotenusa?45◦

26. Halla, sin usar la calculadora:

a) senπ

4 + sen

π

2 + senπ =

2+√2 2

b) sen2π

3 + sen 4π

3 −sen 2π =0

c) cosπ₋cos 0 + cosπ

2 −cos 3π

2 = −2

d) 4 senπ

6 +

√

2 cosπ

4 + cosπ=2

e) cos5π

4 −tg 4π

3 + sen 5π

4 = −

√

2−√3

f) 5 cos π

2−cos 0+2 cosπ−cos 3π

2 +cos 2π= −2

g) 5 tgπ+3 cos π

2−2 tg 0+sen 3π

2 −2 sen 2π =−1

h) 2√3 sen 2π

3 + 4 sen

π

6 −2 sen

π

2 =3

i) sen2π

3 + cos 5π

6 −tg 7π

4 =1

j) 3 + 2 sen3π

2 + tg 2π

3 −cos 4π

3 =

3 2−

√

3

27. Halla, en radianes, el ´angulo α tal que senα= 00_{72 y cosα <0(}Sol: _'133,9455196o_'00_744114π)

28. Supongamos que un ´angulo tuviera1 _{un coseno igual a}√_{3, esto es, cosα =}√_{3. ¿Cu´anto valdr´ıa}

entonces senα? √−2

29. Idem. Si se tuviese (que no se puede) senα=√2 ¿Cu´anto valdr´ıa tgα?

30. Consideremos la siguiente figura, con un tri´angulo rect´angulo en el que se marcan tres lados x,y, h, as´ı como un ´anguloα, expresado en radianes. En cada uno de los apartados se te van a dar dos de los cuatro datos. Usando la calculadora se trata de que establezcas los dos datos que faltan. Se recomienda que para cada caso, antes hagas un dibujo con los datos conocidos y desconocidos.

y= 1, α=π/6, x=√3'1,732050808 , h=2

x= 3, h= 5, y=4 , α=0,927295218 = 0,295167235π

x= 5, α=π/5, y=3,63271264 , h=6,180339887

x= 4, h=√41, y=5 , α=0,896055384 = 0,285223287π

y= 10, h=√101, x=1 , α=1,56079666 = 0,496817007π

x= 4, y= 1, h=√17'4,1231 , α=0,244978663 = 0,07797913π

h= 5, α=π/8, x=4,619397663 , y=1,91341117162

h= 4, α=π/3, x=2 , y=2√3'3,4641

x= 3, α=π/4, y=3 , h=√18 = 3√2

y= 2, h=√8, x=2 , α=0,785398163 =π/4

x= 3, y= 2, h=√13'3,605551275 , α=0,588002603 = 0,187167041π

y=√3/2, α=π/3, x=1/2 = 0,5 , h=1

y= 1, h=√2, x=1 , α=45◦

y= 5, h=√29, x=2 , α=68,19859051◦_{= 68}◦₁₁0_54,93”

31. Un ´angulo α tiene un seno igual a √5₋2, esto es, senα = √5₋2. Sin usar la calculadora ¿cu´anto valdr´ıa entonces cosα? p4√5−8

32. Un ´angulo tiene un seno igual a √2₋1, esto es, senα = √2₋1. ¿Cu´anto valdr´ıa entonces cosα?q2√2−2

1

Ello NO es posible, los cosenos y los senos son siempre menores o iguales que uno. De hecho, como ello no es posible, la soluci´on de este problema va a ser un absurdo.

33. Sin usar la calculadora, escribir las razones trigonom´etricas de los ´angulos notables.

a) sen 0◦ ₌₀

b) cos 0◦ ₌₁

c) tg 0◦ ₌₀

d) cotg 0◦ _=∞

e) sec 0◦ ₌₁

f) cosec 0◦ _=∞

sen 30◦ _=1/2

cos 30◦ ₌√_3/2

tg 30◦ _=1/√₃

cotg 30◦ ₌√₃

sec 30◦ ₌₂√₃

cosec 30◦ ₌₂

sen 45◦ _=1/√₂

cos 45◦ _=1/√₂

tg 45◦ ₌₁

cotg 45◦ ₌₁

sec 45◦ ₌√₂

cosec 45◦ ₌√₂

sen 60◦ ₌√_3/2

cos 60◦ _=1/2

tg 60◦ ₌√₃

cotg 60◦ _=1/√₃

sec 60◦ ₌₂

cosec 60◦ _=2/√₃

sen 90◦ ₌₁

cos 90◦ ₌₀

tg 90◦ _=∞

cotg 90◦ ₌₀

sec 90◦ _=∞

cosec 90◦ ₌₁

34. Repasemos el alfabeto griego. A continuaci´on se te va a dar una raz´on trigonom´etrica elemental (seno, coseno y tangente). Sin usar la calculadora para calcular ra´ıces cuadradas has de hallar las otras dos, as´ı como el ´angulo agudo asociado (aqu´ı s´ı debes usar la calculadora).

a) senα= 00_{3 tgα =} 003 √

0091 cosα=

√

00₉₁ α =17,45760312o (alfa)

b) cosβ = 1/4 tgβ =√15 senβ =

q 15

16 β =75,52248781

o _(beta)

c) tgγ = 3 cosγ = 1

√

10 senγ =

3 √

10 γ =71,56505118

o _(gamma)

d) senδ= 1/3 cosδ =√8

3 tgδ=

1 √

8 δ =19,47122063

o _(delta)

e) cosε= 00_{6 senε=0}0₈ tgε= 4

3 ε =53,13010235

o _(´epsilon)

f) tgζ =√8 cosζ = 1

3 senζ =

√ 8

3 ζ =70,52877937

o _(dseta)

g) senη= 00_{1 cosη=}√_{0099 tgη=} 001 √

0099 η =5,739170477

o _(eta)

h) tgθ = 00_{8 senθ =}q

0064

1064 cosθ=

1 √

1064 θ =38,65980825

o _(zeta)

i) cosι= 2/5 tgι= 2

√₂₁ senι =

√₂₁

5 ι =66,42182152

o _(iota)

j) tgκ= 20_{1 cosκ=} 1

√₅₀₄₁ senκ =√2₅0₀1₄₁ κ =64,53665494o (kappa)

k) senλ= 3/7 cosλ= √40

7 tgλ=

3

√₄₀ λ =25,37693352o (lambda)

l) cosµ= 00_{3 senµ=}√₀0₉₁ tgµ= √0091

003 µ=72,54239688

o _(mu)

m) tgν = 10 cosν = 1

√

101 senν =

10 √

101 ν =84,28940686

o _(nu)

n) senξ= 00_{44 cosξ =}√₀0₈₀₆₄ tgξ= 0044 √

008064 ξ =26,10388114

o _(xi)

˜

n) tgo= 00_{7 seno=} 007 √

1049 coso=

1 √

1049 o =34,9920202

o _(´omicron)

o) cosπ = 2/9 tgπ = √77

2 senπ =

√₇₇

9 π =77,16041159

o _(pi)

p) tgρ= 9/2 cosρ= 2

√₈₅ senρ= √9₈₅ ρ =77,47119229o (ro)

q) senσ= 00_{6 cosσ =0}0₈ tgσ =3

4 σ =36,86989765

o _(sigma)

r) tgτ = 00_{9 senτ =} 009 √

1081 cosτ =

1 √

1081 τ =41,9872125

o _(tau)

s) tgυ = 9/4 cosυ = 4

√₉₇ senυ =√9₉₇ υ =66,03751103o (´upsilon)

t) cosφ= 3/5 senφ= 4

5 tgφ=

3

4 φ =53,13010235

o _(phi)

u) senχ= 00_{4 tgχ=} 004 √

0084 cosχ=

√

00₈₄ χ=23,57817848o (ji)

v) cosψ = 3/4 tgψ = √7

3 senψ =

√ 7

4 ψ =41,40962211

o _(psi)

w) tgω =√5 cosω= 1

√₆ senω =

q 5

6 ω =65,90515745

o _(omega)

35. Determinar:

a) El ´unico cuadrante donde la cosecante y el coseno son negativos(Sol:₃o₎

b) El ´unico cuadrante donde tanto la cotangente como el seno son negativos(Sol:₄o₎

c) El ´unico cuadrante donde tanto el coseno y el seno son negativos(Sol:₃o₎

d) El ´unico cuadrante donde el coseno y cotangente son negativos al mismo tiempo(Sol:₂o₎

36. Calcular razonadamente las razones trigonom´etricas de los ´angulos:

a) 1935o_;[1935o_{= 5×360+135 = (5·360)+90+45; cos 1935 =−cos 45, sen 1935 = sen 45, tg 1935 =−tg 45}o_]

b) 32π

6 radianes;[ 32π

6 = 960o= (2·360) + 180 + 60o; cos 32π

6 =−cos 60, sen 32π

6 =−sen 60, tg 32π

6 = tg 60]

37. Sabiendo que senα = −7

12, y que α est´a en el tercer cuadrante, halla las dem´as razones

trigo-nom´etricas.

a) cosα =−√95

12 b) tgα=

7

√₉₅ c) secα=−√12₉₅ d) cosecα=−127 e) cotgα= √

95 7

38. Hallar las 3 razones trigonom´etricas principales de los siguientes ´angulos, calculando previamen-te las cordenadas del punto asociado en una circunferencia goniom´etrica.

a) 0o_{;[(1,0), sen= 0, cos= 1, tg= 0]}

b) 90o_{;[(0,1), sen= 1, cos= 0, tg=∞]}

c) 180o_{;[(−1,0), sen= 0, cos=−1, tg= 0]}

d) 270o_{;[(0,−1), sen=−1, cos= 0, tg=∞]}

e) 45o_;[(√2 2 ,

√

2

2 ), sen=

√

2 2 , cos=

√

2

2 , tg= 1]

f) 3π

4 ;[(−

√

2 2 ,

√

2

2 ), sen=

√

2

2 , cos=−

√

2

2 , tg=−1]

g) 5π

4 ;[(−

√

2 2 ,−

√

2

2 ), sen= −

√

2

2 , cos=−

√

2

2 , tg= 1]

h) 7π

4 ;[(

√

2 2 ,−

√

2

2 ), sen=−

√

2 2 , cos=

√

2

2 , tg=−1]

39. Sabiendo que cotgβ = 00_{75 y que 180}o _{< β <270}o_{, calcula las dem´as razones trigonom´etricas.}

a) cosα = −3

5 b) senα= −54 c) tgα= 43 d) cosecα= −45 e) secα= −35

40. Calcula las razones trigonom´etricas de un ´angulo γ sabiendo que su tangente es positiva y que cosγ = −4

5

a) senα = −3

5 b) tgα= 3

4 c) secα= − 5

4 d) cosecα= − 5

3 e) cotgα= 4 3

41. Sabiendo que tgα= 1₅ y que 0o _{< α < 90}o_{, calcular razonadamente:}

a) tg(π₋α) = −1/5

b) tg(π+α) =1/5

c) tg(₋α) = −1/5

d) tg π

2 −α

=5

e) tg π

2 +α

= −5

f) sen α₋ π

2

= −cosα= −5

√

26

42. Sabiendo que tgα= 1

3, para α en el primer cuadrante:

a) Calcular las restantes razones trigonom´etricas: senα = 1

√

10 cosα=

3

√

10 cotgα=3 secα=

√

10

3 cosecα=

√

10

b) Calcular razonadamente: tg(90o_{−α) = cotgα= 3}

tg(₋α) = −tgα= −1 3

tg(90 +α) = −cotgα=−3

tg(180o _{+α) = tgα=} 1 3

tg(180o _{−α) =}

−tgα= −1 3 tg(α₋180o_{) = tgα=} 1

3

43. Sabiendo que tgα= 3

4, para α en el primer cuadrante, calcular:

a) tg(90o_{−α) = cotgα=} 4 3

b) tg(90o_{+α) = −cotgα=}−4 3

c) tg(180o_{−α) =}

−tgα=−3 4

d) tg(180o _{+α) = tgα=} 3 4

e) tg(270o_{−α) = cotgα=} 4 3

f) tg(270o_{+α) = −cotgα=} −4 3

44. Sabiendo que senα = 2₃, para α en el primer cuadrante, calcular:

a) sen(90o _{−α) = cosα=} √5 3

b) sen(90o _{+α) = cosα=}√5 3

c) sen(180o_{−α) = senα=}2 3

d) sen(180o_{+α) =−senα=} −2 3

e) sen(270o_{−α) =}

−cosα= −√5 3

f) sen(270o_{+α) =}

−cosα= −√5 3

45. Sabiendo que cosα = 2

5, para α en el primer cuadrante, calcular:

a) cos(90o_{−α) = senα=} √21 5

b) cos(90o_{+α) =}

−senα= −√21 5

c) cos(180o_{−α) =}

−cosα=−2 5

d) cos(180o_{+α) =}

−cosα=−2 5

e) cos(270o_{−α) =−senα=} −√21 5

f) cos(270o_{+α) = senα=} √21 5

46. Sabiendo que senα= 4₅, para α en el primer cuadrante, calcular:

a) sen(90o_{−α) = cosα=} √21 5

b) sen(90o_{+α) = cosα=} √21 5

c) sen(180o _{−α) = senα=}4 5

d) sen(180o_{+α) =}

−senα=−45

e) sen(270o_{−α) = −cosα=} −√21 5

f) sen(270o_{+α) = −cosα=} −√21 5

47. Sabiendo que cosα = 00_{6, para α en el primer cuadrante, calcular:} a) cos(90o_{−α) =}

senα=√0064

b) cos(90o_{+α) =}

−senα=−√0064

c) cos(180o_{−α) =}

−cosα=−00₆

d) cos(180o_{+α) =}

−cosα=−00₆

e) cos(270o_{−α) =}

−senα=−√0064

f) cos(270o _{+α) = senα=}√₀₀₆₄

48. Sabiendo que tgα= 8, para α en el primer cuadrante, calcular:

a) tg(90o_{−α) = cotgα=} 1 8

b) tg(90o_{+α) =}

−cotgα= −1 8

c) tg(180o_{−α) =}

−tgα=−8 d) tg(180o _{+α) = tgα= 8}

e) tg(270o_{−α) = cotgα=}1 8

f) tg(270o_{+α) =}

−cotgα= −1 8

49. Sabiendo que senα= 3

4, para α en el primer cuadrante, calcular:

a) cos(90o_{−α) = senα=} 3 4

b) sen(90o_{+α) = cosα=} √7 4

c) tg(180o_{−α) = −tgα=}−_√3 7

d) cosec(180o_{+α) =}

−cosecα=−4 3

e) sec(270o_{−α) = −cosecα=}−4 3

f) cotg(270o _{+α) = −tgα=} −_√3 7

50. Sabiendo que cosα = 00_{1, para α en el primer cuadrante, calcular:} a) tg(90o_{−α) = cotgα=} 1

√

99

b) cos(90o_{+α) =}

−senα=−√0099

c) sen(180o_{−α) =}

senα=√00₉₉

d) cotg(180o_{+α) = cotgα=} 1 √₉₉

e) cosec(270o_{−α) = −secα=−1}

f) sec(270o_{+α) = cosecα=} 1

√

00₉₉

51. Sabiendo que senα= 00_{2, para α en el primer cuadrante, calcular:} a) cos(90o_{−α) =}

senα= √1 0096

b) tg(90o_{+α) =}

−cotgα=−√24

c) sec(180o _{−α) = −secα= 5}

d) csc(180o_{+α) =}

−cscα=−√0096

e) sen(270o_{−α) =}

−cosα=−√00₉₆

f) cosec(270o_{+α) =}

−secα= −1 √₂₄

52. Sabiendo que cosα = 00_{2, para α en el primer cuadrante, calcular:} a) sec(90o_{−α) = cosecα=} 1

√ 0096

b) cotg(90o_{+α) =−tgα=}

−√24

c) cosec(180o_{−α) = cosecα= 5}

d) sen(180o_{+α) =−senα=}

−√0096

e) cos(270o_{−α) =}

−senα=−√0096

f) tg(270o_{+α) = −cotgα=} −1

√

24

53. Sabiendo que tgα= 3, para α en el primer cuadrante, calcular:

a) tg(90o_{−α) = cotgα=} 1 3

b) sec(90o_{+α) =}

−cosecα=√₋103

c) cotg(180o_{−α) =}

−cotgα= −1 3

d) sen(180o_{+α) =}

−senα= −3 √

10

e) cos(270o _{−α) = −senα=} −3

√

10

f) cosec(270o_{+α) =}

−secα=−√10

54. Sabiendo que senα= 00_{25, para α en el primer cuadrante, calcular:} a) cos(90o_{−α) = senα= 0}0₂₅

b) cosec(90o_{+α) =}

secα= 1 √

009375

c) tg(180o_{−α) = −tgα=} −1

√

15

d) sen(180o_{+α) =}

−senα=−00₂₅

e) cotg(270o_{−α) = tgα=} 1

√

15

55. Sabiendo que cosα= 00_{9, para α en el primer cuadrante, calcular:} a) sen(90o _{−α) = cosα= 009}

b) cotg(90o_{+α) =}

−tgα=√0019 −009

c) tg(180o_{−α) =}

−tgα=√0019 −009

d) cos(180o_{+α) =−cosα=−009}

e) sec(270o_{−α) =−cosecα=} −1 √₀₀₁₉

f) cosec(270o _{+α) =}

−secα= −1 009

56. Sabiendo que cosα= 00_{4, para α en el primer cuadrante, calcular:} a) sen(180o_{−α) =}

senα=√00₈₄

b) cos(π+α) = −cosα=−00₄

c) tg(2π₋α) = −tgα= √0,84

−004

d) sec(90o_{−α) =}

cosecα= 1 √₀₀₈₄

e) cosec(₋α) = −cosecα= −1 √

0084

f) cotg(2π₋α) =−cotgα= −00₄ √

0084

57. Sabiendo que tgα=√12, para α en el primer cuadrante, calcular:

a) cos(180o_{+α) =}

−cosα= −1 √

13

b) tg(270₋α) = cotgα= 1 √₁₂

c) sen(2π₋α) =−senα=−√12

√

13

d) cosec(90o_{+α) =}

secα=√13

e) sec(180o_{−α) =}

−secα=−√13 f) cotg(π

2 −α) = tgα=

√

12

58. Sabiendo que sen 17o _'00_{2924, calcular razonadamente:} a) cosec 163o _{= cosec 17'3}0₄₁₉₉₇

b) sec 197o _{= −cosec 17' −3}0₄₁₉₉₇

c) tg 343o _{= tg(360−17) = tg(17)'0}0₃₀₅₈

d) tg 34o ₌₀0₆₇₄₇

59. Relacion´andolos con ´angulos del primer cuadrante[330o₌₋₃₀o_{, 1320'180 +60}o_, 3π

4 =π+

π

4], halla:

a) sen 330o _{= −sen 30}o₌₋1 2

b) sen 1320o = −sen 30o=−12

c) sen3π

4 = −sen 45

o₌ −√22

d) sen−π

3 = −sen 60o=−

√

3 2

e) cos 330o _{= cos 30}o₌ √3 2

f) cos 1320o ₌

−cos 60o₌₋1 2

g) cos3π

4 = −cos 45o=−

√

2 2

h) cos−π

3 = cos 60o=

1 2

i) tg 330o _{= −tg 30}o₌₋√3 3

j) tg 1320o _{= tg 60}o₌√₃

k) tg3π

4 = tg 45o= 1

l) tg−π

3 = −tg 60o=−

√

3

60. Determina, sin hacer uso de la calculadora, de las siguientes razones trigonom´etricas.

a) sen 210o _{= sen(180 + 30}o_{) =−sen 30}o₌₋1 2

b) cos 120o _{= cos(90 + 30}o_{) =−sen 30}o₌₋1 2

c) tg 330o _{= tg(−30}o_{) =−tg 30}o₌₋√3 3

d) cotg(₋60o_{) = −cotg 60}o₌ −1 tg 60o = −

1

√

3

61. Sabiendo que senα = 00_{6 y que α es un ´angulo del primer cuadrante, calcula:} a) sen(180o _{−α) = senα= 0}0₆

b) cos(180o _{+α) = −cosα=−0}0₈

c) tg(90o_{−α) = cotgα=}4 3

d) cotg(360o_{−α) = −cotgα=−}4 3

62. Expresar las siguientes razones trigonom´etricas en funci´on de ´angulos del primer cuadrante:

a) sen(₋120) =s(π+60) =−sen 60

b) sen(2700) = sen(π+ 0) =−sen 0

c) cos(₋30) = cos 30

d) cos(3000) =c(π

2 + 30) =−cos 30

e) tg(₋275) = tg 85

f) tg(1033) =t(3π

2 + 43) =−cotg 43

g) cotg(₋150) =c(π+30) = cotg 30

h) cotg(4500) =c(π+ 0) = cotg 0

i) sec(₋25) = sec(3π

2 + 65) = cosec 75

j) sec(745) = sec 25

k) cosec(₋155) =c(π+25) =−csc 25

l) cosec(4420) =c(π

2 + 10) = sec 10

63. Expresar las siguientes razones trigonom´etricas en funci´on de ´angulos del primer cuadrante:

a) sen(380) = sen 20o

b) cos(₋290) = cos 70o

c) cos(5000) =c(2π

3 + 50) =−sec 50

d) sen(₋2320) =s(π+20) =−sen 20

e) tg(₋475) = tg(π+ 65) = tg 65

f) tg(670) = tg(2π

3 +40) =−cotg 40

g) cotg(₋280) = cotg 80

h) sec(1945) =s(π−35) =−sec 35

i) cosec(₋938) =c(π

2+52) =−csc 52

j) cosec(1971) =c(π

2 + 81) =−csc 81

k) cotg(2365) =c(π+ 25) = cotg 25

l) sec(₋615) =s(π

64. Expresar las siguientes razones trigonom´etricas en funci´on de ´angulos del primer cuadrante:

a) sen(₋632) = sen 88

b) tg(₋2471) = tg 49

c) sen(₋780) =s(3π

2 +30) =−cos 30

d) cos(829) =c(π

2 + 29) =−sen 29

e) cos(₋670) = cos 50

f) tg(₋2670) =t(π−10) =−tg 10

g) cosec(710) =c(−10) =−cosec 10

h) cotg(461) =c(90 + 21) =−tg 21

i) cotg(342) =c(−18) =−cotg 18

j) sec(2010) =s(π+ 30) =−sec 30

k) cosec(₋2061) =c(π

2 + 9) = sec 9

l) sec(2001) =s(π+ 21) =−sec 21

65. Simplifica las siguientes expresiones trigonom´etricas:

a) cos3_{α + cosα·sen}2_{α= cosα}

b) 1 + cotg

2_α

1 + tg2_α = cotg

2_α

c) cos

2_{α(1 + tg}2_α)

cotgα = tgα

d) 1 + cosα sen2_α =

1 1−cosα

e) sen3_{α+ senα·cos}2_{α= senα}

f) senα_· 1

tgα = cosα

g) cos

2_α−sen2_α

cos4_α−sen4_α =1

h) cos

2_α−sen2_α

sen2_α−cos2_α = −1

i) cotg2_{α + sec}2_{α − cosec}2_{α = sec}2_α−1

j) tgα·cosα + tg

3_α·cosα

sec2_α = senα

k) sen

2_α

tg2_{α − tg}2_·sen2_α =1

l) 1 + tg

2_α

secα = secα

m) sen4_α−cos4_{α = sen}2_α−cos2_{α= 1−2 sen}2_α

n) cosecα

1 + cotg2_α = senα

˜ n) sec

2_{α+ cos}2_α

sec2_α−cos2_α =

1 + cos4_α

1−cos4_α

o) cos

2_α

1₋senα =1 + senα

66. Demostrar si son verdaderas o falsas las siguientes expresiones:

a) tgα+ cotgα = secα_·cosecα;[V] b) sen2_α−cos2_{β = sen}2_β−cos2_α;[V]

c) cotg2_α−cos2_{α = cotg}2_α·cos2_α;[V]

d) tgα+ tgβ

cotgα+ cotgβ = tgα·tgβ;[V]

e) senα·cosα cos2_α−sen2_α =

tgα

1₋tg2_α;[V]

f) cotgα₋ cotg

2_α−1

cotgα = tgα;[V]

g) senα+ cotgα

tgα+ cosecα = cosα;[V] h) tg2_α−sen2_{α= tg}2_{α sen}2_α;[V]

i) cos2_α·cos2_β−sen2_α·sen2_{β = cos}2_α−sen2_β;[V]

j) senα_·cosα_·tgα_·cotgα_·secα_·cosecα= 1; [V]

k) (senα+ cosα)2 _{+ (senα−cosα)}2_{= 2; [V]}

l) cotgα+ tgα cotgα₋tgα =

1

cos2_α−sen2_α;[V]

m) 1 + tgα 1₋tgα =

cosα+ senα

cosα₋senα;[V]

n) 1 + tg

2_α

cotgα =

tgα

cos2_α;[V]

˜

n) sec2_{α+ cosec}2_{α= sec}2_{α cosec}2_α;[V]

o) 1−senα cosα =

cosα

1₋senα; [V]

67. Demuestra las siguientes identidades:

a) (secα₋tgα)2 ₌ 1−senα

1 + senα

b) tgα+ cosα

senα = secα+ cotgα c) cosα+ secα= secα(1 + cos2_α)

d) senα

cosecα₋cotgα = 1 + cosα

e) senα_·cosα= (senα+ cosα)

2 ₋₁

2

1.1.3. Resoluci´on de tri´angulos

68. Resuelve cada uno de los tri´angulos ABC, no necesariamente rect´angulos, sabiendo que:

a) B = 120o_{, C = 20}o_{, b= 10m(Sol:A= 80}o_{, c= 10}√_1−sen2_{40 +}10 sen 40 sen 120, a=

10 sen 40 sen 120

√

1 + sen2₁₂₀₎

b) a= 36m,b = 46m y c= 52m c) A= 50o_{, a= 50m y b= 30m}

d) C = 48o_{, a= 32m y b = 20m}

e) B = 35o_{, a= 62m y b= 30m}

f) B = 50o_{, a= 22m y b= 18m}

69. De un tri´angulo rect´angulo sabemos que uno de los catetos es el doble del otro. Halla los ´angulos no rectos del citado tri´angulo(Sol:_{α= tg}−1 1

2 = 2605651, β= 6304349). Si adem´as se conoce que su hipotenusa mide 3m, halla las longitudes de los catetos(Sol:√3

5 y 6

√

5).

70. Desde cierto punto del suelo se ve un ´arbol bajo un ´angulo de 50o_{. ¿Bajo qu´e ´angulo se ver´a al}

doble de distancia?(Sol:_{α= tg}−1₍tg 50

2 )'3007897o) ¿Y al triple?(Sol:α= tg−1( tg 50

3 )'2106655o)

71. Un paseante se dirige hacia un castillo. Desde una torre de 75m de altura se ve el paseante bajo un ´angulo de 64o _{con la vertical y, un minuto despu´es, el ´angulo de visi´on se reduce a 32}o_.

¿Qu´e velocidad, en km/h, lleva el paseante?(Sol: 60

100075(tg 64−tg 32)'604145km/h)

72. En una circunferencia de 1m de radio trazamos una cuerda que une los extremos de un arco de 110o. Calcula la distancia del centro a la cuerda(Sol: _{cos 55}o_'00_57538m).

73. Las diagonales de un rect´angulo miden 12m y forman entre s´ı un ´angulo de 64o_{. ¿Cu´al es el}

´area del citado rect´angulo?(Sol:_{288 sen 32 cos 32'129}0_43m2₎

74. Halla la superficie de un logotipo con forma de pent´agono regular inscrito en una circunferencia de 5cm de radio(Sol:_10·25

2 cos 54 sen 54'5904410m 2_).

75. La distancia entre los centros de dos circunferencias, cuyos radios miden 5 y 18m, es de 20m. Halla el ´angulo que forma, con la recta que une los centros, una tangente com´un exterior.

76. Un faro, de 50m de altura, est´a situado sobre una roca que emerge del mar. Sabiendo que en un determinado instante la distancia de un punto a la base del faro (y cima de la roca) y cima del faro son de 65m y de 85m respectivamente, hallar la altura de la roca.

77. Un jugador de rugby, para realizar un ensayo, est´a situado a 10 y 16 metros de los postes de la porter´ıa, a la que ve bajo un ´angulo de 65o_{- ¿Cu´al es la anchura de la porter´ıa?}

78. Carmen est´a de pie, y desde sus ojos al suelo hay una distancia de 10_{75m. Observa los extremos}

de un poste, situado a 4mde distancia, bajo un ´angulo de 63o _{¿cu´al es la altura de dicho poste?}

79. Las dos diagonales de un paralelogramo miden 8 y 14cm y forman un ´angulo de 53o₃₇0_{. Halla}

los lados.

80. Un solar urbano tiene forma triangular con dos lados de 70 y 10 metros, formando ambos un ´angulo de 30o_{. Halla la medida de su contorno y su superficie(Sol:c'61}0_54m,)

81. Un jet privado vuela a una altitud de 3500m sobre el nivel del suelo. Desde una ciudad A se le ve llegar desde un ´angulo de 25◦_{. Desde una ciudad B, alineada con A en la}

direcci´on del avi´on, y situada a una misma altura sobre el nivel del mar, se le ve llegar desde un ´angulo de 45◦_{. Se}

trata de determinar la distancia en kil´ometros que separa las ciudadesA y B.4005,774mAs´ı mismo, si el avi´on viaja a 900km/h ¿En cu´anto tiempo estar´a sobre la vertical de

82. En este problema, donde se da un tri´angulo no rect´angulo, dos de cuyos lados valen 3cm y 4cm, y adem´as se conoce un ´angu-lo de 65◦_{, se trata calcular el ´angulo identificado por el s´ımbolo} α. (Sol:_{α = 42,82261353}◦ _{= 42}◦₄₉0_{21,41”) ¿Sabr´ıas calcular el tercer}

´angulo?(Sol:_{β= 180}◦₋₆₅◦_{−α= 72,17738647 = 64}◦₇₂0_1773”)

83. De nuevo se da un tri´angulo no rect´angulo, del que se conoce un lado igual a 8cm, y adem´as se conocen dos ´angulos expresados en radianes de π/6 y π/4. Se trata de calcular los dos lados restan-tes.(Sol:_{CB = 4}√_{2; AB = 4}√_{3 + 4 = 4(1 +}√₃₎₎ ¿Sabr´ıas calcular el tercer ´angulo? (Sol:_{14π/24 = 7π/12)}

84. En este f´acil problema hay que medir la altura del muro exterior de una fortaleza medieval. Para ello, si nos situamos a 80m del citado muro (puntoE), podemos alinear con la mirada la c´uspide de dicho muro con la cruz de la catedral de la fortaleza. Teniendo en cuenta que dicha cruz (puntoA) se encuentra a 60m del suelo (distancia AB), y que la base de la catedral se encuentra a 40m

de la base del muro, por dentro de la fortaleza, no deber´ıa ser dif´ıcil calcular la alturaCD.40m¿Se podr´ıa hacer este problema de otra forma?Por semejanza Calcular as´ı mismo el ´angulo α de alineamiento visual.α= 26,56505118◦_{= 26}◦₃₃0_54,18”

85. Como es bien sabido, sobre los claros acantilados de arenis-ca de Barbate est´a la Torre del Tajo. El siguiente ejercicio trata de determinar la altura de un punto Dsituado sobre la torre. Para ello imaginemos un barco que se sit´ua a una distancia desconocida BC de su base (punto C), de mo-do que ve dicho punto bajo un ´angulo de 45◦_{. Si el barco}

se adentra 80m mar adentro, punto A, ve el citado punto bajo un ´angulo de 30◦_{. Con estos datos ¿cu´al es la altura} CD?(Sol:80 tg 30

1−tg 30 '109,28m)

86. Consideremos la siguiente figura, que parte de un tri´angulo rect´anguloABC, del que se conoce una hipotenusa de 6cm, y un ´angulo agudo en Ab de 30◦_{. Consideremos ahora otro tri´angulo}

rect´anguloDEF de modo que la baseF Dest´a en la misma rec-ta que el segmento F B, y adem´as la diagonal F E pasa por C. La superposici´on de los dos tri´angulos delimita dos longitudes

CE = 5cm y F B = 2cm. Se trata de calcular la longitud del lado ED(Sol:_{CB = 3, CF =}√_{13, ED = 3 + (15}√_13/13)). ¿Sabr´ıas calcular el ´angulo Fb(Sol:_56,30993247◦_{= 56}◦₁₈0_35,76”)

87. Este problema es muy parecido al anterior, y en general la es-trategia de c´alculo va a ser similar. Aunque de nuevo Ab= 30◦_,

ahora se tienen las nuevas longitudes de ladosF B = 1, AC = 4,

DE = 6, todas ellas medidas en cent´ımetros. En este problema lo que se pide en realidad es calcular la longitud del segmento

DB.CB = 2, CF = √5, DB = 2 De nuevo se pregunta ¿sabr´ıas c´omo calcular el ´anguloFbdel tri´anguloDEF? Fb= 63,43494882◦₌

88. Se trata de resolver el siguiente tri´angulo no rect´angulo donde se tiene AB= 6, BC = 18 yBb= 30◦_{. Aunque salen n´umeros} raros, especialmente la hipotenusa mayor AC. No trabajes

con decimales, salvo para determinar el ´angulo α.(Sol:_{CD =}

9, BD= 9√3, AC = 6p10 +√3, α= 22◦₃₇0_50,66”)

89. Sea AB una altura de pie accesible, situado en terreno horizontal. Desde el punto E, si-tuado a 23,41m de A, con un aparato colocado en C, a 1m del suelo, se dirige una vi-sual a B, que forma un ´angulo de 4o₁₂0 _{con la horizontal. ¿Cu´anto mide la altura AB?}

90. En este problema consideramos un plano inclinado un ´angulo

α respecto la horizontal, que se supone sin rozamiento. So-bre dicho plano inclinado se sit´ua una masa m, que acaba desliz´andose por el plano debido a la fuerza del peso (fuerza debida a la gravedad). Dicho peso P→ se descompone en dos componentes F→T y

→

FN tangencial y normal al plano. En este

problema se trata de determinar el valor de dichas componen-tes. F→N=

→

P ·cosα, F→T=

→

P ·senα

91. Tenemos una pared AD de 5 metros de altura. A 3 metros de su base se sit´ua otra pared BE de 2 metros de altura. A continuaci´on se desean unir los puntos D y C (donde C es a priori desconocido) mediante una barra recta y r´ıgida DC, de modo que la distancia

CD sea m´ınima (para lo cual E debe encontrarse en el segmento

DC). En definitiva lo que se pide es resolver la imagen de la derecha, determinando DC y BC (Sol:_{BC = 2m DC =}√_{50 = 5}√₂₎. ¿Cu´anto vale α?(Sol:₄₅◦₎

92. Se trata de calcular la altura h del faro de Trafalgar, sabiendo que en cierto momento del a˜no, al mismo tiempo que una esta-ca de 10_{60 metros de altura proyecta sobre el suelo una sombra}

solar de 2 metros, el citado faro proyecta una sombra solar de 80m (Sol:_64m), pudi´endose considerar el sol puntual y en el infi-nito, por lo que las sombras se proyectan bajo un mismo ´angulo. Calcular as´ı mismo el ´angulo bajo el que se ve el sol medido desde el horizonte.(Sol:_{α= 38,65980825}◦_{= 38}◦₃₉0_35,31”)

93. En este problema se trata de calcular la longitudABen el tri´angulo escaleno que se suministra, que posee DC = 6, Db = 30◦_{, B}b _{= 60}◦_.

Como indicaci´on, antes de calcular el lado AB deber´as calcular el lado AC.(Sol:_{AB= 3cm)}

94. A cierta hora del d´ıa, un poste vertical de 20m de altura proyecta una sombra de 15m

¿Qu´e ´angulo formar´an, a dicha hora, los rayos solares con la horizontal? ¿Qu´e longitud tendr´a la sombra de un individuo que mide 10_{80m que est´e de pie?}

95. En este problema se da un trapecio como el de la figura, que tiene una base mayor de 12cm, una altura de 3cm, y los dos lados no paralelos forman dos ´angulos de 60◦ _{y 45}◦ _{respecto la base mayor.}

Se trata de calcular la longitud x de la base menor (Indicaci´on: resta a la base mayor las proyecciones verticales de los dos lados no paralelos)12−3−√3 = 9−√3'70₂₆₇₉

96. Desde un punto A observamos una torre bajo un ´angulo de 36o_{. Caminando 25m hacia ella la}

observamos bajo un ´angulo de 50o_{. Halla la altura de la torre(Sol:46}0_5m).

97. Un faro, de altura h, se encuentra situado sobre una roca de altura BO, siendo B la base del faro,

A su c´uspide, y O la proyecci´on vertical del faro sobre la horizontal. Sea Q un punto de la orilla de modo que O, Q y un barco en posici´on P quedan alineados. Si la distancia P Q es igual a 35m, y adem´as OP A[ = 63o_{, OQA}[ _{= 72}o _y \_{OQB = 40}o_,

determinar h.

98. Se tiene el tri´angulo rect´angulo de la figura al margen, del que s´olo se conoce que tiene base 5 y que cotgα = 2. Terminar de resolver cada uno de sus datos h, y, α? (Sol:_{h= 10, y= 5}√_{3, α= 26,56505118}◦_{= 26}o₃₃0_54,18”)

99. ¿Cu´al de los dos tri´angulos rect´angulos posee un mayor ´area? S1 = 50

√

3'86,6>84,8'60√2 =S2 Determinar previa-mente todos los elementos desconocidos de la figura al margen; ¿h, x, y, z?(Sol:_{h= 20, y= 10}√_{3, x= 8, z= 15/}√₂₎

100. Desde una carretera se ve el punto m´as alto de una monta˜na, y la visual de dicho punto forma un ´angulo de 40o _{con la horizontal. La carretera avanza hacia la monta˜na en l´ınea recta, y tras}

avanzar 5km, vemos que la visual con el pico de la monta˜na forma un ´angulo de 75o_{. ¿Qu´e altura}

tiene la monta˜na?

101. Una antena de telefon´ıa m´ovil est´a sujeta al suelo con dos vientos desde su punto m´as alto, con uno de los cables el doble de largo que el otro. Los puntos de sujeci´on de los cables est´an alineados con el pie de la antena. La distancia entre dichos anclajes es de 70m, y el ´angulo formado por los cables es de 120o_{. Calcula la longitud de cada cable y la altura de la torre de}

telefon´ıa.

102. Dos individuos A y B, separados 4km, observan un globo situado sobre el plano vertical que pasa por ellos. Los ´angulos de elevaci´on del globo desde los observadores son 46o _{y 52}o

respec-tivamente. Hallar la altura del globo y la distancia a cada observador.

103. Un faro tiene 40m de altura, hall´andose situado sobre una roca. Situados sobre un punto A de la playa hemos comprobado que la distancia que hay hasta la base del faro es igual a 60m, y la distancia que separa A de la c´upula del faro es de 80m. Hallar la altura de la roca sobre la que se encuentra el faro (Sol:_h= −40+√18400

2 '47082m).

104. El sol hace que una torre proyecte una sombra de 35m. Al mismo tiempo, una farola que mide 4m de altura arroja una sombra de 10_{25m ¿Qu´e altura tine la torre?(Sol:112m) ¿A qu´e altura}

(grados) est´a el sol sobre el horizonte?(Sol:_{72,64597536 = 72}◦₃₈0_45,51”)

105. Calcula la altura de una torre de la que situ´andonos a 25m de su pie, observamos su c´uspide bajo un ´angulo de 45o _(Sol:25m)

106. Un globo est´a sujeto al suelo por una cuerda de 80m de largo que forma con el suelo un ´angulo de 60o_{. Si la cuerda es recta ¿cu´al es la altura del globo? (Sol:h= 40}√_3'690_28m)

107. Desde la orilla de un r´ıo observamos la copa de un ´arbol situada en la otra orilla bajo un ´angulo de 60o_{. Si nos alejamos 10mde la orilla, el ´angulo de observaci´on es de 45}o_{. Calcular la anchura}

108. La gran pir´amide de Keops, en Egipto, mide de alto 137m, la base es cuadrada y posee de arista 230m. Halla el ´angulo de inclinaci´on de las caras laterales(Sol:_tg−1_(135/115√_2)'400_11009566o_).

109. Calcula los ´angulos de un rombo en el que las diagonales miden 6my 8m(Sol:₇₃0₇₃₉₈o_y1060₂₆₀₂o₎

110. Dos cuerdas de 14m y 20m se anudan por un extremo y se estiran formando un ´angulo de 20o_.

¿Qu´e distancia hay entre los dos otros extremos de las cuerdas?(Sol:₁₂0_92m)

111. Un tri´angulo posee dos lados de 25cm y 45cm, y el ´angulo comprendido de 47o_{. Calcula su}

´area. ¿Es rect´angulo?

112. ¿Cu´al es la apotema de un hex´agono regular cuyo lado mide 15m?(Sol:√₁₅2₋₇0₅2₌√₁₆₈0_75'120_99038m)

113. ¿Cu´al es la apotema de un pent´agono regular cuyo lado mide 7m?(Sol:₃0_{5/tg 36'4}0_817337m)

114. Calcula el ´area de un tetraedro cuya arista mide 5cmde lon-gitud(Sol:₂₀√₁₈0_75'860_602540m)

115. En un tri´angulo rect´angulo, se conocen la altura desde el ´angu-lo recto, igual a 3cm, y la proyecci´on de un cateto sobre la hipotenusa, igual a 2cm. Calcula los lados y los ´angulos de di-cho tri´angulo(Sol:_{c =}√_{13, a= 6}0_{5, b= 3}√_{13/2, B = tg}−1₍₁0_5)'

560₃₀₉₉o_{, C= tg}−1₍₀0b_6)'330₆₉₀₁o_.)

116. Una escalera de bomberos, que mide 30mde altura, est´a apoyada sobre la fachada de un edificio, formando un ´angulo de 75o_{. Si cada planta del edificio mide 3mde altura ¿a qu´e planta llegar´a la}

escalera como m´aximo?(Sol:₂₈0_{97m, 9plantas)}

117. Un tramo de carretera recto mide 180m y en ´el se ascienden 12m. Calcula el ´angulo de elevaci´on y la pendiente de dicho tramo(Sol:_{α= sen}−1_{(12/180) = 3}0₈₂₂₅o_{, pend= 4}0_{2473 %).}

118. Calcula el ´area de un hex´agono regular de 10cm de la-do.(Sol:_{Area= 6·5}√_75'2590_8076cm2₎

119. Calcula la altura de un edificio que bajo una distancia de 100m se ve bajo un ´angulo de 30o _(Sol:570_74m)

120. Sobre un mont´ıculo de 8m de altura se instala una antena de 10m de altura. ¿A qu´e distancia se ver´an bajo ´angulos iguales el mont´ıculo y la antena, o equivalentemente, el ´angulo bajo el que se ve mont´ıculo m´as antena es el doble que el del mont´ıculo?(Sol:_24m)

1.1.4. Problemas de todo tipo para que el alumno los ubique, algunos de m´as nivel

121. Una carretera tiene una se˜nal de “peligro, pendiente del 15 %”. ¿Qu´e ´angulo forma dicha ca-rretera con la horizontal?(Sol:_{α= 8,53076561}◦_{= 8}◦₃₁0_{50,76”) Si la pendiente es constante durante}

un tramo de carretera de 5km. ¿Cu´antos metros bajamos o subimos respecto el nivel del mar al atravesar dicho tramo?(Sol:_750m)

122. Se trata de calcular la alturahdel faro de Trafalgar, sabiendo que en cierto momento del a˜no, al mismo tiempo que una persona de 10_{80 metros de altura proyecta sobre el suelo una}

sombra solar de 2 metros, el citado faro proyecta una sombra solar de 90m(Sol:_81m), pudi´endose considerar el sol puntual y en el infinito, por lo que las sombras se proyectan bajo un mismo ´angulo. Calcular as´ı mismo el ´angulo bajo el que se ve el sol medido desde el horizonte.(Sol:_{α = 41}0_{9872125 =}

41◦₅₉0_13,96”)

123. Calcular la longitud de los lados de un tri´angulo is´osceles sabiendo que la altura mide 5m y que el ´angulo desigual es de 80o_{. Hallar su ´area(Sol:25 tg 40'20}0_977491).

124. Con los datos que se te suministran, distancia AB igual a 60m, Ab = 20o_{, Bb = 50}o_{, calcula la altura}

de la torre.

125. Sobre una carreterar, cuyo firme est´a inclinado una pendiente del 10 % respecto la horizontal h, situamos una barra s que est´a a su vez inclinada un 30 % respecto la carreterar. Deter-minar qu´e ´angulo sexagesimal est´a inclinada la barra s sobre la horizontalh(Sol:₂₂0_40983737◦₎. Determinar tambi´en qu´e

por-centaje est´a inclinada s respecto h(Sol:₄₁0_{2371134 %6= 40 %)}

.

126. Hallar las cordenadas de los puntos asociados en un sistema de referencia angular unitario a los ´angulos:

a) 45o_;

b) 60o_;

c) 135o_;

d) 315o_;

e) 120o_;

f) π;

g) 3π/2;

h) π/5;

i) 5π/4;

j) π/3;

127. Un tri´angulo tiene un primer ´angulo de 90g _{centesimales, un segundo ´angulo de π/3 radianes.}

¿Cu´anto mide el tercer ´angulo expresado en grados sexagesimales?39◦_{= 43,3333}g

128. La base de un tri´angulo is´osceles mide 20m, y el ´angulo opuesto es de 80o_{. Calcula los lados y}

el ´area del tri´angulo.

129. Una cometa est´a unida al suelo por un hilo de 100m, que forma con la horizontal un ´angulo de 60o_{. Suponiendo que el hilo est´a tirante, calcular la altura de la cometa.}

130. ¿Cu´antos radianes mide el ´angulo central de un pent´agono regular? ¿y de un dec´agono?

131. Responder a las siguientes cuestiones para ´angulos entre [0o_,360o_{) :}