UNIVERSIDAD FRANCISCO GAVIDIA FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA ASIGNATURA: INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II LABORATORIO II MÍNIMOS CUADRADOS

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UNIVERSIDAD FRANCISCO GAVIDIA

FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA

ASIGNATURA: INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II CARRERA: INGENIERÍA INDUSTRIAL

LABORATORIO II MÍNIMOS CUADRADOS

GRUPO CLASE: 02

PROFESOR:

ING. GEORGETH RENAN RODRÍGUEZ

ALUMNOS:

NOMBRES : CARNÉ

CUCHILLA ZEPEDA, JORGE ROBERTO CZ100705

GOMEZ MOLINA, CLAUDIA BEATRIZ GM103012

ORANTES CASTRO,BASILIO ANTONIO OC100710

SALAZAR AMAYA, VICTOR ALFONSO SA100410

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ÍNDICE

INTRODUCCIÓN... 3

OBJETIVOS... 4

Objetivo General... 4

Objetivos Específicos... 4

METODO DE MINIMOS CUADRADOS...5

HISTORIA... 5

ANTECEDENTES... 5

DEFINICIÓN DEL MÉTODO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS...6

DEFINICIÓN GENERAL... 6

DEFINICIÓN ESTADÍSTICA... 7

MÉTODO SIMPLIFICADO PARA RESOLVER ECUACIONES LINEALES POR EL MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS...8

FÓRMULAS UTILIZADAS PARA CALCULAR EL AJUSTE LINEAL SIMPLE POR MÍNIMOS CUADRADOS... 11

APLICACIONES DEL MÉTODO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS...12

EJEMPLOS E INTERPRETACIÓN DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS...13

CONCLUSIONES... 14

BIBLIOGRAFÍA... 15

ANEXOS... 16

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INTRODUCCIÓN

Por su importancia, los mínimos cuadrados (MC) son tratados con gran frecuencia en numerosas publicaciones científicas y técnicas. Es necesario señalar que el problema de MC es conocido bajo diferentes nombres en varias ramas, por ejemplo, en Estadística se le llama análisis de regresión, y en Ingeniería, estimación de parámetros, filtraje o identificación de procesos

Los antecedentes del método de los MC pueden atribuírseles a los matemáticos griegos, no obstante probablemente el primer precursor moderno es Galileo

En su forma más simple, intenta minimizar la suma de cuadrados de las diferencias ordenadas (llamadas residuos) entre los puntos generados por la función y los correspondientes en los datos.

La técnica de mínimos cuadrados se usa comúnmente en el ajuste de curvas. Muchos otros problemas de optimización pueden expresarse también en forma de mínimos cuadrados, minimizando la energía.

En este reporte se quiere exponer de forma clara para que sirve el Método de Mínimos cuadrados y cuáles son sus aplicaciones, así como también como podemos resolver un problema de forma rápida utilizando este método.

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OBJETIVOS

Objetivo General

Dar a conocer el método de Mínimos Cuadrados como una alternativa para pronosticar tendencias dentro de una amplia diversidad de alternativas, así como poner en práctica dicho método mediante el uso del software para pronósticos, ya que es fundamental implementar el uso de algún software estadístico para el análisis de datos.

Objetivos Específicos

• Comprender de una manera clara El Método de Mínimos Cuadrados y su utilización.

• Conocer las aplicaciones del método de mínimos cuadrados.

• Ejemplificar el uso de la técnica mediante el uso de software especial para pronósticos para dar una mejor comprensión de la misma.

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METODO DE MINIMOS CUADRADOS

HISTORIA

El día de Año Nuevo de 1801, el astrónomo italiano Giuseppe Piazzi descubrió el planeta enano Ceres. Fue capaz de seguir su órbita durante 40 días. Durante el curso de ese año, muchos científicos intentaron estimar su trayectoria con base en las observaciones de Piazzi (resolver las ecuaciones no lineales de Kepler de movimiento es muy difícil). La mayoría de

evaluaciones fueron inútiles; el único cálculo suficientemente preciso para permitir reencontrar al planeta fue el de un Carl Friedrich Gauss de 24 años (los fundamentos de su enfoque ya los había planteado en 1795, cuando aún tenía 18 años). Pero su método de mínimos cuadrados no se publicó hasta 1809, apareciendo en el segundo volumen de su trabajo sobre mecánica celeste, Theoria Motus Corporum Coelestium in sctionibusconicis solemambientium. El francés Adrien-Marie Legendre desarrolló el mismo método de forma independiente en 1805. En 1829 Gauss fue capaz de establecer la razón del éxito maravilloso de este procedimiento: simplemente, el método de mínimos cuadrados es óptimo en muchos aspectos. El argumento concreto se conoce como teorema de Gauss-Márkov

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Donde las constantes b (ordenada en el origen) y a (pendiente) dependen del tipo de sistema. El método más efectivo para determinar los parámetros a y b se conoce como la técnica de mínimos cuadrados.

Consiste en someter el sistema a diferentes condiciones, fijando para ellos distintos valores de la variable independiente x, y anotando en cada

caso el correspondiente valor medido para la variable dependiente y. De este modo se dispone de una serie de puntos (x1,y1), .... (xn,yn) que, representados gráficamente, deberían caer sobre una línea recta. Sin embargo, los errores experimentales siempre presentes hacen que no se hallen perfectamente alineados (ver Fig. 1).

DEFINICIÓN DEL MÉTODO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS

DEFINICIÓN GENERAL

Mínimos cuadrados es una técnica de análisis numérico enmarcada dentro de la optimización matemática, en la que, dados un conjunto de pares ordenados: variable independiente, variable dependiente, y una familia de funciones, se intenta encontrar la función continua, dentro de dicha familia, que mejor se aproxime a los datos (un "mejor ajuste"), de acuerdo con el criterio de mínimo error cuadrático.

En su forma más simple, intenta minimizar la suma de cuadrados de las diferencias en las ordenadas (llamadas residuos) entre los puntos generados por la función elegida y los correspondientes valores en los datos. Específicamente, se

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1 y se usa el método de descenso por gradiente para minimizar el residuo cuadrado. Se puede demostrar que LMS minimiza el residuo cuadrado esperado, con el mínimo de operaciones (por iteración), pero requiere un gran número de iteraciones para converger.

Desde un punto de vista estadístico, un requisito implícito para que funcione el método de mínimos cuadrados es que los errores de cada medida estén distribuidos de forma aleatoria. El teorema de Gauss-Márkov prueba que los estimadores mínimos cuadráticos carecen de sesgo y que el muestreo de datos no tiene que ajustarse, por ejemplo, a una distribución normal. También es importante que los datos a procesar estén bien escogidos, para que permitan visibilidad en las variables que han de ser resueltas (para dar más peso a un dato en particular, véase mínimos cuadrados ponderados).

La técnica de mínimos cuadrados se usa comúnmente en el ajuste de curvas. Muchos otros problemas de optimización pueden expresarse también en forma de mínimos cuadrados, minimizando la energía o maximizando la entropía.

DEFINICIÓN ESTADÍSTICA

Esta es otra técnica de tipo cuantitativo que permite el cálculo de los pronósticos para períodos futuros, para lo cual requiere de registros históricos que sean consistentes, reales y precisos. Esta técnica como su nombre lo indica se trata de sacar el total de las desviaciones elevadas al cuadrado a un valor mínimo: su objetivo es determinar los coeficientes a y b, que son conocidos como coeficientes

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MÉTODO SIMPLIFICADO PARA RESOLVER ECUACIONES

LINEALES POR EL MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS

1. Determinar los parámetros (a1,...,ar) de tal forma que los residuos sean

mínimos. Es decir, minimizamos la suma de las distancias verticales de los puntos a la curva.

(

)

(

(

)

)

Ψ = = − = − = = =

ei

y y

y f x a a i n i i i i r i n i n 2 1 2 1 1 1 2 * ,...,

2. Para obtener el mínimo es que las primeras derivadas parciales respecto a cada uno de los parámetros se anulen, es decir,

∂Ψ ∂ ∂Ψ ∂ ∂Ψ ∂ a a ar 1 2 0 0 0 = = =               . . .

3. Resolviendo este sistema, denominado sistema de ecuaciones normales, quedan determinados (a1,...,ar), así como la correspondiente función.

El procedimiento más objetivo para ajustar una recta a un conjunto de datos presentados en un diagrama de dispersión se conoce como "el método de los mínimos cuadrados". La recta resultante presenta dos características importantes:

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2. Es mínima la suma de los cuadrados de dichas desviaciones. Ninguna otra recta daría una suma menor de las desviaciones elevadas al cuadrado ∑ (Y

ー- Y)² → 0 (mínima).

El procedimiento consiste entonces en minimizar los residuos al cuadrado Ci²

Ci²=

(

Y °− ^Y

)

²

Reemplazando Y^ nos queda

Ci²=

[

Y °−(a+bx)

]

²

La obtención de los valores de a y b que minimizan esta función es un problema que se puede resolver recurriendo a la derivación parcial de la función en términos de a y b: llamemos G a la función que se va a minimizar:

G=

(yabx

Tomemos las derivadas parciales de G respecto de a y b que son las incógnitas y las igualamos a cero; de esta forma se obtienen dos ecuaciones llamadas ecuaciones normales del modelo que pueden ser resueltas por cualquier método ya sea igualación o matrices para obtener los valores de a y b.

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y=na+b

x

• Primera ecuación normal

Derivamos parcialmente la ecuación respecto de b

dG db=2

(yabx)(−x)=0 ¿−2

(yabx)(x)=0 ¿

(yabx) (x)=0 ¿

(xyaxbx²)=0 xya

x+¿b

x²=0 ¿

¿ xy=a

x−¿b

x²

¿

• Segunda ecuación normal

Los valores de a y b se obtienen resolviendo el sistema de ecuaciones resultante. • Formula General ´ x ¿

x n ´y ¿

y n a=

i yim

i xi n b= n

i xiyi

i yi

i xi n

i xi2−

(

i xi

)

2

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