limites

(1)

Límites

En la vida cotidiana nosotros tenemos claro lo que significa un límite. Es como poner una barrera de la que no podemos pasar, por ejemplo: Si tenemos una hora de llegada de una fiesta, digamos 9:00 p.m. entonces yo intentaré llegar lo mas precisa posible para maximizar mi tiempo en la fiesta pero sin pasarme de las 9 para no tener consecuencias negativas y si por alguna razón me pasara de la hora entonces será sólo por algunos minutos para poder justificarlos.

Establezcamos una relación ahora utilizando conceptos de álgebra: Un límite es una operación aplicada a una función en un punto.

La presentación de los ejemplos siguientes pretenden dar una idea del significado del límite de una función en un punto.

Sea f una función definida para valores reales en los alrededores de un número b, aunque no necesariamente en b mismo, como se representa gráficamente a continuación:

Se observa que cuando x→b entonces f(x) →L lo que se escribe como:

( )

lim

x→b f x L

=

Recuerde que la función puede estar o no definida

en ese punto, al que tiende la x, sin embargo si es importante recordar que al acercarme a la x debe ser el mismo valor en la y, L en este caso; de lo contrario se indica que el límite no existe.

Ejemplo:

Determinar los siguientes límites, utilizando para ello la representación gráfica de la función f que se da a continuación:

1.

( )

0

lim 3

x→ f x =

2.

( )

2

lim 0

x→ f x =

3.

( )

3

lim 2

x→ f x = −

4.

( )

4.5

lim 0

x→ f x =

5.

( )

2

lim 1

x→− f x =

6.

( )

7

lim 2

x→ f x =

(2)

Representemos gráficamente la función definida por:

¿Como resuelvo un límite?

Como ya vimos la idea es “acercarse” mucho a x, pero esto significaría tomar valores muy cercanos al valor al que tiene x he ir sustituyéndolo por la x para ver e deducir a que valor se “acerca” f(x). Pero esto no es práctico en nuestro curso pues no disponemos del tiempo, por lo tanto lo que haremos será sustituir la x por el valor al que tiende, y concluir con el dato que nos brida ya sea para aplicar alguna factorización o para responder el ejercicio.

Veamos algunos ejemplos resueltos:

Pero que sucede si al evaluar obtengo como solución alguna de las siguientes formas indeterminadas 0, , , ,

0 0

k ∞ k

∞ − ∞

∞ ∞ es entonces que debo tratar de llevar la función a

alguna que se comporte como ella alrededor del mismo punto y esto es mediante la factorización y simplificación.

Ejemplos: Calcule

En este caso si evaluamos obtendremos 0

0 así que debemos factorizar y simplificar para luego evaluar y dar la respuesta solicitada, veamos:

Como

( )

2

lim 2

x→ +f x

= y

( )

2

lim 2

x→ −f x = entonces

( )

2

lim 2

x→ f x

= ; pero

( )

4

lim 0

x→ +f x = y limx→ −4 f x

( )

=4 entonces

( )

4 lim

(3)

= = = 10 7

2

2 2

2 2 12 10

lim

3 5 2 7

x x x x x → + − ∴ = − −

(

)

→− + − − − − 3 2 2 1 1 0 lim 2 0 x

x a x ax

f

x x

Ahora debemos entonces factorizar para simplificar y después evaluar el nuevo límite y obtener el valor del límite buscado.

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

(

)

(

)

(

)(

)

→− →− →− →− + − + − − + − − + − + = = = − − − − − + − + 2

3 2 3 2 2 2

2 2

1 1 1 1

1

1 1 1

lim lim lim lim

2 2 2 1 2 1

x x x x

x x ax

x a x ax x x ax ax x x ax x

x x x x x x x x

(

)

(

)

→− − − − − − = = − − − 2 1

1 1 1

lim

2 1 2 3

x

a

x ax a

x entonces se concluye que

(

)

→− + − − − − ∴ = − − 3 2 2 1 1 1 lim 2 3 x

x a x ax a

x x

Pero ¿qué sucede si la función de la que necesitamos saber el límite tiene radicales? ¿cómo se trabaja con este tipo de funciones? Veamos algunos ejemplos:

Multiplico por el conjugado es decir completo la formula de diferencia de cuadrados para quitar los radicales que están provocando que se indefina la función al evaluarla en ese punto. → − − 3 8 2 lim 8 x x

x Recuerde que − =

(

−

)

(

+ +

)

3 3 2 2

a b a b a ab b

Ahora al evaluar, volvemos a obtener la forma indefinida 0

0 entonces procedemos a racionalizar utilizando esta fórmula de diferencia de cubos.

(

)

(

)

→ → → → − + + − = = − ₊ ₊ ₋ ₊ ₊ = = + + + + − ∴ = − i 2 3 3 3 2 3

8 3 3 3 2 3

3 3 2 3 8 3 3 8

2 2 4 8

lim lim

8 ₂ ₄ ₈ ₂ ₄

1 1 1

lim

12 64 2 8 4

2 4 2 1 lim 8 12 x x x x

x x x x

x _x _x _x _x _x

x x x x

(

)(

)

→ → − − − + +

− i +

2 2 2 4 0 lim 0 2

2 2 2

lim 2 2 x x x f x

x x x

x x

(

)(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

→ → → − + + = + + = + + = − − ∴ = − 2 2 2 2

2 2 2

lim lim 2 2 2 2 2 2 8 2

2 4

lim 8 2

2

x x

x

x x x

x x

(4)

→

+ −

− 2 3

2

6 3

lim

3

x

x x

x Recuerde que − =

(

−

)

(

+ +

)

3 3 2 2

a b a b a ab b

Ahora al evaluar, volvemos a obtener la forma indefinida 0

0 entonces procedemos a racionalizar utilizando esta fórmula de diferencia de cubos.

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

→ →

+ + + +

+ − + −

=

− ₊ ₊ ₊ ₊ ₋ ₊ ₊ ₊ ₊

− + + +

= = =

+ + + +

− + + + + + + + +

i

2

2 3 2

3

2 2

3

2 2

3 ₂ ₃ ₂ 3 ₂ ₃ ₂

3 3

2 2 2

3 3 2 3 2 3 3 2 3 2 3 3

6 3 6 9

6 3 6 27

lim lim

3 ₆ ₃ ₆ ₉ ₃ ₆ ₃ ₆ ₉

3 9 9 3 9 4

lim lim

9 9 18 3 9 18 9

3 6 3 6 9 6 3 6 9

x x

x x x x

x _x _x _x _x _x _x _x _x _x

x x x

x x x x x x x x x

→

+ −

∴ =

− 2 3

2

6 3 4

lim

3 9

x

x x

(5)

Límites al infinito

Resultado importante: lim 0

x

k x

→∞ =

Límites infinitos y Límites al infinito

En matemáticas el símbolo ∞se lee infinito y se refiere concretamente a una posición dentro de la recta de los números reales, no representa ningún número real. Si una variable independiente está creciendo indefinidamente a través de valores positivos, se escribe x→ +∞(que se lee: x tiende a más infinito), y si decrece a través de valores negativos, se denota como x→ −∞ (que se lee: x tiende a menos infinito).

Similarmente, cuando una función crece indefinidamente y toma valores positivos cada vez mayores, se escribe

( )

f x → +∞, y si decrece tomando valores negativos escribimos f x

( )

→ −∞.

Observando la figura adjunta la grafica de la función f, para valores de x positivos muy grandes. Si tomamos cada vez mayor, está cada vez más cerca de 0, pero nunca tomará el valor de cero. Si es suficientemente grande podemos conseguir que se acerque a 0 tanto como queramos.

Veamos algunos ejemplos resueltos de este tipo y como es importante la factorización y simplificación de ejercicios antes de la evaluación del limite.

Ejemplos:

2

lim :

x→+∞ x +x−x f ∞ − ∞ por lo tanto debemos de racionalizar con el fin factorizar

después. Solución:

(

)

(

)

(

)

2 2 2

2

2 2

2

lim lim lim lim

1 1

1 1 1 1

lim lim

2

1 0 1

1 1

1

1 1 1 1

1 1

1 lim

2

x x x x

x x

x

x x x x x x x x

x x x

x x x x x x

x x x x

x x

x

x x

x x x

→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

→+∞ →+∞

→+∞

+ + + −

+ − = = = =

+ + + +    

+ + + +

   

   

= = = =

 _ _  _ _ _ _ ₊ ₊

+ + + +

+ +

       

       +∞

 

∴ + − =

Observe que no se evalúa en partes es decir cuando sustituyo x lo hago en todo

(6)

Veamos otro ejercicio:

(

)

(

)

(

)

3 5 2 2 5 3

2 3 2 1

lim :

2 1

x

x x x x

f x x →+∞ − + − + _∞ ∞ − −

ahora vamos a factorizar sacando la mayor potencia de cada paréntesis para luego sacar nuevamente la mayor potencia del

numerador y denominador para simplificar y así quitar nuestro problema (recuerde que lo que hace el infinito en cada parte es la x).

Solución:

(

)

(

)

(

)

[ ]

3 5 2 3 5 2 ₂ 2 2 5 3 5 3 3

3 5 3

3 5 2 6 2 2 2 2 5 3 3

2 3 1

1 5 1

2 3 5 1

lim = lim

1

5 1

5

2 3 1 2 3

1 5 1 1

lim lim

1 5

x x

x x x

x x x x _x _x _x

x x

x

x x x x

x x x x x

x x x →+∞ →+∞ →+∞ →+∞       − + − +         − + − + _ _ __ _ _ __ =   − −   −_ _ − __             _ − + _ − _ + _ _ − + _ −  _{ } _ _ _ _ _ =     −_{  }_ − _ 

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

5 6 2 5 6 3

3 5 ₃ ₅

6

3 5

2 ₂

2 2 2

2 6 3 3 3 2 1 5 1 1 5

2 3 1 ₂ ₃ ₁

1 5 1 ₁ _{5 1}

1 0 0 5 1 0 5

lim lim

5

0 5 0

1 1

5 5

2 3 5 1

lim x x x x x x x x x

x x x _x _x _x

x

x x

x x x x

→+∞ →+∞ →+∞   +     =   − _ − _   _ _ _ _      − + − + _ _ _ _  _ − + _ − _ + _ − + − + −         = = = −       − − − − − −               − + − + ∴

(

)

5 2 5 3 1 = 5 5 1

x − x −