MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES

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MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES

2ºbac TEMA 6: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

GUÍA

1. Define límite de una función en un punto. Idea intuitiva. Ejemplo. 2. Define límite de una función en un punto. Ejemplo.

3. Límites laterales. Ejemplo.

4. Limites infinitos en un punto. Ejemplo. 5. Límites en el infinito. Ejemplo.

6. Propiedades de los límites.

7. ¿Cómo se calcula el límite de una función en un punto?

8. ¿Qué es una indeterminación? ¿Qué es resolver una indeterminación? a. Indeterminación de tipo K/0 b. Indeterminación de tipo 0/0 c. Indeterminación de tipo ∞/∞ d. Indeterminación de tipo ∞-∞ e. Indeterminación de tipo ∞.0 f. Indeterminación de tipo 1 ∞

9. Define función continua en un punto. ¿Qué condiciones se tienen que cumplir? Ejemplo. 10. Define función continua en un intervalo.

11. Define función continua en todo su dominio.

12. ¿Cuándo una función es discontinua? Tipos de discontinuidades.

EJERCICIOS

1. Si u(x)

2 y v(x)

–3 cuando x

+

, calcula el límite cuando x

+

de:

a) u(x) + v(x) d)

v

(

x

)

b) v(x)/u(x) e) u(x) · v(x)

c) 5u(x) f) 3

u

(

x

)

Solución: a) -1; b) -3/2; c) 25; d) No existe; e) -6; f) 3

2

.

2. Si u(x)

–1 y v(x)

0 cuando x

+

, calcula el límite cuando x

+

de: a) u(x) – v(x) d) log2v(x)

b) v(x) – u(x) e) u(x) · v(x)

c) v(x)/u(x) f) 3

u

(

x

)

Solución: a) -1; b) 1; c) 0; d) –

si v(x)

0+ y no existe si v(x)

0; e) 0; f) -1.

3. Indica cuáles de las siguientes expresiones son infinitos (±

) cuando x

+

:

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2ºbac 4. Si, cuando x

+

, f(x)

+

, g(x)

4, h(x)

, u(x)

0, asigna, siempre que

puedas, límite cuando x

+

a las expresiones siguientes:

a) f(x) – h(x) b)f(x)f(x) c) f(x) + h(x) d)f(x)x e) f(x) · h(x) f) u(x) u(x) g) f(x)/h(x) h) [–h(x)]h(x) i) g(x) h(x) j)u(x)/h(x) k) f(x)/u(x) l) h(x)/u(x) m) g(x)/u(x) n) x+ f(x) ñ) f(x) h(x) o) x+ h(x) p) h(x) h(x) q) x–x

Solución: a) +

; b) +

; c) Indeterminado; d) +

; e) -

; f) Indeterminado; g) Indeterminado; h) 0; i) 0; j) 0; k)

±

; l)

±

; m)

±

; n) +

; ñ) 0; o) Indeterminado; p) No existe; q) 0.

5. Las funciones f, g, h y u son las del ejercicio anterior. Di cuáles de las siguientes funciones son indeterminaciones. En cada caso, si es indeterminación, di de qué tipo, y, si no lo es, di cuál es el límite:

a) f(x) + h(x) b) f(x)/h(x)

c) f(x) –h(x) d) f(x) h(x)

e) f(x) u(x) f) u(x) h(x)

g) [g(x)/4] f(x) h) g(x) f(x)

Solución: a) Indeterminado; b) Indeterminado; c) +

; d) 0; e) Indeterminado; f)

±

; g) Indeterminado; h) +

.

6. Sabemos que

+∞ →

x

lim

f(x)= +

, x

lim

→+∞g(x)= -

y x

lim

→+∞g(x)=3. ¿En cuáles de los siguientes casos hay indeterminación para x

+

? En los casos en que no la haya, di el límite:

a) f(x) + g(x) b) g(x) + h(x)

c) f(x)/h(x) d) f(x)/g(x)

e) [h(x)] g(x) f) [3 – h(x)] · f(x)

Solución: a) Indeterminado; b) -

; c) +

; d) Indeterminado; e) 0; f) Indeterminado.

7. Calcula:

Solución: a) -

; b) 9; c) +

; d) 2/3. 8. Calcula:

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2ºbac

Solución: a) +

; b) -

; c) 0; d) 5/3.

9. Sin operar, di el límite, cuando x

+

, de las siguientes expresiones:

Solución: Todos +

, b) -

.

10. Calcula el límite, cuando x

+

, de las siguientes expresiones:

Solución: a) -

; b) 0; c) +

;d) +

; e) +

;f)0.

11. Calcula el límite, cuando x

-

, de las siguientes expresiones:

Solución: a) 5/3; b) No existe.

12. Halla el límite, cuando x

-

, de las siguientes expresiones:

Solución: a) -1/3; b) -

; c) 0.

13. Si =+∞

→ ( )

lim

2p x

x ,

lim

x→2

q

(

x

)

=

+∞

,

lim

x→2

r

(

x

)

=

3

y

lim

x→2

s

(

x

)

=

0

, di, en los casos en que sea posible, el valor del de las siguientes funciones:

[Recuerda que las expresiones (+

)/(+

), (+

)–(+

), (0)·(+

), (1) · (+

),(0)/(0) son indeterminaciones].

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2ºbac

Solución: a) +

; b) Indeterminado; c) 0;d) 1; e) +

;f) Indeterminado, g) Indeterminado, h) Indeterminado; i)+

; j)1; k) Indeterminado; l) 1; m) +

; n) 0; ñ) Indeterminado; o) Indeterminado.

14. Calcula los límites siguientes:

Solución: -9/8, 15/28.

15. Calcula:

Solución: -5.

16. Calcula el límite, cuando x

-

, de las siguientes expresiones:

Solución: a) -2, b) 0, c) -

, d) 1/5.

17. Calcula los siguientes límites comparando los exponentes del numerador y del denominador:

Solución: a)

2

3

, b) +

, c) 0, d) 0.

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2ºbac

Solución: a)

+

, b) 0, c)

+

, d) 0.

19. Calcula los límites de las siguientes funciones cuando x

+

:

Solución: a)

4

5

, b)

+

, c)

2

, d)

+

.

20. Calcula los siguientes límites:

Solución: a)

+

derecha,

izquierda; b) -2; c) 2; d)

+

izquierda,

derecha.

21. Calcula:

Solución: a)

+

derecha,

izquierda; b)

+

izquierda,

+

derecha.

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2ºbac Solución: a) 0; b) -5; c) 3/2; d) 0.

23. Averigua si las siguientes funciones son continuas en x= 2:

Solución: a) f(x) es continua en x= 2; b) f(x) no es continua en x= 2.

24. Estudia la continuidad de las dos funciones siguientes:

Solución: a) f(x) es continua en todos los reales; b) f(x) es continua en

– {0}. 25. Estudia la continuidad y representa gráficamente la función f(x):

Solución: Es continua en todo su dominio.

26. Estudia la continuidad de las siguientes funciones y represéntalas gráfica-mente:

Solución: a) Hay una discontinuidad evitable en x= 0. Discontinuidad de salto finito en x= 1. b) Discontinuidad de salto finito en x= 6.

27. Calcula el valor que debe tener k para que las siguientes funciones sean continuas:

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2ºbac 28. Calcula el valor de k para que cada una de las siguientes funciones sea continua:

Solución: a) k= 4, b) k=2.

29. Estudia la continuidad de estas funciones para los distintos valores del parámetro a:

Solución: a) La función es continua si a=8, b) la función es continua si a=1/2. 30. Dada la función:

Calcula el valor de b para que f(x) sea continua en x= –1. ¿Es continua en x= 1? Solución: b=6 y f(x) es continua en x= 1.

31. Estudia la continuidad, representa y halla los límites para x

+

y x

-

de la función:

Solución: Discontinuidad de salto finito en x= 2.

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2ºbac

Solución: Las tres son continuas en todos los reales.

33. Una empresa ha establecido para sus empleados un incentivo (en cientos de euros) en relación con el valor x (en cientos de euros) de lo vendido porcada uno. Dicho incentivo sigue la función:

a) Estudia la continuidad de f(x). Indica si el incentivo recibido por un empleado es sensiblemente distinto si el valor de las ventas es ligeramente superior o inferior a 10000€.

b) ¿Cuál es la cantidad máxima que un empleado podría recibir como incentivo si sus ventas fueran muy grandes? Justifica tu respuesta.

Solución: a) Hay una discontinuidad de salto finito en x= 100. El incentivo recibido por un empleado sí es sensiblemente distinto si el valor de sus ventas es ligeramente superior o inferior a 10000 € (x= 100). b) 1500 €.

34. Las conclusiones de un estudio establecen que el número de individuos de una determinada población de una especie protegida vendrá dado, durante los próximos años, por la función

siendo t el número de años transcurridos. Se pide: a) Tamaño actual de la población.

b) Si esta función fuese válida indefinidamente, ¿se estabilizaría el tamaño de la población? Justifica la respuesta.

Solución: a) f(0) = 5000 individuos. b) Se estabilizaría en 7500 individuos.

35. La profundidad de la capa de arena en una playa se verá afectada por la construcción de un dique. En una zona de la playa, esa profundidad vendrá dada por la siguiente función:

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2ºbac

Pes la profundidad en metros y t el tiempo en años desde el inicio de la construcción. Si la profundidad llegara a superar los 4 metros, se debería elevar la altura del paseo marítimo. a) ¿Es P(t) una función continua?

b) ¿Será necesario elevar la altura del paseo con el paso del tiempo, por causa de la profundidad de la arena?

c) Haz una gráfica aproximada de P(t).

Solución: a) P(t) es continua, b) la profundidad nunca llega a superar los 4 metros y no será necesario elevar la altura del paseo, c)

36. Un equipo de investigación ha estimado que el tiempo (T, en minutos) quese tarda en realizar cierta prueba de atletismo en función del tiempo de entrenamiento de los deportistas (x, en días), es:

a) Justifica que la función T es continua en todo su dominio.

b) Por mucho que se entrene un deportista, ¿será capaz de hacer la prueba en menos de 1minuto? ¿Y en menos de 2?

Solución: b) Ningún deportista sería capaz de realizar la prueba en menos de 1 minuto, ni en menos de 2 minutos.

37. Un comerciante vende un determinado producto. Por cada unidad de producto cobra 5 €. No obstante, si se le encargan más de 10 unidades, disminuye el precio por unidad, y por cada x unidades cobra:

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2ºbac

a) Halla a de modo que el precio varíe de forma continua al variar el número de unidades que se compran.

b) ¿A cuánto tiende el precio de una unidad cuando se compran “muchísimas” unidades? Nota: El precio de una unidad es C(x)/x.

Solución: a) a= 20, b) 4,47 €. 38. Calcula los siguientes límites

a)

1 1 lim 2 2 + − ∞ → x x x

b)

2 2 2x 2 6 4 lim 2 2 + + + − ∞ → x x x x

c)

1 4 1 lim 3 2 + − ∞ → x x x

d)

lim

(

− +1

)

∞ → x x x

e)

2 3 7 lim − − + ∞ → x x x

39. Calcula los límites:

4 4 6 lim ) 2 4 lim ) 3 2 lim ) 2 2 2 0 2 + − − + − + − + − → → +∞ → x x x x c x x b x x x a x x x

40. Estudia la continuidad en el intervalo [-3, 3] de la función:

2

3x

10

3

x

2

f(x)

x

2

x

1

x

3

1

x

3

2

+

− ≤ < −

=

− ≤ <

+

≤ ≤

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2ºbac Sol: en x=-2 es continua y en x=1 es discontinua de salto finito.

41. a) Determina el valor de a para que la siguiente función sea continua en x=-1

b) Estudia la continuidad de la función en el caso a=0

Sol: a)

2 5

=

a . b) En x=-1 hay una discontinuidad de salto finito donde el valor del salto es 5 y en x=1 hay una discontinuidad de salto infinito.

42. Estudia la continuidad de la función y=f(x) en el intervalo [-4,2], siendo:

Sol: En x=-3 es discontinua de salto finito, el valor del salto es 9-2=7. Es continua en x=1.

43. Estudia si la función está acotada y alcanza máximos y mínimos en el intervalo [4,6]. Razona la respuesta.

Sol: si, porqué es continua (debes estudiarlo en profundidad).

44. Halla los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones indicando de qué tipo son:

<

+

=

+

=

0

3

0

2

5

)

(

)

2

3

3

)

(

)

2 2

x

si

x

x

si

x

x

g

b

x

x

x

x

f

a

Sol: a) Evitable en x=-1, no evitable de salto infinito en x=2. b) No evitable de salto finito en x=0.

45. Halla el valor de a y b para que sea continua la función:

     > − ≤ ≤ − + − < + = 1 para 2 1 1 para 1 1 para ) ( 2 x b x x x a x x f

46. El área ocupada por una infección cutánea se desarrolla a partir del instante t = 0 según la función 1 10 ) ( 2+ + = t t t f .

3x

a

x

1

f(x)

ax

2

1

x

1

(2x 11) /(x

3)

x

1

+

< −

=

+

− ≤ <

2

2

3

( )

3

1

1

1

x

f x

x

x

x

≤ −

=

− < <

4

1

2

=

x

x

y

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2ºbac

a)

Calcula la superficie ocupada por la infección al principio.

b) Estudiar qué ocurre con el transcurso del tiempo. ¿Se estabiliza o desaparece la infección?

47. Una peña deportiva fundada en 1999 tiene x años de su fundación un número de miembros que viene dada por la función:

(

9 24 48

)

3 1 )

(x =− x3− x2+ x

f . ¿Llegará a

quedarse sin ningún socio?

48. Estudia la continuidad de la función.





>

<

=

16

5

16

2

5

9

)

(

x

si

x

x

si

x

x

f

49. El espacio recorrido por un móvil en función del tiempo viene dado por la siguiente función:

<

+

+

+

<

=

t

si

b

t

t

t

si

a

t

t

si

t

t

e

5

13

5

2

3

2

0

3

)

(

2 2

Determina el valor de a y de b para que la función sea continua en t=2 y t=5.

50. Estudia la continuidad de las siguientes funciones, el límite cuando x tiende a más y a menos infinito y el límite cuando x tiende a +2 y –2.

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2ºbac b)

51. Estudia la continuidad de las siguientes funciones, el límite cuando x tiende a más y a menos infinito y el límite cuando x tiende a 1 y –3.

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2ºbac b)

SELECTIVOS

Problema 1. Sept 2012. Se estima que el beneficio anual B(t), en %, que produce cierta inversión viene determinado por el tiempo t en meses que se mantiene dicha inversión a través de la siguiente expresión:

𝐵(𝑡) =𝑡236𝑡+ 324 + 1, 𝑡 ≥ 0

a) Describe la evolución del beneficio en función del tiempo durante los primeros 30 meses. b) Calcula, razonadamente, cuánto tiempo debe mantenerse dicha inversión para que el beneficio sea máximo. ¿Cuál es el beneficio máximo?

c) ¿Cuál sería el beneficio de dicha inversión si ésta se mantuviera en el tiempo de forma indefinida?

Solución: a) Durante los 30 primeros meses la evolución del beneficio es: empieza proporcionando un beneficio del 1% y va creciendo hasta los 18 meses en que alcanza su valor máximo, un 2%. A partir de los 18 meses, a medida que aumenta el tiempo que se mantiene la inversión el beneficio desciende y manteniéndola 30 meses alcanza el valor de 1´8824%. b) Según hemos calculado anteriormente el beneficio máximo se alcanza manteniendo la inversión durante 18 meses. Este beneficio máximo es del 2%.

c) Si la inversión se mantuviera en el tiempo de forma indefinida, el beneficio sería del 1%. PROBLEMA 2. Junio 2010. La siguiente función representa la valoración de una empresa en millones de euros en función del tiempo, t, a lo largo de los últimos 13 años:

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2ºbac

+

<

+

<

=

13

10

)

10

(

1

.

0

75

.

4

10

5

)

5

(

05

.

0

5

.

4

5

0

1

.

0

5

)

(

2

t

si

t

t

si

t

t

si

t

t

f

Estudia analíticamente en el intervalo [0, 13]:

a) Si la función f(t) es o no continua, indicando en caso negativo los puntos de discontinuidad. b) Instante t en el que la valoración de la empresa es máxima y dicha valoración máxima. c) Instante t en el que la valoración de la empresa es mínima y dicha valoración mínima. Solución: a) f(t) es continua en [ 0 , 13 ].

b) La valoración máxima se alcanza a los 13 años y es de 5´65 millones de euros. c) La valoración mínima se alcanza a los 5 años y es de 4´5 millones de euros.

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