I. INTRODUCCIÓN MECANICA MECANICA DE CUERPO RIGIDOS MECÁNICA DE CUERPO DEFORMABLE MECÁNICA DE FLUIDOS

I.

INTRODUCCIÓN

MECANICA

MECÁNICA DE FLUIDOS MECÁNICA DE CUERPO MECANICA DE

CUERPO RIGIDOS CUERPO FLUIDOS

DEFORMABLE CUERPO RIGIDOS DINAMICA ESTATICA CINETICA CINEMATICA

II.

NOCION DE CINEMATICA

La cinemática (del griegoκινεω, kineo, movimiento) es la

rama de la mecánica clásica que estudia las leyes del movimiento de los cuerpos sin tener en cuenta las causas que lo producen, limitándose esencialmente, al estudio de la trayectoria en función del tiempo.

También se dice que la cinemática estudia la geometría del

movimiento.

En la cinemática se utiliza un sistema de coordenadas para

II.

ELEMENTOS BASICOS DE LA

CINEMATICA

1.ESPACIO ABSOLUTO.

Es decir, un espacio anterior a todos los objetos materiales e

independiente de la existencia de estos.

Este espacio es el escenario donde ocurren todos los Este espacio es el escenario donde ocurren todos los

fenómenos físicos, y se supone que todas las leyes de la física se cumplen rigurosamente en todas las regiones de ese espacio.

El espacio físico se representa en la Mecánica Clásica

II.

ELEMENTOS BASICOS DE LA

CINEMATICA

2.TIEMPO ABSOLUTO

La Mecánica Clásica admite la existencia de

un tiempo absoluto que transcurre del

mismo modo en todas las regiones del

mismo modo en todas las regiones del

Universo y que es independiente de la

existencia de los objetos materiales y de la

ocurrencia de los fenómenos físicos.

II.

ELEMENTOS BASICOS DE LA

CINEMATICA

3.

MOVIL

El móvil más simple que podemos considerar es el punto material

o partícula.

La partícula es una idealización de los cuerpos que existen en la

Naturaleza, en el mismo sentido en que lo es el concepto de punto geométrico.

geométrico.

Entendemos por punto material o partícula a un cuerpo de dimensiones tan pequeñas que pueda considerarse como puntiforme; de ese modo su posición en el espacio quedará determinada al fijar las coordenadas de un punto geométrico.

Naturalmente la posibilidad de despreciar las dimensiones de un

cuerpo estará en relación con las condiciones específicas del problema considerado.

III.

RELATIVIDAD DEL MOVIMIENTO

Estudiar el movimiento de un cuerpo quiere decir determinar su

posición en el espacio en función del tiempo, para ello se necesita un sistema de referencia.

En el espacio euclidiano un sistema de queda definido por los elementos siguientes.

a. un origen O, que es un punto del espacio físico.

b. una base vectorial del espacio vectorial asociado a dicho b. una base vectorial del espacio vectorial asociado a dicho

III. RELATIVIDAD DEL MOVIMIENTO

Decimos que una partícula se encuentra en movimiento con respecto a un referencial si su posición con respecto a él cambia en el transcurso del tiempo.

En caso contrario, si la posición del cuerpo no cambia con respecto al

referencial, el cuerpo está en reposo en dicho referencial.

De las definiciones que acabamos de dar para el movimiento y el

reposo de un cuerpo, vemos que ambos conceptos son relativos.

III.

RELATIVIDAD DEL MOVIMIENTO

En la Figura hemos representado dos

observadores, S y S′, y una partícula P.

Estos observadores utilizan los

referenciales xyz y x′y′z′, respectivamente.

respectivamente.

Si S y S′ se encuentran en reposo

entre sí, describirán del mismo modo el movimiento de la partícula P. Pero si S y S′ se encuentran en movimiento relativo, sus observaciones acerca del movimiento de la partícula P serán diferentes.

III.

RELATIVIDAD DEL MOVIMIENTO

Para el observador en ubicado en la tierra la LUNA describirá una

órbita casi circular en torno a la TIERRA.

Para el observador ubicado en el sol la trayectoria de la luna es una

línea ondulante.

Naturalmente, si los observadores conocen sus movimientos

relativos, podrán reconciliar sus observaciones relativos, podrán reconciliar sus observaciones

IV.

MOVIMIENTO RECTILÍNEO

Decimos que una partícula tiene un movimiento rectilíneo cuando su trayectoria medida con respecto a un observador es una línea recta

1. POSICIÓN.

La posición de la partícula en La posición de la partícula en

cualquier instante queda definida por la coordenada x medida a partir del origen O.

Si x es positiva la partícula se localiza hacia la derecha de O y si x

es negativa se localiza a la izquierda de O.

IV.

MOVIMIENTO RECTILÍNEO

2. DESPLAZAMIENTO.

El desplazamiento se define como el cambio de posición. Se representa por el símbolo ∆x.

Si la posición final de la partícula P’ está la derecha de su posición

inicial P, el desplazamiento ∆x es positivo cuando el desplazamiento es hacia la izquierda ∆S es negativo

'

ˆ

ˆ

'

'

x

x

x

r

r

r

x i

xi

∆ = −

∆ = − =

r

r

r

−

IV.

MOVIMIENTO RECTILÍNEO

3. VELOCIDAD MEDIA

Si la partícula se mueve de P a P’ experimentando un desplazamiento ∆x positivo durante un intervalo de tiempo ∆t, entonces, la velocidad media será

1 2 x x x v = ∆ = − 1 2 1 2 1 2 ´ t t r r t r v t t x x t x v m m − − = ∆ ∆ = − − = ∆ ∆ = r r r r

IV.

MOVIMIENTO RECTILÍNEO

3. VELOCIDAD MEDIA

La velocidad media también

puede interpretarse geométricamente para ello se traza una línea recta que une los puntos P y Q como se muestra en la figura. Esta línea forma un triángulo de altura ∆x y base ∆t.

La pendiente de la recta es ∆x/∆t.

Entonces la velocidad media es la pendiente de la recta que une los puntos inicial y final de la gráfica posición-tiempo

IV.

MOVIMIENTO RECTILÍNEO

4. VELOCIDAD INSTANTÁNEA

Es la velocidad de la partícula en cualquier instante de

tiempo se obtiene llevando al límite la velocidad media es decir, se hace cada vez más pequeño el intervalo de tiempo y por tanto valores más pequeños de ∆x. Por tanto:

0 0

lim (

)

ˆ

lim (

)

t t

x

dx

v

t

dt

r

dr

dx

v

i

t

dt

dt

∆ → ∆ →

∆

=

=

∆

∆

=

=

=

∆

r

r

r

IV.

MOVIMIENTO RECTILÍNEO

4. VELOCIDAD INSTANTÁNEA

Si una partícula se mueve de P a Q. A medida que Q se aproxima más y

más a P los intervalos de tiempo se hacen cada vez menores. A medida que Q se aproxima a P el intervalo de tiempo tiende a cero tendiendo de esta manera las pendientes a la tangente. Por tanto, la velocidad instantánea en P es igual a la pendiente de la recta tangente en el punto P. La velocidad instantánea puede ser positiva (punto P), negativa (punto R) o nula (punto Q) según se trace la pendiente correspondiente

IV.

MOVIMIENTO RECTILÍNEO

6. ACELERACIÓN MEDIA .

Si la velocidad de la partícula al pasar por P es v _{y cuando pasa}

por P’ _es v’ _{durante un intervalo de tiempo ∆t, entonces:}

La aceleración media se define como ' v v v a = ∆ = − ' med a t t t = = ∆ −

IV.

MOVIMIENTO RECTILÍNEO

6. ACELERACIÓN INSTANTANEA .

La aceleración instantánea se obtiene llevando al límite la aceleración media cuando ∆t tiende a cero es decir

0 2 lim( ) ( ) t v dv a t dt d dx d x a ∆ → ∆ = = ∆ = ( ) = ₂ a dt dt dt = =

Ejemplo 01

La posición de una partícula que se mueve en línea recta está

definida por la relación Determine: (a) la posición, velocidad y aceleración en t = 0; (b) la posición, velocidad y aceleración en t = 2 s; (c) la posición, velocidad y aceleración en t = 4 s ; (d) el desplazamiento entre t = 0 y t = 6 s;

2 3

6

Solución

La ecuaciones de movimiento son 3 2

6

t

t

x

=

−

2 3 12t t dt dx v = = − t dt x d dt dv a 12 6 2 2 − = = =

Las cantidades solicitadas son

dt dt 2 • En t = 0, x = 0, v = 0, a = 12 m/s2 • En t = 2 s, x = 16 m, v = v_max = 12 m/s, a = 0 • En t = 4 s, x = x_max = 32 m, v = 0, a = -12 m/s2 • En t = 6 s, x = 0, v = -36 m/s, a = 24 m/s2

V.

DETERMINACIÓN DEL MOVIMEINTO DE

UNA PARTÍCULA

1. LA ACELERACIÓN COMO FUNCIÓN DEL TIEMPO a = f(t).

DETERMINACIÓN DEL MOVIMEINTO DE UNA

PARTÍCULA

2. LA ACELERACIÓN COMO FUNCIÓN DE LA POSICIÓN a = f(x).

V.

DETERMINACIÓN DEL MOVIMEINTO DE

UNA PARTÍCULA

2. LA ACELERACIÓN COMO FUNCIÓN DE LA VELOCIDAD a = f(v).

Se sabe que a = dv/dt o también a = vdv/ds, entonces podemos escribir

V.

DETERMINACIÓN DEL MOVIMEINTO DE

UNA PARTÍCULA

4. LA ACELERACIÓN ES CONSTANTE a = constante

A este caso se le denomina movimiento rectilíneo uniforme y las ecuaciones obtenidas son

Ejemplo 02

El auto mostrado en la figura se mueve en línea recta de tal manera que su velocidad para un período corto de tiempo es definida por pies/s, donde t es el tiempo el cual está en segundos . Determine su posición y aceleración cuando t = 3,00 s. Considere que cuando t = 0. S = 0

Solución

POSICIÓN Para el sistema de referencia considerado y sabiendo que la velocidad es función del tiempo v = f(t). La posición es

ACELERACIÓN. Sabiendo que

v = f(t), la aceleración se determina a partir de a = dv/dt

Cuando t = 3 s, resulta

Ejemplo 03

Un proyectil pequeño es disparado verticalmente hacia abajo dentro de un medio fluido con una velocidad inicial de 60 m/s. Si resistencia del fluido produce una desaceleración del proyectil que es igual a donde v se mide en m/s. Determine la velocidad v y la posición S cuatro segundos después de que se disparó el proyectil.

Solución

Velocidad: Usando el sistema

de referencia mostrado y sabiendo que a = f(v) podemos utilizar la ecuación a = dv/dt para determinar la velocidad como función del tiempo esto es

POSICIÓN: Sabiendo que v = f(t), la posición se determina a partir de la ecuación v = dS/dt

Ejemplo 04

Una partícula metálica está sujeta a

la influencia de un campo magnético tal que se mueve verticalmente a través de un fluido, desde la placa A hasta la placa B, Si la partícula se suelta desde el reposo en C cuando suelta desde el reposo en C cuando S = 100 mm, y la aceleración se

mide como donde S está

en metros. Determine; (a) la velocidad de la partícula cuando llega a B (S = 200 mm) y (b) el tiempo requerido para moverse de C a B

Solución

Debido a que a = f(S), puede

obtenerse la velocidad como función de la posición usando vdv = a dS. Consideramos además que v = 0 cuando S = 100 mm

El tiempo que demora en

viajar la partícula de C a B se determina en la forma

La velocidad cuando S = 0,2 m es

Cuando S = 0,2 m el tiempo

Ejemplo 05

La velocidad de un cuerpo móvil sobre el eje x está dado por v= 8+2t2 , estando y medido en cm y t en se g. Cuando t=3s el cuerpo esta a 52 cm a la derecha del origen. (a) Encontrar las expresiones de la aceleración y la posición del cuerpo en cualquier instante; (b) ¿Cuál es la velocidad inicial?; (c) ¿Cuál es la posición inicial?

a) v= 8+2t2 Cuando t=3s, x=52 cm

(

)

∫

=

∫

+ ⇒ + = t dx t dt dt dx _{2 2} 2 8 2 8 c t t x = + 3 + 3 2 8 2 ₃ = + + = b) v(t)=8+2t2=8 cm/s c) x(t)=8+2/3 t3 +10=10 cm 10 3 2 8 ) ( 10 52 ) 3 ( 3 2 ) 3 ( 8 ) 3 ( 3 3 + + = ⇒ = = + + = t t t x c c x

Ejemplo 06

Después de parar el motor de una canoa ésta tiene una aceleración en sentido opuesto a su velocidad y directamente proporcional al cuadrado de ésta. Esto es: dv/dt=-kv2 _{, donde k es una constante. Supongamos que}

se para el motor cuando la velocidad es de v₀ = 6 m/s, y que la velocidad disminuye hasta 3 m/s en un tiempo de 15s.

15s.

a) Determinar la velocidad v en el instante t después de parar el motor de la canoa.

b) Calcular el valor de k

c) Encontrar la aceleración en el instante en que se para el motor.

a) Considerando la expresión de la aceleración:

∫

∫

− = ⇒ − = t v v dt v k dv v k dt dv 0 2 2 0

[ ]

k t v v t v k t v v + = ⇒ =       − − 0 0 1 1 1 1 0

b) Para determinar el valor de k, cuando t=0, v₀=6 m/s , entonces: 1 90 1 ₋ = m k

c) Se conoce que cuando se para el motor, v= v₀ =6 m/s

( )

2 2 2 / 40 , 0 90 36 6 90 1 s m a v k a − = ⇒ − = − = − =

d) Para la distancia recorrida, tenemos:

t v k v v t k v v 0 1 1 1 + = ⇒ + =

(

k v t

)

k x t v k dt v dx dt t v k v dx t v k v dt dx t v k v t k v v t x x_o 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ln 1 1 1 1 1 + = ⇒ + =       + = ⇒ + = ⇒ + = ⇒ + =

∫

∫

=

Ejemplo 07

Una partícula se mueve a lo largo de una recta. Su aceleración está dada por a= 90-kx, donde x se da en metros y a en m/s2. Si v=0 en x= 1m y v=18 m/s cuando x= 3m, determina: a) El valor de la constante k; b) la posición de la partícula cuando su velocidad es otra vez cero; c) su velocidad cuando x= 4m; y d) la posición cuando la velocidad velocidad cuando x= 4m; y d) la posición cuando la velocidad es máxima

a) Considerando la expresión de la aceleración:

(

)

(

)

1 18 0 2 0 2 3 1 2 18 0 3 1 5 , 4 2 1 2 90 90 , − = − =         − ⇒ = − = ⇒ = =

∫

∫

s k v v x k x dv v dx x k dv v dx a dt v dx dt dv a

b) De la expresión para la velocidad: b) De la expresión para la velocidad:

(

)

( )

(

)( )

m x m x x x v pero v x x v x x dv v dx x v x v x 1 ; 39 0 1 39 0 , 5 , 175 180 5 , 4 2 1 2 5 , 4 90 5 , 4 90 2 1 2 2 0 2 1 2 0 1 = = = − − ⇒ = = − + − ⇒ =         − ⇒ = −

∫

∫

c) Reemplazando en la ecuación cuadrática la condición x= 4m: s m v v x x / 73 , 21 5 , 175 180 5 , 4 2 2 ≈ ⇒ = − + −

d) Para hallar la velocidad máxima, emplearemos el criterio de la segunda derivada:

(

)

1

Para cuando se aplica la primera derivada:

Aplicando la segunda derivada:

(

2

)

12 2 2 5 , 175 180 5 , 4 5 , 175 180 5 , 4 + − = ⇒ = − + − − x x v v x x

(

)

m x x x x dx d dx dv 20 0 90 5 , 4 0 5 , 175 180 5 , 4 2 1 2 = ⇒ = + − =       − + − = m x en máximo es v to lo por dx v d x 20 tan , 112 , 0 20 2 2 = − = =