Transformada de Laplace
Transformada de una derivada
El objetivo de usar la transformada de Laplace es poder resolver ecuaciones diferenciales. Para hacer esto, es necesario evaluar cantidades comoL[dy/dt]yL[d2y/dt2] .
Supongamos que tenemos una función f(t) con derivada f0(t), contínua para toda t ≥ 0, entonces, al aplicar la
definición de la transformada se tiene que
L[f0(t)] = ˆ ∞
0
e−stf0(t)dt
resolvemos esta integral por partes haciendou=e−st ydv=f0(t)dt, entoncesdu=−se−st yv=f(t), por lo que
ˆ ∞
0
e−stf0(t)dt=e−stf(t)
∞
0 +s
ˆ ∞
0
e−stf(t)dt
=−f(0) +sL[f(t)]
reordenando esta última expresión
=sF(s)−f(0)
Así
L[f0(t)] =sF(s)−f(0)
Podemos hacer exactamente lo mismo para la segunda derivada, es decir
L[f00(t)] = ˆ ∞
0
e−stf00(t)dt
nuevamente realizamos la integral por partes tomando esta vez a u=e−st ydv=f00(t), entoncesdu=−se−st y
v=f0(t), de forma que
L[f0(t)] = ˆ ∞
0
e−stf00(t)dt=e−stf0(t)
∞
0 +s
ˆ ∞
0
e−stf0(t)dt
=−f0(0) +sL[f0(t)]
pero ya conocemos el valor deL[f0(t)], por lo que
=−f0(0) +sL[f0(t)] =−f0(0) +s[sF(s)−f(0)]
entonces
L[f0(t)] =s2F(s)−sf(0)−f0(0)
Podemos repetir este procedimiento para derivadas de orden superior y siempre encontraremos expresiones similares.
De forma general se puede escribir que la transformada inversa de una derivada está dada por
L[fn(t)] =snF(s)−sn−1f(0)−sn−2f0(0)−...−f(n−1)(0)
Solución de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales
Como se puede observar de la fórmula encontrada para la transformada de una derivada,L[dny/dtn]depende de la
transformada dey(t), es decirY(s), y de lasn−1derivadas dey(t)evaluadas ent= 0. Esta propiedad hace que la transformada de Laplace sea adecuada para resolver problemas lineales con valores iniciales en los que la ecuación diferencial tiene coeficientes constantes.
Es decir, ecuaciones de la forma
an
dny dtn+an−1
dn−1y
dtn−1 +...+a0y=g(t)
con condiciones iniciales y(0) =y0, y0(0) =y1, ..., yn−1(0) =yn−1. Donde los coeficientesai son constantes y los
valores inicialesyi también son constantes.
Si aplicamos la transformada de Laplace a la ecuación diferencial obtenemos
L
an
dny
dtn+an−1
dn−1y
dtn−1 +...+a0y
=L[g(t)]
por la propiedad de linealidad de la transformada
L
an
dny
dtn
+L
an−1
dn−1y
dtn−1
+...+L[a0y] =L[g(t)]
sacando los coeficientes constantes
anL
dny dtn
+an−1L
dn−1y
dtn−1
+...+a0L[y] =L[g(t)]
si ahora utilizamos la definición de transformada de una derivada (defnición enmarcada en gris), obtenemos que
an[snY(s)]−sn−1y(0)−...−y(n−1)(0)]+
an−1[sn−1Y(s)]−sn−2y(0)−...−y(n−2)(0)] +...+a0Y(s) =G(s)
dondeL= [y(t)] =Y(s)yL[g(t)] =G(s).
En otras palabras,la transformada de Laplace de una ecuación diferencial lineal con coeficientes cons-tantes se convierte en una ecuación algebraica de Y(s).
Si se resuelve esta ecuación paraY(s), se obtieneP(s)Y(s) =Q(s) +G(s), dondeP(s) =ansn+an−1sn−1+...+a0
yQ(s)es un polinomio desde grado menor o igual an−1que consiste en varios productos de los coeficientesai y
las condiciones inicialesyo,y1, ...,yn−1 yG(s)es la transformada de Laplace deg(t).
Si de la expresiónP(s)Y(s) =Q(s) +G(s)despejamos aY(s)obtendremos que
Y(s) = Q(s)
P(s)+
G(s)
P(s)
Normalmente para resolver esta ecuación se escriben los dos términos sobre el mínimo comun denominador y después se descompone la expresión en dos o más fracciones parciales. Por último, la solucióny(t)del problema con valores iniciales original está dada pory(t) =L−1[Y(s)].
Ejemplo: Solución de una ecuación con valores iniciales de primer orden
Utiliza la transformada de Laplace para resolver el problema con valores iniciales
dy
dt + 3y= 13 sin 2t, y(0) = 6
Solución:Primero se toma la transformada de cada miembro de la ecuación diferencial
L dy
dt
+ 3L[y] = 13L[sin 2t]
dado que
L dy
dt
=sY(s)−y(0)
yy(0) = 6, entonces
L dy
dt
=sY(s)−6
además, dado queL[y] =Y(s)yL[sin 2t] = 2/(s2+ 4)podemos escribir
L dy
dt
+ 3L[y]−13L[sin 2t] =sY(s)−6 + 3Y(s)−13 2
(s2+ 4) = 0
es decir,
sY(s)−6 + 3Y(s)− 26
(s2+ 4) = 0
factorizandoY(s)
(s+ 3)Y(s)−6− 26
(s2+ 4) = 0
pasando los dos términos de la derecha al otro lado de la igualdad
(s+ 3)Y(s) = 6 + 26 (s2+ 4)
despejandoY(s)
Y(s) = 6 (s+ 3)+
26 (s+ 3)(s2+ 4)
ahora escribimos los dos términos fraccionarios con el mismo común denomimador
Y(s) = 6 (s+ 3)+
26
(s+ 3)(s2+ 4) =
6(s2+ 4) + 26 (s+ 3)(s2+ 4) =
6s2+ 50 (s+ 3)(s2+ 4)
puesto queel polinomio cuadratico s2+ 4no se factoriza usando números reales,debemos suponer que
el numerador en la descomposición de fracciones parciales es un polinomio lineal en s:
6s2+ 50 (s+ 3)(s2+ 4) =
A s+ 3+
Bs+C s2+ 4
observa que se ha colocado el términoBs+Ccomo numerador en la fracción que contiene as2.
6s2+ 50 (s+ 3)(s2+ 4) =
A s+ 3 +
Bs+C s2+ 4 =
A(s2+ 4) + (Bs+C)(s+ 3) (s+ 3)(s2+ 4)
igualando los extremos
6s2+ 50 (s+ 3)(s2+ 4) =
A(s2+ 4) + (Bs+C)(s+ 3) (s+ 3)(s2+ 4)
ahora igualamos los numeradores
6s2+ 50 =A(s2+ 4) + (Bs+C)(s+ 3)
desarrollando el lado derecho
6s2+ 50 =As2+ 4A+Bs2+ 3Bs+Cs+ 3C
agrupando términos semejantes
6s2+ 50 =s2(A+B) +s(3B+C) + 4A+ 3C
de esta última expresión, al comparar los términos ens2,sy las constantes, se encuentran tres condiciones
6 =A+B (1)
0 = 3B+C (2)
50 = 4A+ 3C (3)
ahora debemos resolver este sistema de ecuaciones para encontrar el valor de las constantesA,B yC.
DespejandoB de (1) y sustituyendo en (2)
0 = 3(6−A) +C= 18−3A+C
despejandoC de esta última expresión y sustituyendo en (3)
50 = 4A+ 3(−18 + 3A)
50 = 4A−54 + 9A
50 = (4 + 9)A−54 = 13A−54
despejandoA
50 + 54
13 =A
por lo queA= 8
Sustituyendo el valor encontrado para A en (1), encontramos que B = 6−8 = −2. Finalmente, sustituyendo el valor deB en (2) encontramos queC= 6.
EntoncesA= 8, B=−2 yC= 6, por lo que podemos reescribir la expresión
6s2+ 50 (s+ 3)(s2+ 4) =
A s+ 3+
Bs+C s2+ 4
en la siguiente forma
6s2+ 50 (s+ 3)(s2+ 4) =
8
s+ 3+
−2s+ 6
s2+ 4
entonces
Y(s) = 8
s+ 3 +
−2s+ 6
para encontrar la funcióny(t)debemos obtener la transformada inversa deY(s), entonces
y(t) =L−1[Y(s)] =L−1
8
s+ 3+
−2s+ 6
s2+ 4
por la linealidad de la transformada inversa,
L−1
8
s+ 3+
−2s+ 6
s2+ 4
=L−1
8
s+ 3
+L−1
−2s+ 6
s2+ 4
podemos esparar en dos fracciones el término de la derecha
L−1
8
s+ 3 +
−2s+ 6
s2+ 4
=L−1
8
s+ 3
+L−1
−2s
s2+ 4+ +6
s2+ 4
entonces tendremos
L−1
8
s+ 3 +
−2s+ 6
s2+ 4
=L−1
8
s+ 3
+L−1
−2s
s2+ 4
+L−1
6
s2+ 4
encontramos las transformadas inversas de cada uno de estos tres términos
L−1
8
s+ 3
= 8L−1
1
s+ 3
= 8e−3t
L−1
−2s
s2+ 4
=−2L−1
s
s2+ 4
=−2 cos 2t
L−1
6
s2+ 4
=6 2L
−1
2
s2+ 4
= 3 sin 2t
con esto hemos resuelto la ecuacion, por lo que podemos escribir
y(t) = 8e−3t−2 cos 2t+ 3 sin 2t
la cual es la solución del problema con valores iniciales. Observa que esta solución no incluye constantes ci porque
hemos utilizado el valor inicialy(0) = 6, es decir, la solución encontrada es una solución particular para la ecuación diferencial.
Ejercicio:
1. Utiliza la transformada de Laplace para resolver el problema con valores iniciales
dy
dt −y= 1, y(0) = 0
