guia03 Ecuaciones Diferenciales

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GUIA 3: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Asignatura: Ecuaciones Diferenciales Docente: Rafael Bastidas

UNIVERSIDAD AUTONOMA DE NARI ˜

NO

FACULTAD DE INGENIERIA

San Juan de Pasto Marzo de 2011

Logros

1. Reconozco las caracteristicas de una Ecuaci´on Diferencial.

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1. CONOCIMIENTOS PREVIOS

Para solucionar una ecuación diferencial se puede emplear algoritmos espec´ıficos para cada tipo. En ocasiones seguir el algoritmo puede ser muy fácil, pero se puede complicar el ejercicio al desarrollar las integrales si no se sabe trabajarlas. Los algoritmos se han desarrollado para algunos tipos de Ecuaciones Diferenciales en particular, en otros casos la solución puede ser muy compleja y no se la puede alcanzar facilmente o incluso puede llegar a no encontrarse.

Para la solución de una ecuación diferencial se necesita tener suficientes conocimientos matemáticos respecto al algebra, calculo diferencial, calculo integral, geometr´ıa anal´ıtica y trigonometr´ıa. Motivo por el cual las dos primeras gu´ıas de este curso se han dedicado a profundizar en aspectos fundamentales del Cálculo Diferencial y el Cálculo Integral.

Descripci´on de una Ecuaci´on Diferencial

Una ecuación diferencial, se llama as´ı porque trabaja con derivadas, la derivada de mayor orden constituye el orden de la Ecuación Diferencial. Y la solución será una función((y))tal que al reemplazarla en la ecuación dada resulte una tautolog´ıa o proposición verdadera.

((ECUACION DIFERENCIAL: Es una ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes.1₎₎

Por ejemplo, si tenemos y = y’, para hallar la solución se deberá encontrar una función((y))tal que al derivarla una vez el resultado sea la misma función inicial. Una solución es y=ex_{,otra y=5}_ex_{, pero en forma general el resultado se}

puede expresar como y=cex _{ya que cumple la condici´}_{on dada en forma general y el valor del par´}_{ametro c nos}

determinará un miembro de la familia de soluciones. Una constante de integración((c))aparece porque se está trabajando una ecuación diferencial de primer orden, si fuera de orden 2 tendr´ıamos dos constantes y as´ı sucesivamente.

Para solucionar la ecuaci´on:

y0−3 = 0

Despejando obtenemos: y’ = 3,que al integrarla nos de la solución :y = 3x + C. Que es la ecuación de una recta, donde C es una constante de integración, que para este caso particular es el intercepto con el eje y.

La soluci´on as´ı planteada corresponde a una familia de rectas paralelas, donde el valor de C nos da un resultado para una recta particular. En otras palabras cada valor de C nos determina un miembro de la familia de rectas. Ver figura 1

Figura 1:Familia de Soluciones para y’- 3 = 0

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Para el caso de y”=2, ecuaci´on diferencial de orden 2. Tenemos que y’ = 2x +C1 y por lo tanto:

y=x2+C1x+C2

La soluci´on en este caso son una familia de funciones con 2 par´ametrosC1 yC2. Espec´ıficamente se trata de

par´abolas que se abren hacia arriba. Donde las constantesC1yC2son caracter´ısticas propias de cada soluci´on

particular. Ver figura 2

Figura 2:Familia de Soluciones para y”= 2, variacion deC2

El corte con el eje y lo determinaC2, mientras que la posici´on del vertice de la par´abola en el plano se ve afectada por C1. Ver figura 3

Figura 3:Familia de Soluciones para y”= 2, variacion deC1

Soluci´on de una Ecuaci´on diferencial y problema de Valor Inicial:

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Ejemplo: Probar que sen(x) es soluci´on de y” + y =0. Como y= sen(x), y’=cos(x) y y”=-sen(x), al sustituir en la ecuaci´on:

y00+y=−sen(x) +sen(x) = 0

Cuando se da una condici´on inicial, o se conoce un punto y(x0) =y0 de una de las posibles trayectorias o integrante

de la familia de curvas solución. Se puede calcular el valor de la constante C consiguiendo la ecuación de una curva particular. Esto es válido si estamos trabajando con una ecuación de primer orden puesto que solamente tendr´ıamos una sola constante, pero si la ecuación estudiada es de segundo orden necesariamente debemos conocer dos

condiciones iniciales y(x0) =y0 y dydx(x0) =y1 para poder resolver el sistema con las dos constantes desconocidas

En otras palabras, las condiciones iniciales son valores de la soluci´on y/o de sus derivadas en puntos espec´ıficos.

El número de condiciones iniciales requeridas para una ecuación diferencial dada dependerá del orden de la ecuación diferencial.

Ejemplo: Verificar siy(x) =x−32 es soluci´on de 4x2y00+ 12xy0+ 3y= 0, y que las condiciones iniciales: y(4)=1

8, y

y’(4) = -₆₄3 son v´alidas.

Solución: Efectivamente si se sustituye la función y(x), su primera y segunda derivada en la Ecuación diferencial:

4x2y00+ 12xy0+ 3y= 0

4x2(15 4 x

−7

2_{) + 12}_x₍−3 2x

−5

2_{) + 3(}_x−32_{) = 0}

15x−32 −18x− 3 2 + 3x−

3 2 = 0 el resultado es cero, por lo tanto es soluci´on. Adem´as para y(4) = 4−32 =√1

43 = 1

8, adem´as y

0₍_x_{) =}₋3 2x

−5 2, evaluando en x=4, Se tiene:y0(4) =−3

24

−5 2 =−3

2 1

√

45 =− 3 64

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Una gran cantidad de leyes en la F´ısica, Qu´ımica y Biolog´ıa tienen su expresión natural en ecuaciones diferenciales ordinarias o parciales. También, es enorme el mundo de aplicaciones de las ecuaciones difeenciales en Econom´ıa, Ciencias Sociales, Astronom´ıa y en las mismas Matemáticas. La causa es simple, si un fenómeno se puede expresar mediante una o varias razones de cambio entre variables implicadas entonces correspondientemente tenemos una o varias ecuaciones diferenciales.

El Ejemplo m´as simple de una ecuaci´on diferencial proviene de la segunda ley de Newton F=m.a, ya que si un cuerpo cae por influencia de la fuerza de gravedad entonces2

m.a=m.g

y como a = d_dt2y2, donde y(t) denota la posici´on del cuerpo al tiempo t, tenemos

d2_y dt2 =g

que es una ecuación diferencial ordinaria, cuya solución es la función de posición y(t). Si además suponemos que sobre el cuerpo actua una fuerza de fricción con el medio que lo rodea, cuya magnitud proporcional a la velocidad instantanea dy_dt se sigue que

md 2_y

dt2 =mg−k dy

dt

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de donde

d2_y dt2 +

k m

dy dt =g

La cual es una ecuaci´on diferencial ordinaria de segundo orden

Se denominan Ecuaciones Diferenciales Ordinarias a las que no contienen derivadas parciales. Sino estariamos tratando de Ecuaciones Diferenciales en derivadas parciales.

Las siguientes son importantes ecuaciones en derivadas parciales:

Ecuaci´on de Poisson:

∂2u ∂x2 +

∂2u ∂y2 +

∂2u

∂z2 =−4πρ(x, y, z)

Ecuaci´on de Propagaci´on del Calor:

∂2_u ∂x2 +

∂2_u ∂y2 +

∂2_u ∂z2 =k

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2. FUNDAMENTACION CIENTIFICA

Ecuaciones Separables

Es el tipo de Ecuaciones Diferenciales m´as sencillas, se trata de todas aquellas ecuaciones que pueden expresarse en forma de un producto de dos funciones, una dependiente de x y otra dependiente de y, hablando en t´erminos generales.

y0=f(x).g(y)

Cualquier otra forma de producto o cosiente entre f(x) y g(y) es separable, podr´ıa ser un cociente de las funciones indicadas, es decir que pueda ubicarse en un lado de la igualdad todo lo que dependa de una variable y del otro lado lo que dependa de la otra variable.

y0= f(x)

g(y) Por ejemplo la ecuaci´on anterior podr´ıa expresarse como:

y0.g(y) =f(x)

en este caso ya es posible integrar de ambos lados y encontrar una respuesta para y.

Ejemplos: Resolver 1. dy_dx =e−y_cos₍_x₎

dy dx =e

−y_cos₍_x₎

Se separa variables

eydy=cos(x)dx

Se integra

Z

eydy=

Z

cos(x)dx

ey=sen(x) +C y=ln(sen(x) +C)

2. El mismo ejercicio planteado como problema de valor inicial dy_dx =e−y_cos₍_x_{), con y(0)=1}

dy dx =e

−y_cos₍_x₎

Se procede igual que en el ejmplo anterior, para obtener

y=ln(sen(x) +C)

Sustituyendo los valores conocidos

1 =ln(sen(0) +C) 1 =ln(C)

C=e

Entonces la soluci´on particular buscada es

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Figura 4:Familia de Solucionesy=ln(sen(x) +C) para dy_dx=

e−y_cos₍_x₎ _{Figura 5:}_Soluci´_{on Particular}_y₌_ln₍_sen₍_x_{) +}_e₎

3. APLICACION

1. Comprobar que

a) f(x) =e−3x_{+ 5 es soluci´}_{on de}_y0_{+ 3}_y_{= 15}

b) f(x) = 1

x+xes soluci´on dey

00₋ 2

x2y+

2

x= 0

c) xy2₋_y3₌_c_{es soluci´}_{on de (2}_x₋₃_y₎_y0₊_y_{= 0. Sea c una constante albitraria}

d) g(x) =e−3x_{es soluci´}_{on de}_y00_{+ 6}_y0_{+ 9}_y_{= 0}

2. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales separables:

a) 2xy.dx + (1+x2₎_y2_.dy=0 b) sen x . dy - y ln y. dx=0

c) (1+y2).dx + (1+x2).dy=0

d) (1+y2).dx + xy.dy=0

e) ey(1+x2).dy - 2x(1+ey).dx=0

4. COMPLEMENTACION

ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVE: Para poder resolver ecuaciones diferenciales de primer orden es necesario tener cargado en el ordenador la utilidad ODE1.MTH, lo cual se consigue seleccionando las opciones File/Load/Math o File/Load/Utility. Esta utilidad proporciona una serie de funciones que nos permiten resolver las ecuaciones diferenciales utilizando distintos m´etodos.

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La ecuaci´on diferencial es de la forma

y0=p(x).q(y)

siendo p(x) una expresión cualquiera en función solo de x, y donde q(y) es una expresión cualquiera que no depende de x solo de y. Entonces debemos utilizar la función de DERIVE for Windows

SEPARABLE(p,q,x,y,a,b),

Al expresar la ecuaci´on de esa forma, tenemos:y0=ey₍_ex_{+ 1)}

Para aplicar la funcion SEPARABLE se debe tener en cuenta que a y b son los valores de x e y para los cuales queremos una solución particular. Para el caso en estudio, se debe introducir la expresión de la siguiente manera en Derive: SEPARABLE(#e ∧x+1,#e∧y,x,y,0,1) y se obtendrá como resultado:

SEPARABLE(ex_{+ 1}_{, e}y_,x,y,0,1)

Al simplificar esta expresión con la opción Simplify o presionando el botón =, se tiene

e−1−e−y=ex+x−1

Para obtener y en funci´on de x se debe seleccionar las opciones Solve/Algebraically, con la opci´on Variable igual a y, calculada en los Reales con lo cual obtendremos