Análisis de transferencia de calor transiente en paredes

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ANÁLISIS DE TRANSFERENCIA DE CALOR

TRANSIENTE EN PAREDES

DAVID LENIS YÁÑEZ

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA BOGOTÁ, D.C.

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ANÁLISIS DE TRANSFERENCIA DE CALOR

TRANSIENTE EN PAREDES

DAVID LENIS YÁÑEZ

Proyecto para optar al título de Ingeniero Mecánico

Asesor: Rafael Beltrán Pulido Ingeniero Mecánico, Msc.

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA BOGOTÁ, D.C.

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Bogotá, Mayo de 2004

Doctor:

ALVARO E. PINILLA S.

Director del Departamento de Ingeniería Mecánica Facultad de Ingeniería

Universidad de los Andes

Estimado Doctor:

Por medio de la presente, someto a su consideración el proyecto de grado titulado

ANÁLISIS DE TRANSFERENCIA DE CALOR TRANSIENTE EN PAREDES.

Certifico como asesor que el proyecto de grado cumple con los objetivos propuestos y que

por lo tanto califica como requisito para optar al título de Ingeniero Mecánico.

Cordialmente,

RAFAEL BELTRÁN PULIDO Profesor Asesor

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Bogotá, Mayo de 2004

Doctor:

ALVARO E. PINILLA S.

Director del Departamento de Ingeniería Mecánica Facultad de Ingeniería

Universidad de los Andes

Estimado Doctor:

Por medio de la presente, someto a su consideración el proyecto de grado titulado

ANÁLISIS DE TRANSFERENCIA DE CALOR TRANSIENTE EN PAREDES, como

requisito parcial para optar al título de Ingeniero Mecánico.

Certifico como asesor que el proyecto de grado cumple con los objetivos propuestos y que

por lo tanto califica como requisito para optar al título de Ingeniero Mecánico.

Cordialmente,

(5)

ABSTRACTO

En este proyecto se busca realizar un estudio sobre los métodos utilizados para encontrar los factores de respuestas, de muros utilizados en la construcción.

Para este fin se ha propuesto el diseño y construcción de una celda calorimétrica que permita realizar estudios de transferencia de calor transitoria con los cuales se pueda encontrar algunos de los factores de respuesta de muros.

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LISTA DE SÍMBOLOS

SÍMBOLO DESCRIPCIÓN UNIDADES

T Temperatura ºC ó ºK

A Área transversal de la pared 2

m

qx

Rapidez de Trans ferencia de

Calor W

k Conductividad Térmica W/m ªK

ρ Densidad 2

/m

kg

p

C Calor Específico J kgoC

/

α Difusividad Térmica m2/s

U Coeficiente global de

transferencia de calor

K m

W/ 2º

δ Duración de la rampa horas

i

y Factor de respuesta del

prototipo

K m

W/ 2º

i

Y Coeficiente de Función de

transferencia (TFC)

K m

W/ 2º

2 n

β Polo de la función de

transferencia

1 − horas

n

γ Residuo de la función de

trnsferencia

horas

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TABLA DE CONTENIDO

LISTA DE FIGURAS ...VIII LISTA DE TABLAS ...X

1. INTRODUCCIÓN... 1

2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS... 2

3. MARCO TEÓRICO... 3

3.1. TRANSFERENCIADECALOR...3

3.1.1. LEY DE FOURIER... 3

3.1.2. ECUACIÓN DE DIFUSIÓN DE CALOR... 4

3.1.3. CELDA CALORIMÉTRICA... 7

3.2. TERMOCUPLAS...9

4. METODOLOGÍA EXPERIMENTAL...11

4.1. MONTAJEDELACELDACALORIMÉTRICA...11

4.2. DESCRIPCIÓNDELPROTOTIPOAESTUDIAR...13

4.3. METODOLOGÍAAUTILIZAR...14

5. RESULTADOS...20

6. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES...28

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LISTA DE FIGURAS

Figura 1 : Explicación gráfica de la transferencia de calor ……….... 3

Figura 2 : Foto de celda calorimétrica (Hot Box) ………..… 7

Figura 3 : Figura de una termocupla ………..… 9

Figura 4 : Foto del interior de la caja caliente ………... 11

Figura 5 : Foto del interior de la caja caliente y caja interior……….… 12

Figura 6: Foto del sistema de refrigeración. (Compresor y condensador)………. 13

Figura 7: Foto del interior dela caja fría ……… 13

Figura 8: Foto del prototipo listo para las pruebas ……… 14

Figura 9: Grafica de una rampa, temperatura vs. tiempo (ejemplo) ………….… 14

Figura 10: Gráfica de la tasa de transferencia de calor vs. tiempo (ejemplo) ….. 15

Figura 11: Gráfica del logaritmo natural de la tasa de transferencia de calor estacionaria vs. tiempo (ejemplo) ……… 17

Figura 12: Gráfica de los TFC´s vs. tiempo (ejemplo) ……… 18

Figura 13: Gráfica de una función de temperaturas cualquiera vs. tiempo (ejemplo) ……… 19

Figura 14: Gráfica de la tasa de transferencia de calor vs. tiempo (ejemplo) ……… 19

Figura 15: Gráfica de Temperaturas frías y calientes vs. tiempo ………. 20

Figura 16: Gráfica de la rampa que se le aplica al sistema……… 21

Figura 17: Gráfica del LN (v) vs. tiempo para hallar el primer polo y el primer residuo………. 23

Figura 18: Gráfica de del LN (v) vs. tiempo para hallar el segundo polo y el segundo residuo………... 23

(9)

Figura 20 : Gráfica de una función de temperaturas en un día normal

en Bogotá……… 26

Figura 21: Gráfica de la tasa de transferencia de calor vs. tiempo

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LISTA DE TABLAS

Tabla 1: Tabla donde se muestran los valores de los polos y residuos

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1. INTRODUCCIÓN

Los programas de computadores son bastante utilizados para hacer simulaciones del comportamiento de la energía en un edificio. Los diseñadores, arquitectos e Ingenieros utilizan todos estos programas para diseñar los sistemas de refrigeración, predecir las horas picos y los costos anuales de estos sistemas de refrigeración. Además estos “softwares” son utilizados para minimizar los costos anuales de energía, ya que se puede minimizar esta si se utiliza un material diferente o incluso este software puede predecir cuando hay que suministrar más o menos calor durante un día cualquiera, haciendo que los costos se reduzcan en gran cantidad.

La tasa de transferencia de calor transiente es una gran parte de la carga para el sistema de ventilación o aire acondicionado. Los “softwares” especializados en calcular esta tasa de transferencia de calor, utilizan una gran cantidad de simplificaciones y supuestos, entre los que se encuentra que se asume un flujo unidimensional, lo cual es un supuesto bastante fuerte. Además, existen diferentes tipos de paredes que pueden llegar a tener una alta complejidad en su construcción, y pueden ser muy difíciles de reproducir en un computador.

Todo esto lleva a la necesidad de encontrar un método experimental que analice, de una mejor manera, el desempeño térmico y dinámico de una pared de construcción, para este método se necesita la construcción de una Celda calorimétrica. Este método permite medir la respuesta térmica de cualquier pared bajo distintas condiciones de frontera.

(12)

2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS

En este proyecto se busca realizar un estudio sobre los métodos utilizados para encontrar los factores de respuestas (Ashrae) de muros utilizados en la construcción.

Para este fin se propuso el desarrollo de una celda calorimétrica que permita realizar estudios de transferencia de calor transitoria con los cuales se pueda encontrar algunos de los factores de respuesta de muros.

En este proyecto se estudiará la literatura reciente sobre el tema, así como una revisión de los trabajos realizados por algunos autores en el pasado, los cuales incluyen modelos de computador utilizados para implementar la metodología Ashrae en factores de respuesta.

Se diseñó y construyó una celda calorimétrica simple pero apropiada para encontrar en al menos un caso, los factores de respuesta de una pared típica utilizada en Colombia. Para la reali zación del proyecto se utilizó la instrumentación disponible en el laboratorio de Ingeniería Mecánica de la Universidad de los Andes, así como algunos elementos menores que se aportaron para un construir un banco de ensayo que puede servir también para prueba y proyectos futuros. Se hizo uso de programas de computador (Labview) para la adquisición y análisis de los datos experimentales y de dataloggers (Hobo) ya existentes en el laboratorio.

(13)

3. MARCO TEÓRICO

3.1. TRANSFERENCIA DE CALOR

La conducción, o transferencia de calor por difusión, se refiere al transporte de energía en un medio, o a través de un cuerpo, debido a un gradiente de temperatura, y el mecanismo físico es el de la actividad aleatoria atómica o molecular.

3.1.1. LEY DE FOURIER

La ley de Fourier es una ley fenomenológica, es decir, que se ha desarrollado a partir de los fenómenos observados más que derivarse de los principios físicos básicos. Por ejemplo, si se considera una varilla cilíndrica de material conocido, y esta varilla es aislada en la superficie lateral, y sus extremos se mantienen a diferentes temperaturas T1, T2 donde T1 > T2. La diferencia de temperaturas entre

ambos extremos ocasiona una transferencia de calor por conducción del extremo con mayor temperatura al otro extremo, hasta que ambos extremos se estabilicen a la misma temperatura. Se puede medir la rapidez de transferencia de calor qx, y se busca determinar, como esta rapidez depende de las siguientes variables:

• ∆T, diferencia de temperaturas entre los extremos

• ∆X , longitud de la varilla

A, área de la sección trans versal

Si se mantienen constantes ∆T y ∆X , y se varía A, se puede ver que al aumentar el área de la sección transversal, también aumentaría qx. De la misma manera si

se mantienen ∆T y A constantes, se observa que qx varía inversamente con X .

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Finalmente si se mantienen ∆X y A constantes, qx varía proporcionalmente a T. Es decir que el efecto colectivo es el siguiente:

X T A

qx

α , si se cambia el material, por ejemplo de un metal a un plástico,

veríamos que la proporcionalidad anterior seguiría siendo válida, pero para valor iguales de ∆T, ∆Xy A, el valor de qx sería menor para el plástico que para el metal ya que las átomos que componen el metal se encuentran mucho más aglomerados y organizados haciendo que la rapidez de la transferencia de calor sea mayor. Este experimento sugiere que la proporcionalidad anterior se convierta en una igualdad si se introduce un coeficiente que sea una medida del comportamiento del material:

x T kA qx

∆ ∆ =

donde k es la conductividad térmica (W/m*K), una propiedad importante del material. Al evaluar esta expresión cuando ∆x→0, se obtiene para la rapidez de

transferencia de calor:

dx dT kA

qx =− o para el flujo de calor

dx dT k

qx´´=− . El signo

negativo es necesario para indicar que el calor se transfiere en la dirección opuesta a la del gradiente de temperatura. La anterior ecuación es la llamada Ley de Fourier.

3.1.2. ECUACIÓN DE DIFUSIÓN DE CALOR

Uno de los objetivos principales en un análisis de conducción es determinar el campo de temperaturas de un objeto que posee unas condiciones de frontera impuestas. Es decir, que se desea conocer como varía la temperatura con la posición dentro de un cuerpo o medio. Una vez se conozca esta distribución de temperaturas, se puede calcular el flujo de calor por conducción, en cualquier punto en el medio o en la superficie, utilizando la primera Ley de Fourier. La distribución de temperaturas además ser utilizada para determinar otras

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cantidades importantes, es útil para optimizar el espesor de un material aislante o para determinar la compatibilidad de recubrimientos o adhesivos especiales que se usen junto con el material.

Para obtener la ecuación de calor se puede pensar en un volumen de control infinitesimalmente pequeño1. Las velocidades de transferencia de calor por conducción perpendiculares a cada una de las superficies de control en las coordenadas x, y y z se indican con los términos qx, qy, qz, respectivamente.

Las velocidades de transferencia de calor por conducción en las superficies opuestas se expresan como una expansión en series de Taylor donde puedo omitir los términos de orden superior ya que el residuo, que se refiere a estos términos, tiende a cero a medida que el orden es mayor. Además las condiciones de frontera e iniciales no cambian ya que para órdenes superiores a la segunda derivada son iguales a cero.

dx x q q

q x

x dx

x

∂ + = +

dy y q q

qy dy y y

∂ ∂ + = +

dz z q q

qz dz z z

∂ ∂ + = +

Expresado en palabras, las anteriores ecuaciones afirman que el componente i de la rapidez de transferencia de calor en i+di es igual al valor de este componente mas la cantidad por la que cambia con respecto a x veces dx.

Para determinar el total de transferencia de calor que ocurre en este volumen de control se debe también tener en cuenta si dentro de este volumen de control se

1

Un cubo diferencial es un cubo de dimensiones dx, dy y dz, donde cada una de estas dimensiones tiende a cero.

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genera calor y el cambio en la energía al interior del volumen de control, todo esto para cumplir con la primera ley de la termodinámica2.

La generación de energía se halla de la siguiente forma:

dxdydz q

Eg

. .

= , donde

.

qes la rapidez a la que se genera energía por unidad de volumen.

La energía almacenada dentro del volumen de control se halla de la siguiente forma:

dxdydz t

T C

Ealm p

∂ ∂ =ρ . donde t T Cp ∂ ∂

ρ es la rapidez de cambio temporal de la

energía sensible3 por unidad de volumen.

Al expresar la ecuación de conservación de energía se tiene lo siguiente:

alm sale

gen

entra E E E

E . . . . = −

+ , y sustituyendo por todos lo términos definidos

anteriormente: dxdydz t T C q q q dxdydz q q q

qx y z x dx y dy z dz p

∂ ∂ = − − − + +

+ + + + ρ

. dxdydz t T C dxdydz q dz z q dy y q dx x q p z y x ∂ ∂ = + ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂

− . ρ , como ya se había

mencionado la rapidez de conducción se evalúa a partir de la Ley de Fourier

t T kdydz qx ∂ ∂ − = , t T kdxdz qy ∂ ∂ − = , t T kdxdy qz ∂ ∂ − = .

Por todo lo anterior la ecuación de difusión de calor se puede expresar como:

2

La energía no se crea ni se destruye, solo se transforma.

3

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t T C q z T k z y T k y x T k

x p

∂ = +       ∂ ∂ ∂ ∂ +     ∂ ∂ ∂ ∂ +       ∂ ∂ ∂

∂ . ρ

, esta ecuación podría simplificarse

si decimos que la conductividad térmica es constante en todas las direcciones y que además no hay generación de calor al interior del volumen de control:

t T z T y T x T ∂ ∂ =     ∂ ∂ +     ∂ ∂ +     ∂ ∂ α 1 2 2 2 2 2 2 donde p C k ρ

α= es la difusividad térmica4.

3.1.3. CELDA CALORIMÉTRICA

Una celda calorimétrica (Hot Box), es una máquina que es utilizada para medir las propiedades térmicas de cualquier elemento que pueda estar en presencia de transferencia de calor por conducción, por ejemplo una pared, una ventana, un piso o un techo.

La celda calorimétrica es una “caja” que está dividida en 2 partes, una de ellas es llamada “caja caliente” y la otra es llamada “caja fría”, se llaman de esta manera porque una cumple la función de un horno y la otra la función de una nevera. En la siguiente figura se pueden observar ambas cajas, la caja “caliente” es la de la izquierda, y la caja de la derecha es la caja “fría”. Estas cajas están “completamente” aisladas, es decir que la transferencia de calor hacia y desde el interior es despreciable, así que solo existe transferencia de calor entre

4

La difusividad térmica mide la capacidad de un material para conducir energía térmica en relación con su capacidad para almacenar energía térmica. Los materiales que poseen á grande responderán rápidamente a cambios en su medio térmico, mientras que los materiales de á pequeña responden más lentamente y tardan más en alcanzar una nueva condición de equilibrio.

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las cajas, más precisamente solamente debe haber calor que fluya de la caja caliente a la caja fría.

La caja caliente posee un par de calentadores, lo que hace que la temperatura al interior de esta sea bastante alta, esta temperatura se controla con termostatos que son manejados manualmente por el operario, esta caja también consta de unos ventiladores al interior para que el flujo de calor y la temperaturas de este sean lo mas uniformes posibles.

La caja fría, tiene un par de ductos de carga y descarga, estos ductos conectan la caja con un sistema de refrigeración5 para que el interior de la caja se mantenga a una temperatura baja. De nuevo esta temperatura es controlada por un termostato. En el medio de ambas cámaras, se coloca el llamado “prototipo”, es decir el elemento a ser analizado, ya sea una pared u otra superficie.

Si las temperaturas al interior de cada cámara son fijadas en un valor conocido y si además se sabe cuanto calor está generando el calentador al interior de la cámara caliente6, se puede hallar la conductividad térmica del material del prototipo de la siguiente manera:

Cabe recordar que

x T kA qx

∆ ∆

= , si se despeja k, obtenemos:

T x A q

k x

∆ ∆

= .

Donde qx es la rapidez de transferencia de Calor en Watios, A es el área normal a la transferencia de calor, ∆x es el espesor del prototipo, y ∆Tes la diferencias de temperatura entre las superficies del prototipo.

De la misma manera que se puede hallar la conductividad térmica de cualquier material, se puede analizar el prototipo para encontrar otras propiedades como la difusividad térmica, la capacidad calorífica entre otras. También se puede hacer un análisis transitivo del prototipo, en este tipo de análisis se deben conocer las

5

Un sistema de refrigeración que opera de la misma manera al sistema de una nevera convencional.

6

Este calor hay que corregirlo por el calor que puede estar perdiéndose hacia el exterior ya que construir algo perfectamente adiabático es casi imposible.

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propiedades del material y lo que interesa es hallar la cantidad de transferencia de calor a través del prototipo para cada momento de tiempo. Como las temperaturas de las superficies van cambiando con el tiempo, la transferencia de calor va ir cambiando hasta estabilizarse en un valor. Este análisis se lleva a cabo con el propósito de conocer el comportamiento de la transferencia de calor en un material especifico que está sujeto a cambios de temperaturas, es así como se diseñan los equipos de ventilación y aire acondicionado en lugares que tienen grandes cambios de temperaturas a través del año, por ejemplo los países que poseen estaciones, donde en un verano las temperaturas exteriores pueden llegar a ser del orden de los 40ºC mientras que en invierno estas pueden bajar hasta los -30ºC e incluso inferiores.

3.2. TERMOCUPLAS

Una termocupla es simplemente dos alambres de distinto material unidos en un extremo. Al aplicar temperatura en la unión de los metales se genera un voltaje muy pequeño, del orden de los milivoltios el cual aumenta proporcionalmente con la temperatura. En la gran mayoría estas termocuplas están hechas de cobre y constantán, aunque existen diferentes tipos de acuerdo a las condiciones de trabajo, en especial la magnitud de la temperaturas que se quieren medir.

No es recomendable usar termocuplas cuando el sitio de medición y el instrumento están lejos

(más de 10 a 20 metros de distancia). El problema de las termocuplas es que suministran un voltaje muy bajo y susceptible a recibir interferencias eléctricas. Además para hacer la

extensión se debe usar un Tomado de: http://hop.concord.org/h1/mess/h1mc.html

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cable compensado para el tipo específico de termocupla lo que aumenta el costo de la instalación. Tampoco es recomendable usar termocuplas cuando es necesaria una lectura de temperatura muy precisa (décima de °C) pues la compensación de cero requerida por las termocuplas introduce un error típicamente del orden de 0.5 °C.

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4. METODOLOGÍA EXPERIMENTAL

4.1. MONTAJE DE LA CELDA CALORIMÉTRICA

Para realizar las mediciones y cumplir los objetivos propuestos, se construyó una celda calorimétrica siguiendo la norma C-236, para la construcción de una “Guarded Hot Box”. En un principio se pensó en construir una “Calibrated Hot Box”, pero para la toma de datos es mucho más fácil con una “Guarded Hot Box” ya que el área transversal es menor y se necesitan un número inferior de termocuplas y mediciones para que los resultados sean aceptables.

Para construir las cajas, se utilizó madera (No me acuerdo el nombre exacto), una madera bastante rígida pero para nada resistente al agua, de 12 cm. de espesor. Para unir estas láminas y formar las cajas, se utilizó “Colbón” y se reforzaron con tornillos para madera. Para que las cajas fueran lo más adiabáticas posibles, estas se recubrieron con láminas de icopor de 12 cm. de espesor. Con el fin de poder transportarlas fácilmente, a ambas cajas se les colocaron cuatros rueditas en la parte inferior, estas ruedas permiten movilizarlas en cualquier sentido. Para tapar todas las posibles fugas que pudieron haber quedado al unir las láminas, se utilizó una mezcla de “Colbón” y aserrín, esta mezcla se untó en todas las uniones para que no hubiese fugas de calor hacia el exterior.

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La caja “Caliente” (la cual se logra observar en la anterior figura) consta de 5 paredes y tiene dimensiones de 1 m. de altura, 1 m. de profundidad y 0.6 m. de ancho. En la parte posterior de la caja se hizo una especie de compuerta para poder trabajar dentro de la caja una vez el prototipo esté instalado. Al interior de esta caja se encuentra un calentador de 400 W7, este calentador está ubicado sobre el suelo de esta caja y a su lado hay un ventilador que hace que fluya el calor de una manera más uniforme. Sobre esta caja, se colocó un termostato que entra al interior de esta, con este termostato se controla la temperatura a la que se quiere mantener el lado caliente de la celda calorimétrica.

La Caja interior posee las mismas características de la caja caliente pero sus dimensiones son de 15cmX15cmX30cm, también posee un calentador de 400 W y un termostato que controla la temperatura al interior de esta. Esta caja interior es utilizada para que haya una temperatura más uniforme en el área donde se van a hacer las mediciones.

La caja fría consta, al igual que la caliente, de 5 paredes. La altura y el ancho son, al igual que en la caja caliente, de 1 m. y 0.6 m. respectivamente, y la profundidad es de 0.5 m., en esta caja no se necesita mucha profundidad ya que en su interior el único componente es un ventilador que se utiliza para que el flujo sea uniforme, esta caja actúa en forma de evaporador de un sistema de refrigeración. Este sistema de refrigeración se encuentra en el laboratorio de Ingeniería Mecánica de la Universidad de los Andes.

7

Este es un valor neto al medir voltaje y corriente, pero el valor a utilizar debe ser corregido por las fugas.

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4.2. DESCRIPCIÓN DEL PROTOTIPO A ESTUDIAR

Figura 6. Figura 7.

Las anteriores fotos son del sistema de refrigeración, donde se puede ver el compresor, el condensador y la tubería respectiva, y también está la foto del interior de la caja fría.

El prototipo a estudiar es una placa de yeso8 de las utilizadas para construcción con las medidas exactas para ser instalada entre las dos cajas, es decir de 1m. por 0.6 m y un espesor de 6/8 de pulgada. Este material es bastante utilizado para paredes interiores y para separadores en oficinas.

8

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En esta foto se puede apreciar el prototipo instalado al interior de la celda calorimétrica, también se pueden observar las termocuplas utilizadas para medir las temperaturas sobre esta superficie.

Figura 8.

Se pensó hacer la pared en un material de construcción un poco más usual como el ladrillo prensado, pero existía la posibilidad de fracturar o maltratar la caja al hacer la instalación aunque para proyectos futuros podría pensarse en realizar alguna modificación a la caja para que esta resista cualquier tipo de pared.

4.3. METODOLOGÍA A UTILIZAR

Para realizar el análisis transiente del prototipo se va a utilizar un método llamado “Fast Ramp Method” (método de la rampa rápida), el cual se explicará a continuación.

Lo primero que hay que hacer es mantener la temperatura

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de la caja fría a una temperatura estable, luego de tener una tasa de transferencia de calor estable se baja rápidamente9 la temperatura de la caja fría, esta nueva temperatura se mantiene hasta que se obtenga una tasa de transferencia de calor estable. En este procedimiento se calculan dos cosas adicionales, las cuales podemos ver en la gráfica, la duración de la rampa ä y la diferencia de temperaturas en la caja fría V.

De la misma manera que puedo graficar la temperatura contra el tiempo, también puedo graficar la transferencia de calor contra el tiempo, y hallar la tasa inicial (Qi) y final (Qf) de transferencia de calor, ambas tasas en estado estable.

Con estos datos puedo hallar el coeficiente global de transferencia

de calor U.

VA Q Q

U = fi

donde A es el área transversal de la pared.

De la teoría de transferencia de calor, la tasa de transferencia de calor a través del prototipo (Qsp) está dada por la siguiente relación:

                − + = − = ∞ − =

t n n i sp n n e e AUV Q Q 2 2 1 1 1 β δ β δ γ ϑ

El primer término, AUV, es la solución en estado estable. El segundo término es la solución transiente ϑ la cual se puede observar en la gráfica anterior para cada

9

Esto es lo que es llamado una rampa.

Figura 10. Referencia 3

(26)

instante de tiempo. Los coeficientes 2 n

β son los polos de la función de

transferencia de la pared, y los γn son los residuos de una excitación pura de

rampa.

La solución transiente puede ser expandida de la siguiente manera:

        +         − +         − +         − = − − − ... 1 1 1 2 3 2 3 2 2 2 2 2 1 2 1 3 2 1 t t t i e e e e e e AUV β δ β β δ β β δ β δ γ δ γ δ γ ϑ

El segundo, el tercer y órdenes superiores contribuyen a la solución transiente solo durante el periodo inicial de la respuesta transiente. Después de este periodo inicial la solución es:

t e e

AUV 12

2 1 1 1 1 β δ β δ γ ϑ

ϑ

      − =

≈ para un t grande.

Si se toma el logaritmo natural a la anterior ecuación:

t e

AUV 1 12

2 1 1 ln ) ln( β δ γ

ϑ β δ

                − =

Si se grafica la anterior ecuación, con valores medidos cada hora, se obtiene la siguiente gráfica.

(27)

Se puede observa que el Ln(ϑ) sigue un

comportamiento lineal, donde la pendiente es igual al primer polo 2

1

β y el primer residuo puede ser

hallado del intercepto de esta recta con el eje y.

Figura 11. Referencia 3.

Luego de hallar el primer polo y el primer residuo, se puede sustraer el primer término de la ecuación anterior y luego seguir el mismo procedimiento para hallar los polos y residuos de orden superior. Para saber si el procedimiento es válido es necesario comprobar la siguiente relación:

=

= 1

2 1 n

n γ

Con todos los anteriores datos puedo hallar la tasa de ganancia de calor (QG) de la superficie opuesta a la que ha sido expuesta a la excitación.

   

+

=

= − N

n

t n

n e t

AUm QG

1 0

2

β

γ

γ donde

=

= N

n n 1

0 γ

(28)

Esta ganancia de calor se puede hallar para cada tiempo, y son los llamados factores de respuesta (yi), los cuales son utilizados para hallar los TFC´s (Transfer Function Coefficients) o Yi. Estos TFC´s se hallan de la siguiente manera.

1 0 0 − − = = i i

i y y

Y y Y

λ

Donde λ=eβ12∆ y es llamada la razón

común.

En la anterior gráfica, los puntos rellenos corresponden a los TFC´s (Yi), y los puntos no rellenos corresponden a los factores de respuesta (yi).

Luego de tener los TFC´s, se puede predecir la respuesta dinámica, del tipo de pared analizada, para cualquier función de excitación, es decir, que teniendo una función de temperaturas, se puede hallar la tasa de transferencia de calor para cada tiempo t, utilizando la siguiente aproximación:

(

)

A Q TO Y TO Y TO Y TI U A

Q spt

t t

t t

t

sp −∆

∆ − ∆ − − − + − − − = , 2 2 1 0 , ...

1 λ λ

Por ejemplo, si la función de temperaturas es la siguiente:

(29)

Al utilizar la anterior aproximación, puedo obtener una función de tasa de transferencia de calor, con esto puedo diseñar mi sistema de ventilación y aire acondicionado, de una manera mas barata.

Figura 13 Referencia 3 .

Figura 14. Referencia 3

(30)

5. RESULTADOS

Para poder utilizar el método de la rampa rápida, es necesario conocer las propiedades del prototipo a analizar, para así poder hallar las tasas de transferencia de calor. Para esto fue necesario hacer pruebas en estado estable.

Se prendió el calentador de la caja caliente, y a su vez se colocó en funcionamiento el sistema de refrigeración, y se empezaron a recolectar datos10, cada 15 minutos, de las temperaturas en ambas superficies del prototipo. Se hicieron varias pruebas de la misma manera y resultaron bastante parecidas. No hubo otra manera de hacerlas ya que por problemas del sistema de refrigeración, no es posible bajar la temperatura sin apagar por completo el sistema.

La línea superior muestra las temperaturas de la caja caliente y la línea inferior muestra las temperaturas de la caja fría.

Al hallar un promedio para cada una de las temperaturas se obtiene una temperatura caliente promedio de 51.775ºC, y una temperatura fría promedio de 14.29ºC.

Después de hallar los promedios de la temperatura caliente y la temperatura fría, se halló la conductividad térmica del material, claro que antes hubo que corregir el calor que estaba pasando de una caja a la otra. El calentador que se utilizó, es un

10

Los datos se empezaron a recolectar una vez el sistema estaba en estado estable, es decir que la variación de las temperaturas era mínima. Estos datos se tomaron utilizando el software “labview”, el cual obtiene los datos de un chasis de 32 salidas que está conectado a termocuplas tipo T (Hechas de Cobre y Constantan).

Temperatura de las camaras vs. tiempo

0 10 20 30 40 50 60

0 10 20 30

Tiempo

Temperatura (ºC)

Tf Tc

(31)

calentador de 400 W, pero existen ciertas pérdidas hacia el exterior, asi que el calor neto se calcula de la siguiente manera:

F B

H Q Q

Q

Q= + − , donde QH es el calor que le entra al sistema, en este caso el

calentador, QB es el calor que entra por las paredes, y QF es el calor que sale por las paredes, luego de hacer estos calculos, el calor neto aproximado es de 340 W.

La ley de Fourier nos dice que

x T kA qx ∆ ∆

= , si se despeja k de la ecuación, se

obtiene: K m W cm m cm W T T A x q k f c

x 0.2879 / º

) 29 . 14 775 . 51 )( 60 )( 1 ( ) 905 . 1 )( 340 ( ) ( 2 = − = − ∆ =

Ahora que se conoce la conductividad térmica del material, se puede hacer un análisis dinámico del prototipo utilizando la metodología anteriormente explicada. Para se prendieron únicamente el calentador de la caja caliente y los ventiladores y se esperó a que se estabilizara el sistema, luego para crear la rampa, se encendió el sistema de refrigeración, haciendo que la temperatura de la caja fría disminuyera, aunque no tanto como se hubiese querido.

Figura 16. Temperatura Fria vs. Tiempo

10 12 14 16 18 20 22 24

-10 -5 0 5 10 15

Tiempo (h)

(32)

El sistema se estabilizó inicialmente teniendo una temperatura de la caja fría de 23ºC y una temperatura de la caja caliente de 53,5ºC, en ese momento se encendió el sistema de refrigeración para crear una rampa que bajara la temperatura de la caja fría11, en la gráfica 8 se puede observar la grafica de la temperatura contra el tiempo donde la temperatura final de la caja fría es de 17.8ºC.

Con los datos anteriores ya puedo hallar el Coeficiente global de transferencia de

calor,

VA Q Q

U = fi .

C m W

U 2.033 / º

) 1 )( 6 . 0 )( 8 . 17 23 ( 46 . 276 81 .

282 = 2

− − =

Ahora que ya tengo el Coeficiente global de transferencia de calor, se pueden empezar a hallar los polos y residuos de la función de transferencia de la pared. Primero hay que hallar el primer polo y el primer residuo utilizando la siguiente ecuación:

t e e

AUV 12

2 1 1 1 1 β δ β δ γ ϑ

ϑ

      − =

≈ , y si aplico logaritmo natural a ambos lados,

t e

AUV 1 12

2 1 1 ln ) ln( β δ γ

ϑ β δ

                −

= . Lo cual resulta en una recta con pendiente −β2

,

y del intercepto con el eje y puedo hallar el residuo γ.

(33)

Ln (v) vs. tiempo

y = -0.129x + 2.5092

0 0.5 1 1.5 2 2.5

0 5 10 15

Tiempo (h)

Ln (v)

Figura 17.

En la gráfica 9, se puede ver que la pendiente de la recta es -0.129, es decir que el primer polo es β1 =0.129, y despejando del intercepto obtengo el primer residuo

077 . 9 1 =

γ .

Para hallar los polos y residuos de orden superior se sigue el mismo procedimiento, en este caso solo se pueden hallar estos valores hasta de segundo orden, ya que al hacer la resta de la parte de la respuesta dinámica que se lleva, hay ciertos términos que se cancelan. A continuación se muestra la gráfica de la recta para hallar el segundo polo y el segundo residuo.

Figura 18.

Ln (v) vs. tiempo

y = -0,2021x + 2,5042

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Tiempo (h)

(34)

De la anterior gráfica se puede ver que el valor del segundo polo es β22 =0.2021, despejando del valor del intercepto, el valor del segundo residuo es γ2 =−1.2665.

Para comprobar que se han hallado los valores de manera correcta se hace el

siguiente procedimiento, el valor de la sumatoria

∞ =1 2 n n

γ debe ser igual a 1, en

este caso esta sumatoria es 0.9641, valor que no se encuentra muy lejos de 1 aunque existe algún error.

En esta tabla se resumen los valores hallados:

Con estos valores se hallarán los factores de respuestas y los coeficientes de función de transferencia.

Tabla 1.

Para hallar los factores de respuesta yi, hay que basarse en la siguiente fórmula:

      + =

= − N n t n n e t AUm QG 1 0 2 β γ γ

De acá obtengo que :

Para i 2. U 2.033 W/mC

2 1

β 0.129 −1 h

2 2

β 0.2021 −1 h

1

γ 9.077 h

2

γ -1.2665 h

(

)

( )

(

)

[

]

= ∆ − ∆ − = ∆ − = ∆ − − ∆ ∆ =     + ∆ =     + ∆ = N n n i n i N n n N n n n n n n e U y e e U y e U y 1 2 1 0 1 1 0 0 1 cosh 2 2 2 2 2 2 β γ γ γ γ γ β β β β

(35)

Ä es el intervalo de tiempo que se esté y utilizando entre dato y dato, en este caso es igual a una hora.

Luego de hallar los factores de respuesta se pueden hallar los coeficientes de función de transferencia utilizando la siguiente fórmula:

1 0 0

− − =

=

i i

i y y

Y y Y

λ

donde λ=eβ12∆, en este caso ë= 0.8789

TFC´s vs. tiempo

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

0 5 10 15 20 25 30

Tiempo (h)

TFC

yi Yi

Figura 19.

En la anterior gráfica se muestran los factores de respuesta y los coeficientes de función de transferencia (TFC´s).

Ahora que ya se tienen los TFC´s, se puede hallar la tasa de transferencia de calor, para el prototipo analizado, para cualquier función de temperaturas. Por ejemplo, si se toman las temperaturas cada hora de un día normal en Bogotá, yo puedo hallar la tasa de transferencia de calor para cada hora.

(36)

Esta es una función de temperaturas en un día común y corriente en Bogotá, con ella, y junto con los TFC´s, se puede hallar la tasa de transferencia de calor con la

siguiente fórmula:

(

)

A Q TO Y TO Y TO Y TI U A

Q spt

t t

t t

t

sp −∆

∆ − ∆ − − − + − − − = , 2 2 1 0 , ...

1 λ λ

TIi es la temperatura interior, esta

puede fijarse o ir variando dependiendo de lo que se quiera, en este caso se fijó en 22.5ºC, una temperatura agradable para las personas, y TO es la temperatura del exterior, es decir la que aparece en la función de temperaturas.

Figura 20.

Figura 21.

Aquí vemos la grafica de la tasa de transferencia de calor por metro cuadrado, en cada instante de tiempo. Este procedimiento se puede hacer con cualquier función esperada de temperaturas y fijando la temperatura inicial que se quiera tener a cada momento teniendo en cuenta horas en que el sitio va a estar deshabitado y

Temperatura vs. Tiempo

0 5 10 15 20 25 30

0 4 8 12 16 20 24

Tiempo (h)

Temperatura (°C)

Q vs. tiempo

-80 -60 -40 -20 0 20

0 4 8 12 16 20 24

Tiempo (h)

(37)

horas picos, con esta tasa de transferencia de calor se puede diseñar el sistema de ventilación y aire acondicionado.

(38)

6. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

• En la gráfica de tasa de transferencia de calor se puede ver que la gran mayoría del calor es negativo, esto es porque la temperatura del interior fue fijada en un valor que es mayor a la gran mayoría de las temperaturas del exterior, haciendo que el calor no viaje del exterior al interior sino en sentido contrario.

• Según la literatura los métodos experimentales para hallar los coeficientes de función de transferencia son bastante aproximados a la realidad, el margen de error es muy pequeño. Si se quisiera comprobar esto en un proyecto futuro, habría que diseñar un sistema de control el cual simulara una función conocida de temperaturas dentro de la caja caliente, para así poder comparar estos datos con los datos de tasa de transferencia de calor que se obtendrían con los coeficientes de función de transferencia.

• Si estos coeficientes de función de transferencia se validan y se usan de una buena manera, se pueden llegar a tener ahorros en los sistemas de ventilación y aire acondicionado (HVAC), ya que estos sistemas no deben estar encendidos, a toda potencia, todo el día, sino a una tasa que mantenga la temperatura del interior del cuarto a una temperatura agradable al cuerpo humano. Además las personas no sentirían un excesivo frío o calor como sucede en ciertas edificaciones donde muchas veces los sistemas de ventilación y aire acondicionado, no están diseñados para ciertas situaciones, sino para situaciones promedio.

• El método de la rampa rápida, exige como el mismo nombre dice, un decremento rápido de temperaturas de la caja fría, en este caso, por problemas con el flujo de aire desde el sistema de refrigeración hacia la

(39)

caja fría, la temperatura demora mucho en estabilizarse y el cambio no es muy grande, mientras en el lugar donde se encuentra el evaporador posee temperaturas inferiores a cero, dentro de la caja fría solo se alcanza a llegar a temperaturas no inferiores a los 7ºC.

• Hay que hacer unos pequeños ajustes al sistema de refrigeración, el condensador se encuentra en mal estado y su debilidad hace que muchas pruebas fracasaran debido a escapes, además el termostato no está funcionando, lo cual me imposibilita bajar o subir la temperatura del sistema de refrigeración sin necesidad de prender o apagar por completo el sistema.

• Hubo que convertir la “Guarded Hot Box” en una “Calibrated Hot Box”, el problema fue que al incluir la caja interior que posee la “Guarded Hot Box”, los datos que se obtenían eran demasiado inestables debido a la cercanía de uno de los calentadores al sitio de toma de datos, es por eso que el sistema funcionó mejor al solamente tomar datos prendiendo el calentador de la caja caliente, el cual se encontraba al fondo de esta y bastante lejos de las termocuplas que medían las temperaturas en la superficie del prototipo.

(40)

7. BIBLIOGRAFÍA

1. BELTRÁN PULIDO, Rafael G., y CARRANZA SÁNCHEZ, Yamid A.

“Transferencia de Calor de Estado Inestable en Forros para Frenos”.

2. BURCH, D. M., ZARR, R.R., and LICITRA, B.A. “A comparison of two test

Methods for Determining Transfer Function Coefficients for a Wall Using a

Calibrated Hot Box”.

3. BURCH, D. M., ZARR, R.R., and LICITRA, B.A. “A Dynamic Test Method

for Determining Transfer Function Coefficients for a Wall Specimen Using a

Calibrated Hot Box”.

4. CARSLAW, H.S., y JAEGER, J. C. “Conduction of Heat in Solids”. Oxford

University Press. 1959.

5. GERALD, Curtis., WHEATLEY, Patrick. “ Análisis Numérico con

Aplicaciones”. Prentice may, Sexta Edición.

6. INCROPERA, Frank, P., y DE WITT, David, P. “Fundamentos de

Transferencia de Calor”. Prentice Hall, Cuarta Edición.

7. LAWLER, Gregory. “Introduction to Stochastic Processes”. Chapman & Hall

Probability Series. 1995

8. LENIS YÁÑEZ, David. “Comportamiento de la Transferencia de Calor en

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