NÚMEROS
Revista de didáctica de las matemáticas Nº 31, septiembre de 1997, págs. 15-31
El dominio de la numeración al terminar cada
uno de los ciclos de la Educación Primaria
Resumen
Manuel Aguilar Villagrán
Jaime Martínez Montero
El presente informe revisa los conceptos sobre numeración adquiri-dos por los alumnos al finalizar cada uno de los ciclos de que consta la Educación Primaria. Del estudio de los resultados obtenidos se deduce un nivel adecuado en las destrezas más sencillas, pero grandes deficien-cias en lo que se refiere a destrezas de "counting", "partitioning" y de conexión entre las diversas unidades.
Abstract
The papier present revises the concepts on numeration acquired by the students upon concluding each one of the cycles of that consist the Primary Education. From the study of the gotten outputs an adequate level in the simplest skills is deduced, but big deficiencies in the one which refer to skills of counting, partitioning and of connection between the diverse units.
Introducción
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Aguilar Villagrán y Martínez Montero (1996) apuntan en la direc-ción de que ciertas destrezas requeridas para escribir o reconocer números multidígitos son bien conocidas por los alumnos. Sin embargo, otras destrezas más complicadas parecen ser más ajenas a los mismos. Cabe hacerse un planteamiento más preciso. ¿Qué dominio de las diversas destrezas adquieren los alumnos al terminar cada uno de los ciclos de la Educación Primaria?, ¿se revela el aprendizaje de la numeración revestido de unas características comunes en cada uno de ellos?, ¿siguen los aprendizajes de los alumnos la línea recomendada por los investigadores y estudiosos?. Por otro lado, en Junio de 1996 terminó la Educación Primaria la primera promoción de alumnos que comenzó esta etapa hace seis años. Por tanto, se presentaba la ocasión de comprobar los ni veles y dificultades de la numeración en todo este nivel educativo.
Metodología
Sujetos.La muestra elegida se compone de 377 alumnas y alumnos de Educación Primaria y Secundaria, pertenecientes a dos colegios públi-cos de la ciudad de Cádiz, con un nivel socioeconómico medio, o medio bajo. La distribución por cursos es la siguiente:
• Tercero de Educación Primaria: 111 alumnos. Edad media: 8. 3 años.
• Quinto de Educación Primaria: 118 alumnos. Edad media: 10.5 años.
• Primero de Educación Secundaria: 148 alumnos. Edad media: 11.4 años.
Cada uno de los grupos de alumnos terminaron un Ciclo de la Educación Primaria en el curso 1995-1996.
Materiales y procedimiento
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los procesos implicados en el aprendizaje de la numeración en los tres ciclos de la Educación Primaria. La descripción de cada ítem se ofrece en el apartado de Resultados y Discusión y en el Anexo. Esta prueba ha sido validada anteriormente con un estudio piloto en el que se comprobó la aceptabilidad de los índices de fiabilidad y validez. Las pruebas fueron revisadas por profesores con experiencia en los distintos ciclos de la Educación Primaria.
La aplicación de la prueba fue realizada al comenzar las sesiones de Matemáticas. Una vez que todos los alumnos tenían su hoja de respues-tas, se daban instrucciones verbales para completar cada ítem de la prueba y se concedía tiempo suficiente para su contestación. Al finalizar la pasación también se concedía un tiempo extra para que todos pudieran repasar sus respuestas. En las instrucciones se especificaba que podían utilizar la propia hoja de respuestas para hacer las operaciones que considerasen convenientes para resolver las preguntas planteadas.
Resultados
y
Discusión
Presentamos los resultados diferenciando entre el Primer Ciclo de Educación Primaria, por un lado, y el Segundo y Tercer Ciclo de esta misma etapa por otro. Para facilitar la comprensión de los mismos ofrecemos el enunciado de cada ítem y los índices de dificultad y discriminación da cada uno de ellos. El Índice de Dificultad de un ítem es el porcentaje de sujetos que lo aciertan respecto de los que han intentado resolverlo. Sería más apropiado denominarlo índice de facili-dad, pues a medida que aumenta indica que el ítem es más fácil, no más difícil. Por eso suele prestarse a equívocos: cuanto mayor es el índice de dificultad, más fácil es el ítem.
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conocedores de la materia y los que la hacen mal como los menos
conocedores. Los expertos en medición generalmente están de acuerdo en que la mejor estimación de la discriminación de un elemento se obtiene cuando el grupo superior está formado por los alumnos que
puntuan en el 27% superior de la clase en la que se realiza la prueba y el grupo inferior se identifica por los que constituyen el 27% inferior de la clase en donde se realiza la prueba. La interpretación del Índice de Discriminación es fácil: la capacidad discriminativa del ítem aumenta a medida que el índice se aleja de cero, bien sea hacia 1 o hacia-1. Si fuese 1, significaría que todos los competentes (27% superior) aciertan el ítem
y todos los incompetentes (27% inferior) lo fallan; la discriminación
sería perfecta. Si fuera -1, sería el caso paradójico en el que todos los
incompetentes lo aciertan y todos los competentes lo fallan. Si las
proporciones de los dos grupos que pasan un elemento son iguales, entonces el índice de discriminación será igual a cero. Los valores del
índice de discriminación no son independientes de la dificultad de los
elementos, sino que se inclinan a favor de los niveles intermedios de
dificultad. Con el fin de evitar números decimales, ofrecemos los índices de discriminación multiplicados por cien.
Las Tablas 1 a 7 muestran los resultados correspondientes a los sujetos que han finalizado el primer ciclo de Educación Primaria.
Tabla 1
TEXTO
Escribe los siguientes números: CURSO I.DIF. I.DIS.
l .a. Cuatrocientos. 3º 93 7
l .b. Seiscientos veintiuno. 3º 80 39
l .c. Ochocientos ocho. 3º 88 32
l.d. Novecientos noventa. 3º 81 50
En la Tabla 1 se ofrecen los resultados correspondientes a la destreza de traducir los números expresados oralmente o por escrito a sus correspondientes cifras. Es una destreza que los niños que terminan el primer ciclo dominan aceptablemente (en el peor de los casos, cuatro de
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Tabla 2
TEXTO CURSO l.DIF. 1.DIS.
2. a. Une con flechas: Seiscientos
treinta y seis. 3º 99 4
2.b. Une con flechas: Trescientos tres 3º 98 7
2.c. Une con flechas: Quinientos. 3º 98 7 2.d. Une con flechas: Cuatrocientos
cincuenta y seis. 3º 97 11 La Tabla 2 nos señala como reconocer y asociar números se revela también como una destreza totalmente dominada por los alumnos al acabar el primer ciclo (véase el ítem original en el Anexo).
Tabla 3
TEXTO CURSO I.DIF. I.DIS.
3. Cuenta hacia arriba ocho números
a partir del número 526. ¿En qué 3º 67 64
número te paras?
4. Cuenta hacia abajo siete números
a partir del número 613. ¿En qué 3º 52 61
número te paras?
La destreza en el empleo de los dos niveles superiores de dominio de
la cadena numérica (cadena numerable y cadena bidireccional, Fuson
y Hall: 19831
) es menos frecuente que las anteriores destrezas. Con un
elevado índice de discriminación, también es notable la diferencia entre aumentar y disminuir. Resulta más fácil contar hacia adelante que contar hacia atrás, sobre todo cuando tiene que producirse el paso de una decena a otra, que es lo evaluado en estos ítemes. Hacemos notar también la importancia que tiene la adquisición de esta destreza para el adecuado dominio de la sustracción.
1
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Tabla 4
TEXTO CURSO I.DIF. I.DIS.
5.a. Une con flechas:
Trescientos ocho. 3º 97 11
5.b. Une con flechas:
Quinientos sesenta y cuatro. 3º 97 11
5.c. Une con flechas:
Ochocientos tres. 3º 97 11
5.d. Une con flechas:
El DOMINIO DE U. NUMERACIÓN . .. 21
Tabla 5
TEXTO CURSO I.DIF. I.DIS.
6. ¿Cuál es la cifra de las decenas
en el número 791? 3º 65 46
7. ¿Cuántas decenas hay en el
número 612? 3º 2 7
8. En el patio del colegio hay
119 niños. Entra uno más. 3º 83 32
¿Cuántos hay ahora?
9. Subraya el número en el que
el 8 ocupa la cifra de las decenas: 3º 77 54 -826-; -718-; -985-.
12. Suma *************a 189
asteriscos. ¿Cuántos asteriscos hay? 3º 41 43
Tabla 6
TEXTO CURSO I.DIF. I.DIS.
10. Escribe el mayor número
posible que puedas formar con 3º 56 79
las cifras 4, 8, 5.
11. Escribe el menor número
posible que puedas formar con 3º 55 75
las cifras 4, 8, 5.
Baroody (1988) recomienda, para facilitar la codificación y descodificación de los números, enfrentar a los niños con los casos
extremos. Algo así recogen los dos ítemes de la tabla 6, en los que se ve
cómo es ésta una destreza que se domina sólo por la mitad superior de
r
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Tabla 7
TEXTO CURSO l.DIF. l.DIS.
13. Escribe el número formado
por dos centenas. 3º 53 57
14. Escribe el número formado
por dos centenas y cuatro unidades. 3º 50 82
15. Escribe el número formado
por tres decenas y quince unidades. 3º 16 43 16. Escribe el número formado
por cuatro centenas, doce decenas 3º 9 29
y siete unidades.
17. Escribe el número formado
por siete centenas, dieciseis decenas 3º 6 18
y diecisiete unidades.
Las cinco cuestiones anteriores agrupan destrezas de 'partitioning' (distinguir entre una y múltiples particiones en números multidígitos: Resnick: 1983; Fu son: 1990), 'grouping' (cómo agrupar y desagrupar los componentes de los números para realizar operaciones, Bednarz y
Janvier:1988; Jones et al.:1996) y conexiones entre las unidades
cons-tituyentes del número (Sowder:1988; Greeno:l991). Cuando no se da
encabalgamiento de unidades (cuando para resolver el ítem no se
sobrepasa las decenas o las centenas), la mitad de la clase resuelve la tarea propuesta (aunque se debe notar la diferente extracción de la misma entre el ítem 14 y el ítem 13). Pero cuando se da encabalgamiento
bajan rápidamente todos los índices. Si el encabalgamiento no se repite,
como es el caso del ítem 15, aún lo resuelve uno de cada seis alumnos. Pero en cuanto éste se complica, apenas es capaz de ser resuelto por algún niño. Estamos pues ante las máximas dificultades que encuentran
los niños en el aprendizaje de la numeración al terminar el primer ciclo
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Los resultados encontrados en los cursos 5º de Educación Primaria y lº de Educación Secundaria se muestran en las Tablas 8 a 14.
Tabla 8
TEXTO
Escribe los siguientes números: CURSO I.DIF. I.DIS.
l .a. Tres mil uno. 5º 95 17
1° ESO. 99
o
1.b. Cien mil ocho. 5º 83 50
lºESO. 95 3
1.c. Doscientos dos mil cuatro. 5º 53 67
1º ESO. 83 8
l.d. Trescientos veintiocho mil 5º 81 60
nueve. 1° ESO. 94 5
En los ítemes b, c y d se aprecia cómo al final del segundo ciclo (alumnos que comienzan 5º de Educación Primaria) la escritura de los números solicitados aún es discriminativa. También llama la atención
las diferencias, en ambos ciclos, en el ítem c, que contrasta con los resultados que se obtienen en el d y b. Analizando las respuestas de los sujetos que han errado en este ítem observamos que el 53% de ellos ha omitido la cifra del dos correspondiente a las unidades de millar. La interpretación de este tipo de error, u otros, requiere preguntar a los niños cómo han llegado a la omisión de esta cifra al escribir este número u otros similares. Por lo demás, se puede afirmar que la destreza básica de escribir números expresados por escrito u oralmente está
24 MANUEL AGUILAR VILLAGRÁN Y JAIME MARTÍNEZ MONTERO
Tabla 9
TEXTO CURSO I.DIF. I.DIS.
2. a. Une con flechas: Cien mil 5º 99 3
seiscientos treinta y seis. lº ESO. 100
o
2.b. Une con flechas: Trescientos 5º 99 3 tres mil trescientos tres. lºESO. 100
o
2.c. Une con flechas: Treinta y tres 5º 99 3
mil treinta y tres. 1º ESO. 100
o
2.d. Une con flechas: Seiscientos 5º 99 3 treinta y seis mil cien. 1º ESO. 100
o
La capacidad de asociar números escritos con letras a números escritos con cifras se demuestra completamente adquirida, de acuerdo con los resultados que se han obtenido.
Tabla 10
TEXTO CURSO I.DIF. I.DIS.
3. Cuenta hacia adelante ocho 5º 83 23
números a partir del número 526.
¿En qué número te paras? lºESO. 89
o
4. Cuenta hacia atrás siete números 5º 71 43 a partir del número 613. ¿En qué
número te paras? 1º ESO. 87 3
EL DOMINIO DE LA NUMERACIÓN . .. 25
un ciclo a otro. Volvemos a recordar que contar hacia atrás es un conocimiento básico para la operación de restar.
Tabla 11
TEXTO CURSO I.DIF. I.DIS.
5. ¿Cuál es la cifra de las decenas 5º 60 53 de mil en el número 178.569? 1º ESO. 70 56
6. Rodea con un círculo el número
en el que el 9 ocupe el lugar de las 5º 78 63 centenas: -896-; -9.909-; -99.009-;
-109.549-. 1º ESO. 83 33
7. ¿Cuántas centenas hay en el 5º 2 7
número 8.234? 1º ESO. 9 18
9. ¿Cuántas centenas hay en 5 5º 11 20
decenas de mil? lºESO. 26 56
La Tabla 11 contiene resultados referidos al conocimiento del valor de posición de las cifras. El ítem 5 presenta unos porcentajes de aciertos más bajos en los alumnos de segundo ciclo que los encontrados en los sujetos del primer ciclo; en el tercer ciclo ya se produce una ligera subida. Siguen sorprendiendo los bajos resultados del ítem 7. Las
respuestas mayoritarias en este ítem siguen la tónica del primer ciclo, y confunden el número de decenas con la cifra que está en el lugar de las
decenas.
26 MANUELAGUIU.R VILU.GRÁN Y JAIME MARTÍNEZ MONTERO
según lo descrito por Kamii (1996) y Ross (1990). Es curioso comparar los resultados del ítem 7 con el 9, siempre con mejores rendimientos en este último. Este mejor resultado podría explicarse por el trabajo que se realiza al introducir las unidades de orden superior en la enseñanza de la numeración, con ejercicios de este tipo: ¿cuántas decenas hay en una centena?, ¿cuántas centenas hay en un millar? Es un ejercicio muy parecido al planteado en el ítem 9. Asimismo puede apuntarse la idea de que los niños se forman dos tipos de entidades numéricas no demasiado ligadas entre sí. Por una parte, la constituida por las unidades, decenas, centenas, etc.; por otra, el conjunto numérico (234, etc.).
Tabla 12
TEXTO CURSO I.DIF. I.DIS.
8. En el patio del colegio hay 5º 78 37
297 niños. Entran 10 niños más.
¿Cuántos niños hay ahora? lº ESO. 91 -13
12. Suma *************a 189 5º 74 20
asteriscos. ¿Cuántos asteriscos hay? lº ESO. 88 15
Tabla 13
TEXTO CURSO I.DIF. I.DIS.
1 O. Escribe el mayor número posible 5º 88 27
que puedas escribir con estas cifras
juntas: 4, 8, 5, 9. lº ESO. 95 5
11. Escribe el menor número posible 5º 92 27
que puedas escribir con estas cifras
El DOMINIO DE LA NUMERACIÓN ... 27
En las Tablas 12 y 13 mostramos ítemes que son fácilmente resueltos por el alumnado del segundo y tercer ciclo de Educación Primaria.
Subrayamos un progreso notable con respecto al primer ciclo en los
ítemes 12, 10 y 11. Curiosamente se observa peor resultado en el ítem 8 en los alumnos que han terminado el segundo ciclo que los que han hecho el primer ciclo.
Tabla 14
TEXTO CURSO I.DIF. I.DIS.
13. Escribe el número formado por 5º 68 67
tres unidades de millar. 1° ESO. 69 64
14. Escribe el número formado por 5º 38 83
cinco decenas de millar y ocho
centenas. lº ESO. 51 67
15. Escribe el número formado por 5º 22 50 tres decenas de millar y quince
centenas. 1º ESO. 29 49
16. Escribe el número formado por 5º 7 20
tres decenas de millar y quince
centenas. 1º ESO. 16 31
17. Escribe el número formado por
siete unidades de millar, trece 5º 10 27 centenas, dieciséis decenas y
diecisiete unidades. 1º ESO. 23 36
Nuevamente en los ciclos segundo y tercero de Educación Primaria las destrezas de partición, el agrupamiento y saber establecer las conexiones entre las unidades consituyentes del número son las que presentan mayores dificultades. Cuando no se da solapamiento de unos consituyentes con otros (ítem 14), la mitad de la clase resuelve la tarea
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en 5º de Educación Primaria (peor resultado que el ítem equivalente en Tercero de Educación Primaria). Cuando se da encabalgamiento sin repetición (ítem 16) los resultados son muy pobres, siendo en cambio mejores cuando se da repetición de este encabalgamiento entre valores absolutos y relativos de los consituyentes del número (ítem 17). En cualquier caso, se trata de ítemes difíciles aún al terminar la Educación Primaria.
Conclusiones
Los datos que hemos encontrado nos sugieren algunas conclusiones que pasamos a comentar.
Primero. Hay destrezas que se aprenden y se aprenden bien, por ejemplo leer y escribir números. Los resultados son similares al terminar cada ciclo. Son destrezas muy cotidianas en los procesos de enseñanza-aprendizaje de la numeración. Son los típicos ejercicios que se repiten en cada clase y en todos los cursos.
Segundo. Hay competencias numéricas a las que los alumnos "llegan" por su cuenta (formar números grandes y pequeños, construir la escala numérica) y que evolucionan por madurez aunque los alumnos no las practiquen en clase o lo hagan en escasa medida (ítemes 8, 9 y 12).
Tercero. Algunas habilidades parece que apenas si se adquieren por el aumento de madurez al final de la Primaria. Además, no se practican en clase ni pueden adquirirse por el simple paso de la escolaridad. Son las más difíciles y las que tienen mayor grado de transferencia para otros contenidos matemáticos: fracciones, decimales, sistemas de medida,
etc. (son las habilidades evaluadas a través de los ítemes 13 a 17). Esto pondría de manifiesto unas dificultades muy comunes, que se manifies-tan en errores que persisten a lo largo de los tres ciclos que constituyen actualmente la Educación Primaria. Conocer estas dificultades es un punto de partida para realizar intervenciones encaminadas a su superación o, por lo menos, a que se manifiesten en menor medida.
J
1
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más repetitivo, rutinario y memorístico que uno significativo y concep-tual.
Quinto. En futuros estudios interesaría investigar el papel que juega la memoria de trabajo (Baddeley, 1986) y los recursos atencionales puestos en juego ante las tareas numéricas demandadas. Cabe plantearse preguntas como, ¿qué parte de los errores corresponde al desconoci-miento de los conceptos numéricos y qué parte depende de las propias capacidades cognitivas inherentes al desarrollo evolutivo?. De mayor interés sería el estudio de las estrategias que usan los niños que resuelven bien los ítemes difíciles (7, 15, 16 y 17) y si son siempre las mismas o se adaptan a su mayor grado de complejidad o sencillez (Kerkman y Siegler, 1991).
En síntesis, se desprende con claridad que en los tres ciclos la enseñanza de la numeración es monótona y se ocupa de las mismas cosas. Las destrezas que más transferencia tienen en matemáticas y en las que más se tarda en madurar son las. más ausentes del quehacer escolar.
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82-197.
ANEXO
TESTDEEVALUACIONCURRICULARMATEMATICA.PRI-MER CICLO DE EDUCACION PRIMARIA. NUTESTDEEVALUACIONCURRICULARMATEMATICA.PRI-MERACION.
3º de Educación Primaria (Ver Tabla 2). 2. Une con flechas:
a) Seiscientos treinta y seis. 500
b) Trescientos tres. 770
c) Quinientos. 636
d) Setecientos setenta. 303
3º de Educación Primaria (Ver Tabla 4). 5. Une con flechas:
a) Trescientos ocho. 564
b) Quinientos sesenta y cuatro. 803
c) Ochocientos tres. 456
d) Cuatrocientos cincuenta y seis. 308
5º de Educación Primaria y 1 º de Educación Secundaria Obligatoria (Ver Tabla 9).
2. Une con flechas:
a) Cien rnil seiscientos treinta y seis 33.033 b) Trescientos tres rnil trescientos tres 636.100
c) Treinta y tres mil treinta y tres 100.636
d) Seiscientos treinta y seis mil cien 303.303
Jaime Martínez Montero
Inspección de Educación de Cadiz Delegación de Educación de la Junta de Andalucií en Cádiz
Manuel Aguilar Villagrán Departamento de Psicología
Facultad de Ciencias de la Educación
