Modelos para mapeo electroencefalográfico

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(1)M ODELOS PARA M APEO. E LECTROENCEFALOGRÁFICO. P OR : M ARÍA. DE LOS. Á NGELES NAVAS M ORENO. A SESOR : C ARLOS A RTURO ÁVILA B ERNAL P H .D. Universidad de Los Andes Facultad de Ciencias Departamento de Física Bogotá, Colombia 2004.

(2) A mis Papás, Martha y Benito. I.

(3) Índice general. 1. Introducción. 1. 2. Electroencefalografía. 3. 2.1. Historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. 2.2. Potenciales Medidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. 2.3. Mediciones e Interpretación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4. 2.4. Potenciales Evocados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7. 3. El Problema Directo. 11. 3.1. El modelo de la Fuente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.2. El Modelo de la Cabeza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.2.1. Medio infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.2.2. Modelo Esférico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.2.3. Otros Modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18. II.

(4) ÍNDICE GENERAL. III. 4. El Problema Inverso. 22. 4.1. Interpolación Esférica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23. 5. Resultados y Conclusiones. 26. A. Potencial en Medio Infinito. 37. B. Coeficientes de n Esferas. 40.

(5) Índice de figuras. 2.1. Estructura de la neurona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. 2.2. Sinapsis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6. 2.3. Colocación de Electrodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7. 2.4. Colocación de Electrodos Bipolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8. 2.5. EEG en pacientes dormidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9. 2.6. Promedio de se al en Potenciales evocados . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.1. Modelo Esférico de la cabeza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.2. Se muestran dos ejemplos de la distribución de potencial generada a partir del problema directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.3. Se muestra la dependencia en l del coeficiente An para cuatro diferentes modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.4. Se muestra la dependencia en l del coeficiente Bn para cuatro diferentes modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.1. Root Mean Square Error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 IV.

(6) ÍNDICE DE FIGURAS. V. 4.2. Ejemplo Problema Inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 5.1. Cuadro de convenciones de las figuras mostradas en el capitulo 5 . . . . 28 5.2. Caso 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 5.3. Caso 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 5.4. Caso 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 5.5. Caso 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 5.6. Caso 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 5.7. Caso 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 5.8. Caso 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 5.9. Caso 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 5.10. Diferencia de Escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 5.11. Resultados obtenido con dos distribuciones diferentes de electrodos . . 35 5.12. Error Gaussiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36.

(7) Capítulo 1 Introducción La electroencefalografía es una técnica no invasiva (es decir que no requiere de intervención quirúrgica) que permite el estudio de la actividad cerebral. El objetivo principal de este trabajo es lograr que a partir de los datos tomados por el EEG (Electroenfalograma) se encuentre la distribución de corrientes al interior del cerebro que genera la señal medida por los electrodos del EEG, a este procedimiento se le conoce como problema inverso. En general, el diagnostico en neurología se basa en que cada enfermedad causa síntomas específicos y reconocibles, esto permite que a partir de datos tomados clínicamente, bien sea con un electroencefalograma, un magnetoencefalograma o cualquier otra técnica, sea factible la ubicación del tejido en cuestión. Ese tejido no es necesariamente una anomalía del sistema nerviosos central, también puede ser tejido de interés en estudios sobre procesamiento y almacenamiento de información en el cerebro, reconocimiento de patrones, aprendizaje, etc [2]. El problema inverso es importante pues es un intento por mejorar y hacer más eficientes la técnicas de diagnóstico, en particular el EEG. Para poder validar los resulta1.

(8) CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN. 2. dos obtenidos con el problema inverso, es necesario desarrollar un modelo teórico. A este modelo teórico se le llama problema directo y ocupará una parte importante del desarrollo global del problema ..

(9) Capítulo 2 Electroencefalografía. 2.1.. Historia. A finales del siglo XVIII Luigi Galvani descubrió que los tejidos animales respondían a electricidad y propuso que estos también eran capaces de generarla, sin embargo fue hasta después de su muerte que se demostró tal teoría [11]. Ya en el siglo XIX, el médico inglés Richard Caton (1842-1926) registró los primeros potenciales eléctricos debidos a tejido animal en perros y a principios del siglo XX, en la década de los 20, Hans Berger midió tales potenciales sobre la corteza cerebral de un humano[8]. A esta nueva forma de registro se le llamo Electroencefalografía.. 2.2.. Potenciales Medidos. El citoplasma de la célula es eléctricamente negativo con respecto al medio que la rodea debido a una diferencia de concentración de iones de potasio (K + ), sodio (Na+ ) y Cloro (Cl - ), a esta diferencia de potencial se le conoce como potencial de membrana y la 3.

(10) CAPÍTULO 2. ELECTROENCEFALOGRAFÍA. 4. excitación de una célula consiste en el cambio temporal de este potencial. Las células excitables (neuronas, fibras musculares, etc) se diferencia del resto por que el potencial de membrana es mayor; en una neurona el potencial de membrana cuando la célula esta en reposo varia entre 60 y 80 mV. La estructura de una neurona se puede dividir en tres partes: dendritas, soma y axón (Figura 2.1). Las dendritas son las “antenas” que reciben la información de otras neuronas, en el soma se integra toda la información recibida que será luego transmitida a otras células por el axón. La sinápsis es la únion que existe entre el axón de una neurona (presináptica) y las dendritas de otra (postsináptica)(Figura 2.2). Cuando una neurona es excitada y su potencial de membrana cambia, la membrana del axón se hace permeable a los iones de sodio. El cambio de concentración hace que la diferencia de potencial también lo haga, a la propagación de este cambio se le conoce como potencial de acción [11]. Una vez el potencial de acción llega a la sinapsis, neurotransmisores son liberados y dependiendo del tipo de estos, las células postsinápticas son excitadas o inhibidas. Este proceso ocurre entre grupo de neuronas y son estos “circuitos” los que generan los potenciales medidos por el electroencefalograma.. 2.3.. Mediciones e Interpretación. El electroencefalograma detecta potenciales eléctricos sobre el cuero cabelludo debidos a lo que hoy se sabe son corrientes eléctricas generadas por la neuronas en el cerebro. La electroencefalografía es una de la técnicas más utilizada, debido a su naturaleza no invasiva, para el diagnostico de enfermedades como la epilepsia. El análisis de los datos tomados por el electroencefalograma es un reto, pues se trata.

(11) CAPÍTULO 2. ELECTROENCEFALOGRAFÍA. 5. Figura 2.1: Estructura de la neurona [9]. de señales no periódicas, que cambian de amplitud, fase y frecuencia constantemente. Para poder sobrepasar este inconveniente se requiere que las mediciones sean hechas durante un periodo de tiempo largo. A pesar del comportamiento poco regular de los electroencefalogramas, las señales han sido clasificadas de acuerdo a la frecuencia como se muestra en la tabla 2.1.. Señal Banda de Frecuencia Delta 0.5-3.5 Hz Theta 3.5-7.5 Hz Alpha 8-12 Hz Beta ³ 13 Hz Tabla 2.1: Rango de Frecuencias de un EEG[4]. Cada uno de los rangos de frecuencia mostrados en la tabla 2.1 esta asociado a un estado de conciencia, por ejemplo sueño profundo o resolución de problemas específicos..

(12) CAPÍTULO 2. ELECTROENCEFALOGRAFÍA. 6. Figura 2.2: Sinapsis, unión entre el axon de una neurona y las dendritas de otra [7]. Sin embargo la interpretación de los resultados obtenidos depende tanto del estado de conciencia como de la edad del paciente, por ejemplo las ondas delta están relacionadas con el sueño profundo sin embargo en un adulto despierto la presencia de estas indica una anomalía fisiológica. En general el EEG normal de un niño mostrará una señal de gran amplitud y lenta oscilación y el de un adulto, bajo voltaje (pequeña amplitud) y alta frecuencia [4]. El electroenfalógrafo normalmente cuenta con 18 a 24 electrodos y estos se colocan de acuerdo al sistema internacional 10-20 de colocación de electrodos (Figura 2.3).Existen principalmente dos maneras de referenciar los potenciales medidos por cada uno de los.

(13) CAPÍTULO 2. ELECTROENCEFALOGRAFÍA. 7. electrodos: monopolar y bipolarmente. En el método monopolar se utiliza una única referencia la cual se supone no tiene ningún tipo de actividad eléctrica, normalmente la nariz y los lóbulos de la orejas son escogidos para tal fin. En el método bipolar la diferencia de potencial es medida entre dos electrodos cercanos como se ve en la figura 2.4. A cada par de electrodos se llama canal.. Figura 2.3: Sistema 10-20 de colocación de electrodos. En la figura 2.5 se muestran las señales de 16 canales medidas en pacientes dormidos.. 2.4.. Potenciales Evocados. El potencial evocado esta definido como el potencial medido cuando el cerebro responde a un estimulo externo [2]. Estos estímulos pueden ser visuales, por ejemplo destellos de luz periódicos, auditivos o somatosensoriales como impulsos eléctricos de baja intensidad. Para poder extraer la información relevante de los EEG generados por los potenciales.

(14) CAPÍTULO 2. ELECTROENCEFALOGRAFÍA. 8. Figura 2.4: Apareamiento de electrodos en el método bipolar. evocados es necesario promediar periodos iguales de tiempo de la señal, esos intervalos están dados por el periodo del estimulo. Si se asume que la señal y el ruido no están correlacionados y además que el ruido de un periodo a otro tampoco lo está, el promedio reduce el ruido y deja intacto el potencial evocado, en la figura 2.6 se ve como a medida que se promedian más intervalos, el potencial evocado se ve mas claramente..

(15) 9. CAPÍTULO 2. ELECTROENCEFALOGRAFÍA. a). b). Figura 2.5: Se muestran las ondas a) delta en un paciente de 8 años y b) Theta en un paciente de 25 años [4].

(16) CAPÍTULO 2. ELECTROENCEFALOGRAFÍA. 10. Figura 2.6: El método de promedio de señal permite extraer la información necesaria de un EEG de potencial evocado. Después de 16 pruebas ya se puede ver un pico a los 100 ms [10].

(17) Capítulo 3 El Problema Directo El problema directo consiste en encontrar una distribución de potencial sobre la cabeza (específicamente sobre el cuero cabelludo), en un instante de tiempo y debido a una configuración particular de dipolos en el cerebro. Para ello se elige el modelo de la cabeza que se va a utilizar y el modelo de la fuente, en este caso se asume que el cerebro es la única fuente que genera los potenciales medidos sobre la cabeza por los electrodos del EEG. Un buen estudio del problema directo es parte importante del problema global pues valida los resultado que se obtendrán más adelante por el problema inverso. Esto es posible por que los datos de entrada de problema inverso serán tomados de los resultados del problema directo, simulando la información que daría una EEG real, la comparación de los dos procedimientos permite la evaluación del desempeño del problema inverso.. 11.

(18) CAPÍTULO 3. EL PROBLEMA DIRECTO. 3.1.. 12. El modelo de la Fuente. En el cuerpo humano existen diferentes tejidos que generan y reaccionan a señales eléctricas. El cerebro es uno de ellos y será nuestro centro de atención, sin embargo los músculos y el resto del sistema nervioso (sistema nerviosos periférico) también están generando sus propias señales eléctricas que afectan directamente la lectura hecha por los electrodos de un EEG. Los que se asume es que las señales generadas por tejidos distintos del cerebro son muy débiles y por tanto despreciables. Nuestra principal fuente, el cerebro, se puede entender como dipolos de corriente debidos a pequeños circuitos formados por varias neuronas. Estos dipolos se asume que tienen una separación infinitesimal entre los polos conocida y además se supone el conocimiento sobre el momento del dipolo y la orientación de este.. 3.2.. El Modelo de la Cabeza. Geométricamente hablando existen diferentes modelos de la cabeza que se aproximan de una buena forma a la realidad, tal es el caso del modelo hecho por elementos finitos a partir de imágenes obtenidas por otros medios electrónicos como la tomografía computarizada (CT) o el MRI (Magnetic Resonance Imaging), sin embargo el análisis previo a estos se hace a partir de modelos simplificados de la cabeza, como por ejemplo el esférico, el cual se trabajará a lo largo de toda la investigación. El modelo esférico, como su nombre lo indica, consiste en asumir la cabeza como una esfera perfecta, con un radio y un valor de conductividad conocidos; haciendo un poco más complejo el modelo, se asume que la cabeza no es una única esfera sino un sistema de.

(19) CAPÍTULO 3. EL PROBLEMA DIRECTO. 13. esferas concéntricas, cada una con un valor de conductividad diferente pero isotrópico (ver Figura 3.1).Las esferas modelan los diferentes tejidos al interior de la cabeza; estos son el cerebro, el cráneo y el cuero cabelludo principalmente. Además de esto se hacen aproximaciones sobre el medio externo que rodea a la cabeza, en particular se asume que la conductividad de dicho material es nula [5]. El estudio del problema directo empezará por encontrar la distribución de potencial debida a un dipolo en un medio infinito, pues este es necesario para el desarrollo del modelo esférico.. 3.2.1.. Medio infinito. Se desea encontrar la distribución de potencial debida a un dipolo con caracterización Ó conocida en un medio infinito y con conductividad conocida ∆1 . P es el momento dipolar en coordenadas esféricas y r p es la distancia de separación entre el dipolo y el punto en el que se desea calcular el potencial. El potencial de un dipolo magnético arbitrariamente orientado y localizado esta dado por la ecuación (3.1)[12]. F¥ =. 1 Ó 1 P × Ñ r0 ( ) 4Π∆1 rp. (3.1). Desarrollando la ecuación 3.1 como se muestra en el apéndice A se obtiene una función de la forma: ¥ X l X 1 m (g cos mΦ + hml sin mΦ)Plm (cos Θ) F¥ (r, Θ, Φ) = l+1 l r l=0 m=0. (3.2). Donde los coeficientes gml y hml están dados por: P 1 1 (l - m)! (2 - ∆m0 ) (Pr lPlm (cos Θ0 ) cos mΦ0 + Θ [Plm+1 (cos Θ0 ) l-1 4Π∆1 r0 (l + m)! 2 m mPΦ Pl (cos Θ0 ) - (l + m)(l - m + 1)Plm-1 (cos Θ0 )] cos mΦ0 sin mΦ0 ) (3.3) sin Θ0. gml =.

(20) CAPÍTULO 3. EL PROBLEMA DIRECTO. 14. PΘ m+1 1 1 (l - m)! m (2 ∆ ) (P lP (cos Θ ) sin mΦ + [P (cos Θ0 ) m0 r l 0 0 4Π∆1 r0l-1 (l + m)! 2 l mPΦ Plm (cos Θ0 ) - (l + m)(l - m + 1)Plm-1 (cos Θ0 )] sin mΦ0 + cos mΦ0 ) (3.4) sin Θ0. hml =. 3.2.2.. Modelo Esférico. En el modelo de tres esferas concéntricas cada una de las esferas representa los tejidos que corresponden a el cerebro, el cráneo y el cuero cabelludo, cada uno de estos con un valor dado de conductividad y radio; en general los datos que se utilizan para la conductividades son ∆1 = 1, ∆2 = 0,0125, ∆3 = 1 y para los radios a = 0,87, b = 0,92 y c = 1[5]. Estos valores han sido normalizados de tal manera que la unidad corresponde a los valores en la esfera exterior, es decir en el cuero cabelludo, con el objetivo de estandarizar el procedimiento para que se pueda aplicar en diferentes personas. Ver Figura 3.1.. Figura 3.1: Modelo Esférico.

(21) CAPÍTULO 3. EL PROBLEMA DIRECTO. 15. Para poder encontrar la distribución de potencial sobre la superficie de la esfera exterior es necesario resolver la ecuación de Poisson (Ec 3.5) en coordenada esféricas y aplicar las correspondientes condiciones de frontera.. Ñ2 F = -Ρ. (3.5). En la ecuación 3.5 -Ρ representa la presencia de una fuente en el medio, en este caso un dipolo magnético. La solución de la ecuación (3.5) en general tiene la forma: F(r, Θ, Φ) = F particular (r, Θ, Φ) + Fgeneral (r, Θ, Φ). (3.6). donde Fgeneral (r, Θ, Φ) es la solución de la ecuación homogénea y F particular (r, Θ, Φ) es una solución particular cualquiera. Del caso de medio infinito se obtiene una solución particular de la ecuación de Poisson y la ecuación (3.7) es la solución de la ecuación homogénea (ecuación de Laplace) en coordenadas esféricas[14]. s r ¥ X l X 2l + 1 (l - m)! m 1 Pl (cos Θ)eimΦ [Aml rl + Bml l+1 ] Fgeneral (r, Θ, Φ) = 4Π (l + m)! r l=0 m=-l Entonces la solución de la ecuación (3.5) queda de la forma: s r ¥ X l X 2l + 1 (l - m)! m 1 F j (r, Θ, Φ) = F¥ | j + [A j rl + B j l+1 ] Pl (cos Θ)eimΦ 4Π (l + m)! r l=0 m=-l. (3.7). (3.8). En la ecuación (3.8) el subíndice j se refiere a cada una de las esferas, el potencial F¥ es diferente en cada una pues este depende de la conductividad del medio. Nótese que las incógnitas son los coeficientes A j y B j y para poder encontrarlos la continuidad del potencial, así como la continuidad de la derivada normal a la superficie en cada una de las fronteras es necesaria, esto implica que, por ejemplo, entre la primera y la segunda.

(22) CAPÍTULO 3. EL PROBLEMA DIRECTO. 16. esfera (r = a) se deben cumplir las condiciones de frontera (3.9) y (3.10), esto también es válido en la segunda frontera (r = b). F1 |r=a = F2 |r=a ∆1. ¶F1 ¶F |r=a = ∆2 2 |r=a ¶r ¶r. (3.9) (3.10). Además en el caso de la frontera exterior (r = c), es decir entre la superficie y el medio que rodea la cabeza se debe cumplir con (3.11) pues parte del modelo esférico consiste en suponer condiciones sobre la conductividad del medio exterior y en particular se asume que ∆¥ = 0[5]. ¶F3 | =0 ¶r r=c. (3.11). Cuando r ® 0 el potencial debe seguir siendo finito entonces para la primera esfera, en la ecuación (3.8), el coeficiente B1 debe ser cero. Ya con las condiciones de frontera establecidas y cambiando adecuadamente los limites de la sumatoria se encuentra que el potencial sobre la superficie de la cabeza es de la forma: ¥ X l X K3 m F3 (r, Θ, Φ) = (g cos mΦ + hml sin mΦ)Plm (cos Θ) l+1 l r l=0 m=0. (3.12). K3 = A3 r2l+1 + B3. (3.13). con.

(23) CAPÍTULO 3. EL PROBLEMA DIRECTO. A3 = b1+2l (1 + l) (1 + 2l)2 ∆3 ∆2 ¸ l ∆1 a1+2l + a1+2l l + b1+2l l b1+2l + b1+2l l + c1+2l l ∆2 + a1+2l - b1+2l b1+2l - c1+2l l (1 + l) ∆3 - (1 + l) ∆2 a1+2l - b1+2l b1+2l + b1+2l l + c1+2l l ∆2 1+2l 1+2l 1+2l 1+2l 1+2l + b -c b + a l + b l ∆3. 17. (3.14). h B3 = ∆1 a1+2l + a1+2l l + b1+2l l b1+2l + b1+2l l + c1+2l l ∆2 i + a1+2l - b1+2l b1+2l - c1+2l l (1 + l) ∆3 h - ∆2 a1+2l - b1+2l (1 + l) b1+2l + b1+2l l + c1+2l l ∆2 + b2+4l + a1+2l b1+2l l + 2b2+4l l - a1+2l c1+2l l + 2b1+2l c1+2l l i 1+2l 1+2l 2 2+4l 2 1+2l 1+2l 2 1+2l 1+2l 2 + a b l + b l - a c l + 3b c l ∆3 ¸ ∆1 a1+2l + a1+2l l + b1+2l l b1+2l + b1+2l l + c1+2l l ∆2 + a1+2l - b1+2l b1+2l - c1+2l l (1 + l) ∆3 - (1 + l) ∆2 a1+2l - b1+2l b1+2l + b1+2l l + c1+2l l ∆2 1+2l 1+2l 1+2l 1+2l 1+2l + b -c b + a l + b l ∆3 +1 (3.15) Algunos ejemplos de la distribución de potencial se ven en la figura 3.2. En el siguiente capítulo será calculado el problema inverso a partir de las distribuciones de potencial obtenidas por el problema directo lo cual nos permitirá hacer la comparación entre lo que se obtiene en el problema inverso y el problema directo; en esa comparación radica la importancia de hacer un buen estudio del problema directo..

(24) 18. CAPÍTULO 3. EL PROBLEMA DIRECTO. a). b). Figura 3.2: Distribución de potencial sobre la superficie exterior de la cabeza para dos dipolos de diferente localización y magnitud. a)(R = 0,7280, Θ = 0,2783, Φ = Π/ 2) y momento = 0,5. b)(R = 0,8, Θ = Π/ 3, Φ = 5) y momento = 1.. 3.2.3.. Otros Modelos. Un modelo de mas esferas puede usarse para tener en cuenta una dependencia radial de la conductividad y en principio debería mejorar la precisión de los datos generados por el problema directo. En las figuras 3.3 y 3.4 se muestran el comportamiento de los coeficientes An y Bn de la ecuación (3.8) para la última esfera en los diferentes modelos, que en todos los casos representa el cuero cabelludo. En las dos figuras los cuatro modelos se comportan de manera similar, en especial los de tres, cuatro y cinco esferas convergen rápidamente (en l = 15 aproximadamente) al mismo valor. Esto lo que demuestra es que incluir más esferas dentro del modelo no mejora considerablemente la precisión del problema directo; esa es la razón de escoger el modelo de tres esferas, pues este se comporta mejor que el dos esferas y no requiere de gran capacidad de procesamiento computacional ni de un trabajo analítico tan ex-.

(25) CAPÍTULO 3. EL PROBLEMA DIRECTO. 19. tenso como los modelos de más esferas. La manera como se calcularon los coeficientes mostrados en las figuras 3.3 y 3.4 se encuentra en el apéndice B..

(26) CAPÍTULO 3. EL PROBLEMA DIRECTO. 20. Figura 3.3: Se muestra la dependencia en l del coeficiente An para cuatro diferentes modelos.

(27) CAPÍTULO 3. EL PROBLEMA DIRECTO. 21. Figura 3.4: Se muestra la dependencia en l del coeficiente Bn para cuatro diferentes modelos.

(28) Capítulo 4 El Problema Inverso El problema inverso consiste en encontrar la localización aproximada de los dipolos a partir de una distribución no continua de potencial medida sobre el cuero cabelludo, se dice no continua pues solo se cuenta con la información suministrada a lo sumo por 24 electrodos distribuidos según el sistema 10-20 de colocación de electrodos (figura 2.3). Los datos necesarios para desarrollar el problema inverso serán obtenidos a partir de los resultados arrojados por el problema directo, con esto se busca simular los datos que se obtendrían de un EEG real y tener un punto de partida para cuantificar el desempeño del problema inverso en cuanto a la localización de los dipolos que generan la señal medida por el electroencefalograma. Para obtener una única solución del problema inverso es necesario tener un modelo geométrico de la cabeza y de la fuente [3], en este caso también se asume un modelo esférico y la fuente se asume dipolar. La manera de encontrar la ubicación del dipolo será por medio de la interpolación esférica desarrollada por Wahba [13].. 22.

(29) CAPÍTULO 4. EL PROBLEMA INVERSO. 4.1.. 23. Interpolación Esférica. La interpolación esférica genera una función continua y suave (ecuación 4.1) que esta obligada a pasar por todos los puntos de entrada, en este caso 22 datos de la distribución de potencial obtenida a partir del problema directo. Esos 22 datos simulan la lectura de 22 electrodos en un instante de tiempo de un EEG. Cada lectura será denotada por zi y su respectiva coordenada espacial por Ei . U(E) = C0 +. n X. ci g(cos (E, Ei )). (4.1). i=1. donde los coeficientes ci son la solución del sistema lineal dado por Ó Ó Ó G × C + C0 × T = Z. (4.2). Ó Ó Tt × C = 0. (4.3). Con Ó T t = (1, 1, ¼, 1) Ó Ct = (c1 , c2 , ¼, cn ) Ó Z t = (z1 , z2 , ¼, zn ) G = (gi j ) = (g(cos (Ei , E j ))) g(x) es una función definida por: ¥. 1 X 2l + 1 g(x) = P (x) 4Π l=1 l m (l + 1)m l. (4.4). donde m debe ser un valor entero mayor que 1. U(E) es el valor de potencial encontrado en el punto E sobre la superficie de la cabeza..

(30) CAPÍTULO 4. EL PROBLEMA INVERSO. 24. El cos (Ei , E j ) es el coseno del ángulo que hay entre las proyecciones en el plano de los puntos Ei y E j y esta dado por cos (Ei , E j ) = 1 -. (xi - x j )2 + (yi - y j )2 + (zi - z j )2 2. (4.5). En la ecuación (4.4) se hizo la sumatoria desde l = 1 hasta l = 15 con esto es suficiente para obtener una precisión de 10-6 [6]. De la solución del sistema lineal planteado en (4.2) y (4.3) se obtienen los valores de los coeficientes ci con lo cual ya se tiene una aproximación a la distribución de potencial que debe ser luego comparada con la generada por el problema directo.Se utilizó m = 2 en la ecuación (4.4),esta elección se hizo a partir del resultado obtenido por el problema inverso para diferentes valores. En la figura 4.1 se ve el promedio del RMSE (root mean square error) de la simulación de varios casos para cada uno de los valores de m, para m = 2 el RMSE es menor.. Figura 4.1: Promedio del RMSE de varios casos con diferente valores de m Es necesario tener en cuenta que la interpolación, y en sí el problema inverso, no puede bajo ninguna circunstancia mejorar los datos registrados por el electroencefalograma..

(31) 25. CAPÍTULO 4. EL PROBLEMA INVERSO. La locaización del dipolo es una aproximación que se debe hacer a partir de la reproducción de los datos experimentales, es decir, a partir de la distribución de potencial encontrada por medio de la interpolación en el problema inverso. En la figura 4.2 se muestra un ejemplo en el que se calculó el problema inverso a partir del problema directo.. a). b). Figura 4.2: Se muestra a) el problema directo y b) el problema inverso para el dipolo con coordenadas (R = 0,7348, Θ = 1,1498, Φ = 3,6052) y momento = 1.

(32) Capítulo 5 Resultados y Conclusiones El problema directo da como resultado la distribución de potencial sobre el cuero cabelludo debida a uno o varios dipolos magnéticos al interior de la cabeza. Con el modelo de tres esferas concéntricas (capítulo 3) y con diferentes ubicaciones y magnitudes (momento dipolar) se obtienen distribuciones como las que se ven en la columna de la izquierda en la figuras de la 5.2 hasta 5.9. En cada caso se generaron 5329 datos y la escala fue normalizada de manera que la unidad corresponde al valor más alto. El problema inverso consiste en encontrar la localización aproximada de los dipolos magnéticos o las distribuciones de corriente al interior de la cabeza que generan la señal de potencial medida sobre el cuero cabelludo por un electroencefalograma. Para desarrollar el problema inverso (capitulo 4) es necesario tener valores de entrada que corresponden a la información suministrada por un EEG, en este caso los datos fueron simulados con el problema directo por una razón: el problema directo se genera a partir de un dipolo cuya orientación, localización y magnitud son conocidas, esto permite entonces evaluar el desempeño del problema inverso en cuanto la ubicación del dipolo. Del problema inverso se obtiene una distribución de potencial que reproduce los datos 26.

(33) CAPÍTULO 5. RESULTADOS Y CONCLUSIONES. 27. tomados por el electroencefalograma o en este caso los generados por el problema directo, no se obtiene la localización del dipolo exacta, esta debe ser aproximada a partir de esta distribución. En la columna derecha de las figuras 5.2 a la 5.9 se muestran unos ejemplos del problema inverso calculado a partir del problema directo; los puntos blancos en cada una de ellas muestra en donde están ubicados los electrodos, el punto negro con muestra la ubicación del máximo de la distribución encontrada con el problema directo y el asterisco el máximo de la distribución encontrada con el problema inverso (Ver figura 5.1). En la tabla 5.1 se muestran los errores relativos de localización radial y angular del máximo hecha por el problema inverso con el valor teórico, que en nuestro caso es el resultado del problema directo. Es importante tener en cuenta que la interpolación esférica es útil en cuanto a la localización, no lo es así para la magnitud del dipolo, es por esta razón que se han normalizado las gráficas pues el principal objetivo es la ubicación de este. En la figura 5.10 se ve la diferencia de escalas entre los problemas directo e inverso, esta diferencia se debe a que no necesariamente alguno de los electrodos esta cerca del máximo de la distribución de potencial real, es decir la del problema directo, sucede entonces que la interpolación da una función cuyos valores extremos absolutos no pueden ser mucho mayores que los valores medidos por los electrodos, lo que limita a que la escala esté entre el máximo y el mínimo de los potenciales registrado por el EEG y no entre los extremos de la distribución real. En la figura 5.11 se muestra el resultado obtenido con los 22 electrodos distribuidos según el sistema 10-20 y con 22 electrodos, 3 de ellos colocados en las coordenadas donde se encuentran los dipolos, sin embargo este es un caso en el que se pretende mostrar la diferencia en los resultados del problema inverso cuando alguno de los electrodos coincide con el máximo del potencial y no representa un caso real o una posible.

(34) 28. CAPÍTULO 5. RESULTADOS Y CONCLUSIONES Localización y Magnitud del Dipolo (R = 0,7280, Θ = 0,2783, Φ = Π/ 2) y momento = 0,5 (R = 0,7348, Θ = 1,1498, Φ = 2,6779) y momento = 1 (R = 0,8, Θ = Π/ 3, Φ = 5) y momento = 1 (R = 0,7348, Θ = 1,1498, Φ = 3,6052) y momento = 1 (R = 0,7280, Θ = 0,2783, Φ = 0) y momento = 0,5. Error en r( %) 13.8 4.8 0.9 2.6 9.3. Error en Φ( %) 4.6 12.5 3.5 6.9 25.0 Promedio. RMS 0.0047 0.0287 0.0302 0.0344 0.0046 0.0187. Tabla 5.1: Error relativo de la coordenada radial y angular dada por el problema inverso. Figura 5.1: Estas son las convenciones utilizadas en las figuras de capitulo 5. a). b). Figura 5.2: Se muestra a) el problema directo y b) el problema inverso para el dipolo con coordenadas (R = 0,7280, Θ = 0,2783, Φ = Π/ 2) y momento = 0,5.Ver convenciones en la figura 5.1..

(35) 29. CAPÍTULO 5. RESULTADOS Y CONCLUSIONES. implementación, pues la segunda distribución de electrodos supone el conocimiento de la localización de los tres dipolos lo cuál no sucede en realidad.. a). b). Figura 5.3: Se muestra a) el problema directo y b) el problema inverso para el dipolo con coordenadas (R = 0,7348, Θ = 1,1498, Φ = 2,6779) y momento = 1. Ver convenciones en la figura 5.1.. a). b). Figura 5.4: Se muestra a) el problema directo y b) el problema inverso para el dipolo con coordenadas (R = 0,8, Θ = Π/ 3, Φ = 5) y momento = 1.Ver convenciones en la figura 5.1..

(36) 30. CAPÍTULO 5. RESULTADOS Y CONCLUSIONES. En todos los casos ilustrados en las figuras 5.2 hasta 5.11 el problema inverso fue calculado a partir de la función (4.4) con m = 2, sin embargo la restricción que existe. a). b). Figura 5.5: Se muestra a) el problema directo y b) el problema inverso para el dipolo con coordenadas (R = 0,7280, Θ = 0,2783, Φ = 0) y momento = 1.Ver convenciones en la figura 5.1.. a). b). Figura 5.6: Se muestra a) el problema directo y b) el problema inverso para el dipolo con coordenadas (R = 0,7348, Θ = 1,1498, Φ = 3,6052) y momento = 1.EVer convenciones en la figura 5.1..

(37) 31. CAPÍTULO 5. RESULTADOS Y CONCLUSIONES. sobre m es la de ser un número entero positivo. La elección se hizo en base a los resultados obtenidos del RMSE para varios casos en los que se calculó el problema inverso con distintos valores de m. Ese trabajo esta resumido en la figura 4.1 y lo que. a). b). Figura 5.7: Se muestra a) el problema directo y b) el problema inverso para el dipolo con coordenadas (R = 0,7280, Θ = 0,2783, Φ = 0) y momento = 0,5.Ver convenciones en la figura 5.1.. a). b). Figura 5.8: Se muestra a) el problema directo y b) el problema inverso para una configuración de tres dipolos.

(38) 32. CAPÍTULO 5. RESULTADOS Y CONCLUSIONES. muestra es que la desviación del problema inverso con respecto a el problema directo con m = 2 es menor, esa desviación es comparada con cada unos de los valores de m por medio del RMSE. En la vida real la señal suministrada por el EEG esta contaminada con ruido, para poder evaluar el desempeño del problema inverso en el caso real se modeló el error como gaussiano centrado en cada punto con una desviación estándar del 5 % del valor en el punto. Algunos de los resultados son mostrados en la figura 5.12. En la tabla 5.2 están compilados los errores relativos y los RMSE para varios casos en los que al problema directo se le ha sumado el error gaussiano. Se encuentra que para el caso en el que se calculó el problema inverso a partir del problema directo con error gaussiano el promedio del RMSE es 0,0200 mientras que el problema inverso calculado a partir de la señal sin ruido presenta un RMSE promedio de 0,0187 esto indica un incremento del 7,42 %, sin embargo este valor esta sujeto al porcentaje de ruido que se introduzca en la señal.. a). b). Figura 5.9: Se muestra a) el problema directo y b) el problema inverso para una configuración de dos dipolos.

(39) 33. CAPÍTULO 5. RESULTADOS Y CONCLUSIONES. La interpolación esférica desarrollada por Wabha [13] es una buena manera de reproducir la distribucón de potencial a partir de los datos tomados por el EEG para así poder estimar la localización del dipolo, sin embargo no da información alguna con respecto a la magnitud de este. En paralelo al hecho al estudio de métodos de interpolación. a). b). c). d). Figura 5.10: Se muestra a) el problema directo y b) el problema inverso para la superposición de dos dipolos y, c) el problema directo y d) el problema inverso para el dipolo con coordenadas (R = 0,8, Θ = Π/ 3, Φ = 5) y momento = 1 con la escala sin ser normalizada. La diferencia entre las dos escalas es debida a que no necesariamente los valores máximos registrados por los electrodos coinciden con los valores extremos de la distribución real..

(40) 34. CAPÍTULO 5. RESULTADOS Y CONCLUSIONES Localización y Magnitud del Dipolo (R = 0,7280, Θ = 0,2783, Φ = Π/ 2) y momento = 0,5 (R = 0,7348, Θ = 1,1498, Φ = 2,6779) y momento = 1 (R = 0,8, Θ = Π/ 3, Φ = 5) y momento = 1 (R = 0,7280, Θ = 0,2783, Φ = 0) y momento = 0,5 (R = 0,7348, Θ = 1,1498, Φ = 3,6052) y momento = 1. Error en r( %) 9.3 4.9 0.9 9.3 2.9. Error en Φ( %) 9.1 12.50 3.5 25 6.9 Promedio. RMS 0.0061 0.0320 0.0288 0.0063 0.0332 0.0200. Tabla 5.2: Error relativo de la coordenada radial y angular dada por el problema inverso calculado a partir de señal con error gaussiano centrado en cada punto y desviación estándar del 5 % del valor en cada punto. para la solución del problema inverso, en la actualidad se utilizan métodos de ajuste, estos consisten en suponer la naturaleza de la fuente y su orientación, por ejemplo un dipolo magnético radial o tangencial e iterar su localización hasta reproducir los datos con cierta precisión; la implementación de los dos métodos en un solo algoritmo puede llevar a mejores resultados en los que se aprovechen las ventajas de ambos. Los modelos utilizados en cuanto a la geometría y la fuente introducen error en la simulación sin embargo son una buena manera de acotar el problema inverso, sin estos habrían infinitas soluciones; modelos más reales como los hechos a partir de elementos finitos con ayuda del MRI (Magnetic Resonance Imaging) permiten un resultado más preciso en cuanto a la localización del dipolo. Además de hacer un modelo lo más real posible, un buen estudio del error y la proporción de este en la señal son del vital importancia para lograr un electroencefalograma de alta precisión..

(41) CAPÍTULO 5. RESULTADOS Y CONCLUSIONES. 35. a). b). c) Figura 5.11: Se muestra a) el problema directo y b) el problema inverso según el sistema 10-20 c) e problema inverso con colocación arbitraria de electrodos para una configuración de tres dipolos.Ver convenciones en la figura 5.1.

(42) CAPÍTULO 5. RESULTADOS Y CONCLUSIONES. 36. Figura 5.12: Se muestra en la primera fila el problema directo, en la segunda el problema inverso y en la tercera fila el problema inverso calculado a partir del problema directo con error gaussiano centrado en cada punto y desviación estándar del 5 % del valor en cada punto para el dipolo con coordenadas (R = 0,7280, Θ = 0,2783, Φ = Π/ 2) y momento = 0,5. Ver convenciones en la figura 5.1.

(43) Apéndice A Potencial en Medio Infinito La distribución de potencial debida a un dipolo magnético con posición y orientación arbitraria esta dada por la ecuación A.1[12]. 1 Ó P × Ñr0 F¥ = 4Π∆1. 1 rp. ! (A.1). El gradiente en coordenadas esféricas esta dado por ¶ 1 ¶ 1 ¶ Ñr0 = r̂ + Θ̂ + Φ̂ ¶r0 r0 ¶Θ0 r0 sin Θ0 ¶Φ0 Entonces A.1 queda de la forma: " !! 1 ¶ 1 F¥ = P + PΘ 4Π∆1 r ¶r0 r p Expandiendo. 1 rp. 1 ¶ r0 ¶Θ0. 1 rp. !!. + PΦ. 1 ¶ r0 sin Θ0 ¶Φ0. . 1 rp. !# (A.2). se tiene que: ¥. l. X X rl (l - m)! 1 1 1 0 = Ó = Ó Ó = eimΦ0 eimΦ Plm (cos Θ)Plm (cos Θ0 ) l+1 r p ür pü ür - r0 ü (l + m)! r l=0 m=-l Evaluando cada no de los términos de Ñr0 r1 se tiene que:. (A.3). p. ¶ ¶. 1 Ó ür pü. !. ¥ X l X rl-1 (l - m)! im(Φ-Φ0 ) m = l 0l+1 e Pl (cos Θ)Plm (cos Θ0 ) (l + m)! r l=0 m=-l. 37. (A.4).

(44) APÉNDICE A. POTENCIAL EN MEDIO INFINITO 1 ¶ r0 sin Θ0 ¶Φ0. 1 ürÓpü. 1 ¶ r0 ¶Θ0. 1 ürÓpü. !. 38. ¥ X l X rl-1 (l - m)! m 1 = l 0l+1 Pl (cos Θ)Plm (cos Θ0 )eim(Φ-Φ0 ) (-im) (A.5) sin Θ0 r (l + m)! l=0 m=-l. ! =. ¥ X l X rl-1 (l - m)! im(Φ-Φ0 ) m d m l 0l+1 e Pl (cos Θ) Pl (cos Θ0 ) (l + m)! dΘ r 0 l=0 m=-l. m+1 d m 1 Pl (x) = Pl (x) - (l + m)(l - m + 1)Plm-1 (x) 1 dx 2(1 - x2 ) 2 Utilizando la relación de recursividad (A.7), el término (A.6) queda: ! ¥ X l X rl-1 (l - m)! im(Φ-Φ0 ) m 1 ¶ 1 e Pl (cos Θ) = l 0l+1 Ó r0 ¶Θ0 ür pü r (l + m)! l=0 m=-l 1 * Plm+1 (cos Θ0 ) - (l + m)(l - m + 1)Plm-1 (cos Θ0 ) 2. (A.6). (A.7). (A.8). Reemplazando con (A.4), (A.5) y (A.8) en (A.2)el potencial queda de la forma: ¥ l (l - m)! 1 X X r0l-1 im(Φ-Φ0 ) m e Pl (cos Θ) Pr l F¥ = 4Π∆1 l=0 m=-l rl+1 (l + m)! PΘ m+1 im m m-1 - PΦ P (cos(Θ0 )) + P (cos Θ0 ) - (l + m)(l - m + 1)Pl (cos Θ0 )(A.9) sin Θ0 l 2 l Pl-m = (-1)m. (l - m)! m P (l + m)! l. (A.10). Al hacer el cambio en los límites de la sumatoria en la ecuación (A.9) y haciendo uso de la ecuación (A.10), el potencial esta dado por la siguiente ecuación:. ¥ l n 1 X X r0l-1 (l - m)! m F¥ = 2 P (cos Θ) cos mΦ Pr lPlm (cos Θ0 ) 4Π∆1 l=0 m=0 rl+1 (l + m)! l PΘ m+1 m-1 + P (cos Θ0 ) - (l + m)(l - m + 1)Pl (cos Θ0 ) cos mΦ0 2 l.

(45) APÉNDICE A. POTENCIAL EN MEDIO INFINITO. 39. PΦ P m -m sin mΦPl (cos Θ0 ) + sin mΦ Pr lPlm (cos Θ0 ) + Θ (Plm+1 (cos Θ0 ) sin Θ0 2 o PΦ m m-1 - (l + m)(l - m + 1)Pl (cos Θ0 )) sin mΦ0 + m P (cos Θ0 ) cos mΦ0 sin Θ0 l h i PΘ 1 r0l-1 -1 P (cos Θ0 ) - l(l + 1)Pl (cos Θ0 ) (A.11) - l+1 Pl (cos Θ) Pr lPl (cos Θ0 ) + 2 l r Ó Reorganizando términos el potencial debido a un dipolo magnético con momento P = (Pr , PΘ , PΦ ) y coordenadas (r, Θ0 , Φ0 ) en un medio infinito de conductividad ∆1 es: ¥ X l X 1 m F¥ (r, Θ, Φ) = (g cos mΦ + hml sin mΦ)Plm (cos Θ) l+1 l r l=0 m=0. (A.12). donde P (l - m)! 1 1 (2 - ∆m0 ) (Pr lPlm (cos Θ0 ) cos mΦ0 + Θ [Plm+1 (cos Θ0 ) l-1 4Π∆1 r0 (l + m)! 2 m mPΦ Pl (cos Θ0 ) sin mΦ0 ) (A.13) - (l + m)(l - m + 1)Plm-1 (cos Θ0 )] cos mΦ0 sin Θ0. gml =. P (l - m)! 1 1 (2 - ∆m0 ) (Pr lPlm (cos Θ0 ) sin mΦ0 + Θ [Plm+1 (cos Θ0 ) l-1 4Π∆1 r0 (l + m)! 2 m mPΦ Pl (cos Θ0 ) cos mΦ0 ) (A.14) - (l + m)(l - m + 1)Plm-1 (cos Θ0 )] sin mΦ0 + sin Θ0. hml =.

(46) Apéndice B Coeficientes de n Esferas Se desarrolló un código en Mathematica [1], para calcular los coeficientes A j y B j de la ecuación B.1. El programa tiene como entrada dos archivos de datos, en el primero “coeficente.dat” en el cual se encuentran los valores de conductividad en cada una de las esferas y “radios.dat” en los que se encuentran los respectivos datos. La cantidad de datos que corresponden a conductividades deber ser igual a el número de radios. s r ¥ X l X 1 2l + 1 (l - m)! m [A j rl + B j l+1 ] F j (r, Θ, Φ) = F¥ | j + Pl (cos Θ)eimΦ (B.1) 4Π (l + m)! r l=0 m=-l con ¥ l (l - m)! (-im) 1 X X r0l-1 im(Φ-Φ0 ) m F¥ | j = e Pl (cos Θ) * Pr l + P Pm (cos Θ0 ) 4Π∆ j l=0 m=-l rl+1 (l + m)! sin Θ0 Φ l PΘ m+1 m-1 (B.2) P (cos Θ0 ) - (l + m)(l - m + 1)Pl (cos Θ0 ) + 2 l P ROGRAMA EN M ATHEMATICA In[1]:= (* Este programa encuentra los coeficientes para el modelo de n esferas cuando la sumatoria se hace desde - l hasta l *). 40.

(47) APÉNDICE B. COEFICIENTES DE N ESFERAS. 41. In[2]:= $Path. (* Coloque los archivos correspondientes a los radios de las esferas y las conductividades respectivas en alguna de las siguientes carpetas *). In[3]:= Conduc = ReadList["coeficiente.dat"];. (* El archivo de los respectivos valores de conductividades *). In[4]:= Radio = ReadList["radios.dat"];. (* El archivo de los respectivos valores de radios *). In[5]:= x = Length[Conduc]; y = Length[Radio]; (* Determina el numero de esferas concentricas *). In[6]:= If[x ¹ y, Print[Deberia revisar el numero de cascarones y el numero de conductividades pues no son iguales]]. (* Comprueba que el numero de esferas sea coherente *).

(48) APÉNDICE B. COEFICIENTES DE N ESFERAS. 42. r. 2 * n + 1 (n - m)! * ; 4*Π (n + m)! r 2 * n + 1 (n - m)! -n-1 PotSegundo[c_, r_, n_] := r * ; 4*Π (n + m)! r 2 * n + 1 (n - m)! n-1 DerPrimero[c_, r_, n_] := c * r *n* * ; 4*Π (n + m)! r 2 * n + 1 (n - m)! -n-2 * ; DerSegundo[c_, r_, n_] := -c * r * (n + 1) * 4*Π (n + m)!. In[7]:= PotPrimero[c_, r_, n_] := rn. MedioI[c_, r_, n_] :=. H0 n-1 * e-i*m*Phi * (n - m)! * alg ; 4 * Π * (n + m)! * c * rn+1. MedioIDerivada[c_, r_, n_] :=. H0 n-1 * e-i*m*Phi * (n - m)! * alg * -(n + 1) * c; 4 * Π * (n + m)! * rn+2 * c. (* Se definen la funciones que acompañan a cada uno de los coeficientes de la solucion general tanto para el potencial como para la derivada de este y las funciones de la solucion particular y su derivada *). In[8]:= CoefPrimero = Array[Q, 2 * x + 1]; CoefSegundo = Array[P, 2 * x + 1]; Coeficientes = Array[T, 2 * x - 1]; PotencialPrimero = Array[A, {2 * x - 1, 2 * x + 1}]; PotencialSegundo = Array[B, {2 * x - 1, 2 * x + 1}]; (* Se definen los vectores cuyas componentes son los coeficientes de la solucion general y las matrices que tienen las funciones que acompañan a los coeficientes y la solucion particular *). In[9]:= For[k = 1, k < 2 * x + 1, For[j = 1, j £ 2 * x - 1, {A[j, k] = 0, B[j, k] = 0}; j + +]; k + +];. (* Se inicializan las matrices con cero *).

(49) APÉNDICE B. COEFICIENTES DE N ESFERAS. 43. In[10]:= For[j = 0, j < x - 1, {A[j + 1, 2 * j + 1] = PotPrimero[Conduc[[j + 1]], Radio[[j + 1]], n], A[j + 1, 2 * x + 1] = MedioI[Conduc[[j + 1]], Radio[[j + 1]], n], A[j + 1, 2 * j + 2] = PotSegundo[Conduc[[j + 1]], Radio[[j + 1]], n]}; j + +]. For[j = 0, j < x, {A[j + x, 2 * j + 1] = DerPrimero[Conduc[[j + 1]], Radio[[j + 1]], n], A[j + x, 2 * j + 2] = DerSegundo[Conduc[[j + 1]], Radio[[j + 1]], n], A[j + x, 2 * x + 1] = MedioIDerivada[Conduc[[j + 1]], Radio[[j + 1]], n]}; j + +]. (* Se llena la matriz del lado interno de las condiciones de frontera, continuidad del potencial y de la corriente normal *) In[11]:= Clear[j, k]. In[12]:= MatrixForm[PotencialPrimero].

(50) APÉNDICE B. COEFICIENTES DE N ESFERAS. 44. In[13]:= For[j = 0, j < x - 1, {B[j + 1, 2 * j + 1] = PotPrimero[Conduc[[j + 1]], Radio[[j + 1]], n], B[j + 1, 2 * j + 2] = PotSegundo[Conduc[[j + 1]], Radio[[j + 1]], n], B[j + x, 2 * j + 1] = DerPrimero[Conduc[[j + 2]], Radio[[j + 1]], n], B[j + x, 2 * j + 2] = DerSegundo[Conduc[[j + 2]], Radio[[j + 1]], n], B[j + 1, 2 * x + 1] = MedioI[Conduc[[j + 2]], Radio[[j + 1]], n], B[j + x, 2 * x + 1] = MedioIDerivada[Conduc[[j + 2]], Radio[[j + 1]], n]}; j + +]. B[2 * x - 1, 2 * x] = 0;. B[2 * x - 1, 2 * x - 1] = 0;. B[2 * x - 1, 2 * x + 1] = 0;. (* Se llena la matriz del lado externo de las condiciones de frontera, continuidad del potencial y de la corriente normal *) In[14]:= MatrixForm[PotencialSegundo]. In[15]:= For[k = 1, k < 2 * x - 1, P[k] = Q[k + 2]; k + +];. For[k = (2 * x - 1), k < 2x + 1, P[k] = Q[k - 2 * (x - 1)]; k + +];. P[2 * x + 1] = Q[2 * x + 1];. (* Se define la relacion entre el primer vector de coeficientes (lado derecho de la ecuacion) y el segundo (lado izquierdo) *).

(51) APÉNDICE B. COEFICIENTES DE N ESFERAS. 45. In[16]:= Q[2] = 0; (* El coeficiente que acompaña el termino r-(n+1) en la solucion general para la primera esfera siempre es nulo, pues la solucion debe ser finita en r ® 0. *). Q[2 * x + 1] = 1; (* la ultima componente de CoefPrimero es igual a 1 siempre pues es la componente que va ha multiplicar la solucion particular cualquiera que sea el caso *). T[1] = Q[1];. For[k = 2, k < 2 * x, T[k] = Q[k + 1]; k + +];. In[17]:= Ñ = PotencialSegundo.CoefSegundo;. M = PotencialPrimero.CoefPrimero;. (* Se obtiene el lado izquierdo y el derecho de las condiciones de frontera como vectores los cuales deben ser igualados componente a componente*) In[18]:= For k = 1, k < 2x, Result[k] = M[[k]] == Ñ[[k]] ; k + + ;. In[19]:= R1 = Array [Result, 2 * x - 1];. R2 = Coeficientes ; In[20]:= Sol = Solve[R1, R2];. In[21]:= Solucion = Sol[[1]];.

(52) APÉNDICE B. COEFICIENTES DE N ESFERAS. 46. In[22]:= CoeficienteUno[n_] := Simplify[Q[2x - 1].Solucion[[2x - 2]]];. CoeficienteUno[n_] := Simplify[Q[2x].Solucion[[2x - 1]]];. In[23]:= (* "CoeficienteUno" y "CoeficienteDos" son los coeficientes de la distribucion de potencial sobre la esfera exterior, es decir sobre el cuero cabelludo *).

(53) Quisiera agradecer a mi asesor Carlos Ávila por el tiempo que me dedico y a Andrés por sus siempre útiles observaciones. Gracias al Dr. José Luis Gonzalez de la universidad de Guanajuato, Leon Guanajuato, Mexico por sus ideas para trabajar en este tema.. 47.

(54) Bibliografía [1] Mathematica Version 5.0. Wolfram research. 1988-2003. [2] Jorge I. Aunon. Evoked potentials research. IEEE Engineering in Medicine and Biology, March:67–68, 1992. [3] B.Ñeil Cuffin. Eeg dipole source localization. IEEE Engineering in Medicine and Biology, Sept/Oct:118–122, 1998. [4] David Michaels Dean A. DeMarre. Bioelectronic Measurments. Prentice Hall, Inc, 1983. [5] Yao Dezhong. High-resolution EEG mappings: A spherical harmonic spectra theory and simulation results. Clinical Neurophysiology, 111:81–92, 2000. [6] O.Bertrand J.F. Echallier F. Perrin, J. Pernier. Spherical splines for scalp potential and current density mappings. Electroencefalography and Clinical Neurophysiology, 72:184–187, 1989. [7] http://iibce.edu.uy/neuromol/. Laboratorio de neurociencia molecular. Instituto de Investigaciones Biológicas Clemente Estable, Uruguay, 2004.. 48.

(55) BIBLIOGRAFÍA. 49. [8] http://www.epilepsiemuseum.de/espanol/diagnostik/berger.html. Museo Alemán de Epilepsia en Kork, 2002. [9] http://www.virtual.unal.edu.co. Universidad Nacional de Colombia, 2002. [10] D. Regan. Human Brain Electrophysiology. Elsevier, 1981. [11] George G. Somjen. Neurofisiología. Ed. Médica Panamericana, 1986. [12] J.A. Stratton. Electromagnetic Theory. McGraw-Hill, 1941. [13] Grace Wahba. Spline interpolation and smoothing an the sphere. SIAM J. Stat. Comput., 2:5–16, 1981. [14] H.W. Wyld. Mathematical Methods For Physics. Perseus Books, 1999..

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