Hoja 3: Derivadas e integrales de funciones continuas

C´atedra de Matem´atica Facultad de Arquitectura Universidad de la Rep´ublica

Matem´

atica

2013 – Segundo semestre

Hoja 3: Derivadas e integrales de funciones continuas

1

Derivada

Ejercicio * 1 Un auto se mueve en una carretera recta en una direcci´on. En tiempo t = 0 se encuentra en un punto al que llamaremos x = 0. La posici´on en tiempo t se denomina

x(t). El tiempo se expresa en horas y la distancia en kil´ometros. 1. La velocidad media en [t, tf] se define como ∆_∆x_t.

A las 2 horas el auto se encuentra a 160 km del punto de partida, y a las 3 horas se encuentra a 360 km del punto de partida. Calcule la velocidad media del veh´ıculo entre las horas 2 y 3.

2. La velocidad instant´anea en tiempo t se define como lim∆t→0 ∆_∆x_t.

Se conoce ahora la posici´on del auto en cada tiempo entre la partida y las 3 horas. ´

Esta responde la funci´on x(t) = 40t2

. Calcule la velocidad media en [2,2 + ∆t] con ∆t= 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001. Calcule la velocidad instant´anea en t= 2.

¿Qu´e observa? Relacione los c´alculos hechos con el concepto de derivada.

3. Grafique la funci´onx(t) entre los tiempos 0 y 3 e interprete graficamente las velocidades medias y la instant´anea calculadas en la parte anterior.

4. Entre las horas 3 y 4, la posici´on responde a la funci´onx(t) = 360−40(t−3)2_{. Calcule} la velocidad intant´aneav(t) para cada tiempotentre 0 y 4. Grafiquex(t) yv(t). ¿Qu´e sucede cuando v es negativa?

5. La aceleraci´on media en [t, tf] se define como ∆∆vt y la aceleraci´on instant´anea en tiempo

t se define como lim∆t→0 ∆_∆v_t.

Calcule la aceleraci´on instant´anea a(t) en cada tiempo t entre las horas 0 y 3. ¿Es realista este modelo para el movimiento de un auto?

Ejercicio 2 Consideraremos la funci´on

f(x) =x2

y a partir de x= 3 un incremento ∆x de la variablex.

1. El incremento de f con respecto a su valor en 3, cuando se eval´ua en 3 + ∆x es

2. El cociente incremental ∆f /∆xes + ×∆x.

3. Cuando ∆x→0, los cocientes incrementales ∆f /∆xse aproximan a .

Nota: _{Completar con n´umeros las casillas.}

Ejercicio 3 En las normas de accesibilidad se limita la pendiente que puede tener una rampa.

Las pendientes longitudinales m´aximas para los tramos rectos de rampa entre descansos, en funci´on de la extensi´on de los mismos medidos en su proyecci´on horizontal, deben cumplir con lo siguiente:

hasta 15 m; la pendiente m´axima debe ser del 6% hasta 10 m; la pendiente m´axima debe ser del 8% hasta 3 m; la pendiente m´axima debe ser del 10% hasta 1,5 m; la pendiente m´axima debe ser del 12%.

Se quiere construir una rampa de 12 metros (en su proyecci´on horizontal) que se eleve 1 metro del suelo. ¿Es posible hacerlo respetando la norma?

Nota: es com´un en arquitectura medir la pendiente en porcentaje. Para expresarlo de esta manera se calcula 100×altura/longitud horizontal. Dicho de otra manera: qu´e porcentaje representa la altura con respecto a la longitud horizontal. O a´un de otra manera: cada 100 m en la horizontal, cu´anto se eleva la rampa en la vertical.

Ejercicio 4 Una part´ıcula se mueve de tal manera que su velocidad en cada instante t es

v(t) = 5t3_{+ 5t}2_{−5t−5 m/s, entre los tiempos t=0 y t=3 segundos. Hallar la velocidad} m´axima y la m´ınima alcanzada. ¿Qu´e significado f´ısico tiene una velocidad negativa?

Ejercicio 5 Se quiere construir un galp´on cuya base sea rectangular. Su per´ımetro ser´a de 50 metros. Hallar las dimensiones de la base para que la superficie sea la m´axima posible.

Ejercicio 6 Se quiere construir una rampa de skate cuyo perfil es la regi´on encerrada entre la funci´onfy el ejeOx, donde la funci´onfes: f(x) = (x−2)2_{six∈[0,3] yf(x) = (x−2)(4−x)} si x∈[3,4]. El ancho de la rampa es 3. (Todas las longitudes estan expresadas en metros).

1. Dibuje la rampa.

2. ¿Nota algo extra˜no? ¿Cu´al es la pendiente de la rampa en x= 3?

3. Proponga alg´un cambio en la rampa que resuelva el problema de la parte anterior. 4. Halle la pendiente m´axima (en valor absoluto) de la rampa.

2

Integrales de funciones continuas

Ejercicio * 7 Considere la siguiente integral: Z 1

0

ex_dx.

1. Dividir el intervalo de integraci´on en 1, 2 y 4 intervalos y obtener las sumas superiores e inferiores respectivas.

2. Usar las sumas superiores e inferiores para construir una aproximaci´on del verdadero valor de la integral y dar una cota del error cometido.

3. Hallar una aproximaci´on de la integral con un error menor a 1/5.

Ejercicio 8 Sea f la funci´on del gr´afico de la figura 1.

1. Hallar una aproximaci´on de la integral entre 2 y 8, y dar una cota del error cometido. 2. Consideremos la funci´on f.

(a) Hallar el m´ınimo m y el m´aximo M de la funci´on. (b) Dar un argumento que pruebe la siguiente desigualdad:

m(8−2)≤

Z 8 2

f(t)dt≤M(8−2).

(c) Como consecuencia de la desigualdad anterior tenemos que Z 8

2

f(t)dt=µ(8−2)

para alg´un µtal que m≤ µ≤ M. Dicho con otras palabras: existe un rect´angulo de base en [2,8] que compensa ´areas.

Observar que existe c ∈ [2,8] tal que µ = f(c). (Este resultado se conoce como teorema del valor medio).

1 2 3 4 5 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 −1 X Y 8 3 7 2 7 3 9 2 Figura 1.

Ejercicio 9 Para el gr´afico de la figura 2 hallar una aproximaci´on de la integral de 2 a 9 e indicar una cota del error cometido.

1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 −1 X Y 13 3 5 2 Figura 2. Ejercicio 10

1. Graficar o buscar un gr´afico dee−x2 . 2. Hallar una aproximaci´on de _Z

1

0

e−x2

dx

con un error menor a 1/10.

Ejercicio * 11 Sea f la funci´on de la figura 2. Sea F(x) =

Z x

2

f(t)dt con x∈[2,8].

1. Indicar cu´al de las siguientes expresiones corresponde a ∆F en el punto a = 5. (a) Z 5+∆t 5 f(t)dt (b) Z 5 2 f(t)dt (c) Z 5+∆t 2 f(t)dt

2. Consideremos ahora una nueva funci´onfbconstante a trozos en los intervalos [2,4],(4,6],(6,8] que aproxime la funci´on f, y que compense ´areas (esto es, que cumpla que en los inter-valos mencionados R f =R bf). 3. Sea b F(x) = Z x 2 b f(t)dt. Hallar ∆Fb ∆t en el punto a = 5. Hallar F ′

(5) como l´ımite del cociente incremental. ¿Qu´e observa?

Ejercicio 13 Calcular: 1. R₋₁2 6x2 dx 2. R₅42x5 dx 3. R₀π12 senx dx 4. R₋₁1 3et_dt Ejercicio 14 Calcular 1. R₂3(2−3x−x2_)dx 2. R₃4(7x5 −3x3 + 12x) dx 3. R₋₂−1(2t2 + 4t−1)dt 4. R₁2(at2 +bt+c) dt 5. R−ππ(5 sent+ cost) dt

Ejercicio 15 Tengo que embaldosar parte de un patio de 20m de largo por 10m de ancho. El due˜no quiere que el piso sea la superficie bajo el gr´afico de la par´abola

y=−x

2

5 + 20

en el primer cuadrante, tomando una esquina del jard´ın como el origen, el ancho como el eje horizontal y el largo como el vertical. El resto del espacio ser´a reservado a c´esped y canteros para plantas.

Ped´ı dos presupuestos. Alberto ´Alvarez contest´o que la obra costar´ıa $88000. Mientras que en Baldosas B´aez me dicen que tienen un costo fijo de transporte de $6000 y luego $600 por metro cuadrado.

¿Cu´al de las dos opciones es la m´as barata?

Ejercicio 16 Calcular el volumen de la rampa del ejercicio 6.

Ejercicio * 17 Dos autos A y B juegan carreras. A continuaci´on se presentan los gr´aficos de su velocidad instant´anea en funci´on de tiempo v(t).

Para cada figura responda: en tiempo t= 10 ¿qui´en ha llegado m´as lejos?. Justifique.

5 10

A

B

150 250

3 7 ₁₀ A B 50 70 180 200 3 7 ₁₀ -50 50 120 150 180 200 A B 5 10 A B 150 170 200 250

5 10

A

B

100 200