ÁNGULOS Halla la medida de los ángulos a, b, y/o c de cada figura a continuación. Justifica tus respuestas.

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ÁNGULOS

2.1.1 – 2.1.5

La aplicación de la geometría en situaciones “cotidianas” suele involucrar la medición de distintos ángulos. En este capítulo, comenzamos a estudiar las medidas de los ángulos. Después de describir los ángulos y reconocer sus características, los alumnos completarán una Caja de herramientas de relaciones entre ángulos (Página de recursos de la lección 2.1.3). La caja de herramientas incluye algunos ángulos especiales sobre los que los alumnos deben registrar información importante. La lista incluye ángulos opuestos por el vértice (que siempre miden lo mismo), ángulos llanos (que miden 180°), ángulos

correspondientes, ángulos alternos internos, y ángulos conjugados internos.

Para más información sobre las relaciones entre ángulos, consulta los recuadros de Apuntes de matemáticas de las Lecciones 2.1.1 y 2.1.4.

Ejemplo 1

Halla la medida de los ángulos a, b, y/o c de cada figura a continuación. Justifica tus respuestas.

a. b.

c. d.

Cada figura incluye información que nos permite hallar las medidas de los ángulos faltantes. En el punto (a), el pequeño cuadrado en el ángulo b nos dice que se trata de un ángulo recto, así que

mb = 90º. El ángulo c es llano (está lo suficientemente abierto para crear una recta), así que

mc = 180º. Para calcular ma debemos saber que ∠a y el ángulo de 72° son complementarios, lo que significa que suman 90°. Por lo tanto, ma + 72º = 90º, lo que nos dice que ma = 18º. En el punto (b) usaremos dos datos, uno sobre los ángulos suplementarios y el otro sobre los ángulos opuestos por el vértice. Primero, ma y el ángulo de 22° son suplementarios, porque juntos forman un ángulo llano (recta), así que sus medidas suman 180°. Si restamos 22° de 180°,

a b c 22° 92° a b c 97° 50° a 72° a b c

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de dos rectas. Son los dos pares de ángulos opuestos (enfrentados) en el punto en que las rectas se intersectan. Este tipo de ángulos siempre mide lo mismo. Ya que el ángulo de 22° y ∠b son ángulos opuestos por el vértice, mb = 22º. De igual forma, ∠a y ∠c son ángulos opuestos por el vértice y, por lo tanto, son iguales, así que ma = mc = 158º.

La figura del punto (c) muestra dos retas paralelas intersectadas por una transversal. Cuando esto sucede, tenemos varios pares de ángulos que miden lo mismo. ∠a y el ángulo de 92° son ángulos alternos internos y, ya que las rectas son paralelas (como indican las dos flechas en cada recta), estos ángulos miden lo mismo. Por lo tanto, ma = 92º. Existen varias formas de

calcular las medidas de los ángulos restantes. Una forma es observar que ∠a y ∠b son

suplementarios. Otra usa el hecho de que ∠b y el ángulo de 92° son ángulos conjugados internos, lo que los hace suplementarios porque las rectas son paralelas. De cualquier forma se obtiene el mismo resultado: mb = 180º – 92º = 88º. También hay más de una forma de calcular mc. Sabemos que ∠c y ∠b son suplementarios. Al mismo tiempo, ∠c y el ángulo de 92° son ángulos correspondientes, y son iguales porque las rectas son paralelas. Una tercera forma consiste en observar que ∠a y ∠c son ángulos opuestos por el vértice. En cualquier caso, m∠c = 92º. El punto (d) es un triángulo. En clase, los alumnos investigaron las medidas de los ángulos interiores de un triángulo. Aprendieron que la suma de los tres ángulos es siempre igual a 180°. Sabiendo esto, podemos calcular que ma: ma + 50º + 97º = 180º. Por lo tanto, ma = 33º.

Problemas

Usa las propiedades y teoremas geométricos que aprendiste para hallar x en cada diagrama y escribe la propiedad o teorema que usaste en cada caso.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 60º 75º x 80º 65º x 100º x x 60º 60º 4x + 10º 112º x x 60º 60º 8x – 60º 30º 19x + 3º 58º 3x 45º 3x 125º 5x 68º 5x + 12º 128º 10x + 2º 142º 20x + 2º 38º 142º 20x – 2º 38º 128º 7x + 3º 52º 5x + 3º 128º 52º

(3)

17. 18. 19. 20.

21. 22. 23. 24.

25. 26. 27. 28.

Usa lo que sabes sobre las medidas de los ángulos para hallar x, y, o z.

29. 30. 31. 32. 33. x + 5 4x x + 13 2x + 7 5x 4x - 6 6x - 4 y 3x - 3 y x - 7 28° x 100° y z 23º 58º x 57º 117º 8x 9x 18º 5x + 36º 8x + 12 pg . 12x – 18 pg . 5x + 3 cm 8x – 18 cm 5x – 18º 70º 50º 8x – 10º 13x + 2º 15x – 2º 40º 3x + 20º 45º 2x + 5º 7x – 4º 5x + 8º 7x – 4º 6x – 4º 5x + 8º

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34.

En la Lección 2.1.5, usamos lo que aprendimos sobre las medidas de los ángulos para crear demostración por contradicción (ver recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección 2.1.5.) Usa este método para justificar tus conclusiones en los problemas 35 y 36 a continuación.

35. Nik obtuvo 40 puntos menos que Tess en su último examen de matemáticas. Las calificaciones van de 0 a 100 puntos. ¿Podría Tess haber obtenido un 30? Justifica tu respuesta por medio de una demostración por contradicción.

36. ¿Puede un triángulo tener dos ángulos rectos? Justifica tu respuesta por medio de una demostración por contradicción.

Respuestas

1. x = 45º 2. x = 35º 3. x = 40º 4. x = 34º 5. x = 12.5º 6. x = 15º 7. x = 15º 8. x = 25º 9. x = 20º 10. x = 5º 11. x = 3º 12. x = 2 3

10 º

13. x = 7º 14. x = 2º 15. x = 7º 16. x = 25º 17. x = 81º 18. x = 7.5º 19. x = 9º 20. x = 7.5º 21. x = 7º 22. x = 15.6º 23. x = 26º 24. x = 2º 25. x = 40º 26. x = 65º 27. x = 1 6

7 º

28. x = 10º 29. (x + 5) + 4x = 180, x = 35º 30. (x + 13) + (2x + 7) + 5x = 180, x = 20º 31. (6x – 4) + (4x – 6) = 180, x = 19º, y = 110º 32. (x – 7) + (3x – 3) = 90, x = 25º, y = 90º 33. x = 28°, y = 52°, z = 80° 34. x = 150°, y = 160°, z = 130°

35. Si Tess hubiera obtenido 30 puntos, la calificación de Nik habría sido –10, y eso es imposible. Por lo tanto, Tess no podría haber obtenido 30 puntos.

36. Si un triángulo tuviera dos ángulos rectos, la medida del tercer ángulo debería ser cero. Sin embargo, esto es imposible, así que un triángulo no puede tener dos ángulos rectos. O: si un triángulo tuviera dos ángulos de 90°, los dos lados que intersectan el lado entre ellos deberían ser paralelos y nunca se cruzarían para formar el triángulo, como puede verse en la figura de la derecha.

30° x 20°

y z

(5)

ÁREA

2.2.1 – 2.2.4

Tras medir varios ángulos, los alumnos observan sus medidas en situaciones más

familiares, como el cálculo de la longitud y el área de una superficie plana. Los alumnos desarrollan métodos y fórmulas para calcular el área de triángulos, paralelogramos, y trapecios. También hallan el área de figuras más complejas dividiéndolas en figuras cuyas áreas saben calcular mediante el uso de fórmulas básicas. Los alumnos también aprenden a determinar la altura de una figura respecto de una base específica.

Para más información sobre áreas, consulta el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección 2.2.4.

Ejemplo 1

Dibuja la altura correspondiente al lado etiquetado como “base” en cada una de las siguientes figuras:

a. b.

c. d.

Para saber cuánto mide una persona, le pedimos que se pare derecha y medimos la distancia desde el punto más alto de su cabeza hasta el suelo. La altura de una figura se mide de la misma forma. Una forma de calcular la altura de una figura es imaginar que esta debe atravesar un túnel con su base horizontal. ¿Qué altura debe tener el túnel para que la figura pueda pasar? La altura del túnel es igual a la altura de la figura. La altura es perpendicular a la base (o a una recta que contenga la base) desde cualquiera de los puntos más altos de la figura. En clase, los alumnos también usaron una tarjeta de 3 × 5 para dibujar la altura.

a. Suele ser más fácil dibujar la altura de una figura cuando la base es un segmento horizontal o el lado inferior de la figura. La altura del triángulo de la derecha fue dibujada desde el punto más alto hasta la base y forma un ángulo recto con la base.

base base

base

base

base altura

(6)

b. La figura de la derecha no es un triángulo, pero aun así tiene una altura. De hecho, la altura puede dibujarse en varios puntos desde el lado opuesto a la base. Aquí se muestran tres alturas. Todas ellas tiene la misma medida.

c. La base del primer triángulo de la derecha es distinta a la del punto (a) porque ningún lado es horizontal o se encuentra en el punto inferior. Rota la figura y luego dibuja su altura como hicimos en el punto (a).

d. Las figuras como el trapecio de la derecha o el

paralelogramo del punto (b) tienen al menos un par de lados paralelos. Ya que la base siempre es uno de los lados paralelos, podemos dibujar varias alturas. La altura dibujada en el extremo derecho ha sido dibujada en un segmento que contiene la base.

Ejemplo 2

Halla el área de cada una de las figuras o regiones sombreadas dadas a continuación. Asegúrate de incluir las unidades de medida correspondientes.

a. b. c.

d. e. f.

Los alumnos han registrado las fórmulas para hallar el área de distintas figuras en su Caja de herramientas de áreas (Página de Recursos de la Lección 2.2.4B). En el punto (a), el área de un triángulo es A= 12bh, donde b y h son perpendiculares. En este caso, la base mide 13 pies y la altura es 4 pies. El lado de 5 pies no es la altura, porque no es perpendicular a la base en ángulo recto. Por lo tanto, A=12(13 pies)(4 pies) 26 pies= 2. El área se mide en unidades cuadradas, mientras que las longitudes (como el perímetro) se miden en unidades lineales, como pies.

base altura altura base base base 13 pies 4 pies 5 pies 8 cm 15 cm 13 cm 4x + 1 x 6 pulgadas 5 pulgadas 13 pulgadas 4 7 3 2 8 2 5 6

(7)

La figura del punto (b) es un paralelogramo y el área de un paralelogramo es A = bh, donde b y h

son perpendiculares. Por lo tanto, A = (13 cm)(8 cm) = 104 cm cuadrados.

La figura del punto (c) es un rectángulo, así que su área también es A = bh, pero en este caso, tenemos varias expresiones que representan las medidas de la base y la altura. Aun así

calculamos el área de la misma forma.

A

=

(4

x

+

1)( ) 4

x

=

x

2

+

x

unidades cuadradas. Ya que no sabemos en qué unidades medir las longitudes, decimos que el área es x “unidades cuadradas”.

El punto (d) muestra un trapecio. Los alumnos hallaron varias formas distintas de calcular su área. La forma más común es: A=12(b b h1+ 2) , donde b1es la base superior y b2es la base

inferior. Como siempre, b y h deben ser perpendiculares. El área es

1

2(6 pulgadas 13 pulgadas)5 pulgadas.

A= + = 47.5 pulgadascuadradas.

Las figuras en los puntos (e) y (f) son más complicadas y no podemos calcular su área usando una sola fórmula. En el punto (e) hay varias formas de dividir la figura en rectángulos. Puedes ver una a la derecha. Las áreas de los rectángulos en ambos extremos son fáciles de calcular, ya que sus dimensiones están etiquetadas en la figura. El área del rectángulo (1) es A = (2)(8) = 16 unidades cuadradas.

El área del rectángulo (3) es A = (3)(6) = 18 unidades cuadradas. Para hallar el área del rectángulo (2), sabemos que uno de sus lados mide 5 unidades, pero debemos determinar su altura. La altura es 2 unidades menos de 6, así que es igual a 4. Por lo tanto, el área del

rectángulo (2) es A = (5)(4) = 20 unidades cuadradas. Ahora que conocemos el área de todos los rectángulos, podemos sumarlas para hallar el área total de la figura: A(figura entera) = 16 + 18 + 20 = 54 unidades cuadradas.

En el punto (f) debemos hallar el área de la región sombreada y, nuevamente, hay varias formas de hacerlo. Una forma consiste en ver la figura como la suma de un rectángulo y un triángulo. Otra forma consiste en ver la región sombreada como un rectángulo alto del que se ha cortado un triángulo. Ambos métodos arrojarán la

misma respuesta.

Usando el primer método,

A = 4(7) + 12(4)(7) = 42unidades cuadradas.

El segundo método arroja la misma respuesta: A = 4(14) – 12(4)(7) = 42 unidades cuadradas. 8 2 5 3 6 1 2 3 2 4 4 7 4 7 7 -o- 14 4 7 4

(8)

Problemas

Dibuja la altura correspondiente a la base señalada en cada una de las siguientes figuras:

1. 2. 3. 4.

Halla el área de los triángulos, paralelogramos, y trapecios a continuación. Las imágenes no se han dibujado a escala. Redondea tus respuestas a la decena más cercana.

5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. base base base base 20 10 36 5 8 10 6 6 4 5 15 5 9 13 26 26 13 15 7 15 12 8 8 2 16 20 4 18 3 12 9 4 3 4 6 1.5 7 10 6 8 23 5 13 7 9 6 4 4

(9)

Halla el área de las regiones sombreadas.

21. 22.

23. 24.

Halla el área de cada una de las figuras o regiones sombreadas dadas a continuación. Asegúrate de incluir las unidades adecuadas.

25. 26. 27. 28. 29. 30. 48 36 32 24 6 10 18 24 18 34 16 10 12 6 3 16 3x + 5 2x 6.2 cm 5 12 2 cm 2 cm 12 cm 7 cm 3 cm 5 cm 2.5 cm 9 plg 15 plg 15.23 plg 15.5 plg 6 plg 4 plg

(10)

31. 32.

Halla el área de las figuras dadas a continuación. Asume que todos los ángulos que parecen ser rectos de hecho lo son.

33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 24 7 5 7 9 12 4 6 2 3 2 3 2 5 9 5 7 3 2 3 3 2 3 3 4 3 8 2 1 1 3 2 2 1 1 4 3 2 5 4 8 4 5 4 3 2 2 1 2 2 2 10 2 4 4 5 2 2 6 3 3 1 4 4 4 1 2 2 3 3 3 4

(11)

Respuestas

1. 2. 3. 4. 5. 100 unidades2 6. 90 unidades2 7. 24 unidades2 8. 15 unidades2 9. 338 unidades2 10. 105 unidades2 11. 93 unidades2 12. 309.8 unidades2

13. 126 unidades2 14. 19.5 unidades2 15. 36.3 unidades2 16. 54 unidades2

17. 84 unidades2 18. 115 unidades2 19. 110.8 unidades2 20. 7.9 unidades2 21. 1020 unidades2 22. 216 unidades2 23. 272 unidades2 24. 138 unidades2 25. 2 (3x x+ =5) 6x2+10x unidades2 26. (6.2)2=38.44 centímetros cuadrados 27. 12(12)5 30= unidades2 28. (15.5)(4) 62= pulgadas cuadradas 29. 2(12) 7(6.5) 2(2.5) 74.5+ + = cm2 30. 9(14)+12(14)(6) 168= pulgadas cuadradas 31. 12(7)(24) (3)(5) 84 15 69− = − = unidades2 32. (12)(7)−12(9)(9) 84 40.5 43.5= − = unidades2

33. 42 unidades2 34. 33 unidades2 35. 85 unidades2 36. 31 unidades2 37. 36 unidades2

base altura base altura base altura altura base 2 cm 9 cm 2 cm 12 cm 7 cm 3 cm 5 cm 2.5 cm 14 plg 9 plg 15 plg 15.23 plg

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LONGITUD DE LOS LADOS DE LOS TRIÁNGULOS

2.3.1 y 2.3.2

Los alumnos usaron distintas tecnologías para explorar el Teorema de la desigualdad de un triángulo, que determina las restricciones a las posibles longitudes de los lados de un triángulo dadas las longitudes de sus otros dos lados. La tecnología permite a los alumnos explorar distintas formas de determinar las longitudes de los lados de un

triángulo por medio de cálculos en lugar de mediciones. El Teorema de la desigualdad de un triángulo determina las restricciones a las posibles longitudes del tercer lado de un triángulo dadas las longitudes de sus otros dos lados. Los alumnos usan un método que refuerza su comprensión de las “raíces cuadradas” y aplican el Teorema de Pitágoras a los triángulos rectángulos.

Para más información sobre el lenguaje de los triángulos rectángulos y el Teorema de Pitágoras, consulta los recuadros de Apuntes de matemáticas de las Lecciones 2.3.1 y 2.3.2.

Ejemplo 1

El triángulo de la derecha no ha sido etiquetado con las longitudes de sus lados. ¿Pueden estos lados medir:

a. 3, 4, 5? b. 8, 2, 12?

En un principio, los alumnos creen que los lados de un triángulo pueden tener tres medidas cualesquiera, pero eso no es verdad. El Teorema de la desigualdad de un triángulo establece que la longitud de un lado cualquiera debe ser menor a la suma de las longitudes de los otros dos lados. Para que el triángulo del punto (a) sea posible, todos los enunciados a continuación deben ser verdaderos: ?

5 3 4

< +

, ?

3 4 5

< +

, y ?

4 5 3

< +

.

Ya que todos son verdaderos, es posible dibujar un triángulo con lados de 3, 4, y 5 unidades.

En el punto (b) debemos verificar que: ?

12 8 2

< +

, ?

8 2 12

< +

, y ?

2 12 8

< +

.

En este caso, solo dos de las tres condiciones son verdaderas, las últimas dos. La primera desigualdad no es verdadera, así que no es posible dibujar un triángulo con lados de 8, 2, y 12 unidades. Una forma de realizar un argumento convincente al respecto es cortar espaguetis o revolvedores de café de estas medidas y ver si pueden ser unidos por sus extremos de forma que formen un triángulo.

A

B C

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Ejemplo 2

Usa el Teorema de Pitágoras para hallar el valor de x.

a. b.

Los dos lados de un triángulo rectángulo que forman el ángulo recto se denominan catetos, mientras que el tercer lado, el más largo, es la

hipotenusa. La relación entre las longitudes de los catetos y la longitud de la hipotenusa puede verse a la derecha.

En el punto (a), esto nos dice que: 2 2 2

2 2 7 24 49 576 625 x x x + = + = =

Para calcular el valor de x, usa una calculadora y halla la raíz cuadrada de 625:

625, así que 25

x= x= .

El punto (b) es un poco distinto porque la variable no es la hipotenusa. Puedes ver la solución a la derecha.

Problemas

El triángulo de la derecha no ha sido etriquetado con la medida de ninguno de sus lados. ¿Pueden los lados del triángulo medir:

1. 1, 2, 3? 2. 7, 8, 9? 3. 4.5, 2.5, 6? 4. 9.5, 1.25, 11.75? 7 24 x 15 8 x Teorema de Pitágoras A B C

(14)

6. Un cuadrado tiene un área de 484 pulgadas cuadradas. ¿Cuánto mide uno de sus lados?

7. Un cuadrado tiene un área de 200 cm cuadrados. ¿Cuánto mide uno de sus lados?

8. Un cuadrado tiene un área de 169 unidades cuadradas. ¿Cuál es su perímetro?

Usa el Teorema de Pitágoras para determinar el valor de x. Redondea tus respuestas a la decena más cercana.

9. 10. 11. 12. 13.

14. 15. 16. 17. 18.

Resuelve los siguientes problemas.

19. La base de una escalera de 12 pies se encuentra a seis pies de distancia de una pared. ¿Hasta qué altura de la pared llega la escalera?

20. La base de una escalera de 15 pies se encuentra a cinco pies de distancia de una pared. ¿Hasta qué altura de la pared llega la escalera?

21. La base de una escalera de 9 pies se encuentra a tres pies de distancia de una pared. ¿Hasta qué altura de la pared llega la escalera?

22. La base de una escalera de 12 pies se encuentra a tres pies y medio de distancia de una pared. ¿Hasta qué altura de la pared llega la escalera?

23. La base de una escalera de 6 pies se encuentra a un pie y medio de distancia de una pared. ¿Hasta qué altura de la pared llega la escalera?

24. ¿Pueden 2, 3, y 6 representar las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo? Justifica tu respuesta.

25. ¿Pueden 8, 12, y 13 representar las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo? Justifica tu respuesta.

26. ¿Pueden 5, 12, y 13 representar las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo? Justifica tu respuesta. x 37 22 x 20 96 x 42 16 x 46 83 x 72 65 x 16 22 x 15 32 x 16 38 x 105 75 x 125 30

(15)

27. ¿Pueden 9, 12, y 15 representar las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo? Justifica tu respuesta.

28. ¿Pueden 10, 15, y 20 representar las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo? Justifica tu respuesta.

Usa el Teorema de Pitágoras para hallar el valor de x. Redondea tu respuesta hasta la decena más cercana de ser necesario.

29. 30. 31. 32.

Respuestas

1. no 2. sí 3. sí 4. no 5. 12 pies 6. 22 pulgadas 7. ≈14.14 cm 8. 52 unidades 9. x = 27.7 unidades

10. x = 93.9 unidades 11. x = 44.9 unidades 12. x = 69.1 unidades

13. x = 31.0 unidades 14. x = 15.1 unidades 15. x = 35.3 unidades

16. x = 34.5 unidades 17. x = 73.5 unidades 18. x = 121.3 unidades

19. 10.4 pies 20. 14.1 pies 21. 8.5 pies

22. 11.5 pies 23. 5.8 pies 24. no 25. no 26. sí 27. sí 28. no 29. x≈23.85 unidades 30. x = 9 unidades 31. x≈5.66 unidades 32. x≈9.64 unidades x 13 20 15 12 x 4 x 14 x 17

Figure

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Referencias

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