Geometría de Proporción, Áreas y volúmenes de sólidos

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Geometría de Proporción, Áreas

y Volúmenes de sólidos

Guía Cursos Anuales

G-5

M

at

e

m

át

i

c

a

123

4567

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Guía G - 5

En esta guía

resolverás 24 ejercicios relacionados con los siguientes contenidos:

• Congruencia de triángulos. • Semejanza de triángulos. • Teorema de Thales. • Teorema de Apolonio. • División de segmentos.

• Área y volumen de cuerpos geométricos.

Estos contenidos los encontrarás en el capítulo V del libro, desde la página 273 a la 282. En esta guía desarrollaremos las siguientes habilidades:

• Comprensión • Aplicación

• Análisis

• Evaluación

Es fundamental la explicación de tu profesor, ya que la P.S.U. no es tan sólo dominio de conocimientos, sino también dominio de habilidades.

1. ¿Cuál(es) de las siguientes relaciones entre dos triángulos permite(n) decir que éstos son

congruentes entre sí?

I. Tienen sus tres lados respectivamente iguales.

II. Tienen sus tres ángulos respectivamente iguales.

III. Tienen dos ángulos respectivamente iguales y el lado comprendido entre ellos es también igual en ambos triángulos.

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2. Si dos segmentos son proporcionales entre sí en razón de 1 : 3, ¿en qué razón quedarían si

el segmento mayor es reducido a la mitad?

A) 1 : 1

B) 1 : 2

C) 2 : 3

D) 2 : 5

E) La razón no varía

3. E divide interiormente a CD en la razón 8:7. Si CE = 56 cm, entonces CD mide:

A) 120 cm

B) 105 cm

C) 95 cm

D) 49 cm

E) Otro valor

4. En la ﬁgura, se tiene que L₁_//L₂; AB = 4 cm, OC = 6 cm, OB = 2 cm, entonces CD

mide:

A) 3 cm

B) 5 cm

D

A B

C O

L1

L2

C) 12 cm

D) 13 cm

E) 16 cm

5. Si se tiene un cuadrado y una circunferencia equivalentes, y si el radio de ésta es √3 cm,

entonces el lado del cuadrado mide:

A) √π cm

B) 2√π cm

C) √3πcm

D) 3√π cm

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6. Si el punto X divide al segmento BC en sección divina y BX= x, determinar la ecuación

que permite calcular la medida de BX si BX > XC y BC= 3a.

A) x2₊₃_ax_-₉_a2 ₌₀

B) x2₊₃_ax₊₉_a2 ₌₀

C) x2_-₃_ax_-₉_a2 ₌₀

B X C

D) x2_-₃_ax₊₉_a2 ₌₀

E) -x2_-₃_ax₊₉_a2 ₌₀

7. Calcule la medida de x en función de los otros segmentos dados en la ﬁgura.

A) ab

c

B) ac

b

C) bc

a

80º 30º

40º

A D B

C

x

b

a

c

D) abc

E) 1

abc

8. En la ﬁgura, ∆ABC rectángulo en B, BM es altura; además, BM // DC . Si AB= 5 cm y

AC = 15 cm, entonces DC mide:

A) 30√2 cm

B) 10√2 cm

C) 10√2

3 cm

A

B D

M C

D) √60 cm

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9. En un mismo plano horizontal, las sombras de un niño y un árbol miden 0,72 m y 20 m

respectivamente. Si la altura del niño es de 1,08 m, ¿cuál es la altura del árbol?

A) 20 m

B) 22,5 m

C) 25 m

D) 27,5 m

E) 30 m

10. ¿Qué valor debe tener BC para que AB // CD, si AE = 2ED y BE = 3 cm?

A) 12 cm

B) 9 cm

C) 6 cm

B

A

E

C D

D) 4,5 cm

E) 3 cm

11. Si la capacidad de un cubo es 8 litros, la suma de todas las aristas del cubo es:

A) 160 cm

B) 200 cm

C) 220 cm

D) 240 cm

E) 280 cm

12. La razón entre los volúmenes de dos cubos es 27 : 64. ¿Cuál es la razón entre sus áreas?

A) 3√3: 3_√4

B) √3 : 2

C) 3 : 4

D) 9 : 16

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13. Determinar el volumen de un cono, si su altura mide b√2 cm y el perímetro de su base es

2π cm.

A) πb√2 cm3

B) √2bπ cm3

C) πb cm3

b√2

D) bπ√2

3 cm3

E) √2b cm3

14. En el rectángulo MNPQ, MQ = 6 cm, PQ = 8 cm. ¿Qué valor tiene NR?

A) 14₃ cm

B) 4 cm

C) 7

3 cm

Q P

M N

R T

D) 2 cm

E) 7

6 cm

15. Sean AD= 5 cm, DE=10 cm, AB=30 cm, BC=39 cm. El perímetro de la ﬁgura ABCED es:

A) 84 cm

B) 85 cm

C) 86 cm

D

E A

B

C

γ

α β

β

D) 97 cm E) 99 cm

16. Calcular el área del triángulo que se forma si prolongamos los lados de un trapecio de área 66 cm2_{y cuyas bases miden}₁₀_{cm y}₁₂_cm.

A) Falta información B) 99 cm2

C) 144 cm2

D) 180 cm2

E) 216 cm2

[InternetShortcut]

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17. El rectángulo ABCD corresponde a una mesa de pool. La bola A debe golpear a la bola B. Como

las bolas A, B y F son colineales, la bola A deberá rebotar en el punto E y golpear a la bola B. Las

distancias de las bolas A y B a la banda DCson 18 cm y 72 cm respectivamente y FH= 120 cm.

Determine la distancia recorrida por la bola A hasta chocar con la bola B si α = β.

Nota: No considere “efectos” y el movimiento es rectilíneo.

A) 105 cm

B) 150 cm

C) 240 cm

B

A F

F E H C

B A

D

α β

D) 245 cm

E) 255 cm

18. Sea ABCD trapecio. Calcular el valor de AH para que E y F sean puntos medios de sus

respectivos lados si BH= 12 cm; FH = 6 √3 cm y EH= √6 cm

A) 3 √2 cm

B) 9 √2 cm

C) 12 √2 cm F

C

B D

E

A H

D) 18 √2 cm E) 36 √2 cm

19. El lado del triángulo equilátero ABC mide 6 √6 m. El triángulo es cortado por 2 paralelas a

ABque dividen al triángulo en 3 ﬁguras equivalentes. Calcular la longitud de la paralela MN.

A) 3 m

B) 6 m

C) 9 m

C

M N

A B

O P

D) 12 m

E) 15 m

[InternetShortcut]

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20. Para construir una rampa, como la que indica la ﬁgura, se sabe que los postes verticales

deben tener una separación de dos metros entre ellos, si el menor de dichos postes mide tres metros, entonces, ¿cuál es la medida del poste mayor?

A) 9 m

B) 12 m

C) 15 m

3 m

x

D) 24 m

E) 30 m

21. Según la información de la ﬁgura, ¿cuál(es) de las siguientes aﬁrmaciones es(son)

correctas?

I. ∆ ADC∼ ∆ ACB

II. Perímetro∆ ADC

Perímetro∆ CDB =

b a

III. Área∆ ADC

Área∆ CDB =

(

b

a

)

2

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II

A

C

B

p q

b a

h

D

D) Sólo II y III E) I, II y III

22. Si el volumen de un paralelepípedo de base cuadrada es 96

€

cm3_{, determine su área si el}

ancho y la altura están en razón de 2 : 3. (ancho = largo)

A) 80 cm2

B) 96 cm2

C) 128 cm2

D) 160 cm2

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23. Los triángulos de la ﬁgura son semejantes. Se puede determinar el valor de x si:

(1) EF = 8 cm

(2) ∠ FED=α y ∠ EDF=β

β α

γ

A B

C

6 cm 4 cm

3 cm

D E

F

x

A) (1) por sí sola.

B) (2) por sí sola.

C) Ambas juntas, (1) y (2).

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).

E) Se requiere información adicional.

24. Se puede determinar que dos triángulos son congruentes si:

(1) Tienen sus tres ángulos respectivamente iguales.

(2) Tienen sus tres lados respectivamente iguales.

A) (1) por sí sola.

B) (2) por sí sola.

C) Ambas juntas, (1) y (2).

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).

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2 Aplicación

3 Aplicación

4 Aplicación

5 Aplicación

6 Aplicación

7 Aplicación

8 Aplicación

9 Aplicación

10 Aplicación

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12 Comprensión

13 Aplicación

14 Aplicación

15 Aplicación

16 Aplicación

17 Aplicación

18 Aplicación

19 Aplicación

20 Aplicación

21 Análisis

22 Aplicación

23 Evaluación

24 Evaluación

OJO CON...

En la tabla que encontrarás a continuación anota tu respuesta. Para responder las preguntas, ten presente las explicaciones que dará el profesor de las materias desarrolladas en esta clase. Atiende no sólo a la respuesta correcta, sino también a las habilidades que involucra cada pregunta. Recuerda que éstas se explican en la presentación de tu libro.