UNIDAD 6 TRANSFORDA DE LAPLACE para la web

CAPITULO VI

LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

6.1 Definición. Transformada de Laplace

Suponga que la función está definida para y la integral impropia

∫

Converge para . Entonces la transformada de Laplace de existe para . y está dada por

{ } ∫

Antes de dar alguna teoría que nos facilite el trabajo, vamos a calcular la transformada de Laplace de algunas funciones, usando esta definición.

Ejemplo Calcule { }.

Solución: Por definición

{ } ∫ _∫ | Para .

Ejemplo Calcule { }..

Solución: Usando la definición { } ∫

| ∫ { } Observación: no resulta difícil intuir a partir de estos ejemplos la siguiente transformada

{ }

Para y . Dejamos al lector la comprobación de esta fórmula (sugerencia use inducción matemática).

Ejemplo: Calcule { }. Solución: Usando la definición

{ _{} ∫ ∫}

Un par de transformadas particularmente útiles son las de las funciones trigonométricas y , que calculamos en el siguiente ejemplo.

Ejemplo: Calcule { } y { }. Solución. Usando la definición

{ } ∫ _{| ∫}

{ } { }

Por otro lado

{ } ∫ _{| ∫}

∫ _{{ }} ( { }) { } De donde concluimos que

{ } { } { }

Para .

Y retomando la transformada de { } { }

Para .

Observación: podemos calcular la transformada usando su representación compleja. Como

Tenemos que

{ } { } ( { _{} { }) (}

) ( )

De forma análoga usando

Ejemplo: Calcule { }, donde

{ Solución: Por definición

{ } ∫ _{∫ ∫}

_{( )| ( )|}

Tabla de transformadas básica de Laplace

1).

 

1  1,s0

s

 

s k

k  , 0, k constante. 2).

 

 _!₁,s0,

s n tn _n

n = 1, 2, ...

3).

 

1 ,

a s eat



 para s > a

4).





_{2 2} , 0 

 s

k s

k kt

sen

5).



cos



_{2 2} , 0 

 s

k s

s kt

6).





s k

k s

k kt

senh 

  _{2 2} ,

7).





s k

k s

s

kt 



 ,

cosh _{2 2}

8).

 



!



1,  , 1,2,... 

 _ s a n

a s

n e

tn at _n

6.2 Propiedades de la Transformada de Laplace

Como la transformada de Laplace se define en términos de una integral impropia que puede ser divergente, existen funciones para las cuales no existe dicha transformada, incluso hay funciones discontinuas, como la del ejemplo anterior, que pueden tener transformada; entonces, ¿bajo qué condiciones una funciones tienen transformada de Laplace?. Antes de dar una respuesta parcial a esta pregunta debemos dar algunas definiciones.

6.3 Definición: Funciones continuas a trozos

Decimos que una función [ ] es continua a trozos si está definida y es continua en todo [ ], salvo en un número finito de puntos , para . Para cada [ ] los límites

Existen. Note que, solamente uno de estos límites es pertinente si es uno de los extremos de [ ].

En general, el requisito de que estos límites sean finitos en todos los puntos implica que las únicas discontinuidades de son discontinuidades de salto, del tipo que aparecen en la figura siguiente

Intuitivamente podríamos pensar que las funciones continuas a trozos son casi continua o que no son demasiado discontinua.

6.4 Definición: Funciones de orden exponencial

Decimos que la función [ es de orden exponencial si existen números , y tales que | | _{, para .}

Intuitivamente esto significa que la función esta por debajo de una función exponencial, como se muestra en la figura siguiente.

Observación: algunas veces, para verificar que una función es de orden exponencial, conviene calcular el siguiente límite:

| |

Para algún valor de . Si es finito, entonces puede ser cualquier número mayor que (y este determina ). Por otro lado, si , no es de orden exponencial.

Ejemplo: Compruebe que es de orden exponencial.

Solución: Para comprobar esto, apliquemos tres veces la regla de L'Hôpital

Para cualquier número positivo . Por lo tanto, si es suficientemente grande , y así es de orden exponencial.

Ejemplo: Compruebe que la función es de orden exponencial para cualquier valor de .

Solución: Calculando el límite

Observación: no es difícil comprobar que cualquier polinomio de grado o función trigonométrica como , , con constante, son de orden exponencial, así como, las sumas y productos de un número finito de estas funciones. En general, si y son de orden exponencial la suma y el producto son de orden exponencial.

Ejemplo: Compruebe que la función no es de orden exponencial.

Solución: Calculando el límite tenemos que

Para cualquier valor de , con lo cual la función no es de orden exponencial.

El siguiente resultado enuncia un resultado que parece obvio.

6.5 Teorema: Funciones acotadas

Sea [ una función acotada, entonces es de orden exponencial.

Demostración

Como es acotada | | para todo [ ] . Entonces

| |

para cualquier , con lo cual es de orden exponencial.

Observación: como y son acotadas, son de orden exponencial.

Una vez definidos los conceptos de función continua a trozos y función de orden exponencial ya estamos listos para enunciar una condición necesaria para la existencia de la transformada de Laplace.

6.6 Teorema: Existencia de la transformada

Sea [ una función continua a trozos y de orden exponencial, entonces la transformada de Laplace de existe. Es decir, existe un número tal que { } existe para . Demostración

{ } ∫ _∫ ∫

La primera integral

∫

es una integral definida, por tanto existe. Para la segunda integral note que

∫ _{∫ | | ∫ ∫}

Ahora, como

(

₎

siempre y cuando , tenemos que la integral ∫ _existe y con ello la transformada.

Observación: el teorema anterior enuncia una condición suficiente y no necesaria para la existencia de la transformada de Laplace, es decir, puede darse el caso de una función que no cumpla las hipótesis del teorema, pero aún así tenga transformada, como lo muestra el siguiente ejemplo.

Ejemplo: Compruebe que la transformada {

√ } existe, aún cuando

√ no cumple las hipótesis del teorema de existencia anterior. Solución: Claramente

√ tiene una discontinuidad infinita en , con lo cual no es continua a trozos en el intervalo [ ; pero

{

√ } ∫

√ ⏟

√ ∫

√ ⏟

√ ∫

Para calcular esta última integral sea

∫ _∫ con lo cual

(∫ _{) (∫ ) ∫ ∫} ( )

∬ ( )

Figura

Donde es el cuadrado de lado , que se muestra en la figura Observe que si y son las regiones que se muestran en la figura anterior entonces

∬ ( ) _∬ ( )

∫ ∫ _{∫ ∫} √ ( ₎

( ) Con lo cual, tomando el límite

Y así, √ . Por lo tanto

{

√ } √

El siguiente ejemplo muestra una función para la cual no existe la transformada de Laplace.

{ } ∫ ∫ ∫ Y puesto que la integral impropia

∫ diverge, la transformada no existe.

Observación: la otra integral

∫ es convergente para , pues

La integral

∫ diverge, pues, por el criterio de comparación

para toda , con lo cual ambas integrales convergen o divergen; pero

∫

diverge.

Ahora vamos a enunciar algunas propiedades de la transformada.

6.7 Teorema: Linealidad de la transformada

Si { } y { } existen entonces

{ } { } { } para cualquier constante real .

Demostración. Es una consecuencia directa de la convergencia de la suma en integrales impropias.

{ } ∫ [ ] ∫ ∫

Ejemplo: Calcule { }. Solución: Como

{ } { } { } { }

Con la idea de aplicar la transformada de Laplace a la solución de ecuaciones diferenciales necesitamos calcular la transformada de una derivada.

6.8 Teorema (Derivada de una Transformada).

 





   

1 F

 

s,

ds d s

t f

t _n

n n

n  

con n = 1, 2, ...., donde F

 

s 

  

f

 

t s

Demostración: Por inducción sobre n. 1



n _F

 

_{s e} st_f

 

_{t dt}



 



0

 



 

 









 





  

0 e f t dt 0 _s e f t dt

ds d ds

s

dF st st





 

 





 



 



0 te f t dt 0 e tf t dt

st st



  

tf

 

t s



_{  }

_{ }

_F

_{ }

_s

ds d s

t

tf 

Supongamos que se cumple para nk

 





   

F

 

s ds

d s

t f t

k k n k

1

 

Veamos que se cumple para nk1



tk1f

 

t



 

s 



 



 

ds d n

s t f

tk 1



tk f

 

t



 

s

 

 

    

  

 

 F s

ds d ds

d k n

k k k

1

 

F

 

s ds

d

k k k

1 1 1

1 _

 

NOTA: Para el caso n1, obtenemos una fórmula que nos permite hallar la transformada inversa de transformada que no las tenemos en la tabla de transformadas.

 



 

F

 

s ds

d s

t f

t 

o sea que

 

t 

f

t 1



F

 

s



 

t t

f 1 1



F

 

s



Ejemplo 11. Hallar f

 

t s s           1 3 ln 1 Solución:

 

t t

f 1

 

t s

F ds

d 1

1 _

                1 3 ln 1 s s ds d t 1  



 







_             2 1 1 1 3 1 1 3 1 s s s s s t 1  



_s



t

s s 1 1 4 3 1 2

1 _

           







_       1 3 4 1 s s t 4  

_

_

_

         1 3 1 1 s s

utilizando fracciones parciales



3



1



3 1

1       s B s A s s 4 1 , 4 1   

 A B

 

t t f 4

6.9 Teorema: Transformada de una derivada

Si es continua a trozos y de orden exponencial en el intervalo [ , entonces

{ } Demostración: Integrando por partes

{ } ∫ _{| ∫} { }

Con un argumento similar podemos demostrar que

{ } _{{ }}

Ejemplo: Use el resultado anterior para calcular { } Solución: Haciendo , tenemos que

{ } { } { } { }

{ } { } { }

{ } y de aquí concluimos que

{ }

El siguiente resultado generaliza la transformada de una derivada.

6.10 Definición: Transformada de una derivada

Si son continuas a trozos y de orden exponencial en el intervalo [ , entonces

{ } ∑

El siguiente teorema trata sobre el efecto que tiene en una transformada la escalación de una función .

6.11 Teorema: Propiedad de escalación

Sea una función continua a trozos y de orden exponencial en [ ,, si , entonces

Demostración:

Para comprobar esta propiedad basta hacer un cambio de variable,

{ } ∫ _{∫ ( )}

Ejemplo: Si { } calcule { }. Solución

Usando la propiedad de escalamiento

{ } (

( ) )

6.12 Corolario (Transformada de la integral).

Si f es una función continua a tramos para t0 y de orden exponencial entonces:

   

 

s s F s s dt t f

t _{1 1}

0   

 

 



  

f

 

t s

Demostración: tomando g

 

t 1 el teorema de convolución, tenemos:

 

  

f t s 

 

s

s 1

1 







f g





  





   



 _



t

dr r t g r f

0

 



 

 



t

dr r f

0 1 

  

f

 

r s

  

g

 

r s F

 

s

 

1 s

 

 

s s F dr r f

t ₁

0   

 

6.13 La transformada inversa de Laplace

Al aplicar la transformada de Laplace a una ecuación diferencial la convertimos en una ecuación algebraica, la cual podemos resolver para , es decir, . Ahora, como { } si pudiéramos devolvernos obtendríamos la solución que buscamos. Es decir, necesitamos de la transformada inversa { }, para hallar la función

_{{ } { }} Entonces definamos la transformada inversa.

6.14 Definición: Transformada inversa de Laplace

Si es la transformada de Laplace de una función continua , es decir, { } , entonces la transformada inversa de Laplace de , escrita _{{ } es , es decir, { }}

Ejemplo: Calcule

_{

} Solución: Puesto que

{ }

tenemos que

_{

}

Observación existe un problema potencial al trabajar con la transformada inversa, puede no ser única. En efecto, es posible que { } { }, siendo . Para nuestro propósito esto no es tan malo como parece, pues, si y son continuas y de orden exponencial en [ , y { } { } , entonces ; pero, si y son continuas y de orden exponencial en [ y { } { }, entonces se puede demostrar que las funciones y son casi iguales; esto quiere decir, que pueden diferir sólo en puntos de discontinuidad.

Ejemplo: Calcule { }, donde esta dada por {

¿Qué se puede concluir ?

Solución: Usando la definición de transformada

{ }

con lo cual las funciones y tienen la misma transformada, de este modo, la transformada inversa de

no es única.

El siguiente resultado establece el comportamiento de en infinito.

6.15 Teorema: Comportamiento de en infinito

Sea [ una función continua a trozos y de orden exponencial en [ , entonces

{ } Demostración

Puesto que es continua a trozos en [ necesariamente es acotada en este intervalo; o sea, ‖ ‖ para todo [ . De donde

| { }| ∫ | | _|

y así | { }| cuando , de modo que { } cuando .

Observación: el resultado anterior es válido independientemente de que sea continua a trozos o de orden exponencial, basta con que existe.

Ejemplo: ¿ Porqué no existe una función tal que { } ? Solución: Suponga que existe, entonces por el teorema anterior

lo cual es falso; por lo tanto no existe tal función.

Observación: con un argumento similar podemos concluir que no existen una función tal que , , , , es decir, estas funciones no tienen transformada inversa. Por otro lado, una función racional es la transformada de alguna función si el grado del numerador es menor que la del denominador .

6.16 Teorema Del valor inicial Si { } y

existe y es igual a , entonces

Demostración: Como

{ } y

{ }

siempre y cuando sea continua a trozos y de orden exponencial. Tenemos que

siempre y cuando sea continua por la derecha en .

Ejemplo: Si , calcule

. Solución: Usando el teorema del valor inicial

Note que no fue necesario calcular .

6.17 Teorema Del valor final Si { } y el límite

existe, entonces

Demostración: Análoga a la anterior.

El siguiente teorema establece la linealidad de la transformada inversa.

6.18 Teorema: Linealidad de la transformada inversa

Sean y funciones continuas a trozos y de orden exponencial en el intervalo [ tales que { } y { } , entonces

_{{ } { } { }}

Ejemplo: Calcule

_{

} Solución:

Para usar la propiedad de linealidad de la transformada inversa de Laplace primero debemos expandir

ahora sí _{ } { } { } { }

El siguiente ejemplo ilustra el proceso que vamos a usar en la solución de ecuaciones diferenciales mediante Laplace. Es un ejemplo que puede ser resuelto de manera más eficiente con las técnicas ya estudiadas, pero el objetivo es aplicar algunas de las propiedades enunciadas hasta ahora e introducir la técnica de solución de ecuaciones diferenciales.

Teorema. Para  y k constantes se tiene: 1). 1 _1,

     

s y

_k, s k       

si s> 0

2). n

n t s n _       1

! _y

! 1 1 n t s n n       

 , si s > 0 3). at

e a s 

     1

, si s > a

4). _senkt

k s k 2 2       

 y k

kt sen k s 1 2 2       

 , si s > 0

5). _kt

k s s cos 2 2       

 , si s > 0 6). _senkt

k s k 2 2       

 y k

kt senh k s 1 2 2       

 , si s > k

7). _kt

k s s cosh 2 2       

 , si s >k 8).





n tneat

a s n       

 1

! y





! 1 1 n e t a s at n n       

  , si s > a

Ejemplo: Con factores lineales en el denominador









_        1 2 3 1 7 s s s s          

3 2 s 1

C s

B s

A

= A 

      3 1

s B

_       2 1

s C

= t t t

Ce Be

Ae3  2 

Pero por fracciones parciales



3



2



1



3 2 1

1 7           s C s B s A s s s s

Para hallar el coeficiente A, eliminamos de la fracción el factor correspondiente a A y en la parte restante sustituimos a s por la raíz asociada a este factor; lo mismo hacemos para los coeficientes B y C.

 

  

  

 

  

 

1, 3 2 1 1 7 , 1 3 5 1 2 7 , 2 2 5 1 3 7              

 B C

A









e t e t et

s s s s            

 3 2

2 1 2 3 1 7

Ejemplo: Con factores lineales repetidos





_       3 2 2 1 s s s



 



_            2 2

2 3 2

2 s E s D s C s B s A

= A 

      2 1 s B _       s 1 C





_      3 2 1 s D



s



_E

     2 2 1       2 1 s

 

t

t t Ee te D e t C B At 2 2 2 2 ! 1 ! 2 1        



2





2

 

2



2

1

2 3

2 3

2 _    _  _  

 s E s D s C s B s A s s s

y por los métodos de las fracciones parciales hallamos ,

8 1 

A ,

16 1  

B ,

4 1  

C DO, , 16

1 

E luego





t

t e e t t s s s 2 2 2 3 2 ₁₆ 1 ! 2 4 1 16 1 8 1 2

1 _{  }  _ 

       

 A B s

  

1





C

i

s _

       1 1





_       i s 1 1

 A

 

1 Be1it Ce1it

 ABet



costisent



Cet



costisent



 Aet





BC



costi



BC



sent



Hallamos los coeficientes de la misma manera que en el

ejemplo 1.

















1

1 1 2 1 0 1 0 2 02            i i A

















i

i i i

i i

B  

           1 1 1 1 2 1 2

















i

i i i

i I

C  

           1 1 1 1 2 1 2





e



t i

 

i sent



s s s s _t 2 cos 0 1 2 2 2 2 2               _

12etsent

Ejemplo: Use la transformada de Laplace para resolver el problema de valor inicial

Solución

Aplicando transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación diferencial { _} { } { _} { } { }

Ahora debemos de aplicar transformada inversa para hallar _{{ } {}

Observación: está ecuación diferencial puede resolverse como una ecuación lineal con factor integrante _.

6.19 Teoremas de traslación

No es adecuado utilizar la definición cada vez que se quiera calcular una transformada, por ejemplo, la integración por partes involucrada al calcular { }, es bastante tediosa. Por esta razón vamos a enunciar algunos teoremas que ahorran trabajo en el cálculo de este tipo de transformadas.

Si conocemos que { } , podemos calcular la transformada de { _{} como una traslación, de a , como lo enuncia el} siguiente teorema.

6.20 Teorema. Primer teorema de traslación Si es un número real y { } existe, entonces

{ _} donde { }.

Forma inversa del primer teorema de traslación: _{{ } { |}

} Demostración

La prueba es inmediata a partir de la definición

{ _{} ∫ ∫}

Observación: si consideramos a como una variable real, entonces la gráfica de es la misma de trasladada | | unidades sobre el eje . Si , la gráfica de se desplaza | | unidades a la derecha, mientras que, si , la gráfica se traslada | | unidades a la izquierda. Para enfatizar en la traslación se acostumbra escribir

{ _{} { }|}

donde significa que se sustituye por en .

Ejemplo: Calcule { }

Solución: Usando el primer teorema de traslación { _{} { }|}

|

_{ } Solución _{ } { } { }|

Ejemplo: Calcule

_{

}

Solución: Para usar la forma inversa del primer teorema de traslación debemos completar el cuadrado en el denominador

_{ } { } { } _{ } { } { }| _{ }|

Ejemplo:



e2tsent



 

s

Solución:



e2tsent



 

s 

 





2



1 1 2 2_    s s sent

ya que

  

1 1 2 _  s s sent Ejemplo:          3 2 1 2 1 s s Solución:           3 2 1 2 1 s

s





sent e s t 2 2 1 1 2 1             Ejemplo:          5 4 2 1 s s s Solución:           5 4 2 1 s s

s









             1 2 2 2 2 1 s s =



2



1 2

2 2 1 _             s s





_         1 2 1 2 1 s

6.21 Función escalón

En ingeniería es común encontrar funciones que corresponden a estados de sí o no, o bien activo o inactivo. Por ejemplo, una fuerza externa que actúa sobre un sistema mecánico o una tensión eléctrica aplicada a un circuito, puede tener que suspenderse después de cierto tiempo. Para tratar de forma efectiva con estas funciones discontinuas conviene introducir una función especial llamada función escalón unitario.

6.22 Definición: Función de Heaviside

La función escalón unitario o función de Heaviside [ se define como

{

Observación: la función de Heaviside se definió sobre el intervalo [ , pues esto es suficiente para la transformada de Laplace. En un sentido más general para .

Ejemplo: Trazar la gráfica de la función . Solución: La función está dada por

{ y su gráfica se muestra en la figura siguiente

a t

u (t-a)

1

Cuando la función de Heaviside se multilplica por una función , definida para , ésta función se desactiva en el intervalo [ , como muestra en siguiente ejemplo.

Ejemplo: Trazar la gráfica de la función .

Solución: La función está dada por

{

Figura

La función de Heaviside puede utilizarse para expresar funciones continuas a trozos de una manera compacta, como se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo: Al aplicar u



t



a la función sen t trunca la función sen t entre 0 y  quedando la función g

  

t u t



sen t como lo muestra la gráfica 6.3.

Figura

𝜋 𝑡

Ejemplo: Use la función de Heaviside para reescribir la función

{

Solución: Para reescribir la función basta usar la definición de la función Heaveside

{ Observación: la función

{

se escribe usando la función de Heaviside como

6.23 Teorema: Transformada de la función Heaviside La transformada de la función de Heaviside es

{ }

Demostración: Usando la definición de transformada

{ } ∫ _{∫ ∫}

∫ _|

En el primer teorema de traslación nos permitió calcular la transformada de una función al ser multiplicada por una función exponencial _, el segundo teorema de traslación nos permitirá calcular la trasformada de una función que es multiplicada por una función escalón.

6.24 Teorema: Segundo teorema de traslación Si { } y , entonces

{ } Forma inversa del segundo teorema de traslación:

{ } ∫

∫ _∫ ∫ _{( ⏟}

) ∫

_{∫ { }}

Observación: podemos usar el segundo teorema de traslación para calcular la transformada de Laplace de la función haciendo :

{ } { } _{{ }}

Ejemplo: Calcule { }

Solución: Para poder usar el segundo teorema de traslación debemos completar a

{ } { }

{ } { }

Ejemplo: Calcular { }, donde

{

Solución: Observe que la función puede reescribirse como

{ } { } { } { }

Ejemplo: Calcule { }

Solución: Para poder usar el segundo teorema de traslación debemos completar de forma adecuada el término

{ } { }

{ } { } { } { } { }

_{( )}

Como lo muestran los ejemplos anteriores algunas veces es necesario sumar y restar algunos términos con la idea de poder usar el segundo teorema de traslación. Pero existe una forma alternativa que nos evita el tener que hacer esto.

Ejemplo: Hallar



u



ta







u



ta















s e s e a t u as as   _ 

 1 1

Ejemplo: Hallar

          

 t sent

u 2  Solución:            

 t sent

u 2            

 t sent

u 2        _{ } 2 2   t sen Pero                       _{ } 2 cos 2 2 cos 2 2 2       t sen t sen t sen         2 cos t 

s e t t u 2 2 cos 2                       

 

 

cost

Ejemplo: Hallar

_

_

           1 1 s s e s Solución:





_         1 1 s s e s





_      1 1 1 s s como



1



1 1, 1

1       

 s A B

B s A s s           s e s1

1          1 1 1 s e s

   

 1 1 1    

  t e t u t u

6.25 Corolario: Forma alternativa al segundo teorema de traslación Sea [ una función continua a trozos y de orden exponencial en [ , entonces

{ } _{{ }} Demostración

Usando la definición

{ } ∫ _∫ ∫ _{∫ ⏟}

_{{ }}

Ejemplo: Calcule

{ }

Solución: Usando la forma alternativa del segundo teorema de traslación

{ } _{{ } { } ( )}

Los siguientes ejemplos muestran el uso del segundo teorema de traslación en su forma inversa.

Ejemplo: Calcule

_{

En este caso y

con lo cual

_{

} { } ( ) ( ( )) ( ) ( )

Ejemplo: Calcule

_{

}

Solución: Primero hallemos la descomposición en fracciones parciales

con lo cual

_{

}

_{

} ( ) { } ( ) ( ) ( )

Ejemplo: Calcule

_{

} Solución

Como el discriminante de es negativo, no es factorizable en y debemos completar el cuadrado.

_{

} {

} {

}

_{

} {

}

_{

}

_{

} Y de aquí

_{

}

( ) _{( (} )) ( )

( _{) ( ( )) ( )}

Ejemplo: Calcule

_{

}

Solución: Este ejemplo combina los dos teoremas de traslación _{

} {

} {

} ( )

( ( )) ( )

( ) _{( ( )) ( )}

_{( ) ( )}

6.26 Teorema: Multiplicación por

Sea [ una función continua a trozos y de orden exponencial en [ , entonces

{ } Ejemplo: Calcule

{ }

Solución: Aplicando el teorema anterior para , tenemos que { } { } ₍

)

El siguiente ejemplo muestra una combinación del primer teorema de traslación y el teorema anterior.

Ejemplo: Calcule

{ _}

Solución: Primero aplicamos el teorema de multiplicación por y luego el de traslación

{ _{} { }} (

)

Ejemplo: Calcule el valor de la siguiente integral

∫

Solución: Por el teorema de multiplicación por , tenemos que { } ∫ ₍

)

De donde obtenemos que

∫ y tomando

∫

Existe un caso especial del teorema anterior, cuando , que es muy útil en el cálculo de transformadas inversas.

6.27 Corolario: Multiplicación por Si { } , entonces

_{{ }}

Ejemplo: Calcule

_{{ (} )} Solución: Si

{ } ( ) por el corolario tenemos que

_{{( (}

))} {

}

6.28 Teorema: División por

Sea [ una función continua a trozos y de orden exponencial en [ tal que el límite

existe, entonces

{ } ∫ Demostración

Sea

entonces aplicando transformada de Laplace a ambos lados tenemos que

{ } { } { } Integrando

∫ ∫ es decir,

{ } ∫

Observación: la constante de integración debe escogerse de forma de tal que . El siguiente ejemplo muestra una aplicación de este teorema.

Ejemplo: Calcule

{ } Solución

Tenemos que

con lo cual

{ } ∫

| Ejemplo: Calcule el valor de la siguiente integral

∫ Solución: Si

entonces

{ } ∫ [

] (

)| ( ) De donde

∫ ( ) y tomando el límite cuando , tenemos que

∫

6.29 Convolución y transformadas

Como hemos visto, la transformada de Laplace es lineal, es decir, la transformada de una suma es la suma de las transformadas, entonces cabe preguntarse si se tiene algo similar para el producto, la respuesta es no. En general la transformada no conmuta con la multiplicación ordinaria, o sea, la transformada de un producto no es el producto de las transformadas, pero podemos definir un nuevo producto generalizado bajo el cual esto es cierto.

6.30 Definición: Convolución

La función , donde es el conjunto de funciones continuas en el intervalo [ dada por

∫ se conoce como la convolución de y

La convolución tiene muchas de las propiedades de la multiplicación ordinaria, como veremos en el siguiente teorema.

6.31 Teorema: Propiedades de la convolución

Sean y funciones continuas en el intervalo [ , entonces 1. (ley conmutativa)

2. (ley distributiva) 3. (ley asociativa) 4.

Demostración: La demostración de estas propiedades es muy simple. Haremos la primera de ellas y dejamos las restantes al lector.

∫ ⏟

∫ ∫

Observación: sin embargo, existen algunas propiedades de la multiplicación ordinaria que la convolución no tiene. Por ejemplo, no es cierto en general que ; para ver esto, note que

∫ |

Ejemplo: Calcule la convolución de y .

Solución: Usando la definición e integración por partes, tenemos que ∫ [ ]|

Ejemplo: Calcule la convolución de las funciones y .

Solución: Usando la definición e integración por partes ∫ ( )

∫ [ ] [ ]

Observación: para calcular la integral

∫ del ejemplo anterior, hemos usado la identidad

Otras identidades que pueden ser útiles en el cálculo de integrales similares son

El siguiente teorema establece un resultado de mucha importancia teórica y práctica, como veremos.

6.32 Teorema de convolución

Si { } y { } existen para , entonces { } { } { } Observación: La forma inversa del teorema de convolución

es muy importante en la solución de ecuaciones diferenciales, pues nos puede evitar el cálculo de fracciones parciales complejas.

Ejemplo: Calcule

{ }

Solución: Usando el teorema de convolución tenemos que { } { } { }

Observación: como ya hemos calculado podemos corroborar el resultado obtenido anteriormente

{ } { }

{ } { } { } (

) como obtuvimos en el ejemplo anterior.

Los siguientes ejemplos muestran el uso de la forma inversa del teorema de convolución para el cálculo de transformadas inversas.

Ejemplo: Calcule la siguiente transformada inversa _{

} Solución. Usando el teorema de convolución

_{

} { } { } { } { _{} ∫}

Observación: en este ejemplo el uso de fracciones parciales resulta viable, pues

_{

} { } { } { }

Los siguientes ejemplos muestran situaciones donde el uso de fracciones parciales puede ser realmente complejo, comparado con el uso del teorema de convolución.

Ejemplo: Calcule la siguiente transformada inversa _{

}

_{

} { } { } { } ∫ ( )

Observación: en este ejemplo la expansión en fracciones parciales no es tan simple

( ) Ejemplo: Calcule la siguiente transformada inversa

_{

} Solución: Usando convolución

_{

} {

} _{

} { }

[ ]

El siguiente corolario es útil en el cálculo de la transformada de una integral.

6.33 Corolario

Tomando en el teorema de convolución tenemos que

{∫ } donde { }

Demostración:

{ } { } { } {∫ }

Ejemplo: Calcule la siguiente transformada {∫ }

{∫ } { } { } (

)

6.34 Funciones periódicas

Es muy común, especialmente en aplicaciones ligadas a circuitos elécticos, la presencia de una fuerza externa periódica. Es usual tener voltajes en forma de ondas diente de sierra, ondas en escalón, etc. Por lo que es necesario calcular sus transformadas.

6.35 Teorema: Transformada de una función periódica

Sea [ una función continua a trozos y de orden exponencial en el intervalo [ . Si es periódica, con periodo , entonces

{ }

∫ Demostración

Usando la definición

{ } ∫ _{∫ ⏟}

∫ _⏟

∫ _⏟

∫ _{∫ ⏟}

∫ _⏟

_∫

∫

Figura

Solución: El período de esta función es y su transformada está dada por

{ }

∫

(∫ ∫ ) (

)

(

)

6.36 Función impulso unitario

6.37 Definición: Impulso unitario La función [ dada por

{

Donde , se conoce como la función impulso unitario. La gráfica de la función escalón para y se muestra en la figura siguiente.

Observación: para valores pequeños de , se tiene que es una función constante de gran magnitud que esta activa por un tiempo muy corto alrededor de .

Figura

6.38 Teorema: Área bajo la función impulso La función impulso unitario satisface la propiedad

∫ y de aquí su nombre.

Demostración

∫ ∫

∫

∫

En la práctica es conveniente trabajar con otro tipo de impulso llamado función de Dirac

Observación: la función delta de Dirac, no es una función, realmente es lo que se conoce como una función generalizada (o distribución).

6.40 Teorema: Propiedades de la función delta

La función delta de Dirac satisface las siguientes propiedades { ∫

El siguiente teorema establece la transformada de Laplace de la función delta de Dirac

6.41 Definición: Transformada de delta Para

{ }

Demostración: Para iniciar la prueba debemos escribir la función impulso unitario en términos de la función escalón unitario

( ( ) ( )) De donde tenemos que

{ }

{ ( )} { ( )} (

)

(

) ₍ ) con lo cual

{ } {

} { }

₍

)

⏟

Ejemplo: Calcule { } Solución: Claramente

{ } 6.42 Teorema: Transformada de

Para , tenemos que

{ }

Demostración

Usando la definición de transformada y la sustitución , tenemos que

{ } ∫ _{∫ ( )}

∫

Ejemplo: Calcule

{ √ } Solución. Usando el teorema anterior

{ √ }

( ) √

√ √ √ Ejemplo: Calcule

{

√ }

Solución: Usando el primer teorema de traslación, tenemos que {

√ } _{

√ }

√

Ejemplo: Calcule { } donde es la función de Bessel de orden cero dada por la serie

Solución. Aplicando transformada de Laplace

{ }

[

] [( )

Observación: en este ejemplo hemos usado que

√

Taller 6.1. Laplace parte 1

Utilizando los teoremas vistos sobre transformada, efectuar los siguientes ejercicios.

Ejercicio 1. Mostrar que





e t e sent t s

s s

s

s t t

2 1 2 1 2 cos 2 3 2 2 1 3 2 2 2 3

1 _{   }

            _{ } 

Ejercicio 2. Mostrar que e t e sent s

s

s 2t 2t

2 1 2 cos 5 4    _{ }         Ejercicio 3. Mostrar que

t t sen s 2 2 tan 2 1 1 _          

Ejercicio 4. Mostrar que

t sent s

      1 tan 1 1

Ejercicio 5. Mostrar que

t t sen e s t 3 2 3 tan 2 1

1  

 _       

Ejercicio 6. Mostrar que

 



tsent t t



s s cos 8 1 1 2 3 2

1 _{ }

         

Ejercicio 7. Hallar t senrt dr

 

s

0 

 

 



Rta:

 

₂ 2 2 2 1 1 3   s s s

Ejercicio 8. Hallar

_{ }

_

         4 1 1 2 2 1 s s

Ejercicio 9. Hallar





            2 2 1 2 2 1 s s s

Ejercicio 10. Mostrar que 2 1 5 2 5 8 15                s s t 

Ejercicio 11. Hallar

        t e t2 2

Ejercicio 12.

a) Si f

 

t es continua a tramos y de orden exponencial y si

 

t t f lím

t0 existe, entonces

   



_



 

     

sF s ds

s t

t f

donde F

 

s 

  

f

 

t s

b). Mostrar que

 

_{ }

ds s F dt t t f 0 0





  

c). Hallar

1.



  

  

 

0 _x dx

senbx

e ax Rta:

a b tg1

2.





  _

0 _x dx

e

e ax bx

Rta:

a b

ln

3. Mostrar que ln



1



ln



1



,

          s s t e

et t

con s1

4. Mostrar que

2 2 2

0 ₂ ln

1 cos 1 s a s s dr r ar t         



5. Mostrar formalmente, que si x 0 entonces a)

 

2 0



 



 dt

t senxt x

f ; b)

 

dt e x

t xt x

f   

 



2 1 cos 2 0 

Ejercicio 13. Mostrar que

a).



3

 

3



2

3

1 _{  }

        

 _{t U t}

s

e s

b). sen



t



sen s e s                 _ 1 2

1 tU



t3



c).



U



t





sent s

e s _

2 1 1 1 2 2

1 _{  }

           

d).



1





1



3



  

cos 2 2 3 1 t t U s e

s s _

6.43 Aplicaciones De La Transformada A Ecuaciones Diferenciales Con Condiciones Iniciales.

Pasos:

Aplicar la transformada a ambos lados de la ecuación. Aplicar el teorema de la transformada de la derivada.

 

y sY

   

s y 0

 

y s2Y

 

s sy

 

0  y

 

0

donde Y

 

s 

  

y

 

t s

Conseguir una función en s, es decir, despejar Y

 

s

Hallar la transformada inversa: y

 

t  1

 

Y

 

s

Ejemplo 15. Hallar la solución de y4y4yt3e2t, y

 

0  y

 

0 0 Solución:

 

y 4

 

y 4

 

y 

 

t3e2t

 

 

 



   



 





4 2 2 ! 3 4 0 4 0 0         s s Y y s sY y sy s Y s

 

 

 





4 2 2 ! 3 4 4     s s Y s sY s Y s

 







 

4



2





6 2 4 2 ! 3 2 2 ! 3 4 4 2 ! 3          s s s s s s s Y

y

 

t  1

 

Y

 

s 



s



t e t

2 5 6 1 20 2 ! 3           

Ejemplo 16. Hallar la solución de y

 

t  sent



ty

 

t dt

0

1 , y

 

0 0 Solución:

  

y

 

t s 

 

1 s 

  

sent s  ty

   

t dt s

     



0

   

Y

 

s

 

 

₂ 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1

1    _

        s s s s s s s s Y

 

t 

y 1



Y

 

s



 

        1 1 2 1 s

 

          2 2 1 1 s s

 

( ) 2 1 t sen t sent t

y  

Ejemplo 17. Hallar la solución de _{, y}

 

_{0 0}

Solución:



t y

 

s 

  

y s 

 

t2

 

ds d 1 

  



   



3 ! 2 0 s y s Y s s

y   



 

 

 



 

3

2 _{0 0} 2!

s s Y s y y s s Y s ds d      

 



2



 

2₃!

s s Y s s Y s ds d   



2

 

2

 



 

2₃

s s Y s s Y s s Y

s    



 

 

3 2 2 3 s s Y s s Y

s   



 

3

 

2₅

s s Y s s

Y   , E.D lineal de primer orden

F.I 3ln 3 3

s e

e s

ds

s  



 

_

     

 s ds C s C

s s s Y 1 2

2 3 1

5 3

 

3 4 2 s C s s

Y  

 

t 

y C

s 

     4 1 2        3 1 1 s ! 2 ! 3 2 2 3 t C t  

Ejemplo 18. Hallar la solución de t y''y0, y

 

0 0 Solución:



' '

     

1 (

ds d s Y s y